高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第3讲空间点直线平面之间的位置关系课时作业
2023年高考数学一轮复习课件：第八章 8-3空间点、直线、平面之间的位置关系
跟踪训练3 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点， 用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视 图是
√
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后， 剩余部分的直观图如图. 则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.
(2)当AC，BD满足条件__A_C__＝__B_D_且__A_C__⊥__B_D___时，四边形 EFGH为正方形.
∵四边形EFGH为正方形， ∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF 綉12AC，EH 綉12BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD.
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 平面基本性质的应用 例1 如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1， C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
√C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对； 对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β ＝AB，B对； 对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错； 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对.
教师备选
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中 点，连接D1F，CE.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
如图所示，连接CD1，EF，A1B， ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B，且 EF＝12A1B. 又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F， 即E，C，D1，F四点共面.
高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第3节空间点直线平面的位置关系课件理(1)
证明:(1)连接 EF,CD1,A1B. 因为 E,F 分别是 AB,AA1的中点,
所以 EF∥BA1. 又因为 A1B∥D1C, 所以 EF∥CD1, 所以 E,C,D1,F 四点共面.
反思归纳计算由三视图或平面图形折叠得到几何体中异面直线所成 角的思路 (1)准确作出直观图. (2)在直观图中作出异面直线所成的角,进而求解.
解析:①由平行公理知①正确;②不正确,也可能相交或异面;③不正确,也 可能异面;④不正确,a与c不一定相交;⑤不正确,a与b也可能相交或异面.
3.若直线l不平行于平面α ,且l⊄α ,则( B ) (A)α 内的所有直线与l异面 (B)α 内不存在与l平行的直线 (C)α 内存在唯一的直线与l平行 (D)α 内的直线与l都相交
所以CE,D1F,DA三线共点.
反思归纳 (1)证明点共面或线共面的常用方法 ①直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面. ②同一法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. ③辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面 β,最后证明平面α,β重合. (2)证明空间点共线问题的方法 ①公理法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证 明这些点都在这两个平面的交线上. ②同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. (3)证明三线共点的方法 先选取两线交于一点,再证明该点在第三条线上即可.
答案:②③④
反思归纳(1)空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂 直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利 用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质 定理;对于垂直关系,常常利用线面垂直的性质来解决. (2)解决位置关系问题时,要注意几何模型的选取,如利用正(长)方体模 型来解决问题.
高考数学复习第八章立体几何与空间向量8.3空间点直线平面之间的位置关系市赛课公开课一等奖省名师优质课
a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其
中正确个数为
答案 解析
A.0
B.1
C.2
D.3
在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面 所以①②错，③显然成立.
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(2)(·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则以下
答案 解析
A.充分无须要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也无须要条件
若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交； 若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故 选A.
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(2)已知空间四边形ABCD(如图所表示)，E、F分别是
AB、AD中点，G、H分别是BC、CD上点，且CG1 ＝
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4.(教材改编)如图所表示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23 ， AD＝23 ，AE＝2，则BC和EG所成角大小是___4_5_°_，AE和BG所成角大 小是_____6_0_°_. 答案 解析
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5.如图，正方体底面与正四面体底面在
同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与
思想方法指导 答案 解析
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课时作业
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1.设a，b是两条不一样直线，α，β是两个不一样平面，a⊂α，b⊥β，则
“α∥β”是“a⊥b” 答案 解析
√A.充分无须要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也无须要条件
若a⊂α，b⊥β，α∥β，则由α∥β，b⊥β⇒b⊥α， 又a⊂α，所以a⊥b；若a⊥b，a⊂α，b⊥β， 则b⊥α或b∥α或b⊂α，此时α∥β或α与β相交， 所以“α∥β”是“a⊥b”充分无须要条件，故选A.
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第八章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系课件
精准设计考向，多角度探究突破
考向二 空间两条直线的位置关系
角度
两条直线位置关系的判定
例 2 (1)(2021·邯郸一中模拟)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E，F 分别在 A1D，AC 上，且 A1E＝2ED，CF＝2FA，则 EF 与 BD1 的位置关 系是( )
2．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面 α，则直线 b 与平面 α 的位置关系是( ) A．b⊂ α B．b∥α C．b⊂ α 或 b∥α D．b 与 α 相交或 b⊂ α 或 b∥α
答案 D
解析 b 与 α 相交或 b⊂ α 或 b∥α 都可以．
3．设 A，B，C，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A．若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面 B．若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线 C．若 AB＝AC，DB＝DC，则 AD⊥BC D．若 AB＝AC，DB＝DC，则 AD＝BC
1．证明点或线共面问题的两种方法 (1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线 (或点)在这个平面内． (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2．证明点共线问题的两种方法 (1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(2) 如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD ⊥平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C．BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线 答案 B
2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何3第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系课件文新人教A版
异面直线的判定方法
1．已知空间三条直线 l，m，n，若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面， 则( ) A．m 与 n 异面 B．m 与 n 相交 C．m 与 n 平行 D．m 与 n 异面、相交、平行均有可能 解析：选 D.在如图所示的长方体中，m，n1 与 l 都 异面，但是 m∥n1，所以 A，B 错误；m，n2 与 l 都异面，且 m，n2 也异面，所以 C 错误．故选 D.
5 C. 2
7 D. 2
(2)四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点．若 BD，
AC 所成的角为 60°，且 BD＝AC＝1，则 EF 的长为________．
【解析】 (1)如图，连接 BE，因为 AB∥CD， 所以异面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线 AE 与 AB 所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的 棱长为 2，则 CE＝1，BC＝2，由勾股定理得 BE＝ 5.又由 AB⊥平面 BCC1B1 可得 AB⊥BE，所以 tan∠EAB ＝BAEB＝ 25.故选 C.
(2)因为 EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面 ABC， 所以 P∈平面 ABC. 同理 P∈平面 ADC. 所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， 所以 P∈AC， 所以 P，A，C 三点共线．
空间两直线的位置关系(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点 N 为正方 形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 () A．BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C．BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线
高考数学一轮复习第8章立体几何第3课时空间点线面间位置关系课件理
【证明】 (1)如图所示．
因为 EF 是△D1B1C1 的中位线，所以 EF∥B1D1.在正方体 AC1 中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD.所以 EF，BD 确定一个平面，即 D， B，F，E 四点共面．
(2)在正方体 AC1 中，设 A1CC1 确定的平面为 α， 又设平面 BDEF 为 β.因为 Q∈A1C1，所以 Q∈α. 又 Q∈EF，所以 Q∈β.所以 Q 是 α 与 β 的公共点．同理，P 是 α 与 β 的公共点．所以 α∩β＝PQ. 又 A1C∩β＝R，所以 R∈A1C，R∈α，且 R∈β. 则 R∈PQ，故 P，Q，R 三点共线．
【解析】 本题是判断两条直线的位置关系，具体分析如下： A，M，C1 三点共面，且在平面 AD1C1B 中，但 C∉平面 AD1C1B， 因此直线 AM 与 CC1 是异面直线，同理 AM 与 BN 也是异面直线， AM 与 DD1 也是异面直线；①②错误，④正确；M，B，B1 三点 共面，且在平面 MBB1 中，但 N∉平面 MBB1，因此直线 BN 与 MB1 是异面直线，③正确．
(3)∵EF∥BD 且 EF<BD， ∴DE 与 BF 相交．设交点为 M， 则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1， 得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1.又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1. ∴DE，BF，CC1 三线交于点 M. 【答案】 (1)略 (2)略 (3)略
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)√ 解析 (6)中可能分成八部分，如图．
2．空间四点中，三点共线是这四点共面的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
高考数学一轮复习第8章立体几何3第3讲空间点直线平面之间的位置关系教案理
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线和平面的位置关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a .( )(2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) (3)两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC .( ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (教材习题改编)下列命题正确的是( ) A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面解析：选D.A 选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面；B 选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；C 选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D 是正确的．(教材习题改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．解析：由题易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD，因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线．答案：平行AD平面的基本性质[典例引领]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面．【证明】如图所示，连接CD1、EF、A1B，因为E、F分别是AB和AA1的中点，所以EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B .又因为A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形， 所以A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1， 所以EF 与CD 1确定一个平面α， 所以E 、F 、C 、D 1∈α， 即E 、C 、D 1、F 四点共面．若本例条件不变，如何证明“CE ，D 1F ，DA 交于一点”？证明：如图，由本例知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，所以四边形CD 1FE 是梯形，所以CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ， 又CE ⊂平面ABCD ， 且D 1F ⊂平面A 1ADD 1， 所以P ∈平面ABCD ， 且P ∈平面A 1ADD 1.又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，所以P ∈AD ， 所以CE 、D 1F 、DA 三线交于一点．共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． (2)证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． [提醒] 点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 证明：(1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ， 所以EF ∥GH .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， 所以P ∈平面ABC . 同理P ∈平面ADC .所以P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， 所以P ∈AC ，所以P ，A ，C 三点共线．空间两直线的位置关系[典例引领](构造法)若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )①若直线m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线； ②若直线m ，n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；③已知平面α，β互相垂直，且直线m ，n 也互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β； ④若直线m ，n 在平面α内的射影互相垂直，则m ⊥n . A ．② B ．②③ C ．①③D ．②④【解析】 对于①，m 与n 可能平行，可能相交，也可能异面，①错误； 对于②，由线面垂直的性质定理可知，m 与n 一定平行，故②正确； 对于③，还有可能n ∥β或n 与β相交，③错误；对于④，把m ，n 放入正方体中，如图，取A 1B 为m ，B 1C 为n ，平面ABCD 为平面α，则m 与n 在α内的射影分别为AB 与BC ，且AB ⊥BC .而m 与n 所成的角为60°，故④错误．因此选A. 【答案】 A(1)异面直线的判定方法(2)构造法判断空间两直线的位置关系对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断，可避免因考虑不全面而导致错误，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性．[通关练习]1．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( )A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能解析：选D.在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．故选D.2．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．答案：②④异面直线所成的角(高频考点)从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题．高考对异面直线所成的角的考查主要有以下两个命题角度：(1)求异面直线所成的角或其三角函数值； (2)由异面直线所成角求其他量．[典例引领]角度一 求异面直线所成的角或其三角函数值(2017·高考全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32 B.155 C.105D.33【解析】 如图所示，将直三棱柱ABC A 1B 1C 1补成直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1，连接AD 1，B 1D 1，则AD 1∥BC 1，所以∠B 1AD 1或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2＝105，选择C. 【答案】 C角度二 由异面直线所成角求其他量四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为________．【解析】 如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF ， 因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32. 【答案】 12或32[通关练习]1．如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是()A.55B.255C.12D ．2解析：选B.如图，取AC 中点G ，连接FG ，EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ；EG ∥BC ，EG ＝12BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，cos ∠EFG ＝FG FE＝25＝255.2．(2018·安徽安庆模拟)正四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BD 的中点，则异面直线AF 、CE 所成角的余弦值为________．解析：取BF 的中点G ，连接CG ，EG ，易知EG ∥AF ，所以异面直线AF 、CE 所成的角即为∠GEC (或其补角)．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE ＝3，EG ＝32，CG ＝132，由余弦定理得cos ∠GEC ＝EG 2＋CE 2－CG 22EG ·CE＝34＋3－1342×32×3＝16，所以异面直线AF 、CE 所成角的余弦值为16. 答案：16三个公理的作用公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想．易错防范(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．(3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．2．(2018·赣州四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，D 为AB 的中点，则异面直线CD 与A 1C 1所成的角的大小为( ) A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°解析：选D.因为AC ∥A 1C 1，所以异面直线CD 与A 1C 1所成的角的平面角为∠ACD .由∠ACB ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，D 为AB 的中点，可知，∠CAD＝∠ACD ＝30°.5.(2018·河北邯郸调研)如图，在三棱锥S ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．以上都有可能解析：选B.连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，所以在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN ，所以G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，所以MN ∥BC ，因此可得G 1G 2∥BC ，即直线G 1G 2与BC 的位置关系是平行．故选B. 6．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交； ③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； ④若三条直线两两相交，则这三条直线共面． 其中真命题的序号是________．解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a ，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内． 答案：①②③7.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误．答案：③④8.如图所示，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．解析：如图，取A 1C 1的中点D 1，连接B 1D 1，因为点D 是AC 的中点，所以B 1D 1∥BD ，所以∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角．连接AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以AB 1＝3a ，B 1D 1＝32a ，AD 1＝ 14a 2＋2a 2＝32a . 所以，在△AB 1D 1中，由余弦定理得，cos ∠AB 1D 1＝AB 21＋B 1D 21－AD 212AB 1·B 1D 1＝3a 2＋34a 2－94a 22×3a ×32a ＝12， 所以∠AB 1D 1＝60°.答案：60°9．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，(1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．解：(1)如图，连接B 1C ，AB 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角．因为AB 1＝AC ＝B 1C ，所以∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1. 因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC .所以EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.10.如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.1．(2018·河南百校联盟质检)在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1和AB 的中点，平面B 1EF 交棱AD 于点P ，则PE ＝( )A.156B.233C.32D.136解析：选D.过点C 1作C 1G ∥B 1F ，交直线CD 于点G ，过点E 作HQ ∥C 1G ，交CD 、C 1D 1于点H 、Q ，连接B 1Q ，HF 交AD 于点P ，HQ ∥B 1F ，所以Q 、H 、F 、B 1四点共面，易求得HD ＝D 1Q ＝14，由△PDH ∽△PAF 可得AP PD ＝AF HD＝2，则PD ＝13，在Rt △PED 中，PE ＝19＋14＝136，故选D. 2．已知三棱锥A BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 所成的角为60°，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AB 和MN 所成的角为________．解析：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ， PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角)，则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)．①若∠MPN ＝60°，因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形，所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.答案：60°或30°3．(2017·高考全国卷Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)解析：由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC ＝1，AB ＝2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CA →的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则D (1，0，0)，A (0，0，1)，直线a 的单位方向向量a ＝(0，1，0)，|a |＝1.B 点起始坐标为(0，1，0)，直线b 的单位方向向量b ＝(1，0，0)，|b |＝1.设B 点在运动过程中的坐标B ′(cos θ，sin θ，0)，其中θ为CB ′→与CD →的夹角，θ∈[0，2π)．那么AB ′在运动过程中的向量AB ′→＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB ′→|＝ 2.设直线AB ′与a 所成的夹角为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， cos α＝|（cos θ，sin θ，－1）·（0，1，0）||a ||AB ′→|＝22|sin θ|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22. 故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以③正确，④错误． 设直线AB ′与b 所成的夹角为β，则β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， cos β＝|AB ′→·b ||b ||AB ′→|＝|（cos θ，sin θ，－1）·（1，0，0）||b ||AB ′→|＝22|cos θ|. 当AB ′与a 成60°角时，α＝π3， |sin θ|＝2cos α＝2cos π3＝2×12＝22. 因为cos 2θ＋sin 2θ＝1， 所以|cos θ|＝22. 所以cos β＝22|cos θ|＝12. 因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以β＝π3，此时AB ′与b 成60°角． 所以②正确，①错误．答案：②③4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条．解析：法一：如图，在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有一个交点N ，当M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．法二：在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因为CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ (图略)，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交．答案：无数5.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α.因为A ∈α，B ∈α，E ∈α，所以平面α即为平面ABE ，所以P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线．(2)取BC 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 和PB 所成的角．因为∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22·AE ·EF ＝2＋2－32×2×2＝14，所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.6.如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH .解：(1)因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD .又CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥BD .所以EH ∥FG .所以E ，F ，G ，H 四点共面． (2)当EH ∥FG ，且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形．因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD . 同理可得FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n . 故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形．(3) 证明：当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF ∥AC ，又EH ∥BD ，所以∠FEH 是AC 与BD 所成的角(或其补角)，因为AC ⊥BD ，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形，所以EG ＝FH .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
(课标通用)高考数学一轮复习第八章立体几何第3节空间点直线平面之间的位置关系课件理
立体几何
第三节
空间点、 直线、 平面之间的位置关系
1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为 推理依据的公理和定理； 3.能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
知 识
梳 理 诊 断
1．平面的基本性质 图形 文字语言 如果一条直线上 公 理 1 符号语言
如果两个不重合 公 理 3 的平面有一个公 共点，那么它们 若 P∈α 且 P∈ β，则 α∩β＝a， 且 P∈a
有且只有一条 ______________
过该点的公共直 线
2.空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ①共面直线
一个 公共点； a．相交 _____直线：同一平面内，有且只有_____ 没有 公共点． 平行 直线：同一平面内，_____ b．_____
(5)两条直线 a， b 没有公共点， 则 a 与 b 是异面直线． (
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
2．若直线 a∥b，b∩c＝A，则直线 a 与 c 的位置关系是 ( ) A．异面 C．平行 B．相交 D．异面或相交
[解析]
因为 a∥b，b∩c＝A，所以由公理 4 知 a 与 c 一
[答案]
D
6．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点， 则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为________．
[解析] AF. ∵在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， EF∥B1C1，B1C1∥BC， ∴EF∥BC，∴∠AEF 即为异面直线 AE 与 BC 所成的角． 取 A1B1 的中点 F，连接 EF，
锐角或直角 作直线 a′∥a， b′∥b， 把 a′与 b′所成的____________ 叫做异面
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第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则( )A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件.故选A.答案 A2.(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案 D3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是( )A.①B.①④C.②③D.③④解析显然命题①正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.命题③中，两个平面重合或相交，③错.三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.答案 B4.(2017·余姚市统检)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c解析 若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ，c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C 正确.故选C.答案 C5.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A.45B.35C.23D.57解析 连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 为异面直线AE 与D 1F 所成的角.设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a 22·52a ·52a ＝35. 答案 B二、填空题6.(2017·金华调研)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，则：(1)直线BN 与MB 1是________直线(填“相交”或“平行”或“异面”)；(2)直线MN 与AC 所成的角的大小为________.解析 (1)M ，B ，B 1三点共面，且在平面MBB 1中，但N ∉平面MBB 1，B ∉MB 1，因此直线BN 与MB 1是异面直线；(2)连接D 1C ，因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.答案 (1)异面 (2)60°7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.解析 取CD 的中点H ，连接EH ，FH .在正四面体CDEF 中，由于CD ⊥EH ，CD ⊥HF ，且EH ∩FH ＝H ，所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥平面EFH ，则平面EFH 与正方体的左右两侧面平行，则EF 也与之平行，与其余四个平面相交.答案 48.(2014·全国Ⅱ卷改编)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为________.解析 如图所示，取BC 中点D ，连接MN ，ND ，AD .∵M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴MN 綉12B 1C 1.又BD 綉12B 1C 1， ∴MN 綉BD ，则四边形BDNM 为平行四边形，因此ND ∥BM ，∴∠AND 为异面直线BM 与AN 所成的角(或其补角).设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5，在△ADN 中，由余弦定理得cos ∠AND ＝ND 2＋AN 2－AD 22ND ·AN ＝3010. 故异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为3010. 答案 3010 三、解答题9.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点.问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由.解 (1)AM ，CN 不是异面直线.理由：连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1.又因为A 1A 綉C 1C ，所以四边形A 1ACC 1为平行四边形，所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ，所以A ，M ，N ，C 在同一平面内，故AM 和CN 不是异面直线.(2)直线D 1B 和CC 1是异面直线.理由：因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面.假设D 1B 与CC 1不是异面直线， 则存在平面α，使D 1B ⊂平面α，CC 1⊂平面α，所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾.所以假设不成立，即D 1B 和CC 1是异面直线.10.(2017·杭州调研)如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值.解 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 三棱锥P －ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角).在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11.以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面；③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 解析 ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A ，B ，C ，但是若A ，B ，C 共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.答案 B12.若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A.l 1⊥l 4B.l 1∥l 4C.l 1与l 4既不垂直也不平行D.l 1与l 4的位置关系不确定解析 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA .若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C. 若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直.因此l 1与l 4的位置关系不能确定.答案 D13.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________.解析 取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF 綉12AD . ∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角).在△GHF 中，可求HF ＝2，GF ＝GH ＝6，∴cos ∠HFG ＝2＋6－62×2×6＝36. 答案3614.(2017·宁波十校联考)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，求异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值.解 如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角.∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴MK ＝ 2. 在Rt △CKN 中，CK ＝（2）2＋12＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得cos ∠KMC ＝（2）2＋（22）2－（3）22×2×22＝78.15.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点.(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值.解 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形，∴tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63.∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。