第七章 二阶电路
第七章 二阶电路
i ( t ) = A1 e
(b)当 α = ω 0 ( R = 2
+ A2 e
s2 t
过阻尼
L ), s 1 = s 2 = - α , 为 二 重 实 根 ： C
i ( t ) = ( A + Bt )e − α t
(c)当 α < ω 0 ( R < 2 L ), s 1,2 = - α ± C
———— 二阶非齐次微分方程 一般形式： 一般形式：
d2y dy + a1 + a0 y = f ( t ) 2 dt dt
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程： ，方程变为齐次方程： 当电路没有输入激励时有
d2y dy + a1 + a0 y = 0 2 dt dt
相应的解为零输入响应。 相应的解为零输入响应。
di uL (0 + ) = L dt
t = 0+
= U0
di dt
t = 0+
U0 = L
表达式代入并令t=0 将i(t)表达式代入并令 + 有： 表达式代入并令
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得： ①②联立得： 联立得
————② ②
A1 = − A2 =
U0 L ( s1 − s 2 )
di 2 − 4 i1 + + 4 i2 = 0 dt
---- ②
1 d i2 i1 = ( + 4 i2 ) 4 dt
1 d 2 i2 ′ i 1′ = ( + 4 i2 ) 2 4 dt
----③ ③ ----④ ④
d 2 i2 di 2 + 10 + 19 i 2 = 2 u s ( t ) 16 2 dt dt
第7章 二阶电路总结
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ωβ-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
电路(第七章 二阶电路)
uC (t ) e 3t (3 cos 4t 4 sin 4t ) 5e3t cos(4t 53.1o )V (t 0)
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电路分析基础
电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC iL (t ) C 0.04e 3t (7 cos 4t 24 sin 4t ) dt 3t o
uC (0 ) K1 3
t 0
3 3 5 3 j4 2L 2 L LC
利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:
解得 K1=3和K2=4。 电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC (t ) dtຫໍສະໝຸດ i L (0 ) 3K1 4 K 2 7 C
Im
iL(t)
T 4 T 2
3T 4
o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 Im
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T
t
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电路分析基础
LC振荡回路的能量
LC回路的总瞬时储能
LC回路的初始储能
1 2 1 2 w(t ) Li (t ) Cu (t ) 2 2 1 1 2 2 (sin t cos t ) (J) 2 2
LC d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
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电路分析基础
LC
d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 求解该方程必须有条件： d uC i t i 0 uC 0 0 0 dt C C 为了得到电路的零输入响应，令uOC=0，得二阶齐次微分方程 d 2 uC d uC 根据一阶微分方程的求解 LC RC u 0 C 经验可假定齐次方程的解 dt dt2
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
第七章 二阶电路
ω0 = ωd =
ω 02 − α
称为衰减谐振角频率
uC ( t ) = e −αt [ K 1 cos( ωd t ) + K 2 sin( ωd t )] = Ke −αt cos( ωd t + ϕ )
8
能量转换 0<ωt<β uC(t)减小，i (t)增大 减小， 减小 增大
C + R L C
β< ωt < π-β β
π-β < ωt < π β
增大， 增大 uC(t)减小，i (t)减小 |uC |增大，i 减小 减小， 减小 减小
+ R L C + R L
U0 uC 0
β
i
ω0 U 0 e −δ t ω
π π+β β 2π-β πβ 2π π
π-β β
ωt
−
ω0 U 0 e −δ t ω
s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。
3.在欠阻尼情况， 是共轭复数， 3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面 情况 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡， 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅 随时间按指数规律衰减， 越大，衰减越快。 随时间按指数规律衰减，衰减系数 α 越大，衰减越快。衰减 振荡的角频率ω 越大，振荡周期越小，振荡越快。 振荡的角频率ωd 越大，振荡周期越小，振荡越快。 图中按Ke- 画出的虚线称为包络线， 图中按Ke-αt画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范 Ke 围。
11
是共轭虚数， 4.在无阻尼情况， 4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s 情况 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减， 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角 频率为ω 的等幅振荡。 频率为ω0的等幅振荡。 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间 显然，当固有频率的实部为正时， 增加，电路是不稳定的。由此可知， 增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固 平面上的左半平面上时，电路是稳定的。 有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。
(整理)第七章二阶电路
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di ），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
二阶电路
第七章 二阶电路 §7-1 二阶电路的零输入响应用二阶方程描述的动态电路称为二阶电路，当电路有电感，又有电容时就是一个二阶电路，二阶电路中给定的初始条件有2个 一、方程及特征根（RLC 串联）022=++C CC u dt du RC dtu d LC特征根为：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-=LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛--=零输入响应为：t t P P C e A e A u 2121+= 1．电路的初始条件有三种情况，分别为：①0)0(0)0(≠≠++L C i u ②0)0(0)0(=≠++L C i u ③0)0(0)0(≠=++L C i u我们讨论第二种情况，设0)0()0()0()0(====-+-+L L C C i i u u u2．特征根p 1、p 2有不等负实数根、相等负实数根、一对共轭复数根三种情况，这三种情况决定零输入响应不同。
二、CLR 2>（1P 、2P 有不等负实根）时电路的响应 —是一个非振荡放电过程 1．电容上的电压和电流及电感上的电压响应表达式为：)(2112120t t P P C e P e P P P U u --=LCp p 121=)()()(2121120112210t t t t P P P P C e e P P L U e P e P P P P CU dt du Ci ---=---=-=)(2121120t t P P L e P e P P P U dt di Lu ---==2．响应曲线2112)/ln(P P P P T m -=此时电感电压过0，电流取得最大值m t t 2= 此时电感电压有极值三、CLR 2<（1P 、2P 有共轭复根）时电路的响应—是一个振荡放电过程1．电容上的电压和电流及电感上的电压为： )(2112120t t P P C e P e P P P U u --=[])2)(0)(00t j i t j j e e e e j U ωδβωδβωωω---+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+-j e e eU t j t t j t2)()(00βωβωδωω)sin(00βωωωδ+=-t e U t)sin(0t e LU i tωωδ-=)sin(00βωωωδ--=-t e U u t其中：2RLδ=0ω=ω= arctg ωβδ= 2．波形图如下：ttπδ3．理想情况下，,2,1,0,00πβωωδ=====LCR 则：)2sin(00πω+=t U u Ct CLUt L U i 00000sin sin ωωω==C L u t U t U u =+=--=)2sin()2sin(0000πωπω 即等幅振荡放电过程。
二阶电路
其中 :
p1
R 2L
( R )2 1 ， 2L LC
p2
R 2L
( R )2 1 2L LC
显然特征根p1、 p2仅与电路参数和结构有关
初始条件：uc(0+)= uc(0-)=U0 及 i(0+)= i(0-)=I0
并且：i C duC ，所以： duC I0
dt
dt t0
1 L
由于冲击电压的作用，使电感电流跃变，电感中储存了磁场能， 所以冲击响应就是由电感磁场能引起的变换过程。
21
t
≥0+时：
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
其解的形式： uC A1e p1t A2e p2t
其中 :
p1
R 2L
( R )2 1 ， 2L LC
p1e p2t
当t
)
tm
ln( p1 p1
p2 ) p2
电流达到最大值，且电
感电压过零
imax
t <tm, 电感吸收能量，
建立磁场； t >tm, 电感
释放能量，磁场衰减
i
U0
(e p1t e p2t )
L( p2 p1)
uL
U0 p2 p1
( p1e p1t
p2e p2t )
C
3
uC A1e p1t A2e p2t
将uc(0+)= U0 ，i(0+)= I0 及
duC I0
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第七章 二阶电路当电路中含有两个独立的动态元件时，描述电路的方程为二阶微分方程，电路称为二阶电路。
二阶电路过渡期的特性不同于一阶电路。
用经典的方法分析二阶电路的步骤为：（1）根据KVL ，KCL 及元件的VCR 写出以C u 或L i 为变量的二阶微分方程； （2）由(0)(0)C C u u -+=，(0)(0)L L i i -+=确定电路的初始状态，即得出(0),C C o du u dt++或(0),L L o di i dt++的值；（3）求出二阶微分方程的两个特征根1,2p p ，根据的不同取值1,2p p ，确定方程的齐次通解（也是电路的零输入响应），一般分为三种情况：()112p p ≠为两个不相等的实根（称过阻尼状态）通解=1212p t p tAe A e +()1,22p j δω=-±为共轭复根（称欠阻尼或衰减振荡状态）通解=sin()t Ae t δωβ-+ ()123p p p ==为相等实根（称临界状态）通解=12()pt A A t e +()4由激励源的函数形式确定方程的特解形式；()5由初始条件，确定12,A A 或,A β等待定常数，得出确定的解。
二阶电路的重点是掌握其在过渡期的三种状态及物理过程。
7-1 电路如图所示，开关未动作前电路已达稳态，t=0时开关S 打。
求000(0),(0),,,C L R C L du di di u i dtdtdt+++++。
解：这是一个求二阶电路初始值的问题，求法与一阶电路类似。
先求)0(-C u 和)0(-L i 。
t<0时，电路处于稳态，把电容断开，电感短路，电路如题解图（a ）所示。
由图（a ）得V6631236//6312)0(=⨯=+⨯=-c uA 2363)0()0(===--C L u i根据电容电压和电感电流的连续性，得V 6)0()0(==-+C C u uA 2)0()0(==-+L L i i画出+0等效电路如题解图（b ）所示。
由图（b ）可求得A 166126)0(12)0(=-=-=++C R u i121)0()0()0(0-=-=-==++++L R C Ci i i dtdu C242411)0(0-=-==++Ci dtdu C CV/s而 0236)0(3)0()0(0=⨯-=⨯-==++++L C L Li u u dtdi L所以 （a ） （b ） 题解7-1图0)0(0==++L u dtdi L LsA dt du u dt d dtdi CC R/4)24(6161)612(000=-⨯-=-=-=+++7-2图示电路中，电容原先已充电，,6)0(0V U u C ==-R=2.5Ω,L=0.25H,C=0.25F 。
试求 （1） 开关闭合后的);(),(t i t u C（2） 使电路在临界阻尼下放电，当L 和C 不变时，电阻R 应为何值。
解：（1）开关闭合后，电路的微分方程为022=++C CC u dt du RC dt u d LC初始条件为 V u u C C 6)0()0(==-+)0()0(0=-==+-+dtdu Ci i CL L以上二阶齐次方程的特征方程为012=++RCp LCp 方程的特征根为LC L R L R p 1)2(22-±-=3525.025.01)25.025.2(25.025.22±-=⨯-⨯±⨯-=即 835,23521-=--=-=+-=p p为两个不相等的实根，电路处于过阻尼状态。
微分方程的通解为tt t p t p C e A e A e A e A t u 82212121)(--+=+=带入初始值，得 08262121=--=+A A A A 解得 81=A 22-=A所以V e e t u tt C 8228)(---= A e e dt du Ct i t t CL )(4)(82---⨯=-=（2） 使电路在临界阻尼下放电，应满足01)2(2=-LC L R即Ω===225.025.022C L R7-3 已知图示电路中H L F C k R 5.2,2,1==Ω=μ。
设电容原先已充电，且V u C 10)0(=-。
在t=0时开关闭合。
试求)(),(),(t u t i t u L C 以及S 闭合后的max i 。
解：t>0后，电路的微分方程为022=++C CC u dt du RC dt u d LC方程的特征根为LC L R L R p 1)2(22-±-=4002001025.21)5.2210(5.22106233j ±-=⨯⨯-⨯±⨯-=-即 4002001j p +-= 4002002j p --=1p 和2p 为一对共轭复根，故电路处于欠阻尼或衰减振荡。
微分方程的通解为t CAe t u δ-=)()()sin(t t εθω+式中400=ω，200=δ，A 和θ为待定常数，由初始条件 V u u C C 10)0()0(==-+)0(0=-=++L C i dtdu C解得 10)0(sin ==+C u A θcos sin 0==+-+dtdu A A C θωθδ即︒====435.632arctan 200400arctan arctanδωθ18.1140020040010)()0(sin )0(2222=+⨯=+==++ωδωθC C u u A故V t e t u tC )435.63400sin(18.11)(200︒+=- 当t e t e L u dt du Ct i t tC C 400sin 10)sin()0()(200--+==-=ωωδmA)435.63400sin(18.11)sin()(200︒--=--=--t e t Ae t u t t L θωδV当0)()(==L t u dt t di L 时，即0=-θωt ，310768.2180400435.63-⨯=⨯⨯==πωθt s 时，电流达最大值142.5)310768.2400sin(10310768.2200max=-⨯⨯=-⨯⨯-e i mA 7-4 图示电路中开关S 闭合已久，t=0时S 打开。
求)(t u C ，)(t i L 。
解：t>0后,电路的微分方程为22=++L LL i dt di R L dt i d LC特征方程为012=++p R LLCp解得特征根LC RC RC p 1)21(212-±-=97.4910j ±-=即 97.491097.491021j p j p --=+-=为两个共轭复根，所以电路为振荡放电过程，其方程的通解为)sin()(θωδ+=-t Ae t i t L 式中10=δ，97.49=ω。
根据初始条件 1)0()0(==-+L L i i A ，00)0(==++dt di Lu LC可得 0cos sin 1sin =+-=θωθδθA A A解得︒====68.78997.4arctan 1097.49arctan arctanδωθ02.169.78sin 1sin 1=︒==θA故电感电流和电容电压分别为)68.7897.49sin(02.1)(10︒+=-t e t i tL At e t e LA dt di Lt u t u t t LL C 97.49sin 1.200sin )()(1022---=+-===ωωδδV7-5 电路如图所示，t=0时开关S 闭合，设0)0(=-C u ，0)0(=-i ，L=1H ，C=1μF ，U=100V 。
若：（1）电阻Ω=k R 3；（2）电阻Ω=k R 2；（3）Ω=200R 。
试分别求在上述电阻值时电路的电流I 和电压C u 。
解：t>0后，电路的微分方程为U u dt du RC dt u d LC CC =++22由题意知，电路的初始条件为0)0()0(==-+C C u u ，00)0(==++dt du Ci C因此，这是一个求二阶电路零状态响应的问题。
设)(t u C 的解答为 C C C u u u '''+=式中C u '为方程的特解，满足V 100'==U u C C u ''为对应的齐次方程的通解，其函数形式与特征根的值有关。
根据特征方程012=++RCp LCp可得LC L R L R p 1)2(22-±-= （1） 当Ω=3000R 时，有36210)118.15.1(1011)123000(123000⨯±-=⨯-⨯±⨯-=-p即 03.261897.38121-=-=p p 特征根为两个不相等的实数，电路处于非震荡放电过程，C u ''的形式为t t C e A e A u 03.2618297.3811''--+=根据初始条件，可得)03.261897.381(d d )0(0100)0('')0(')0(21021=--⨯===++===+++++A A C tu Ci A A u u u CC C C解得 17,11721=-=A A 所以电容电压 mA 17117100)(03.261897.381t tC e et u ----=（2） 当Ω=2R 时，有10001011)12102(121026233-=⨯-⨯⨯±⨯⨯-=-p即 100021-==p p 电路处于临界阻尼情况。
C u ''的形式为tC e t A A u 100021)(''-+=根据初始条件可得0100)0(1=+=+A u C 即 1001-=A[]01000d d )0(120=-⨯==++A A C tu Ci C C 即 5210-=A所以电容电压 V )10100(''')(10005tC C C et u u t u -+=+= 电流i 为A 100d d )(310t Cte t u Ct i -==（3） 当Ω=200R 时，有995j 1001011)12200(1220062±-=⨯-⨯±⨯-=-p 即 995j 1001+-=p 995j 1002--=p为两个共轭复根，可知电路处于震荡放电过程，即欠阻尼情况。
C u ''的形式为0sin 100)0(''=+=+θA u C[]0cos sin )0(=+-=+C A A i θωθδ解得 ︒===26.84100995arctan arctan δωθ5.10026.84sin 100sin 100-=︒-=-=θA故电容电压为)26.84995sin(5.100100''')(100︒+-=+=-t e u u t u tC C C 电流i 为A sin 1.0 sin d d )(100 22t e t e CA t u Ct i t t Cωωωδδ--=+==7-6 图示电路中mH 6,3=Ω=L R ，F 1μ=C ，V 120=U ，电路已处稳态。