电路分析—二阶电路
一阶电路和二阶电路
一、零输入响应：电路中无输入, 由初始储能<初始状态>
产生的响应
1
2i
说明：举例 ： R0
K (t=0) +
US
C UC
R
-
本节内容：
t 0时，uc.i等为零输入响应
RC零输入响应 RL零输入响应
§7-2 一阶电路的零输入响应
二、 RC电路零输入响应：放电
已知 uC (0-)=U0
uR uC 0
特征根 p = R L
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
A= i(0+)= I0
得
i(t)
I0e pt
Rt
I0e L
t0
§7-2 一阶电路的零输入响应
3 、讨论:
（1）曲线：
iL I0
大 放电时间长 小 放电时间短
大
小
t
(2)时间常数
L RL电路时间常数
R
说明： s
§7-2 一阶电路的零输入响应
i C duC dt
uR= Ri
RC
duC dt
uC
0
uC (0 ) U0
一阶微分方程
§7-2 一阶电路的零输入响应
1.列方程 ： 2.解方程：通解 P的求解：由特征方程： A的求解：由初值：
§7-2 一阶电路的零输入响应
3.讨论： (1)曲线
Uc U0
大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短
间的过程
说明:电容充电(如图)
K (t=0)
+
Us
-
+
R0
C Uc
－
本章主要分析在过渡过程中电压电流变化
二阶有源低通滤波电路的设计与分析
二阶有源低通滤波电路的设计与分析有源滤波电路是一种灵活、可靠和性能卓越的滤波器，广泛用于通信、控制和测量等领域。
本文介绍了实现二阶有源低通滤波器的基本原理，并通过计算机仿真分析了设计过程中遇到的一些问题。
一、二阶有源低通滤波器原理有源低通滤波器是一种混合型滤波器，它具有电容和电感耦合之间的耦合，从而实现了低通特性。
其基本原理是，将输入信号分别经过两个放大器，然后将放大器的输出信号反馈到电容的两个端，进而形成一个闭环系统，以构成一个连续反馈低通滤波器，达到滤波的目的。
二、有源低通滤波器的设计有源低通滤波器的设计有三个要考虑的重要参数，包括滤波器的频率特性，输入阻抗和输出阻抗。
1.滤波器频率特性：有源低通滤波器的基本频率特性可以使用Bessel函数表示。
它的特性截止频率可以用“截止频率Hz”表示。
同时，有源低通滤波器也具有频带宽和延迟特性，可以用“频带宽Hz”和“延迟时间ms”来表示。
2.输入阻抗：有源低通滤波器的输入阻抗为电子放大器的输入阻抗，由电子放大器的输入元件的参数决定，一般是50欧姆或大于50欧姆的阻抗。
3.输出阻抗：有源低通滤波器的输出阻抗取决于电子放大器的输出元件的参数，输出阻抗一般为几千欧姆以上。
三、计算机仿真分析由于有源低通滤波器的设计过程非常复杂，需要考虑很多参数，因此通常采用计算机仿真技术进行分析研究，以便验证设计方案的正确性。
在计算机仿真的分析过程中，首先要确定滤波器的输入信号的频率、幅度和相位，并计算出滤波器的输出信号特性，如频率、幅度和相位等，然后将实验结果与理论预测结果进行对比，以验证滤波器的设计方案是否正确。
四、结论有源低通滤波器是一种灵活、可靠和性能卓越的滤波器，它具有良好的性能特性，广泛应用于通信、控制和测量等领域。
其设计方案中，需要考虑多个参数，使用计算机仿真技术可以有效验证设计的正确性，也可以大大提高滤波器的性能。
二阶等效电路模型原理
二阶等效电路模型原理二阶等效电路模型是电路理论中的重要概念，用于描述电路中的振荡、滤波和放大等现象。
它是由电容、电感和电阻等元件组成的，并且具有能量存储和传输的特性。
二阶等效电路模型可以有效地简化复杂的电路，使得电路分析更加方便和准确。
在二阶等效电路模型中，电容和电感分别用于存储和释放能量，电阻用于限制电流和耗散能量。
这些元件之间的相互作用会导致电路中的特定行为，例如振荡、滤波和放大。
因此，二阶等效电路模型是研究和设计电路的基础。
二阶等效电路模型可以分为两种类型：串联和并联。
串联二阶等效电路模型是由电容和电感串联而成，电阻与之并联。
并联二阶等效电路模型则是由电容和电感并联而成，电阻与之串联。
这两种电路模型可以根据具体的电路需求选择使用。
在串联二阶等效电路模型中，电容和电感的串联形成一个回路，电阻则与之并联。
这种电路模型常用于振荡器和滤波器的设计。
通过调整电容、电感和电阻的数值，可以控制电路的谐振频率和频率响应。
这在无线通信、音频处理和信号处理等领域中具有重要应用。
在并联二阶等效电路模型中，电容和电感的并联形成一个回路，电阻则与之串联。
这种电路模型常用于放大器和滤波器的设计。
通过调整电容、电感和电阻的数值，可以控制电路的放大倍数和频率响应。
这在音频放大、射频放大和信号处理等领域中具有重要应用。
二阶等效电路模型的基本原理是基于电流和电压的守恒定律以及电容和电感的特性。
通过对电路进行等效，可以得到一个简化的电路模型，从而更方便地进行分析和设计。
这种简化的电路模型可以保留电路的关键特性，同时减少了复杂性和计算量。
在实际电路设计中，二阶等效电路模型是非常有用的工具。
它可以帮助工程师理解电路的行为和性能，并进行优化和改进。
同时，二阶等效电路模型也为电路仿真和测试提供了基础，可以预测电路的性能并验证设计的正确性。
二阶等效电路模型是电路理论中的重要概念，可以帮助工程师理解和设计复杂的电路。
通过对电容、电感和电阻等元件的等效，可以简化电路分析和设计过程，提高工作效率和准确性。
锂电池二阶rc等效电路模型
锂电池二阶RC等效电路模型1. 引言在现代社会中，锂电池已经成为一种广泛应用的电池技术。
为了更好地理解锂电池的工作原理和性能特点，在电路分析中，我们可以使用RC电路模型来表示锂电池的等效电路。
本文将详细介绍锂电池二阶RC等效电路模型，探讨其原理和应用。
2. 理论在电路理论中，我们可以将锂电池建模为一个具有内阻和电容的二阶RC等效电路。
该模型可以帮助我们更好地研究锂电池的动态响应和充电/放电过程。
2.1 内阻的等效锂电池的内阻是指电池内部由于材料电阻、电解液电导等造成的电阻。
这种电池内阻对电池的充放电性能有着重要的影响。
在二阶RC等效电路模型中，内阻可以等效为一个串联的电阻元件。
2.2 电容的等效锂电池内部也存在一定的电容，该电容被称为电池的极化电容。
电池的极化电容主要由电解液和电极之间的界面电容构成。
在二阶RC等效电路模型中，电容可以等效为一个并联的电容元件。
2.3 等效电路模型综合以上分析，锂电池的二阶RC等效电路模型如下图所示：---------| |--| R_i |--| | | |--| C_p--| |---------其中，Ri代表电池的内阻，Cp代表电池的极化电容。
3. 应用锂电池二阶RC等效电路模型在很多实际应用中都有着重要的作用。
下面将介绍一些相关的应用场景。
3.1 锂电池充放电过程通过锂电池二阶RC等效电路模型，我们可以分析锂电池的充放电过程。
充电时，电池的内阻会导致电池的电压下降，电容则会对充电速度起到一定的影响。
放电时，电池的内阻会导致电池的电压上升，电容则会影响电池的放电时间。
通过分析电池的充放电过程，可以帮助我们更好地设计电池管理系统和优化电池的使用效果。
3.2 电池容量测试锂电池的容量是指电池能够存储的电荷量，是衡量电池性能的重要指标之一。
通过锂电池二阶RC等效电路模型，我们可以利用简单的电路测量方法来估计电池的容量。
通过测量电池的放电时间和电压变化情况，可以得到电池的容量估计值。
《电路分析》第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
4Ω
K(t=0) 1F + uC –
4Ω
+ 10V –
i
4Ω 1F + uC –
i
4Ω
K(t=0) C
i
+ R
uC
–
+
uR
–
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2. RL电路的零输入响应
R1
K(t=0)
i L
+
US
-
+ uL –
t >0 + uL – i L R
US iL (0 ) iL (0 ) I0 R1 di L Ri 0 t 0 R dt R Lp R 0 p R L t
0+时刻的值
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用经典法求解线性常微分方程时, 必须根据电路的初始条件 来确定解中的积分常数。
3.电路的初始条件
(1) t = 0＋与t = 0－的概念 认为换路在 t=0时刻进行。 0－ ：换路前一瞬间 0+ ： 换路后一瞬间
f (0 ) f (0 )
f(t)
f (0 ) f (0 )
K(t=0) R
R
i
C
+
-
US
+u –
uC
–
+
已知 uC (0－) ；
t=0时K闭合。 求： uC(t) ， iC(t) （t≥0）
d uC RC uC U S dt
常系数一阶线性非齐次微分方程
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K(t=0)
+
-
R
R
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
t RC
电路(第七章 二阶电路)讲解
L时， C
s1、s2为不相等的负实数。过阻尼
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2 es2t
（2）当 R 2 1 时，即R 2 L时， s1、s2为相等的负实数。临界
2L LC
C
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2t es2t
若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。 储能终将被电阻消耗完 。称为阻尼振荡或衰减振荡。
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电路分析基础
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
+ uR- C i
含阻源 网+- u电 络OCR
+ uC-
+ uL
-
L
列KVL方程
i C d uC dt
uR
Ri
RC
d uC dt
（2）当uc下降到零的瞬间，uL也为零，i的变化率也为零，i达 到最大值I，储能全部转入到电感中。
（3）uc=0时，但它的变化率不为零，i将从I逐渐减小，C又被 充电，但充电的方向与以前相反。
储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。
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电路分析基础
-
（4）当i下降到零瞬间，能量又再度
电路分析基础
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-4 GCL并联电路的分析
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电路分析基础
本章教学要求
1、了解二阶电路的基本概念； 2、了解二阶电路的一般分析方法。
重点 RLC串联二阶电路的全响应
上述过程将不断地重复进行。
二阶电路.ppt
p2e p2t )
华中科技大学出版社
5
湖北工业大学
可以看出电容电压是衰减的指数函数，且因为 p1 ， 所p2以随
着时间的增长，uc中第一项比第二项衰减慢， uc一直为正。图 9-2画出了电容电压、电流和电感电压随时间变化规律的波形。
图9-2 变化波形
动画演示：二阶电路的零 输入响应(RLC串联) 1
duc iL (0 ) I0
dt t0
C
C
对于线性常系数的二阶齐次微分方程，解为二阶电路的零输
入响应，令 uc ，A得e p特t 征方程为
LCp2 RCp 1 0
特征方程的根为
p1,2
R 2L
R
2
1
2L LC
2 2
方程的通解为 uc A1e p1t A2e p2t p1 p2
RLC电路在单位冲激信号作用下的零状态响应叫做冲激响应。 串联电路的冲激响应的求解方法：
方法一 直接利用描述电路的二阶常系数线性非齐次微分方程 求解，即从冲激信号的定义出发，直接计算冲激响应。 t=0瞬 间冲激施加于电路，在t=0＋时建立了初始值，而冲激信号消失， 求零状态响应转换为求零输入响应。
图9-7 二阶阶跃响应电路
根据波形可知，电容电压从单调地衰减为零，说明电容一直 处于放电状态。故这种情况下为非振荡放电过程，或过阻尼情 况。
华中科技大学出版社
6
湖北工业大学
i在变化的过程中具有一个极大值imax，设出现在t=tm,时刻， 令
di dt
0,即uL
0
p1e p1tm
p e p2tm 2
0
tm
ln( p2 / p1 ) p1 p2
解 （1） 换路前电路已达稳态，则有
5.7RLC串联二阶电路的零输入响应及能量过程
(∞) = 0， (∞) = 0。
下面分析从初始值不为零到最终零状态的二阶电路的零输入的
过渡过程。图 5-34 中电路的单回路电流为（自行满足 KCL）
。
零输入非冲激下，由换路准则得两储能元件的初始值为
(0+ ) = (0− ) = 0， (0+ ) = (0− ) = 0
1
1 2
0
= ，共轭复数根又为1,2 = − ± j。
、和0满足 2 + 2 = 02，即直角三角形关系，如图 5-38 所
示，其中 = arctan/。
将1,2 = − + j代入式(3)零输入响应的确定解，结合虚线右边
欧拉公式：
cos =
显示的欧拉公式，整理有
号内的正负有关，分三种情况分析响应特征。
64
第五章 动态电路
′ ()
1.1 当( ) − > ，即 > √ ——过阻尼
根号内大于零的情况属于电阻相对较大的情况，由于零输入过
程是一个放电过程，电阻大能更快地消耗放电能量，所以这种情况
又称为过阻尼。
1.1.1 过阻尼响应表达式
箭头上面的“+”表示电容或电感在这个过程吸收能量。“−”表示在这个过程释放能
量。因电阻对能量的消耗，随时间各量振荡幅值指数衰减直至为零。初始能量全部被电阻吸
收消耗，电阻的耗能功率为2 ()，电阻的瞬时功率与当时电感储存的磁场能量成正比。
1.3 当( ) − = ，即 = √ ——临界阻尼
过阻尼下，1 ，2 均为负实数且|2 | > |1 |。将式(3)中的响应
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A sin U 0
， arctan
ω0
，0，间的关系:
sin 0
0 A U0
δ
ω
duC U 0 t i C e sin t dt L
uL L
0 uC U 0e t sin( t )
di 0 U 0e t sin( t ) dt
整理得 解答形式为
di 2( 2 i ) 2i1 6 i1dt 2i dt
d2i di 8 12i 12 2 dt dt
二阶非齐次常微分方程
i i i
第二步，求通解 i ： p2 8 p 12 0 特征根为 p1= 2 ，p2 = 6
临界阻尼 （critically damped case） 欠阻尼 （under damped case）
L R2 C
(一) R 2
L C
不等的实根 p1，p2 解答形式为 L
S uC + C i
R
uC A1e p1t A2e p2t
uC (0 ) uC (0 )U 0 duC C i (0 ) i (0 )0 dt t 0
(natural frequency) 解答形式
uC Ae
t
sin(t )
其中A ， 为待定系数。
由起始始值
uC (0 ) U 0 duC i (0 ) C dt
0
t 0
定系数。
A( )sin A cos 0
解得
U0 A sin
d 2 u1 3 K du1 1 ( ) 2 2 0 2 dt RC dt R C
d 2 u1 3 K du1 1 ( ) 2 2 0 2 dt RC dt R C
其特征方程为
3 K 1 p p征根为
3 K 3 K 2 1 2 p ( ) ( ) 2 RC 2 RC RC
第 8章
本章重点
二阶电路
8. 1 二阶电路的零输入响应 8. 2 二阶电路的零状态响应和全响应 8.3 一个线性含受控源电路的分析
本章重点
二阶电路方程的列写
特征根与解的形式的关系 二阶电路的零输入响应, 零状态响应和全响应
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8.1
二阶电路的零输入响应
二阶电路（second-order circuits）: 用二阶微分方程描述的电路。 RLC串联电路的放电过程。 已知： uC(0)=U0 i(0)=0 S 求换路后 uC，i ， uL 。 i R 2 + d uC duC uC C L LC RC uC 0 由KVL得 dt dt 二阶常系数齐次微分方程 uC Ae pt 代人微分方程得 特征方程 特征根
定性画曲线
0 （1）uC 是 其 振 幅 以 U 0为 包 络 线 依 指 数 衰 减 正 的弦 函 数 。 t=0时 uC=U0
uC零点：t = -，2- ... n- uC极值点：t =0， ，2 ... n
uC, i U0
uC
i
0 U 0e t d
临界阻尼情况
uC US A1e t A2te t ( p1 p2 )
欠阻尼情况
uC US Aet sin(t ) ( p1,2 j )
uC (0 ) 由初值 duC dt t 0
可确定二个待定系数
uC的变化曲线为 uC US 过阻尼（临界阻尼） 0 t 欠阻尼
R
L
-C
uC
+ -C
R L
储能释放完毕， 过渡过程结束。
L (二) R 2 C
p1,2 R R 1 ( )2 ＝－ j 2L 2L LC
特征根为一对共轭复根
0
1 LC
R 令 （衰减系数） 2L (damping factor)
则
2 0 2
（ 自然频率）
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8.3
一个线性含受控源电路的分析
含受控源的RC电路如图所示。
R
C A i1 u1 i3
讨论K取不同值时响应的 零输入响应。 + + + 以u1为变量列写电路方程。
u2
R
i2
C
-
Ku1
-
节点A列写KCL方程： u1 du1 i1 C R dt
由KVL有 两边微分整理得
u1 du1 u1 du1 1 R( C ) ( C )dt u2 u1 R dt C R dt
定性画 i ，uL 的曲线： uC, i, uL U0 uL i 0 uC 2tm
tm
t
（1）t = 0时 i=0 ， t = 时 i =0； i 始终为正，t = tm 时i 最大。
（2） 0< t < tm ，i 增加 ，uL > 0； t > tm ， i 减小，uL < 0
t 0， uL U0 ，t ，uL 0 ；t =2 tm时 uL 最小。
解
（1）由换路前电路求得 iL(0 )=5A uC(0 )=25V
（2）列写换路后电路的微分方程
d 2 uC duC LC RC uC 0 2 dt dt
（3）解微分方程 , 其特征方程为 50p2+2500p+106=0 特征根为 解答形式为
p 25 j139
uC Ae 25 t sin( 139t )
p2 A U0 1 p2 p1 A2 p1 U 0 p2 p1
起始值
由起始值定积分常数有
A1 A2 U 0
p1 A1 p2 A2 0
解得
则
U0 p1t p 2t uC ( p2e p1e ) p2 p1
（作图时假设 |p2| > |p1|）
2
0
2
t
0 U 0e t d
（2） i 零点：t =0，，2
... n
， i 极值点为uL零点。
uL零点：t = ，+，2+ ... n+
uC, i U0
uC
i
0 U 0e t d
2
0
2
t
0 U 0e t d
（4） 由初值定待定系数
uC ( 0 ) 25 duC C 5 dt
A sin 25 A139cos A25sin 5 10 4
A 355
则
， 176o
uC 355e25t sin(139t 176o )V (t 0)
uC的变化曲线为
uC U0
p2U 0 p1t e p2 p1
uC
0
p1U 0 e p2 t p2 p1
t
由uC求得
duC U0 i C (e p1t e p2 t ) dt L( p2 p1 )
U0 di uL L ( p1e P1t p2e P2t ) dt ( p2 p1 )
由uL=0时计算出 tm ：
U0 uL ( p1e P1t p2e P2 t ) 0 ( p2 p1 )
( p1 e p1t p2 e p2t ) 0
p2 ln p1 tm p1 p2
p2 p1 t p1 p2 2 ln
p2 e p2 t m p1 e
二、二阶电路的全响应 举例说明。 0.5u1
电路如图所示。
2A S 2 i1 1/6F + 1H u1 2 - 2-i 2 i 求电流 i 的零状态响应。
uC (0 ) 0 i L (0 ) 0
解 第一步，列写微分方程： i1= i 0.5 u1 =i 0.5(2 i)2 = 2i 2 由KCL 由KVL
可推广应用于一般二阶电路。
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8.2
二阶电路的零状态响应和全响应
一、零状态响应 以RLC串联电路为例。 S R iL C L
已知 uC(0-)=0 ， i (0-)=0 + uC 微分方程为
US
+ t=0
解答为
uC uC uC
d 2 uC duC LC RC uC U S dt dt 二阶常系数非齐次微分方程
1 LC
，
2
uC U 0 sin( t 90o ) uL U0 i sint L
等幅振荡。
0
t
+ uC -C 能量转换
L
例1
20Ω +
50V -
iL + 0.5H 100F uC 10Ω 10Ω
已知如图，t = 0时打开开关S 。 5Ω 求uC ，并画出其变化曲线 。 S
p1 t m
解得
由duL/dt可确定uL为极小时的 t
2 p1t 2 p2t ( p1 e p2 e )0
解得
t 2tm
能量转换关系
uC, i, uL U0 uL i uC 2tm
0
tm
t
0 < t < tm uC 减小，i 增加。 t > tm uC 减小 ，i 减小。 电容放出储能，电感 电容、电感均放出储能, 储能，电阻消耗能量。 电阻消耗能量。 uC +
能量转换关系 0 < t < uC -C + R +
< t < -
uC L -C R L
- < t < uC -C + R L