第七章 二阶电路
第七章 二阶电路
i ( t ) = A1 e
(b)当 α = ω 0 ( R = 2
+ A2 e
s2 t
过阻尼
L ), s 1 = s 2 = - α , 为 二 重 实 根 ： C
i ( t ) = ( A + Bt )e − α t
(c)当 α < ω 0 ( R < 2 L ), s 1,2 = - α ± C
———— 二阶非齐次微分方程 一般形式： 一般形式：
d2y dy + a1 + a0 y = f ( t ) 2 dt dt
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程： ，方程变为齐次方程： 当电路没有输入激励时有
d2y dy + a1 + a0 y = 0 2 dt dt
相应的解为零输入响应。 相应的解为零输入响应。
di uL (0 + ) = L dt
t = 0+
= U0
di dt
t = 0+
U0 = L
表达式代入并令t=0 将i(t)表达式代入并令 + 有： 表达式代入并令
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得： ①②联立得： 联立得
————② ②
A1 = − A2 =
U0 L ( s1 − s 2 )
di 2 − 4 i1 + + 4 i2 = 0 dt
---- ②
1 d i2 i1 = ( + 4 i2 ) 4 dt
1 d 2 i2 ′ i 1′ = ( + 4 i2 ) 2 4 dt
----③ ③ ----④ ④
d 2 i2 di 2 + 10 + 19 i 2 = 2 u s ( t ) 16 2 dt dt
电路(第七章 二阶电路)
uC (t ) e 3t (3 cos 4t 4 sin 4t ) 5e3t cos(4t 53.1o )V (t 0)
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电路分析基础
电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC iL (t ) C 0.04e 3t (7 cos 4t 24 sin 4t ) dt 3t o
uC (0 ) K1 3
t 0
3 3 5 3 j4 2L 2 L LC
利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:
解得 K1=3和K2=4。 电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC (t ) dtຫໍສະໝຸດ i L (0 ) 3K1 4 K 2 7 C
Im
iL(t)
T 4 T 2
3T 4
o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 Im
返 回
T
t
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电路分析基础
LC振荡回路的能量
LC回路的总瞬时储能
LC回路的初始储能
1 2 1 2 w(t ) Li (t ) Cu (t ) 2 2 1 1 2 2 (sin t cos t ) (J) 2 2
LC d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
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电路分析基础
LC
d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 求解该方程必须有条件： d uC i t i 0 uC 0 0 0 dt C C 为了得到电路的零输入响应，令uOC=0，得二阶齐次微分方程 d 2 uC d uC 根据一阶微分方程的求解 LC RC u 0 C 经验可假定齐次方程的解 dt dt2
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
第7章 二阶电路
§2-1 R、L、C串联电路的数学分析—零输入响应
7-8
R
i
L
已知：
+
+ uR
S
-
+ uL
u
+
C
us=0, uc( 0 )、 iL(0)
u (t)
-
-
求解： uc( t )
根据两类约束建立电路的微分方程，得
d 2uC R duC 1 uC 0 2 dt L dt LC
称为齐次方程
(7 12)
1 1 WC (1.4) 2 0.1225 W 2 8
电阻耗能 0.49 0.1225 0.6125W
t 0
习题课
习题2 上题若R改为5Ω，试求i(t)，t≥0。
i
R
7-22
+ 1 —F 8
9Ω
( K1 cos dt K 2 sin dt )
4)
Ke t cos( dt ) R 0 无阻尼情况： s1、 j 0 2 uc (t ) K1 cos 0t K 2 sin 0t
（2）解答的完成
利用初始条件，确定常数K1、K2，求得解答。 设已知解答uc的形式为 K1e s t K 2 e s t，
(c) 解答形式 uC uCp uCh
0.4 e 3t ( K1 cos 4t K 2 sin 4t )
（2） 解答的完成
零状态即
uC (0) 0, iL (0) 0
uC (0) 0.4 K1 0 K1 0.4 duC duC i L (0) C iL C 0 dt dt
i
R
+ 1 —F 8
第七章 二阶电路
ω0 = ωd =
ω 02 − α
称为衰减谐振角频率
uC ( t ) = e −αt [ K 1 cos( ωd t ) + K 2 sin( ωd t )] = Ke −αt cos( ωd t + ϕ )
8
能量转换 0<ωt<β uC(t)减小，i (t)增大 减小， 减小 增大
C + R L C
β< ωt < π-β β
π-β < ωt < π β
增大， 增大 uC(t)减小，i (t)减小 |uC |增大，i 减小 减小， 减小 减小
+ R L C + R L
U0 uC 0
β
i
ω0 U 0 e −δ t ω
π π+β β 2π-β πβ 2π π
π-β β
ωt
−
ω0 U 0 e −δ t ω
s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。
3.在欠阻尼情况， 是共轭复数， 3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面 情况 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡， 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅 随时间按指数规律衰减， 越大，衰减越快。 随时间按指数规律衰减，衰减系数 α 越大，衰减越快。衰减 振荡的角频率ω 越大，振荡周期越小，振荡越快。 振荡的角频率ωd 越大，振荡周期越小，振荡越快。 图中按Ke- 画出的虚线称为包络线， 图中按Ke-αt画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范 Ke 围。
11
是共轭虚数， 4.在无阻尼情况， 4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s 情况 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减， 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角 频率为ω 的等幅振荡。 频率为ω0的等幅振荡。 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间 显然，当固有频率的实部为正时， 增加，电路是不稳定的。由此可知， 增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固 平面上的左半平面上时，电路是稳定的。 有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。
电路(第七章 二阶电路)讲解
L时， C
s1、s2为不相等的负实数。过阻尼
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2 es2t
（2）当 R 2 1 时，即R 2 L时， s1、s2为相等的负实数。临界
2L LC
C
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2t es2t
若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。 储能终将被电阻消耗完 。称为阻尼振荡或衰减振荡。
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电路分析基础
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
+ uR- C i
含阻源 网+- u电 络OCR
+ uC-
+ uL
-
L
列KVL方程
i C d uC dt
uR
Ri
RC
d uC dt
（2）当uc下降到零的瞬间，uL也为零，i的变化率也为零，i达 到最大值I，储能全部转入到电感中。
（3）uc=0时，但它的变化率不为零，i将从I逐渐减小，C又被 充电，但充电的方向与以前相反。
储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。
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电路分析基础
-
（4）当i下降到零瞬间，能量又再度
电路分析基础
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-4 GCL并联电路的分析
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电路分析基础
本章教学要求
1、了解二阶电路的基本概念； 2、了解二阶电路的一般分析方法。
重点 RLC串联二阶电路的全响应
上述过程将不断地重复进行。
(整理)第七章二阶电路
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di ），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
二阶电路
第七章 二阶电路 §7-1 二阶电路的零输入响应用二阶方程描述的动态电路称为二阶电路，当电路有电感，又有电容时就是一个二阶电路，二阶电路中给定的初始条件有2个 一、方程及特征根（RLC 串联）022=++C CC u dt du RC dtu d LC特征根为：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-=LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛--=零输入响应为：t t P P C e A e A u 2121+= 1．电路的初始条件有三种情况，分别为：①0)0(0)0(≠≠++L C i u ②0)0(0)0(=≠++L C i u ③0)0(0)0(≠=++L C i u我们讨论第二种情况，设0)0()0()0()0(====-+-+L L C C i i u u u2．特征根p 1、p 2有不等负实数根、相等负实数根、一对共轭复数根三种情况，这三种情况决定零输入响应不同。
二、CLR 2>（1P 、2P 有不等负实根）时电路的响应 —是一个非振荡放电过程 1．电容上的电压和电流及电感上的电压响应表达式为：)(2112120t t P P C e P e P P P U u --=LCp p 121=)()()(2121120112210t t t t P P P P C e e P P L U e P e P P P P CU dt du Ci ---=---=-=)(2121120t t P P L e P e P P P U dt di Lu ---==2．响应曲线2112)/ln(P P P P T m -=此时电感电压过0，电流取得最大值m t t 2= 此时电感电压有极值三、CLR 2<（1P 、2P 有共轭复根）时电路的响应—是一个振荡放电过程1．电容上的电压和电流及电感上的电压为： )(2112120t t P P C e P e P P P U u --=[])2)(0)(00t j i t j j e e e e j U ωδβωδβωωω---+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+-j e e eU t j t t j t2)()(00βωβωδωω)sin(00βωωωδ+=-t e U t)sin(0t e LU i tωωδ-=)sin(00βωωωδ--=-t e U u t其中：2RLδ=0ω=ω= arctg ωβδ= 2．波形图如下：ttπδ3．理想情况下，,2,1,0,00πβωωδ=====LCR 则：)2sin(00πω+=t U u Ct CLUt L U i 00000sin sin ωωω==C L u t U t U u =+=--=)2sin()2sin(0000πωπω 即等幅振荡放电过程。
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Imax=2.19mA
1S 2 R
us C
+
uc
_
+
uR
_
+
uL
_
L
i
2.振荡放电过程
• R< 2√L/c
特征根p1p2是一对共轭负数令＝R/2L 则p1 ＝－ ＋j ,p2 =－ -j
令0＝ √ 2＋2 ，＝arctan(/ )
第七章 二阶电路
• 内容提要 本章将在一阶电路的基础上,用经典法分 析二阶电路的过渡过程.通过简单的实例, 阐明二阶动态电路的零输入响应`零状态 响应`全响应`阶跃响应 和冲击响应等基本 概念.
• 二阶电路的零输入响应 • 二阶电路的零状态响应和阶跃响应 • 二阶电路的冲击响应
二阶电路的零输入响应
• 二阶电路具有初始储能,又接入外施激励,则电 路的响应为全响应,它是零输入和零状态响应的 叠加,可以通过求解二阶非齐次方程方法求得全 响应.
is
s(t=0) iG ic il uc +
G c u_l
如图uc(0-)=0,il(0-)=0,t=0 时,开关s打开.根据kvl 有
• 以il为代求变量,可得 • 这是二阶线性非齐次方
程,它的解答由特解和 对应的齐次方程的通解 组成,即
• i’为特解,i”为通解
例7-4 图7-7所示电路中, uc(0-)=0,il(0-)=0,G=2×10-3s,c=1uF, L =1H,is=1A,当
t=0时把开关s打开.试求阶跃响应iL ,uc和ic
解:开关s的动作使外施激励相当于单位阶跃电流， 即。为了求出电路的零状态响应，列出电路的 微分方程
du
→ LC (d2u c/d t2) + RC + u c=0 dt
• 这是一个线性常系数二阶齐次微分方程。求解这类方
程时，仍然先设u c=Aept，然后再确定其中的p和t
Lcp2+Rcp+1=0 P=-R/2L ± √(R/2L)2- 1/Lc
∴u c=A1e p1t+A2ep2t
初始条件 u c(0+)=u c(0-)=U0
所以p1 ＝－ 0 e-j p2 = － 0 ej uc=
=1/ Lc –(R/2 L)2i=Fra bibliotekuL=
uc,ul, i u0
uc
i
- 2
0
ul
t 2
振荡放电过程中uc,ul, i的波形
3.R=2
在的条件下,这时特征方程具有重根 微分方程式的通解为 根据初始条件可得 所以
• 从以上诸式显然可以看出不作振荡变化, 即具有非振荡的性质,其波形与图7-2所示 相似.然而,这种过程是振荡与非振荡过程 的分界线,所以,此时的过度过程称为临界 非振荡过程,这时的电阻称为临界电阻,并 称电阻大于临界电阻的电路为过阻尼电 路,小于的为欠阻尼电路.
特征方程为 代入数据可求得特征根为 由于是重根，为临界阻尼情况，其解答为 其中 通解为
时初始值为 代入初始条件可得 解得 所以求得的阶跃响应为
iL,ic,uc随时间变化的波形如图7-8所示
iL /A 1
0 1 2 3 4 t/ms
uc/V
ic /A 1
1 2 34 0
t/ms
1
0 1 2 3 4 t/ms
7-3 二阶电路的冲击响应
零状态的二阶电路在冲击函数激励 下的响应就是二 阶电路的冲击响应
图7-9是一个零状态的RCL串联电路，在t=0时与冲击电 压δ(t)接通，若以uc为变量，根据KVL可得电路方程
R
+
δ(t)
_
L
+ uL _ +
uc -
由于δ(t)在t≠0时为零， 而在t=0时电路受冲 击电压激励而获得了 一定能量，在t>0+时 放电t>0+时有
• 电容上的电压为在这种情况下，特征根是两个 不等的负实数，
电流
p1p2=1/ Lc
电感电压
uc=U0 (p2ep1t-p1ep2t) /p2-p1
i=- U0 (ep1t-ep2t) /L(p2-p1)
uL＝ - U0 (p1ep1t-p2ep2t) /(p2-p1)
下图为uc,ul, I随时间变化的曲线
• 临界状态下过渡过程的计算公式,可通过 前两种非临界情况下的公式取极限导出.
7-2 二阶电路的零状态响应和
阶跃响应
• 二阶电路的初始储能为零(即电容两端的电压和 电感中的电流都为零),仅由外施激励引起的响 应称为二阶电路的零状态响应.
• 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应称为二阶 电路的阶跃响应,其求解方法与零状态响应的求 解方法相同.
uc,ul, i U0
uc i
tm
2tm
t
0
ul
例：图示电路中，已知Us＝10V，C＝1µF，
R＝4K， L＝1H，开关S原来闭合在触点
1处，在t＝0时，开关S由触点1接至触点2。
处。
求: (1)uc,uR,i,uL ; (2)imax
• R>2(l/c)1/2
• uc(0+)=U0=Us 由公式解得：p1=-268 P2=-3732 (2)最大值发生在tm时刻
A1+A2=U0 p1A1+p2A2=-I0/c
得：
A1＝p2U0/(p2-p1) A2＝p1U0/(p2-p1)
i(0+)=i(0-)=I0
由于电路中RLC的参数不同，特征根可能是：
（a）两个不等的负实根 （b）一对实部为负的共轭复根 （c）一对相等的负实根
1.R>2√L/c ,非振荡放电过程
S(t=0) R
+c +
i + uR _ +
• 假设电 源已充电， 其电压为u0,电感中的 初始电流为i0。t=0时， 开关s闭和，此电路
U0 _
uc _
ul L _
的放电过程即是二阶 电路的零输入响应.
－u c+u R+u L=0
i=-C(duc/d t)
u R =- RC (duc/d t)
u L=- LC (d2u c/d t2)