带通∑—Δ调制器的双线性变换设计方法
数字信号处理第六章6 双线性变换法
1）线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不 然会产生畸变 分段常数型模拟滤波器 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器，但临界 频率点产生畸变
1 1 / T
2 tg
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1
1 1 c
数字信号处理
s1T
j
1T 2
e e
2 s1T 2
e e
s1T 2
s1T 2
e
s1 T 2
e
1 e 1 e
s1T s1T
1 z 1 z
1 1
z e
s1T
s
1 z 1 z
1 1
z
1 s 1 s
数字信号处理
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为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1 ，则
1 c tg
1
2
按 1设计模拟滤 波器，经双线性 变换后，即可得 到 1 为截止频率 的数字滤波器
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数字信号处理
6、模拟滤波器的数字化方法
H (z) H a (s) 1 z Ha c 1 1 z
频率有对应关系，引入系数 c
c tg 1T 2
1 z 1 z
1 1
s c
z
c s cs
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数字信号处理
2、变换常数c的选择
1）低频处有较确切的对应关系：
1T 1T 1 c tg c 2 2
s1T
双线性变换法
上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的 设计方法，其缺点是会产生频率响应的混叠失 真，这主要是因为从s平面到z平面的映射是多值 （多对一）的映射关系。双线性变换法就是从 克服混叠失真的角度出发，寻找从s平面到z平面 的单值映射关系。 其缩射是原的单s理1平值是面的先向，将z可s平平以面面很进进好行行的单压克值缩服映至频射s1率。平响由面应于，的这再混种将叠映压 失真，但值得注意的是，这种映射是非线性的
根据Ω和Ω1, ω的关系，由（5.21）式，及ω= Ω1T 的关系式可得到双线性变换法的模拟角频率Ω和 数字频率ω之间的变换关系为
c tan( )
2
(5.26)
它表示 是单值的一一对应的映射关系
关键频点的对应关系：
Ω
ω
∞
π
0
0
-∞
-π
12
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
上述对应关系优点：有效避免了频谱混叠
于数字滤波器的低频特性
7
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
2、选择c，使数字滤波器的某一特定频率
（如截止频率ωc=Ω1cT）与模拟滤波器的一 个特定频率Ωc=2fc严格对应，即
c
ctan( 1cT ) 2
ctan(c )
2
此时有
c
cctg
(c
2
)
这种选择的优点在于：在特定的模拟频率和特定 的数字频率处，有严格相等的频率响应，因而可 以较准确地控制截止频率的位置。
s
c
1 1
z z
1 1
c
1 1
e e
j j
j.c
tan(
)
2
双线性变换法原理的解释
s=
2 T
1 - z- 1 1 + z- 1
(5)
则可以直接从 H i (s) 得到对应的 H i (z )。
114 高阶连续时间系统的离散实现
由于一阶环节是高阶连续时间系统的最基本环
节, 若每个一阶环节都用式 (5) 进行了离散化, 则整
个系统都被离散化了。
至此 , 用双线性变换公式 (5) 设计数字滤波器
图 1 连续系统一阶环节
112 积分的数值计算与离散一阶系统
一次积分运算可以用梯形法作数值计算, 即
∫nT
y -∞
∫ ∫ (n- 1) T
nT
x (Σ) dΣ+
x (Σ) dΣ=
-∞
(n- 1) T
∫nT
y [ (n - 1) T ] +
x (Σ) dΣ
(n- 1) T
的原理就比较清晰了。
2 结束语
对于双线性变换法的原理还有其他一些重要的 概念需作介绍和讨论, 如连续时间角频率和离散时 间角频率之间的映射关系等, 一般在现有教材中均 有介绍, 此处不再叙述。
1 双线性变换原理的介绍
111 连续时间系统 H (s) 的最基本环节 连续时间系统 H (s) 的极点有两种情况: 单重节
点和多重节点。 但是一个多重极点环节可以看成由 多个单重极点环节级联构成, 例如对二重极点有
收稿日期: 2003- 11- 24; 修回日期: 2004- 01- 20 作者简介: 丁志中 (1961- ) , 男, 安徽省芜湖人, 硕士, 讲师, 主要从事信号分析与处理、通信等方面的教学与研究。
0 引言
随着M A TLAB 应用的普及, 本科生学习和掌 握数字滤波器设计的原理和方法已经逐渐成为广泛 的需求。 但是离散时间信号和系统的内容理论性较 强, 概念较抽象, 同时初学者对信号与系统中的许多 问题理解还不是很深入, 因此如何将数字滤波器设 计中一些问题的物理概念阐述得简单而清晰一些, 对于该部分内容的教学就显得更为重要。
用双线性变换法设计IIR
实验三 用双线性变换法设计IIR 滤波器一、实验目的1、了解两种工程上最常用的变换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法。
2、掌握双线性变换法设计IIR 滤波器的原理及具体设计方法，熟悉双线性法设计低通、带通和高通IIR 滤波器的计算机程序。
3、观察用双线性变换法设计的滤波器的品与特性，并与脉冲响应不变法相比较，了解双线性变换法的特点。
4、熟悉用双线性变换法涉及数字Butterworth 和Chebyshev 滤波器的全过程。
5、了解多项式呈几何多项式乘方运算的计算机变成方法。
二、实验原理与方法从模拟滤波器设计IIR 数字滤波器具有四种方法：微分—差分变换法、脉冲响应不变法、双线性变换法、匹配Z 变换法：在工程上常用的是其中两种：脉冲响应不变法、双线性变换法。
脉冲响应不变法需要经历如下步骤：由已知系统传输函数)(s H 计算系统冲激响应)(t h ：对)(t h 进行等间隔取样得到)()(nT h t h =,由)(t h 获得数字滤波器的系统响应)(z H 。
这种方法非常直观，其算法宗旨是保证所设计的IIR 滤波器的脉冲响应和响应模拟滤波器的冲激响应在采样个点上完全一致。
而双线性变换法的设计准则是使数字滤波器的频率响应与参考模拟滤波器的频率响应相似。
脉冲响应不变法一个重要的特点是频率坐标的变换式现行的，其缺点是有频谱的周期延拓效应，存在频谱混淆的现象。
为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混淆，提出了双线性变换法，它依靠双线性变换式：ss z z z s -+=+-=--11,1111 其中，jwre z j s =Ω+=,σ 建立起s 平面和z 平面的单值映射关系，数字频域和模拟频域之间的关系：Ω==Ωarctg w w tg 2),2( （3—1）由上面的关系式可知,当∞>-Ω时，w 中止在折叠频率π=w 处，整个Ωj 周单值的对应于单位圆的一周。
因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，不存在频谱混淆的问题。
带通调制 基本方法
带通调制基本方法带通调制是一种将模拟信号转换为数字信号的方法，它在通信领域中被广泛应用。
带通调制的基本方法有多种，其中包括正交振幅调制（QAM）、频移键控（FSK）、调频（FM）和调相（PM）等。
1. 正交振幅调制（QAM）正交振幅调制是一种将模拟信号转换为数字信号的调制技术。
它利用正交相移键控（PSK）和正交振幅调制（ASK）的组合，将信号分解为不同的子载波，并通过改变每个子载波的振幅和相位来传输信息。
QAM的信号构成是一个复杂的星座图，其中每个星点代表一种独特的信息组合。
2. 频移键控（FSK）频移键控是一种将数字信号转换为模拟信号的调制技术。
它通过改变载波的频率来传递数字信息。
在FSK中，两个不同的频率分别代表二进制的0和1。
发送端通过切换不同的载波频率来发送数字信息，接收端则需要解调接收到的信号来恢复原始的数字信息。
3. 调频（FM）调频是一种将模拟信号转换为模拟信号的调制技术。
它通过改变载波的频率来传输模拟信号。
在调频中，模拟信号的幅度被认为是恒定的，而载波的频率则随着模拟信号的变化而变化。
这种调制技术通常用于广播电台和音频传输领域。
4. 调相（PM）调相是一种将模拟信号转换为模拟信号的调制技术。
它通过改变载波相位来传输模拟信号。
在调相中，模拟信号的幅度和频率被认为是恒定的，而载波的相位则随着模拟信号的变化而变化。
这种调制技术通常用于通信领域中要求较小带宽的应用，如调频电视和微波通信等。
以上是带通调制的一些基本方法。
不同的调制方法适用于不同的应用场景，选择合适的调制方法能够提高信号传输的效率和质量。
带通调制在现代通信领域中扮演着重要的角色，对于实现高速、高可靠性的数据传输具有重要作用。
利用双线性变换法设计数字带通滤波器
西安邮电大学数字信号处理课内上机报告专业班级： 学生姓名： 学号(班内序号):年 月 日——————————————————————————装订线————————————————————————————————报告份数：题目：设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3pi rad到0.4pi，通带最大衰减为3db，阻带最小衰减为18db，0.2pi 以下和0.5pi以上范围为阻带。
采用切比雪夫型，利用双线性变换法设计之源程序％所设计的数字滤波器的指标Ts = 0.1，Fs=1/Ts，Rp = 3，Rs = 18;wp1=0.3*pi，wp2=0.4*pi;ws1=0.2*pi，ws2=0.5*pi;％频率的预畸变Wp1=(2/T)*tan(wp1/2);Wp2=(2/T)*tan(wp2/2);Wp=[Wp1,Wp2]; ％模拟滤波器的通带截止频率Ws1=(2/T)*tan(ws1/2);Ws2=(2/T)*tan(ws2/2);Ws=[Ws1,Ws2]; ％模拟滤波器的阻带截止频率BW=Ws2-Ws1; ％模拟滤波器的带宽% BW=Wp2-Wp1;Omegaw0=sqrt(Ws1*Ws2); ％模拟滤波器的中心频率% Omegaw0=sqrt(Wp1*Wp2);％求模拟低通滤波器的阶数与边缘频率[N,OmegaC]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');%[N,OmegaC]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')％求切比雪夫模拟低通滤波器的零、极点与增益[z0,p0,k0]=cheb2ap(N,Rs);%[z0,p0,k0]=cheb1ap(N,Rp);%设计归一化的模拟原型带通滤波器%求原型滤波器的分子系数AnalogB=k0*real(poly(z0));%求原型滤波器的分母系数AnalogA=real(poly(p0));%模拟低通到模拟带通的分子、分母系数的变换[BandB,BandA]=lp2bp(AnalogB,AnalogA,Omegaw0,BW);%双线性变换：模拟带通与数字带通的分子分母系数的变换[DigitalB,DigitalA] = bilinear(BandB,BandA,Fs);%变为二阶节级联结构[sos,G] = tf2sos(DigitalB,DigitalA);%求数字带通滤波器的幅频、相频特性、及其群延迟％求数字带通滤波器的幅频特性[Hz,Wz]=freqz(DigitalB,DigitalA,1024,'whole');％将数字带通滤波器的幅频特性转化为分贝表示dbHz=20*log10((abs(Hz)+eps)/max(abs(Hz)));％求数字带通滤波器的相频特性φ＝angle(Hz)％求数字带通滤波器的群延迟特性grd = grpdelay(DigitalB,DigitalA,Wz);％作图subplot(2,3,1);plot(Wz/pi,abs(Hz));title('幅频响应');xlabel(''),ylabel('幅度:|Hz|');axis([0,1,0,1.1]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]);grid; subplot(2,3,4);plot(Wz/pi,dbHz);title('模值(dB)');xlabel('频率（单位：\pi）');ylabel('分贝（dB）');axis([0,1,-40,5]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]);set(gca,'YTickmode','manual','YTick',[-50,-30,-2,0]);set(gca,'YTickLabelMode','manual','YTickLabels',['50';'30';' 2';' 0']);grid; subplot(2,3,2);plot(Wz/pi,angle(Hz)/pi);title('相频响应');xlabel('');ylabel('单位：\pi ');axis([0,1,-1,1]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]);grid; subplot(2,3,5);title(零极点图');ylabel('单位：\dB');xlabel('单位：\pi ');zplane(DigitalB,DigitalA);axis([-1.1,1.1,-1.1,1.1]);subplot(2,3,3); plot(Wz/pi,grd); title('群延迟')xlabel('频率（单位：\pi）'); ylabel('样本'); axis([0,1,0,8])set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]); %画高刻度线set(gca,'YTickmode','manual','YTick',[0:0.5:10]); gridset(gcf,'color','w') % 置图形背景色为白色幅频响应幅度:|H z|模值(dB)频率：（单位：π）分贝（d B）相频响应单位:πReal PartI m a g i n a r y P a r t群延迟频率（单位：pi ）样本Chebyshev II 型IIR 数字带通滤波器幅频响应幅度:|H z|模值(dB)频率：（单位：π）分贝（d B）相频响应单位:πReal PartI m a g i n a r y P a r t群延迟频率（单位：pi ）样本Chebyshev I 型 IIR 带通滤波器指导教师评语：实 验 成 绩: 指导(辅导)教师 :——————————————————————————装订线————————————————————————————————。
∑-Δ调制器
ΔΣ调制图1－一阶ΔΣ调制器的方块图∑-△模数转换器的工作原理简单的讲，就是将模数转换过后的数字量再做一次窄带低通滤波处理。
当模拟量进入转换器后，先在调制器中做求积处理，并将模拟量转为数字量，在这个过程中会产生一定的量化噪声，这种噪声将影响到输出结果，因此，采用将转换过的数字量以较低的频率一位一位地传送到输出端，同时在这之间加一级低通滤波器的方法，就可将量化噪声过滤掉，从而得到一组精确的数字量Delta-Sigma(ΔΣ)调制（或称Sigma-Delta(ΣΔ)调制、SDM，中文译作三角积分调制）是把高分辨率信号用脉冲密度调制编码为低分辨率信号的一种方法，推导自delta调制原理的类比至数字或是数字至类比转换技术。
ADC或是DAC可借由低成本的CMOS制程实现此一技术，也就是像数字IC一样的制程。
基于上述理由，即便本技术早在1960年代已经提出，但是要到近年来由于半导体技术精进才得以普遍的使用。
几乎所有的类比IC制造商都有提供Sigma-Delta转换器产品。
原理图2－二阶ΔΣ调制器的方块图ADC可被认为是一个压控震荡器，控制电压为被测量的电压，线性和比例性由负回授决定。
振荡器输出为一个脉冲串，每个脉冲为已知，常量，幅度=V且持续时间为dt，因此有一个已知的积分=Vdt但是变化的分离间隔。
脉冲的间隔由回授电路决定，所以一个低输入电压产出一个脉冲间的长间隔；而一个高输入电压产生一个短间隔。
实际上，忽略开关错误，脉冲间的间隔与该间隔内输入电压的平均成反比，因此在该间隔ts内，是一个平均输入电压的样本，与v/ts成正比。
最终的输出数是输入电压（该电压由脉冲计数决定）的数字化在一个固定加总间隔=Ndt产出一个计数，Σ。
脉冲串的积分为ΣVdt其在时间间隔Ndt内被生成，因此输入电压在加总周期内的平均为VΣ/N，而且是平均的平均所以只遭受很小的变化。
达成的精度取决于已知V的精度和一个计数内N的精度及分辨率。
课程方案(设计方案)双线性变换法IIR数字带通滤波器方案
郑州轻工业学院课程设计说明书题目:姓名：院< 系）：专业班级:学号：指导教师:成绩:时间：年月日至年月曰郑州轻工业学院课程设计任务书题目基于双线性变换法的IIR数字高通滤波器设计专业、班级电子信息工程08级2班学号姓名主要内容、基本要求、主要参考资料等：主要内容：首先依据给定的性能指标，采用双线性变换法设计IIR数字高通滤波器；然后利用MATLAB软件的wavread函数读取.wav格式的语音信号，并利用所设计的滤波器对音频信号进行滤波处理，画出滤波前后信号的时域波形及频谱；最后回放语音信号，分析滤波前后的语音变化。
基本要求：1滤波器技术指标为：f p=3200Hz。
A p=1dB。
f s=3000Hz。
A s=100dB2、采用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器；3、掌握利用wavread函数读取.wav格式语音信号的方法；4、对语音信号进行滤波，并画出滤波前后信号的时域波形及频谱；5、回放语音信号，分析滤波前后的语音变化。
主要参考资料：1、从玉良•数字信号处理原理及其MATLAB实现[M].北京：电子工业出版社.2009.72、胡广书.数字信号处理理论、算法与实现[M].北京：清华大学出版社.2003,8完成期限：2018624— 2018628指导教师签名：课程负责人签名：2018年6月24日摘要随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域。
在数字信号处理中起着重要的作用并已获得广泛应用的是数字滤波器＜DF, DigitalFilter ）。
数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。
本次主要利用matlab的信号处理工具箱设计一个数字高通IIR滤波器，并用此滤波器处理一段音频信号。
文中主要介绍了用双线性变换法设计切比雪夫I型高通数字滤波器的实现方法。
关键字：数字信号处理数字滤波器切比雪夫I双线性变换MATLAB1数字滤波器1.1数字滤波器介绍数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置，其输入、输出均为数字信号，实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。
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方面 ， 在测 量 、 线 电通 信 以及 其 它 许 多 应 用 中 ， 无
往往需 要 工作 在 较 高 的 中心 频 率 ， 信号 的有 用 带 但
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国 轧 技 ２２ 第５ ０年 期 ０
文 章 编 号 ：０ １—８ ３ ２ ０ ０ １０ ９ Ｘ（０ ２） ５—０ ５ ０ ５—０ ４
ＲＳＡＣ ＆ ＥＥＯＭ开Ｆ ＥＥＲｔ ＤＶｌ究Ｅ发 ｔ 与Ｎ 研 Ｐ
带通 ∑一△调制 器的双 线性 变换设 计方法
ｐ ｏ ｌｍ ｆｓａ ｌｔ ｆｍｏ ｕ ａｏ ｓ ｄｓ ｕ ｓ ｄ．Ｆ ｎ ｌｙ ｃ ｍｐ ｔｒｓｍｕ ａｉｎ ｒ ｓ ｌ ｙ ｕ ｉ ｆＭＡＴＬ ｒｂ ｅ ｏ ｔｂｉ ｙ ｏ ｄ ｌｔｒｉ ｉｃ ｓ ｅ ｉ ｉ ａｌ ｏ ｕ ｅ ｉ ｌｔｏ ｅ ｕｔｂ ｓｎｇｏ ＡＢ ｓｇｖ ｎ． ｉ ｉｅ
制器 能 获得较 高 的量 化 信 噪 比 ， 求 具 比 ， 当工 作频 率 较 高 时就 要 求 使 用 很 高 的抽 样
频率 ， 就 限制 了 这 种 调 制 器 使 用 的频 率 范 围。另 这
一
随 着数 字技 术 的发 展 ， ∑一△模／ （ ／ ） 换 技 数 ＡＤ 转 术 由 于能取 得 很高 的转 换 精度 ， 制 造容 易 、 且 价格 低 廉， 目前 已在低 频 和音 频范 围内获 得 了广 泛 的应 用 。
刘 益 成
（ 汉 石 油 学 院 ，湖 北 荆 洲 ４ ４ ０ ） 江 ３ １２
摘 要 ： 文 论述 了带通 式 ∑一△调 制 器的 双 线 性 变换 设 计 方法 ， 过 线 性 化 的 插 入 式 网络 分 析技 本 通
术 ， 带 通 式 ∑一△调 制 器的设 计 问题 转 化 为 了 Ｉ 将 Ｉ Ｒ带 阻数 字 滤波 器的 设 计 问题 。文 章 给 出 了该 方
ｓｇ ｉ ｇ ｐ ｏ ｅ ｕ ｅ ｒ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ，ｔ ｅ ｇ ｎｅａ ｉｇ ａ ｄ ｔｓｉ ｔ ｏ ｓ ｏ ｂｔ∑ 一Ａ ｏ ｅ ａｅ ｅ ｐａｎ ｄ，ｔ ｅ ｉ ｎ ｒｃ ｄ ｒｓ ａ ｅ ｉｔｏ ｕ ｅ ｎ ｈ ｅ ｒｔｎ ｎ ｅ ｔ ｎｇ ｍｅｈ ｄ ｆ １ ｉ ｃ ｒ ｘ ｌｉｅ ｄ ｈ
法的 原理 和设 计 步骤 ， 对 一位 ∑一△代 码 的产 生和 检 验方 法 以及 调 制 器 的稳 定性 问题进 行 了说 明 并
和讨论 ， 最后 给 出 了利 用 Ｍ ｔ ｂ的计 算机 仿 真 结果 ， 果 表 明 ， 方 法 简单 可 靠 ， 于计 算杌 仿 真 和 ａａ ｌ 结 该 便
ｃ ｎ ｅ ｅ ｏ ｔ ｅ ｄ ｓｇ ｒｂ ｅ ｏ Ｉ ｓｏ ｂ ｎ ｉｉ ｌｆｌ ｒｐｒｂｅ ． Ｔ ｅ ｐ ｎ ｉ ｌ ｆｔｉ ｅｈｏ ｎ ｔ ｅ ｏ ｖ ｒ ｄ ｔ ｈ ｅ ｉ ｐ ｏ ｌｍ ｆＩＲ ｔｐ ａ ｄ ｄｇｔ ｔ ｏ ｌｍ ｔ ｎ ａ ｉ ｅ ｈ ｒ ｃｐ ｅ ｏ ｈ ｓｍ ｔ ｄ ａ ｄ ｉｓｄ — ｉ
宽却 很 窄 ， 如果采 用低 通 型 ∑一△调 制器 ， 为要 求 因 的抽 样频 率 太 高而不 能 实现 。此 时 可采 用所 谓 带通
检 验 ， 大大加 快 带通 ∑一△调 制 器的设 计过 程 。 可 关键 词 ： 数 转换 器 ； 模／ ∑一△调 制 器 ；带 阻滤 波 器 ；过 采样 ；双线 性 变换 ；Ｍａ ａ ｔ ｂ仿 真 ｌ
中 图 分 类 号 ：Ｎ ６ Ｔ ７１ 文 献标 识 码 ： Ａ
Ａ ｎ ｐ ｓ ∑ 一 Ａ ｏ ｕ ａ ｏ ｓｇ ｅ ｈ ｄ Ｂａ ｅ Ｂａ ｄ ａ ｓ Ｍ ｄ ｌ ｔ ｒ Ｄｅ ｉ ｎ Ｍ ｔ ｏ ｓ ｄ ｏ ｌｎ ａ ａ ｓ ｏ ｍ ｎ Ｂｉ ｅ ｒ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ｉ
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