第七章(2) 二阶电路
第七章 二阶电路
i ( t ) = A1 e
(b)当 α = ω 0 ( R = 2
+ A2 e
s2 t
过阻尼
L ), s 1 = s 2 = - α , 为 二 重 实 根 ： C
i ( t ) = ( A + Bt )e − α t
(c)当 α < ω 0 ( R < 2 L ), s 1,2 = - α ± C
———— 二阶非齐次微分方程 一般形式： 一般形式：
d2y dy + a1 + a0 y = f ( t ) 2 dt dt
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程： ，方程变为齐次方程： 当电路没有输入激励时有
d2y dy + a1 + a0 y = 0 2 dt dt
相应的解为零输入响应。 相应的解为零输入响应。
di uL (0 + ) = L dt
t = 0+
= U0
di dt
t = 0+
U0 = L
表达式代入并令t=0 将i(t)表达式代入并令 + 有： 表达式代入并令
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得： ①②联立得： 联立得
————② ②
A1 = − A2 =
U0 L ( s1 − s 2 )
di 2 − 4 i1 + + 4 i2 = 0 dt
---- ②
1 d i2 i1 = ( + 4 i2 ) 4 dt
1 d 2 i2 ′ i 1′ = ( + 4 i2 ) 2 4 dt
----③ ③ ----④ ④
d 2 i2 di 2 + 10 + 19 i 2 = 2 u s ( t ) 16 2 dt dt
第7章 二阶电路总结
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ωβ-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
电路(第七章 二阶电路)
uC (t ) e 3t (3 cos 4t 4 sin 4t ) 5e3t cos(4t 53.1o )V (t 0)
返 回 上一页 下一页
电路分析基础
电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC iL (t ) C 0.04e 3t (7 cos 4t 24 sin 4t ) dt 3t o
uC (0 ) K1 3
t 0
3 3 5 3 j4 2L 2 L LC
利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:
解得 K1=3和K2=4。 电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC (t ) dtຫໍສະໝຸດ i L (0 ) 3K1 4 K 2 7 C
Im
iL(t)
T 4 T 2
3T 4
o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 Im
返 回
T
t
上一页 下一页
电路分析基础
LC振荡回路的能量
LC回路的总瞬时储能
LC回路的初始储能
1 2 1 2 w(t ) Li (t ) Cu (t ) 2 2 1 1 2 2 (sin t cos t ) (J) 2 2
LC d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
返 回 上一页 下一页
电路分析基础
LC
d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 求解该方程必须有条件： d uC i t i 0 uC 0 0 0 dt C C 为了得到电路的零输入响应，令uOC=0，得二阶齐次微分方程 d 2 uC d uC 根据一阶微分方程的求解 LC RC u 0 C 经验可假定齐次方程的解 dt dt2
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
第七章 二阶电路
ω0 = ωd =
ω 02 − α
称为衰减谐振角频率
uC ( t ) = e −αt [ K 1 cos( ωd t ) + K 2 sin( ωd t )] = Ke −αt cos( ωd t + ϕ )
8
能量转换 0<ωt<β uC(t)减小，i (t)增大 减小， 减小 增大
C + R L C
β< ωt < π-β β
π-β < ωt < π β
增大， 增大 uC(t)减小，i (t)减小 |uC |增大，i 减小 减小， 减小 减小
+ R L C + R L
U0 uC 0
β
i
ω0 U 0 e −δ t ω
π π+β β 2π-β πβ 2π π
π-β β
ωt
−
ω0 U 0 e −δ t ω
s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。
3.在欠阻尼情况， 是共轭复数， 3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面 情况 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡， 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅 随时间按指数规律衰减， 越大，衰减越快。 随时间按指数规律衰减，衰减系数 α 越大，衰减越快。衰减 振荡的角频率ω 越大，振荡周期越小，振荡越快。 振荡的角频率ωd 越大，振荡周期越小，振荡越快。 图中按Ke- 画出的虚线称为包络线， 图中按Ke-αt画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范 Ke 围。
11
是共轭虚数， 4.在无阻尼情况， 4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s 情况 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减， 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角 频率为ω 的等幅振荡。 频率为ω0的等幅振荡。 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间 显然，当固有频率的实部为正时， 增加，电路是不稳定的。由此可知， 增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固 平面上的左半平面上时，电路是稳定的。 有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。
电路(第七章 二阶电路)讲解
L时， C
s1、s2为不相等的负实数。过阻尼
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2 es2t
（2）当 R 2 1 时，即R 2 L时， s1、s2为相等的负实数。临界
2L LC
C
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2t es2t
若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。 储能终将被电阻消耗完 。称为阻尼振荡或衰减振荡。
返回
上一页 下一页
电路分析基础
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
+ uR- C i
含阻源 网+- u电 络OCR
+ uC-
+ uL
-
L
列KVL方程
i C d uC dt
uR
Ri
RC
d uC dt
（2）当uc下降到零的瞬间，uL也为零，i的变化率也为零，i达 到最大值I，储能全部转入到电感中。
（3）uc=0时，但它的变化率不为零，i将从I逐渐减小，C又被 充电，但充电的方向与以前相反。
储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。
返回
上一页 下一页
电路分析基础
-
（4）当i下降到零瞬间，能量又再度
电路分析基础
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-4 GCL并联电路的分析
返回
上一页 下一页
电路分析基础
本章教学要求
1、了解二阶电路的基本概念； 2、了解二阶电路的一般分析方法。
重点 RLC串联二阶电路的全响应
上述过程将不断地重复进行。
(整理)第七章二阶电路
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di ），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
二阶电路讲义
2. 电感在t<tm时，吸收能量，建立磁场；当t>tm时电感释放能 量，磁场逐渐衰减，趋向消失。
3. 整个过程完毕，uC=0，i=0，uL=0，电容储藏的能量全部 被电阻消耗。
非振荡放电过阻尼:
R
R
+
+
C
L
C
L
-
-
0 < t < tm uc减小，i 增加
t > tm uc减小， i 减小
e t ( A1 A2 t)
R 2 L不等负实根 C
非 振 荡 ( 过 阻 尼 ) A1e p1t A2e p2t
实验工具的使用及实验内容
(一 ) R 2 L
C
p1, p2是不等的负实根 (t=0)
1
uC A1e p1t A2e p2t
由初始条件:
+
uc -
C
iR + uL L -
uC (0 ) uC (0 ) U 0 A1 A2 U 0
duC
i(0 ) 0
dt t 0
C
p1A1 p2A2 0
则
A1
p2 p2
p1
U0
A2
p1 p2 p1
U0
a.电容电压响应uC:
uC
U0 p2 p1
( p2 e p1t p1e p2t )
2 uC响 应 曲 线
uC
U0 p2 p1
( p2 e p1t
p1e p2t )
uc U0
uC一直单调下降
t
3 能量转换关系
1. 整个过程中uC曲线单调下降，电容一直释放储存的电能。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二阶电路: 用二阶微分方程描述的电路 (一般含有 两个储能元件)。
一、RLC串联电路的零输入响应
t =0 i R
已知: 开关在 t=0 时闭合 uC(0-) = Uo i(0-)=I0
uC(t)
C
L
uL(t)
1.列写电路回路电压方程， 得:
Ri
L
di dt
uC
0
LC
d2uC dt 2
U0 [(δ jω)e(δ jω)t (δ jω)e(δ jω)t ] 2 jω
2 cosωt U0 [δ(2e jωjtsineωjωtt) jω(e jωt e jωt )] eδt
2 jω
U0ω0 ( δ sin ωt ω cos ωt) eδt
ω ω0
ω0
0
β
ω0 ω
RC
duC dt
uC
0
i C duC ……常系数齐次线性二阶微分方程 dt
1
2.求解微分方程：LC
d2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
两个初始条件为：
t =0 i R
uC(0) uC(0) U0
C
duC dt
t0
i(0)
I0
通解： uC Ae pt
uC(t)
C
L
uL(t)
uC A1e p1t A2e p2t
p
p1
p2
R 2L
uC
U0 p2 p1
(
p2e p1t
p1e p2t )
U0
lim
p2 p1
d dp2
(
p2e
p1t
d dp
2
(
p2
p1e p2t ) p1 )
U0
lim (e p1t
p2 p1
p1t
e
p2t )
电容电压 为0/0不定式 ，由罗彼达
法则：
uC (1 t)U0e pt
13
U 0e δt
(cosβ sin
ωt
sin
β cosωt)
uC
0
U 0e
t
sin(t
β)
9
响应曲线
uC
0
U 0e
t
sin(t
β)
U0 uc uC
0
U0e
t
0
-
2- 2
t
0
U0e
t
结论：
电容和电感之间交换能量，同时电阻消耗电磁能量，最终将 初始能量消耗完毕，暂态结束，此过程叫欠阻尼震荡放电。
R 2 L 欠阻尼，振荡放电 C
p1,2 j
uC Ae t sin(t β)
由
uC (0 )
duC dt
(0 )
确定积分常数A(A1、A2) 、
可推广应用于一般二阶电路
16
例1 电路所示如图。 t = 0 时打开开关。 求 : 电容电压uC , 并画 响应曲线。
uC (1 t )U0e pt
i C duC U 0 t e t dt L
uL
L di dt
U 0e
t (1
t
)
u,i uC
i
O
t
uL
响应曲线与过阻尼相似
定义电路的临界电阻：Rr 2
L C
………判断电路响应类型的判据。
14
特例：R = 0 0
p1,2 j 0
0
1 ， Βιβλιοθήκη 其中频率由 决定，幅值的衰减速度由决定。
10
U0 uc uC i
0
U
0e
t
+
0 -
2- 2
uL
0
U
0
e
t
能量转换关系
t
+
R
+
R
-
R
C -
L
C -
L
C +
L
0<t<
电容放电
< t < -
电容放电
- < t <
电容反向充电
电容的震荡放电过程
12
（3）R 2
L C
p1
p 2
相等的负实根（重根）
0
0 < t < tm ： 三个变量均为正值。
i
+
uc-
R
+
L uL
-
i
tm
uLL
t
t > tm uc ，i 为正， uL为负。
i
uc+
-
R
+
L uL
-
电容的非振荡放电 （过阻尼）
7
（2）电阻较小 R 2 L 震荡放电（欠阻尼）
C j 1
p1
R 2L
R
2
1
2L LC
j
02 2 δ jω
R p2 2L
R
2
1
2L LC
j
02 2 δ jω
定义：
R 2L
;0
1 LC
;2
1 LC
R 2L
2
则：02 2 2
0
β
衰减因子；
0 无阻尼振荡角频率； 固有振荡角频率。
8
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
e j t cos t j sin t e j t cos t j sin t
特征根方程：
LCp2 RCp 1 0
p1
R 2L
R
2
1
2L LC
R p2 2L
R
2
1
2L LC
2
3.由初始条件求积分常数
uC A1e p1t A2e p2t
t =0 i R
L
uC(t)
C
uL(t)
uC (0 ) U0
-C duC dt
t0 I0
A1 A2 U0
幅值大 衰减慢 U0 p2 e p1t p2 p1
t U0 p1 e p2t
p2 p1
幅值小 衰减快
5
uc
U0 p2 p1
p2ep1t
U0 p2 p1
p1ep2t
i C duC CU 0 p1 p2 (e p1t e p2t )
dt
p2 p1
p1p2
1 LC
U0
(e p1t e p2t )
R L
uL(t)
4
R P1 2L
R 2L
2
L1C；P2
R 2L
R
2
1
2L LC
(1) 电阻较大
R2
L C
非震荡放电（过阻尼）
uC
U0 p2 p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
U0 p2 p1
p2e p1t
U0 p2 p1
p1e p2t
uC
U0
O
结论：电容电压方向不变；数 值持续下降；电容非震荡放电。
LC
2
uC
U0
sin(
0t
) 2
uL
i
U0
0L
s in 0
t
+ C-
uL=uC
L LC振荡器
t 等幅振荡（无阻尼）
15
小结——RLC串联电路的零输入响应
R2
L 过阻尼，非振荡放电 C
R2
L 临界阻尼，非振荡放电 C
p1,2两个不等负实数
p1,2 δ jω
uc
A1e
pt 1
A2e
pt 2
uC e t ( A1 A2 t)
p1A1
p2A2
I0 C
由以上条件求出：两个积分常数A1、A2
3
二、充放电过程讨论
当RLC串联电路的 uC(0-) = Uo 、i(0-)=0
——电容通过感性支路放电。
A1
p2
p2
p1
U
0
A2
p1 p2 p1
U
0
t =0 i uC(t)
C
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
由特征根的性质，讨论响应的变化规律
L( p2 p1 )
t =0 i R
L
uC(t)
C
uL(t)
uL i
U
0
tm
ln( p2 / p1) p1 p2
i
uL
L
diL dt
U0 p2
p1
(
p1e
p1t
p2e p2t )
O
tm
uLL
t
结论：电流方向不变,但出现极值(最大放电电流)。
同时，电感电压出现极性改变。
6
U0 uc
能量转换关系