第3章 一阶动态电路分析

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当电容电压和电流为关联方向时，电 容吸收的瞬时功率为：
du ( t ) p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = Cu ( t ) dt
瞬时功率可正可负，当 p(t)>0时，说明电 容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) <0 时，说明电容是在供出能量，处于放电状态。 对上式从∞到 t 进行积分，即得t 时刻电容上 的储能为：
= R0 I S e
−
t RC
t≥0
４式
du C R 0 I S i = −C = e dt R
−
t RC
= i (0 + )e−t RCt≥0
５式
令τ=RC，它具有时间的量纲，即
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[τ ] = [RC ] = 伏特
库仑 库仑 = 库仑 / 秒 = [秒 ] 安培 伏特 .
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画出uc及i的波形如图3-６所示。
图3-6 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
3.3.2 RL电路的零输入响应 电路的零输入响应
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一阶RL电路如图3-7(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电 路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以 在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中 产生电流和电压，如图3-7 (b)所示。由于t>0后，放电回 路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以 为零输入响应。
i +q + C u -q -
3
q
斜率为R
0
u
图3-1 电容的符号、线性非时 变电容的特性曲线
电容的伏安还可写成：
4
1 0 1 t u(t ) = ∫ i(ξ )dξ + ∫ i(ξ )d C −∞ C 0
1 t = u(0) + ∫ i(ξ )dξ C 0
式中，u(0)是在 t=0 时刻电容已积累的电压， 称为初始电压；而后一项是在 t=0 以后电容上形 成的电压，它体现了在0~t的时间内电流对电压 的贡献。 由此可知：在某一时刻 t，电容电压u不仅与 该时刻的电流 i有关，而且与t以前电流的全部历 史状况有关。因此，我们说电容是一种记忆元 件，，有“记忆”电流的作用。
−∞ i ( −∞ )
1 2 2 = L i (t ) − i (−∞) 2
[
]
10
因为 所以
wL (−∞) = 0
1 2 w L (t ) = Li (t ) 2
由上式可知：电感在某一时刻 t 的储能仅 取决于此时刻的电流值，而与电压无关，只要 有电流存在，就有储能，且储能≥0。
3.2 换路定律及初始值的确定
图 3-4 例 2 图
解（1）由题意知：
u C (0 − ) = 0 i3 (0 − ) = iL (0 − ) = 0
（2）由换路定理得
u C (0 + ) = uC (0 − ) = 0 iL (0 + ) = iL (0 − ) = 0
因此，在t=0+ 电路中，电容应该用短路线代替，电感以开 路代之。得到 t=0+ 电路，如图3-4 (b)所示。 （3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得
式中，i(0)是在 t=0 时刻电感已积累的电流，称 (0) 为初始电流；而后一项是在t=0以后电感上形成的 电流，它体现了在0-t 的时间内电压对电流的贡献。 上式说明：任一时刻的电感电流，不仅取决于 该时刻的电压值，还取决于-∞~t 所有时间的电压 值，即与电压过去的全部历史有关。可见电感有 “记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件。
+ u i L 0
图3-2 电感元件模型符号及特性曲线
Ψ
斜率为R
di u = L dt
这是电感伏安关 系的微分形式。
i
8
电感的伏安还可写成： 电感的伏安还可写成：
1 0 1 t i (t ) = ∫ u (ξ ) dξ + ∫ u (ξ ) d ξ L −∞ L 0 1 t = i(0) + ∫ u(ξ )dξ L 0
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9 i1 (0 + ) = i2 (0 + ) = = 0 .3 10 + 20
i3(0+)=0 uL(0+)=20×i2(0+)=20×0.3=6V )=20 i )=20 0.3=6V 通过以上例题， 通过以上例题 ， 可以归纳出求初始值的一般步 骤如下： 骤如下： (1) 根据t=0- 时的等效电路，求出uC(0-) 及iL(0-)。 (2) 作出t=0+ 时的等效电路，并在图上标出各待 求量。 (3) 由t=0+ 等效电路，求出各待求量的初始值。
当电感电压和电流为关联方向时，电感 吸收的瞬时功率为：
9
di ( t ) p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = Li ( t ) dt
与电容一样，电感的瞬时功率也可正可负， 当 p(t) >0时，表示电感从电路吸收功率，储存磁 场能量；当 p(t) <0时，表示供出能量，释放磁场 能量。 对上式从∞到 t 进行积分，即得t 时刻电感上的 储能为： t i (t ) wL (t ) = ∫ p(ξ )dξ = ∫ Li(ξ )di(ξ )
3.2.1 换路定律
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通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的 突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中 电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就 能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。
该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则 该定律是指若电容电压、电感电流为有限值， uC 、 iL不能跃变，即换路前后一瞬间的 C 、iL是相 不能跃变，即换路前后一瞬间的u 等的，可表达为： 等的，可表达为： uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-) 必须注意：只有u 必须注意：只有 C 、 iL受换路定律的约束而保持不 电路中其他电压、电流都可能发生跃变。 变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
故称τ为时间常数, 这样４、５两式可分别写为
u C = u C (0 + )e
−
t
τ
t≥0 t≥0
i = i (0 + )e
−
t
τ
1 由于 p = − 为负，故uc和 i 均按指数规律衰减， RC
它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及
R0 I S i (0 + ) = R
当t→∞时，uc和 i 衰减到零。
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4 i1 (0 + ) = = 2 A 2 4 i 2 (0 + ) = = 1A 4
iC(0+)=2-2-1=-1A uL(0+)=10-3×2-4=0
例2: 电路如图3-4 (a)所示，开关S闭合前电路无储能，开 关S在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初始值。
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例1：在图3-3(a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭合 前电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+)、iL(0+)、 i1(0+)、i2(0+)、ic(0+) 和uL(0+)。
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图 3-3 例1图
解(1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流 的初始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳 定状态下t=0- 电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳 态电路中，uC不再变化，duC/dt=0，故iC=0，即电 容C相当于开路。同理 iL也不再变化，diL/dt=0， 故uL=0，即电感L相当于短路。所以t=0- 时刻的等 3-3(b) 效电路如图3-3(b)）所示，由该图可知：
1 2 i i
IS
R0
+
UC C R
(a)
图3- 5
+ C uC RC电路的零输入
+
uR
(b)
换路后由图（b）可知，根据KVL有
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-uR+uc=0 而uR=i R,
duC i = −C dt
，代入上式可得
１式
du C RC +u C = 0 dt
上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式 为 uc=Aept t≥0 ２式 式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。 p为１式对应的特征方程的根。将２式代入１式可 得特征方程为 RCP+1=0
图3-7 RL电路的零输入响应
由上式可知：电容在某一时刻 t 的储能仅取决 于此时刻的电压，而与电流无关，且储能 ≥0。 电容在充电时吸收的能量全部转换为电场能 量，放电时又将储存的电场能量释放回电路，它 本身不消耗能量，也不会释放出 多于它吸收的 能量，所以称电容为储能元件。
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3.1.2 电感元件 电感器（线圈）是存储磁能的器件，而电感 元件是它的理想化模型。当电流通过感器时，就 有磁链与线圈交链，当磁通与电流 i参考方向之间 符合右手螺旋关系时，磁力链与电流的关系为： Ψ(t)=L i(t) 当u、i为关联方向 时，有:
从而解出特征根为 则通解
1 p=− RC
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u C = Ae
−
t RC
３式
将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为
u C (0 + ) = A = R 0 I S
将 u c (0 + ) 代入３式，得到满足初始值的微分 方程的通解为
u C = u C (0 + )e
放电电流为
−
t RC
3.1 电容元件和电感元件 3.1.1 电容元件
电容器是一种能储存电荷的器件,电容 元件是电容器的理想化模型。