电路(第七章 二阶电路)讲解
电路PPT课件第7章 二阶电路
| duC
dt
t=0 = – 2K1 – 4K2 = –iLC—(0)= 4
2 0
联立 K1 + K2 = 2 – 2K1 – 4K2 = 4
解得 K1 = 6，K2 = – 4
uC(t) = 6e -2t – 4e - 4t V t≥0
-4 iL
4
iL(t)
=
iC(t)
=
C
duC dt
1 0
= – 3e -2t + 4e - 4t t≥0
1. 列出 RLC电路的微分方程
VCR：
i=
C
duC dt
uL
=
L
di dt
KVL： uL + uR+ uC = uS
有
L
di dt
+ Ri + uC = uS
iR +
uS
-
L
+
C u- C
整理
LC
d2uC dt 2
+ RC
duC dt
+ uC =
uS
两个初始条件 uC(0) = ?
求零输入响应 uS = 0
-3
uC(0) = 2V iL(0) = 1A
t
t
例1：已知图示电路中t ≥ 0时1 u1S = 0 R = 3 L = 2 H
C = 4 F uC(0) = 2V iL(0) = 1A 求: uC(t)及iL(t) t≥0
iR +
uS
-
L
+
C u- C
解:（2）不列微分方程
阻尼电阻 Rd＝2
L = 2.828 C
R ＞ Rd 过阻尼情况
电路分析第7章 二阶电路1
根据 uC(0－) = uC(0＋) ＝10V
i(0－) = i(0＋) = 0
uC (0) K sin 10 i(0) duC K ( sin d cos ) 0 t=0 = dt C
arctan(
uC 10.33e 0.5t sin( .94t 75.5)V t 0 1
d 1.94 ) arctan( ) 75.5 K 10.33, 0.5
i 2.6e 0.5t [1.94cos( .94t 75.5) 0.5 sin( .94t 75.5)]A20 t 0 1 1
t1 t2 t3 iL uC
欠阻尼衰减振荡
电量
uC
t1时间段 减小 增大
uC ( K 1 K 2t )e s1t ( K 1 K 2t )e 2t
根据 uC(0－) = uC(0＋)＝ 10V i(0－) = i(0＋) = 0 duC dt i(0) t=0 = C
duC K 2e 2 t 2( K1 K 2 t )e 2 t dt
K1=10
s1.2 0.5 0.5 4 0.5 j1.94
L R 1 Rd 2 4 C
两个共轭复根 欠阻尼
19
解：（3）R = 1 s1, s2 0.5 j0.5 15 0.5 j1.94 uC(t) = e-t [K1cosd t + K2sind t] uC Ke t sin( d t ) Ke 0.5t sin( .94t ) 1 – 衰减因子 d – 衰减振荡角频率
uC uL uR 0
1 2 1 2 w( t ) Li ( t ) CuC ( t ) 2 2
电路分析-二阶电路
i(t) C
t
t=0
=
i(0) =?
C
t
iR +
uS
-
L +
C uC
-
两个初始条件 uS = 0 ，uC(0) = ?
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
设 解为 uC(t) = Kest 代入微分方程
d2u LC Cdt2
+
RC
duC d
+
uC
=
0
LCs2Kest + RCsKtest + Kest = 0
=0
i +
uS
-
R
i=
C
duC dt
L +
C uC
-
LC
d2i dt2
+ RC
di d
+i=0
s1 = -2 s2 = -4
t
1 8
d2i dt2
+
3 4
d di
+i=0
d2i dt2
+6
di d
+ 8i = 0
t
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
例 解：(2) 若以iL(t)为求解变量 i R
( LCs2 + RCs + 1 ) Kest = 0
特征方程 LCs2 + RCs + 1 =
特 征0方 程 的 根 （ 固 有 频 率 ）
ax2 + bx +c = 0
- RC (RC)2 s1、 2= ± 24LLC
= -
R 2L
±
(
R 2L
)2
-
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
第七章 二阶电路
ω0 = ωd =
ω 02 − α
称为衰减谐振角频率
uC ( t ) = e −αt [ K 1 cos( ωd t ) + K 2 sin( ωd t )] = Ke −αt cos( ωd t + ϕ )
8
能量转换 0<ωt<β uC(t)减小，i (t)增大 减小， 减小 增大
C + R L C
β< ωt < π-β β
π-β < ωt < π β
增大， 增大 uC(t)减小，i (t)减小 |uC |增大，i 减小 减小， 减小 减小
+ R L C + R L
U0 uC 0
β
i
ω0 U 0 e −δ t ω
π π+β β 2π-β πβ 2π π
π-β β
ωt
−
ω0 U 0 e −δ t ω
s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。
3.在欠阻尼情况， 是共轭复数， 3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面 情况 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡， 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅 随时间按指数规律衰减， 越大，衰减越快。 随时间按指数规律衰减，衰减系数 α 越大，衰减越快。衰减 振荡的角频率ω 越大，振荡周期越小，振荡越快。 振荡的角频率ωd 越大，振荡周期越小，振荡越快。 图中按Ke- 画出的虚线称为包络线， 图中按Ke-αt画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范 Ke 围。
11
是共轭虚数， 4.在无阻尼情况， 4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s 情况 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减， 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角 频率为ω 的等幅振荡。 频率为ω0的等幅振荡。 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间 显然，当固有频率的实部为正时， 增加，电路是不稳定的。由此可知， 增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固 平面上的左半平面上时，电路是稳定的。 有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。
电路分析基础7二阶电路
U0
2
uC
2
U 0 0 e t d
dt
iL
结果分析
U00 e t d
*过渡过程中电场和磁场能量相互转换，由于耗能
电阻的存在，总能量逐渐减少。
0dt2 2dt22dt
C 放能
放能
吸能
L 吸能
放能
放能
R 耗能
耗能
耗能
电压上升，电流上升，电感磁场能 量向电容电场转移
u U ,i 0 , d u i 0 ,d iu 0 dt C dtL
电流为零，电压达到最大值，电路 能量完全存储于电容电场中
（至此完成一个能量转移周期，无耗能元件，总能量守恒）
i(t)
+
C
uL
-
iCdu, uLdi
dt
dt
d2u LCdt2 u 0
即 s1 2
s2 4
式(1)的全解，即电压响应为
u C t U S A 1 e s 1 t A 2 e s 2 t t 0 2
电流响应为
i t C d d C t u t C 1 s 1 e s 1 tA C 2 s 2 e s 2 t A t 0 3
*欠阻尼情况下，电路具有衰减振荡的过渡过程。
uc(t) 和iL的包络线函数分别为
U00 et d
U 0 e t
d L
称 为衰减系数， 越大，则电压和电流衰减越
快；称 d 为衰减振荡角频率， d 越大，则电压 和电流振荡越剧烈。
*由
2R L,d
1
R2
(3) uc 的过零点为 dtk /2 (k 0 ,1 ,2 ,...)
二阶电路
第七章 二阶电路 §7-1 二阶电路的零输入响应用二阶方程描述的动态电路称为二阶电路，当电路有电感，又有电容时就是一个二阶电路，二阶电路中给定的初始条件有2个 一、方程及特征根（RLC 串联）022=++C CC u dt du RC dtu d LC特征根为：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-=LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛--=零输入响应为：t t P P C e A e A u 2121+= 1．电路的初始条件有三种情况，分别为：①0)0(0)0(≠≠++L C i u ②0)0(0)0(=≠++L C i u ③0)0(0)0(≠=++L C i u我们讨论第二种情况，设0)0()0()0()0(====-+-+L L C C i i u u u2．特征根p 1、p 2有不等负实数根、相等负实数根、一对共轭复数根三种情况，这三种情况决定零输入响应不同。
二、CLR 2>（1P 、2P 有不等负实根）时电路的响应 —是一个非振荡放电过程 1．电容上的电压和电流及电感上的电压响应表达式为：)(2112120t t P P C e P e P P P U u --=LCp p 121=)()()(2121120112210t t t t P P P P C e e P P L U e P e P P P P CU dt du Ci ---=---=-=)(2121120t t P P L e P e P P P U dt di Lu ---==2．响应曲线2112)/ln(P P P P T m -=此时电感电压过0，电流取得最大值m t t 2= 此时电感电压有极值三、CLR 2<（1P 、2P 有共轭复根）时电路的响应—是一个振荡放电过程1．电容上的电压和电流及电感上的电压为： )(2112120t t P P C e P e P P P U u --=[])2)(0)(00t j i t j j e e e e j U ωδβωδβωωω---+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+-j e e eU t j t t j t2)()(00βωβωδωω)sin(00βωωωδ+=-t e U t)sin(0t e LU i tωωδ-=)sin(00βωωωδ--=-t e U u t其中：2RLδ=0ω=ω= arctg ωβδ= 2．波形图如下：ttπδ3．理想情况下，,2,1,0,00πβωωδ=====LCR 则：)2sin(00πω+=t U u Ct CLUt L U i 00000sin sin ωωω==C L u t U t U u =+=--=)2sin()2sin(0000πωπω 即等幅振荡放电过程。
[理学]7二阶电路_OK
![[理学]7二阶电路_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/0c32874f960590c69fc37614.png)
包含一个电容和一个电感，或两个电容，或 两个电感的动态电路称为二阶电路。
本章着重分析含电感和电容的二阶电路
1
内容
二阶电路的零输入响应，零状态响应 阶跃响应, 冲激响应
i
tm 2tm uL
U
u
0 ( p e p1t p e p2t )
C p p 2
1
2
1
t
uC (0 ) U0 , uC () 0 ,
11
uc (t) 0 且uc(t)单调下降 (0 t )
U0
uc
i
p1 p2
1 LC
tm 2tm
t
uL
i C duC C U0p1p2 (ep1t ep2t )
tm 2tm uL
t
t=0+ ，uL=U0 t= ，uL=0 0< t < tm , i 增加, uL>0 t > tm , i 减小, uL <0
t = 2tm 时 uL 极小
uL
L di dt
(p2
U0 p1
)
(p1ep1t
p ep2t
2
15
)
U0
uc
i
(t=0)
+
uc -
C
iR + uL L -
p1e p2 t )
U0
2 j
e t ( p2e jt
p1e jt )
0
U 0e t
sin(t
)
Ket
sin(t
)
i C duC U0 e t sin t dt L
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L时， C
s1、s2为不相等的负实数。过阻尼
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2 es2t
（2）当 R 2 1 时，即R 2 L时， s1、s2为相等的负实数。临界
2L LC
C
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2t es2t
若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。 储能终将被电阻消耗完 。称为阻尼振荡或衰减振荡。
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电路分析基础
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
+ uR- C i
含阻源 网+- u电 络OCR
+ uC-
+ uL
-
L
列KVL方程
i C d uC dt
uR
Ri
RC
d uC dt
（2）当uc下降到零的瞬间，uL也为零，i的变化率也为零，i达 到最大值I，储能全部转入到电感中。
（3）uc=0时，但它的变化率不为零，i将从I逐渐减小，C又被 充电，但充电的方向与以前相反。
储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。
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电路分析基础
-
（4）当i下降到零瞬间，能量又再度
电路分析基础
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-4 GCL并联电路的分析
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电路分析基础
本章教学要求
1、了解二阶电路的基本概念； 2、了解二阶电路的一般分析方法。
重点 RLC串联二阶电路的全响应
上述过程将不断地重复进行。
电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成周而复始 的振荡，且幅值不变，称为等幅振荡。
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电路分析基础
设LuiCCC回路uiLL的L=u1CiLH、dddCdiut=LtC1F，uC(0)=1CV、i+-Lui(C0C)=0iL。 L
初始条件：uC(0)=1V，iL(0)=0。
解： Rd 2
L 1 C
R Rd
R + uC-
L
属于临界阻尼情况
先求特征根
s1，2
R 2L
R 2 1 2 2L LC
22
4
2
0
2 2
则有： uC (t) K1e2t K2te2t (t 0)
利用初始值uC(0+)=-1V,iL(0+)=0，得
解： Rd 2
L 2.83 R Rd C 属于过阻尼情况
由R,L,C的值，计算出特征根
R + uC- +
uL L
-
s1，2
R 2L
R 2 1 3 2L LC
32
8
3
1
2 4
则有：
uC (t)
K1e2t
K
e4t
2
(t 0)
iC
C d uC dt
猜想方程的解为： uC(t)=cost iL(t)=sint
d
uC (t ) dt
s in t
iL (t )
d iL(t ) dt
cost
uC
(t)
表明LC回路中的等幅振荡是按正弦规律随时间变化的。
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电路分析基础
LC电路中的正弦振荡
LC振荡波形 已知 uC(0) = U0
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电路分析基础
例3 已知R=6Ω,L=1H, C=0.04F, uC(0+)=3V, iL(0+)=0.28A， 求电容电压和电感电流的零输入响应。
解：先求特征根
s1，2
R 2L
R 2 1 3 2L LC
32 52 3 j4
于是有 uC (t) e3t (K1 cos 4t K2 sin 4t) (t 0)
另一部分转变为磁场能。
1
到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放
出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初 0 始储能全部消耗完为止。
(t 0)
i
+ uL L
-
t
t
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电路分析基础
例2 已知R=1,L=0.25H,C=1F,
求电容电压和电感电流。
uC(0+)=+-u1RV- ,iL(C0+)=0i，
uC (t) (3cos 5t 1.4sin 5t) 3.31cos(5t 25o )V
(t 0)
iL (t)
C
dvC dt
0.04(15sin
5t
7 cos5t)
0.66 cos(5t
65o )A
(t 0)
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电路分析基础
波形图
物理过程
当电阻为0时，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总 能量不会减少，形成等振幅振荡。
uC 0
d uC it i0
dt 0 C 0 C
为了得到电路的零输入响应，令uOC=0，得二阶齐次微分方程
LC
d2 d
uC t2
RC d uC dt
uC
0
根据一阶微分方程的求解 经验可假定齐次方程的解
d2 uC dt2
R d uC L dt
1 LC
uC
0
uC t Kest
C +Uc
L
全部储于电容中，电容电压又达到U0，
i
只是极性相反而已。
（5）电容又开始放电，只是放电方向与 上一次电容放电的方向相反。
-
C +U0
L
当电容电压再次下降到零瞬间，能量又
i
全部储于电感中，电流又达到了最大值。
（6）电容又在电流的作用下充电，当电流为零瞬间，能量又 全部返回到电容中，电容电压的大小和极性又和初始时刻一样。
iL (t)
iC (t) C
duC dt
3e2t
4e4t A
过阻尼响应曲线（波形图）
uC
在t>0以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁 2
场能量，一使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容 0
电压达到最大值，此时电感放出全部磁场能。
以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗， iL
+
iL(0) = 0
uC_
uC(t)
U0
T
3T
4t4 t5 t6 t7 t8 4
T
o t1 t2 t3
T
t9 t10 t11 t12
U0 iL(t)
2
Im
T
T
3T
4
2
4
T
o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12
Im
返回
iL CL
t
t
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+ _uL
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电路分析基础
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电路分析基础
齐次微分方程的解为：(用欧拉公式)
uC (t) et (K1 cosdt K2 sin dt) Ket cos(dt )
式中
K
K12
K
2 2
arctg K2
K1
由初始条件iL(0+)和uC(0+)确定常数K1,K2后，可以 得到电容电压的表达式，再利用KCL和VCR方程， 可以得到电感电流的表达式。
LC振荡回路的能量
LC回路的总瞬时储能
w(t) 1 Li2 (t) 1 Cu2 (t)
2
2
1 (sin 2 t cos2 t) 1 (J)
2
2
LC回路的初始储能
LC振荡回路
w(0) 1 Li2 (0) 1 Cu2 (0) 0 1 1 (J)
2
2
22
结论：无损耗LC回路所储存的能量，将以磁场和电场的形式 在电感和电容之间相互交换，永不消失。
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电路分析基础
欠阻尼响应
条件
R2 L
C
特征根s1,s2为两个共轭复数根，即：
s1，2
R 2L
R 2 1 2L LC
j
02 2
jd
其中
R 2L
0
衰减系数
0
1 LC
谐振角频率
d 02 2 衰减谐振角频率
uC (0 ) K1 1
duC (t) dt
t 0
2K1 K2
iL (0 ) C
0
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电路分析基础
求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2。
电容的电压为： uC (t) (e2t 2te2t )V
(t 0)
电感的电流为：iL (t)
（3）当 R 2＜ 1 时，即R＜ 2 L时，
2L LC
C
s1、s2为共轭复数，欠阻尼
Rd 2
L 称为RLC电路的阻尼电阻。 C
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