第七章 二阶电路
第七章 二阶电路
i ( t ) = A1 e
(b)当 α = ω 0 ( R = 2
+ A2 e
s2 t
过阻尼
L ), s 1 = s 2 = - α , 为 二 重 实 根 ： C
i ( t ) = ( A + Bt )e − α t
(c)当 α < ω 0 ( R < 2 L ), s 1,2 = - α ± C
———— 二阶非齐次微分方程 一般形式： 一般形式：
d2y dy + a1 + a0 y = f ( t ) 2 dt dt
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程： ，方程变为齐次方程： 当电路没有输入激励时有
d2y dy + a1 + a0 y = 0 2 dt dt
相应的解为零输入响应。 相应的解为零输入响应。
di uL (0 + ) = L dt
t = 0+
= U0
di dt
t = 0+
U0 = L
表达式代入并令t=0 将i(t)表达式代入并令 + 有： 表达式代入并令
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得： ①②联立得： 联立得
————② ②
A1 = − A2 =
U0 L ( s1 − s 2 )
di 2 − 4 i1 + + 4 i2 = 0 dt
---- ②
1 d i2 i1 = ( + 4 i2 ) 4 dt
1 d 2 i2 ′ i 1′ = ( + 4 i2 ) 2 4 dt
----③ ③ ----④ ④
d 2 i2 di 2 + 10 + 19 i 2 = 2 u s ( t ) 16 2 dt dt
电路(第七章 二阶电路)
uC (t ) e 3t (3 cos 4t 4 sin 4t ) 5e3t cos(4t 53.1o )V (t 0)
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电路分析基础
电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC iL (t ) C 0.04e 3t (7 cos 4t 24 sin 4t ) dt 3t o
uC (0 ) K1 3
t 0
3 3 5 3 j4 2L 2 L LC
利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:
解得 K1=3和K2=4。 电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC (t ) dtຫໍສະໝຸດ i L (0 ) 3K1 4 K 2 7 C
Im
iL(t)
T 4 T 2
3T 4
o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 Im
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T
t
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电路分析基础
LC振荡回路的能量
LC回路的总瞬时储能
LC回路的初始储能
1 2 1 2 w(t ) Li (t ) Cu (t ) 2 2 1 1 2 2 (sin t cos t ) (J) 2 2
LC d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
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电路分析基础
LC
d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 求解该方程必须有条件： d uC i t i 0 uC 0 0 0 dt C C 为了得到电路的零输入响应，令uOC=0，得二阶齐次微分方程 d 2 uC d uC 根据一阶微分方程的求解 LC RC u 0 C 经验可假定齐次方程的解 dt dt2
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
第7章 二阶电路
（2）当无耗能元件时，L、C电路的响应将是不衰减的振荡。 当无耗能元件时， 电路的响应将是不衰减的振荡。
7-3 例
若C的初始储能= 0、L的初始储能=0，形成 的初始储能= 0、 的初始储能=0， 等幅振荡的五个典型时刻为 的五个典型时刻为： 等幅振荡的五个典型时刻为：
I
+
u0
-
C
L
C
L
u0
L
+ C
§2-1 R、L、C串联电路的数学分析—零输入响应 串联电路的数学分析— 可以看出， 可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与 电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时 电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小， 间消耗能量越少，曲线衰减越慢。 间消耗能量越少，曲线衰减越慢。 当例中电阻由R=6Ω减小到R=1Ω，衰减系数由 当例中电阻由 =6Ω减小到 =1Ω =6Ω减小到 =1Ω， 变为0.5 0.5时 3变为0.5时，可以看出电容电压和电感电流的波形 曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零， 曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数 为零时， 为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅 振荡。 振荡。
1 2
7-11
u C ( 0 ) = α V ，L ( 0 ) = β A ， i
则
uC (0) = K1 + K2 = α
(1 )
duC 由电路图可知: 如何利用iL (0) ? 由电路图可知: iL = i = C dt
duC 故 iL (0) = C dt
0
= C(s1K1 + s2 K2 ) = β
7-15
iL (0) = C (−3K1 + 4 K 2 ) = C (1.2 + 4 K 2 ) = 0
第七章 二阶电路
ω0 = ωd =
ω 02 − α
称为衰减谐振角频率
uC ( t ) = e −αt [ K 1 cos( ωd t ) + K 2 sin( ωd t )] = Ke −αt cos( ωd t + ϕ )
8
能量转换 0<ωt<β uC(t)减小，i (t)增大 减小， 减小 增大
C + R L C
β< ωt < π-β β
π-β < ωt < π β
增大， 增大 uC(t)减小，i (t)减小 |uC |增大，i 减小 减小， 减小 减小
+ R L C + R L
U0 uC 0
β
i
ω0 U 0 e −δ t ω
π π+β β 2π-β πβ 2π π
π-β β
ωt
−
ω0 U 0 e −δ t ω
s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。
3.在欠阻尼情况， 是共轭复数， 3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面 情况 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡， 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅 随时间按指数规律衰减， 越大，衰减越快。 随时间按指数规律衰减，衰减系数 α 越大，衰减越快。衰减 振荡的角频率ω 越大，振荡周期越小，振荡越快。 振荡的角频率ωd 越大，振荡周期越小，振荡越快。 图中按Ke- 画出的虚线称为包络线， 图中按Ke-αt画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范 Ke 围。
11
是共轭虚数， 4.在无阻尼情况， 4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s 情况 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减， 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角 频率为ω 的等幅振荡。 频率为ω0的等幅振荡。 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间 显然，当固有频率的实部为正时， 增加，电路是不稳定的。由此可知， 增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固 平面上的左半平面上时，电路是稳定的。 有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。
电路(第七章 二阶电路)讲解
L时， C
s1、s2为不相等的负实数。过阻尼
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2 es2t
（2）当 R 2 1 时，即R 2 L时， s1、s2为相等的负实数。临界
2L LC
C
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2t es2t
若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。 储能终将被电阻消耗完 。称为阻尼振荡或衰减振荡。
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电路分析基础
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
+ uR- C i
含阻源 网+- u电 络OCR
+ uC-
+ uL
-
L
列KVL方程
i C d uC dt
uR
Ri
RC
d uC dt
（2）当uc下降到零的瞬间，uL也为零，i的变化率也为零，i达 到最大值I，储能全部转入到电感中。
（3）uc=0时，但它的变化率不为零，i将从I逐渐减小，C又被 充电，但充电的方向与以前相反。
储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。
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电路分析基础
-
（4）当i下降到零瞬间，能量又再度
电路分析基础
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-4 GCL并联电路的分析
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电路分析基础
本章教学要求
1、了解二阶电路的基本概念； 2、了解二阶电路的一般分析方法。
重点 RLC串联二阶电路的全响应
上述过程将不断地重复进行。
第07章.二阶电路
7.4 例题
7.1 RLC串联电路的零输入响应
7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.1.5 电路和方程 过阻尼情况 临界阻尼情况 欠阻尼情况 零阻尼情况
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7.1.1 电路和方程
换路后电路如图，电 路中无电源，电路响应为 零输入响应。
(t 0)
t
(t 0)
分析可知， uc 、iL 波形图与过阻尼情况类似。
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7.1.4
欠阻尼情况
(R 2 L C )
特征根为一对共轭复根：
R L
iL
C
+
s1, 2 jd
其中
R 2L
uC
2
,
d
1 R LC 2 L
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*欠阻尼情况下，电路具有衰减振荡的过渡过程。 uc(t) 和iL的包络线函数分别为 U0 U 0 0 t t e e d d L 称 为衰减系数， 越大，则电压和电流衰减越 快；称 d 为衰减振荡角频率， d 越大，则电压 和电流振荡越剧烈。
R *由 , d 2L 1 R LC 2 L
2
可知，若电路中L、C一定，则R越小， 就越小， d 就越大。电路过渡过程的振荡性就会越强，过 渡过程时间也会越长。可以想象，若R＝0，则过 渡过程会无休止地进行下去。
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7.1.5 零阻尼情况
iL
C
+
1 R 2L LC
uC
,
-
显然有
1 2
(整理)第七章二阶电路
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di ），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
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以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即 R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时 的电量及能量变化情况。
h
4
i’≠0
u’≠0
i’≠0
+
i=0 +
I
u0 C
L
-
C
L
u=-0
-
u0 C
+Biblioteka i=0Lt=0
t=T/4
t=T/2
u’≠0
+
u0 C
-
i=0
L
t=T
-
C
u=0
+
L
I
t=3T/4
由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随
(t0)
着储能在电场和磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断
地改变大小和极性，形成周而复始h 的振荡。这种由初始储能维持的5 振荡是一种等幅振荡。
二、定量分析
+
uc C
-
iL
L
U0 uC
下面进一步对LC回路中振荡的变化方 式作一简单的分析。设LC回路如图7-2 所示，设 L=1 H、C=1F、uC(0)=1V、 iL(0)=0
15
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得：
————②
A1
A2
U0 L(s1 s2)
故i(t) U0 (es1t es2t) L(s1s2)
uc(t)U0
1 C
ti()d
0
U 0C L(U s10 s2)
t(es1es2)d
0
s1s2L1Cs2U 0s1(s2es1t s1es2t)
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程：
d2y dy dt2 a1 dt a0y0
相应的解为零输入响应。
h
10
二、RLC串联电路的零输入响应
i(t) K
+ C uc
-
R
+ uR - + L uL -
已知uc(0-)=U0， iL(0-)=0， K于t=0时刻闭合，分析t>0 时放电过程中i(t)、uc(t)
du C dt
iL
uC (t) cos t
di L dt
uC
iL (t) sin t
t
-U0
I iL
t
-I
h
6
因此，LC回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。
三、 LC电路的储能
LC电路的储能为： w(t)1L2(it)1C2u (t)
2
2
并考虑到L=1H, C=1 F
可得：
w (t)1(s2it n co 2t)J s1J
• 另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时 就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电 场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。
h
8
7.2 RLC串联电路的零输入响应
一、二阶微分方程的建立
+
8 2H
us(t)
i1 4 i2 1H
写网孔电流方程：
2di1 dt
12i14i2
h
1
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应——
过阻尼情况、临界阻尼情况、欠阻尼情况
h
2
❖ 重点：
1．电路微分方程的建立 2 ．特征根的重要意义 3 ．微分方程解的物理意义
❖ 难点：
1 ．电路微分的解及其物理意义 2 ．不同特征根的讨论计算
h
3
7.1 LC电路中的正弦振荡
2
2
储能在任何时刻都为常量。而且
即对所有 t 0，
w (0)1L2(i0)1C2(u 0)1J
2
2
2
w(t)w(0)
这就表明：储能不断地在电场和磁场之间往返，永不消失。
h
7
• 可以想象，当存在耗能元件时的情况。
• 一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能 量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗 掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到 零；
us(t)----
①
4i1
di2 dt
4i2
0
---- ②
由 ②得：
i1
1 (di2 4 dt
4i2 )
----③
i1
1 4
(
d2i2 dt 2
4i2 )
----④
将③ ④代入①消去i1有：
h
9
d2i2 dt2
10di2 dt
1 169i2
2us(t)
一般形式：
———— 二阶非齐次微分方程
d2y dy dt2 a1 dt a0yf(t)
h
13
s1,2 202
( a ) 当 0 (R 2C L ), s 1 ,2 为 相 异 二 负 实 根 ：
i(t)A 1es1t A 2es2t
过阻尼
( b ) 当 0 (R 2C L ),s 1 = s 2 = -,为 二 重 实 根 ：
i(t)(ABt)et
临界阻尼
( c ) 当 0 (R 2C L ) ,s 1 ,2 = -一 2 - 对共 0 2 轭 = - 复根 jd
其中：
s——特征根，又称为电路的固有频率。
R
s1,2
2L
( R)2 1 2L LC
h
12
R
s1,2
2L
( R)2 1 2L LC
令 R 2L
0
1 LC
衰减系数（决定响应的衰减特性） 谐振角频率
则 :s1,2 20 2
根据 和 0 的相对大小不同，特征根s1,2不同， 对应的解的形式不同，有三种情况：
( 1 ) 当 0 (R 2C L )时 ,属 过 阻 尼 情 况 :
i(t)A 1es1t A 2es2t
由i(0+)=0得： A1+A2=0
————①
又由uL(0+)= uc(0+) -Ri(0+)=U0 - R×0= U0得：
di uL(0)Ldt t0 U0
di dt
t 0
U0 L
将i(t)表达式代入并令t=h0+ 有：
第七章 二阶电路(Second order circuit))
一、二阶电路
用一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程 来描述的电路。
二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有 两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个 电容（电感）串（并）联情况。
二、二阶电路与一阶电路响应的差别 二阶电路响应具有振荡的趋势。
RLC串联电路
由KVL： uc=uR+uL
（t>0)
即：
1 t i()dRi(t)Ldi(t)
C
dt
两边对t 微分：
1i(t)Ri(t)Li C
整理为：
d2i(t) Rdi 1
dt2
i(t)0 L h dt LC
11
整理为：
dd2it(2t)R Ld dtiL1Ci(t)0
特征方程：
s2 Rs 1 0 L LC
其 中 =2 -2 d0
称 为 衰 减 振 荡 角 频 率 欠阻尼
i( t) e t(K 1 c o sd t K 2 s ind t)
h
14
uc(0+)= uc(0-)=U0
两个待定系数，两个初始条件
可定得系数
i (0+)= i(0-)=0
一 . R 2L C
S 1 ,
S 2 不 等 的 负 实 根