电路分析基础第七章__二阶电路
电路PPT课件第7章 二阶电路
| duC
dt
t=0 = – 2K1 – 4K2 = –iLC—(0)= 4
2 0
联立 K1 + K2 = 2 – 2K1 – 4K2 = 4
解得 K1 = 6，K2 = – 4
uC(t) = 6e -2t – 4e - 4t V t≥0
-4 iL
4
iL(t)
=
iC(t)
=
C
duC dt
1 0
= – 3e -2t + 4e - 4t t≥0
1. 列出 RLC电路的微分方程
VCR：
i=
C
duC dt
uL
=
L
di dt
KVL： uL + uR+ uC = uS
有
L
di dt
+ Ri + uC = uS
iR +
uS
-
L
+
C u- C
整理
LC
d2uC dt 2
+ RC
duC dt
+ uC =
uS
两个初始条件 uC(0) = ?
求零输入响应 uS = 0
-3
uC(0) = 2V iL(0) = 1A
t
t
例1：已知图示电路中t ≥ 0时1 u1S = 0 R = 3 L = 2 H
C = 4 F uC(0) = 2V iL(0) = 1A 求: uC(t)及iL(t) t≥0
iR +
uS
-
L
+
C u- C
解:（2）不列微分方程
阻尼电阻 Rd＝2
L = 2.828 C
R ＞ Rd 过阻尼情况
第七章 二阶电路
i ( t ) = A1 e
(b)当 α = ω 0 ( R = 2
+ A2 e
s2 t
过阻尼
L ), s 1 = s 2 = - α , 为 二 重 实 根 ： C
i ( t ) = ( A + Bt )e − α t
(c)当 α < ω 0 ( R < 2 L ), s 1,2 = - α ± C
———— 二阶非齐次微分方程 一般形式： 一般形式：
d2y dy + a1 + a0 y = f ( t ) 2 dt dt
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程： ，方程变为齐次方程： 当电路没有输入激励时有
d2y dy + a1 + a0 y = 0 2 dt dt
相应的解为零输入响应。 相应的解为零输入响应。
di uL (0 + ) = L dt
t = 0+
= U0
di dt
t = 0+
U0 = L
表达式代入并令t=0 将i(t)表达式代入并令 + 有： 表达式代入并令
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得： ①②联立得： 联立得
————② ②
A1 = − A2 =
U0 L ( s1 − s 2 )
di 2 − 4 i1 + + 4 i2 = 0 dt
---- ②
1 d i2 i1 = ( + 4 i2 ) 4 dt
1 d 2 i2 ′ i 1′ = ( + 4 i2 ) 2 4 dt
----③ ③ ----④ ④
d 2 i2 di 2 + 10 + 19 i 2 = 2 u s ( t ) 16 2 dt dt
电路分析课件-二阶电路
+
R
-C
L
(2) R 2 L C
P R ( R )2 1 2L 2L LC
特徵根為一對共軛複根
令： R (衰减系数)
2L
0
1 (谐振角频率) LC
则
2 0
2
(固有振荡角频率)
P j
uc的解答形式： uc A1e p1t A2e p2t e (t)( A1e jt A2e jt )
1 ，
LC
2
uc U0 sin(t 900 ) uL
i U0 sint L
+
-C
t
等幅振盪
L
(3) R 2 L C
P1
P2
R 2L
uc A1e t A2te t
由初始条件duc dt
uc (0 ) U0 A1 U0
(0 ) 0 A1( ) A2
0
解出：
A1 A2
(4)定常數
1 Asin 2
iL (0 )
100 A cos
100Asin
0
uL (0 )
45
A 2
iL 1 2e100t sin(100 t 45 )
50 W
50 V
R iR
0.5H L C
100 μF
iL
iC
(5)求iR
iR iL iC
iL
LC
d2iL dt 2
或設解答形式為： iR 1 Ae100t sin(100t )
A
2
小結：
(1)二階電路含兩個動態元件，用二階常微分方程描述。
(2)二階電路的性質取決於特徵根，特徵根取決於電路 的結構和參數，與激勵和初值無關。
电路分析第7章 二阶电路1
根据 uC(0－) = uC(0＋) ＝10V
i(0－) = i(0＋) = 0
uC (0) K sin 10 i(0) duC K ( sin d cos ) 0 t=0 = dt C
arctan(
uC 10.33e 0.5t sin( .94t 75.5)V t 0 1
d 1.94 ) arctan( ) 75.5 K 10.33, 0.5
i 2.6e 0.5t [1.94cos( .94t 75.5) 0.5 sin( .94t 75.5)]A20 t 0 1 1
t1 t2 t3 iL uC
欠阻尼衰减振荡
电量
uC
t1时间段 减小 增大
uC ( K 1 K 2t )e s1t ( K 1 K 2t )e 2t
根据 uC(0－) = uC(0＋)＝ 10V i(0－) = i(0＋) = 0 duC dt i(0) t=0 = C
duC K 2e 2 t 2( K1 K 2 t )e 2 t dt
K1=10
s1.2 0.5 0.5 4 0.5 j1.94
L R 1 Rd 2 4 C
两个共轭复根 欠阻尼
19
解：（3）R = 1 s1, s2 0.5 j0.5 15 0.5 j1.94 uC(t) = e-t [K1cosd t + K2sind t] uC Ke t sin( d t ) Ke 0.5t sin( .94t ) 1 – 衰减因子 d – 衰减振荡角频率
uC uL uR 0
1 2 1 2 w( t ) Li ( t ) CuC ( t ) 2 2
电路(第七章 二阶电路)
uC (t ) e 3t (3 cos 4t 4 sin 4t ) 5e3t cos(4t 53.1o )V (t 0)
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电路分析基础
电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC iL (t ) C 0.04e 3t (7 cos 4t 24 sin 4t ) dt 3t o
uC (0 ) K1 3
t 0
3 3 5 3 j4 2L 2 L LC
利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:
解得 K1=3和K2=4。 电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC (t ) dtຫໍສະໝຸດ i L (0 ) 3K1 4 K 2 7 C
Im
iL(t)
T 4 T 2
3T 4
o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 Im
返 回
T
t
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电路分析基础
LC振荡回路的能量
LC回路的总瞬时储能
LC回路的初始储能
1 2 1 2 w(t ) Li (t ) Cu (t ) 2 2 1 1 2 2 (sin t cos t ) (J) 2 2
LC d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
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电路分析基础
LC
d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 求解该方程必须有条件： d uC i t i 0 uC 0 0 0 dt C C 为了得到电路的零输入响应，令uOC=0，得二阶齐次微分方程 d 2 uC d uC 根据一阶微分方程的求解 LC RC u 0 C 经验可假定齐次方程的解 dt dt2
电路分析-二阶电路
i(t) C
t
t=0
=
i(0) =?
C
t
iR +
uS
-
L +
C uC
-
两个初始条件 uS = 0 ，uC(0) = ?
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
设 解为 uC(t) = Kest 代入微分方程
d2u LC Cdt2
+
RC
duC d
+
uC
=
0
LCs2Kest + RCsKtest + Kest = 0
=0
i +
uS
-
R
i=
C
duC dt
L +
C uC
-
LC
d2i dt2
+ RC
di d
+i=0
s1 = -2 s2 = -4
t
1 8
d2i dt2
+
3 4
d di
+i=0
d2i dt2
+6
di d
+ 8i = 0
t
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
例 解：(2) 若以iL(t)为求解变量 i R
( LCs2 + RCs + 1 ) Kest = 0
特征方程 LCs2 + RCs + 1 =
特 征0方 程 的 根 （ 固 有 频 率 ）
ax2 + bx +c = 0
- RC (RC)2 s1、 2= ± 24LLC
= -
R 2L
±
(
R 2L
)2
-
第7章 二阶电路分析
③ 欠阻尼情况
电路的固有频率s 当 R < 2 L 时，电路的固有频率 1，s2为为两个共轭复 数根， 数根，它们可以表示为
C
R 1 R 2 s1， = − ± − = −α ± j ω0 −α 2 = −α ± jωd 2 2L 2L LC
其中
2
R α= 2L 1 ω0 = LC
第7章
二阶电路分析
● 二阶电路：由一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程描述的电路。 二阶电路：由一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程描述的电路。 电路中含有两个储能元件（一个L 和一个C；或两个独立 独立的 或两个独立 ● 电路中含有两个储能元件（一个 和一个 ；或两个独立的L 或两个独立 的C）。所谓独立，就是两个 不能串联或并联，或在电路中与电流源构成 ）。所谓独立， ）。所谓独立 就是两个L 不能串联或并联， 回路；两个 不能串联或并联，或在电路中与电压源构成回路。否则， 回路；两个C 不能串联或并联，或在电路中与电压源构成回路。否则，仍属 一阶电路。 一阶电路。 二阶电路的分析问题是求解二阶微分方程或一阶联立微分方程的问题。 ● 二阶电路的分析问题是求解二阶微分方程或一阶联立微分方程的问题。与 一阶电路不同的是， 的形式。 一阶电路不同的是，这类电路的响应可能出现 振荡 的形式。
2 1
2 2
由初始条件i 确定常数K 由初始条件 L(0)和uC(0)确定常数 1，K2后，得到电容 和 确定常数 电压的零输入响应，再利用 电压的零输入响应，再利用KCL和VCR方程得到电感电流 和 方程得到电感电流 的零输入响应。 的零输入响应。
图7-6
RLC二阶电 二阶电 路的零输入 响应的形式 与其固有频 与其固有频 密切相关， 率密切相关， 我们将响应 的几种情况 画在图7－ 画在图 －6 上。
电路(第七章 二阶电路)讲解
L时， C
s1、s2为不相等的负实数。过阻尼
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2 es2t
（2）当 R 2 1 时，即R 2 L时， s1、s2为相等的负实数。临界
2L LC
C
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2t es2t
若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。 储能终将被电阻消耗完 。称为阻尼振荡或衰减振荡。
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电路分析基础
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
+ uR- C i
含阻源 网+- u电 络OCR
+ uC-
+ uL
-
L
列KVL方程
i C d uC dt
uR
Ri
RC
d uC dt
（2）当uc下降到零的瞬间，uL也为零，i的变化率也为零，i达 到最大值I，储能全部转入到电感中。
（3）uc=0时，但它的变化率不为零，i将从I逐渐减小，C又被 充电，但充电的方向与以前相反。
储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。
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电路分析基础
-
（4）当i下降到零瞬间，能量又再度
电路分析基础
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-4 GCL并联电路的分析
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电路分析基础
本章教学要求
1、了解二阶电路的基本概念； 2、了解二阶电路的一般分析方法。
重点 RLC串联二阶电路的全响应
上述过程将不断地重复进行。
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第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
四. 几个简单f(t)的象函数as dt dt e L ee e ta s stat at−===−−∞−∞∫∫−−1][.3)(00()()()()1][.100000====∫∫∫+−+−−−−∞dt t dt t dt t L e et ststδδδδ()()sdt dt t L eet stst1][.200===−∞−∞∫∫−−εεℒℒℒ说明：拉普拉斯变换将时域中的微分运算变成了复频域中算子s 与象函数的乘法运算。
)0(0)(),()]([−−==f t t f s F t f L 时的初值为在且若()()()()()()()）（−−∞−−∞∞−−∞−=+−=−−==∫∫∫−−−−0]00[)(][][0000f s sFdte tf s f dtes t f t f edtedtt dfdtt dfL stststst二﹑微分性质：证明：()())0(][−−=f s sF dtt df L 则∫∫−=vduuv udv 分部积分公式ℒℒℒ三﹑积分性质：说明：拉普拉斯变换将时域中的积分运算变成了复频域中算子s 与象函数的除法运算。
∫==ts F sdt t f L s F t f L 0)(1])([),()]([则有若()()()()()00,,0===−−∫h t f dtt dh dt t f t h t且则设()()()][0)]([][t h L s h t h L s dtt dh L ×=−×=−由微分性质有：()()()()s F st f L s dt t dh L s t h L 1][1][1][===∴∫=t s F sdt t f L 0)(1])([即有：ℒℒℒℒℒℒℒ四﹑延迟性质：0[()](),[()]()st L f t F s L f t t eF s −=−=若则有例5. 求矩形脉冲f(t)=A{ε(t)-ε(t-t 0)}的象函数。
解：()()()())1(11][][][)]([τττεετεεs s e sA e s A s A t L A t L A t t L A t f L −−−=⋅−⋅=−×−×=−−×=f(t)τtAℒℒℒℒ、n、、i p s s F k ip s i i L 321))((=−==122112121()()n n nn n n s F s s p s p s p p s p AAAAA−−+=++++−−−−−LL )(lim)(22s F n p s Anp S n −→=)]([lim )(21s F n dsdp s An p S n −→=1. 二重根情况:AA n 11−L L 其中系数的求法与前面相同。
()()kk S p k s p F s A ==−即有1,,2,1−=n k L L 具有重根若0=)(s D 22. n 重根情况:p s a s a s a s F nmm m )()(11−10−+⋅⋅⋅++=nnn n p s K p s K p s K p s K s F )()()()(111−11−12112111−+−+⋅⋅⋅+−+−=1=11−=pS nn s F p s K )]()[(1=11−1−=ps nn s F p s dsd K )]()([1=1222−1−21=ps n n s F p s dsd K )]()(1(−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+===→−S S s s ds d s F ds d s A()212)(lim 023023=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+===→S S s s s F s A5)1(2)]([!11lim 02322=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⋅==→S S s s ds d s F s dsd A例8)1(2!21)]([!21lim 0222322021=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=⋅==→S S s s dsd s F s ds d A()32232322221212112581318)1(1)(ss s s s ss s s s s F AAAAA+++−+−−=+++−+−=()()()())58(38!1325838213t t e t tt te e t f ttt++++−=−++++−=∴−()()atn nen t a s −−−+!1)(11的原函数为查表得：相量形式KCL 、KVL 元件→复阻抗、复导纳相量形式电路模型U u Ii &&→→7.2.2运算电路I Z U&&=基尔霍夫定律的时域表示：∑=0(t)i ∑=0(t)u 基尔霍夫定律的相量表示：∑=0I &0=∑U &相量法：1.电路定律的运算形式（复频域形式）电路定律的运算形式：)()()()(s I t i s U t u →→元件→运算阻抗、运算导纳运算形式的KCL 、KVL运算形式电路模型)()()(s I s Z s U =∑=0)I(s 0)(=∑s U 运算法与相量法的基本思想类似：①把时间函数变换为对应的象函数②把微积分方程变换为以象函数为变量的线性代数方程目的：直接由复频域形式的电路定律和复频域形式的电路模型列写复频域电路方程。
二﹑欧姆定律的运算形式（复频域形式）1. R ﹑L ﹑C 三元件的运算电路①电阻的运算电路U(s)=RI(s)拉氏变换u(t)=Ri(t)u (t )i (t )R+-时域电路U (s )I (s)R+-运算电路②电感的运算电路i (t )u (t )L+-时域电路tt i Lt u d d )()(=拉氏变换)]0()([)(−−=i s sI L s U )0()()(−−=Li s sLI s U sL I (s )U (s)+-+-Li(0-)运算电路附加电源运算感抗②电容的运算电路拉氏变换()()su s I sc s U −+=01)(运算电路附加电源运算容抗时域电路i (t )u (t )C+-()()()∫−−+=tu dt t i ct u 001I (s )U (s)+-+-()s u −0sc12．R ﹑C ﹑L 串联电路的运算阻抗0)0(,0)0(≠−≠−CLu i 设()s I RsL +_()s U _+_+()−0L Li sC1()su C−0运算电路()su s I sC sL R s U C L Li −+−−++=0)0()()1()(()su Lis U s I s Z C L−−−+=0)0()()()(()t i LCR+_()t u 时域电路+u c(t)－()s I RsL +_()s U _+_+()−0L Li sC1()su C−0sCsL R s Z /1)(++=运算阻抗：()s Z s Y 1)(=运算导纳：()su Lis U s I s Z C L−−−+=0)0()()()(3. 运算形式的欧姆定律运算形式的欧姆定律三﹑独立电源及受控电源的运算电路独立电源的运算电路+－U(s)=A/s+－u(t)=Ai(t)=δ(t)I(s)=1四﹑运算电路模型时域电路中所有变量、激励源、受控源都用其象函数表示，电路元件都用运算阻抗（或运算导纳）及相应的附加电源表示，所得到的电路模型称为运算电路模型。
1. 电压、电流用象函数形式2. 元件用运算阻抗或运算导纳3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示VCR 运算形式)(:1=∑=bk ks I KCL 运算形式0)(:1=∑=bk ks U KVL 运算形式因而可将电阻电路中各种分析方法应用于运算电路中。
7.2.3 应用拉普拉斯变换法分析线性电路求解步骤：1. 求初始值:由换路前的电路求());0(0−−i L C u 和2.画运算电路:根据各元件的运算模型将换路后时域电路转化为运算电路;3.求频域解: 在运算电路中应用各种解题方法列代数方程解得象函数F(s);4.反变换得时域解: 将F(s)部分分式展开后求得原函数f(t)。
RL Us+_()t u C CS(t=0)()t i L 已知：R=40Ω, L=0.5H, C=50μF, Us=40V, ()Vu C 200=−求: 开关闭合后u c (t)的变化规律。