空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用【重要知识】一、求平面法向量的方法与步骤:1、选向量:求平面的法向量时,要选取两个相交的向量,如,2、设坐标:设平面法向量的坐标为),,(z y x =3、解方程:联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,并解方程组4、定结论:求出的法向量中三个坐标不就是具体的数值,而就是比例关系。

设定某个坐标为常数得到其她坐标 二、利用向量求空间角: 1、求异面直线所成的角:设b a ,为异面直线,点C A ,为a 上任意两点,点D B ,为b 上任意两点,b a ,所成的角为θ,则=θcos【注】由于异面直线所成的角θ的范围就是:︒≤<︒900θ,因此0cos ≥θ 2、求直线与平面所成的角:设直线l 的方向向量为,平面α的法向量为,直线l 与平面α所成的角为θ,与所成的角为ϕ,则==ϕθcos sin 【注】由于直线与平面所成的角θ的范围就是:︒≤≤︒900θ,因此0sin ≥θ 3、求二面角:设21,n n 分别为平面βα,的法向量,二面角βα--l 为θ,则>=<21,n n θ或><-21,n n π,其中21,cos n n <三、利用向量求空间距离: 1、求点到平面的距离设平面α的法向量为,,α∉A α∈B ,则点A 到平面α2、求两条异面直线的距离设21,l l 就是两条异面直线,n 就是公垂线段AB 的方向向量,D C ,分别为21,l l 上的任意两点,则21l l 与的距离为nn CD AB ⋅=【重要题型】1、(2012广东,理)如图所示,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为矩形,ABCD PA 平面⊥,点E 在线段PC 上,BDE PC 平面⊥ (1)证明:PAC BD 平面⊥(2)若2,1==AD PA ,求二面角A PC B --的正切值 2、(2013广东,理)如图①,在等腰三角形ABC 中,︒=∠90A ,6=BC ,E D ,分别就是AB AC ,上的点,2==BE CD ,O 为BC 的中点。

将ADE ∆沿DE 折起,得到如图②所示的四棱锥BCDE A -',其中3='O A 。

(1)证明:BCDE O A 平面⊥'(2)求二面角B CD A --'的平面角的余弦值3、(2009广东,理)如图,已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2,点E 就是正方形11B BCC 的中心,点G F ,分别就是棱11D C 、1AA 的中点,设,1E 1G 分别就是点G E ,在平面11D DCC 内的正投影。

(1)求以E 为顶点,以四边形FGAE 在平面11D DCC 内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线11FEE FG 平面⊥;(3)求异面直线11G E 与EA 所成角的正弦值。

4、(2013课标,理)如图,直三棱柱111C B A ABC -中,E D ,分别就是1,BB AB 的中点,AB CB AC AA 221=== (1)证明:CD A BC 11//平面;(2)求二面角E C A D --1的正弦值、 5、(2012辽宁,理)如图,直三棱柱C B A ABC '''-,︒=∠90BAC ,A A AC AB '==λ,点N M ,分别为B A '与C B ''的中点(1)证明:C AC A MN ''平面//;(2)若二面角C MN A --'为直二面角,求λ的值、6、(2010辽宁,理)已知三棱锥ABC P -中,ABC PA 平面⊥,AC AB ⊥,AB AC PA 21==,N 为AB 上一点,AN AB 4=,S M ,分别为BC PB ,的中点。

(1)证明:SN CM ⊥;(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小、半径为a 的半圆,AC7、(2010广东,理)如图,就是为直径,点E 为的中点,点B 与点C 为线段AD 的三等分点,平面AEC 外一点F 满足a FD FB 5==,a FE 6=(1)证明:FD EB ⊥;(2)已知点R Q ,分别为线段FB FE ,上的点,使得FE FQ 32=,FB FR 32=,求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值、8、(2013汕头高二统考,理)在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,ABC ∆就是正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好就是AC 中点,又4PA AB ==,120CDA ∠=o ,点N 在线段PB 上,且2PN =. (1)求证:BD PC ⊥;(2)求证://MN 平面PDC ; (3)求二面角A PC B --的余弦值.【参考答案】1、(1)证MBAN明:ABCD PA 平面⊥Θ,ABCD BD 平面⊂,BD PA ⊥∴ 又BDE PC 平面⊥Θ,BDE BD 平面⊂,BD PC ⊥∴P PC PA =I Θ,PAC BD 平面⊥∴(2)解:PAC BD 平面⊥Θ,PAC AC 平面⊂,AC BD ⊥∴ ABCD 矩形∴就是正方形 建立如图所示的坐标系xyz A -,则)0,0,0(A ,)1,0,0(P ,)0,2,2(C ,)0,0,2(B)1,0,0(=∴AP ,)0,2,2(=AC)1,0,2(-=BP ,)0,2,0(=BC设平面PAC 的一个法向量为),,(1111z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n AC n AP ,即⎩⎨⎧=+=0220111y x z令11=x ,则0,111=-=z y ,即)0,1,1(1-=n 设平面PBC 的一个法向量为),,(2222z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n BP n BC ,即⎩⎨⎧=+-=020222z x y令12=x ,则2,022==z y ,即)2,0,1(2=n1010521,cos 212121=⨯=>=<∴n n n n n n 设二面角A PC B --的大小为α,则1010cos =α,10103sin =α 3tan =∴α2、(1)证明:连接OE OD ,由图①得,22,23,3===AD AC OC 在OCD ∆中,由余弦定理可得,545cos 2222=︒⋅⋅-+=CD OC CD OC OD ,即5=OD由翻折的不变性可知,22=='AD D A 222D A OD O A '=+'∴,OD O A ⊥'∴ 同理可证,OE O A ⊥'又O OE OD =I Θ,BCDE O A 平面⊥'∴ (2)解:以O 点为原点,建立空间直角坐标系xyz O -如图所示则)0,2,1(),0,3,0(),3,0,0(--'D C A 所以)3,3,0(=CA ,)3,2,1(-=DA设平面CD A '的一个法向量为),,(z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n DA n CA即⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+032033z y x z y令1=x ,则3,1=-=z y ,即)3,1,1(-=n由(1)知,)3,0,0(=OA 为平面CDB 的一个法向量515533,cos =⋅=>=<∴OAn OA n OA n 即求二面角B CD A --'的平面角的余弦值为515 3、(1)解:依题意得,111D DCC EE 平面⊥,且四边形FGAE 在平面11D DCC 内的正投影为四边形11DE FGΘ点E 就是正方形11B BCC 的中心,11=∴EE 111111111DCE F C E G FD D DCC DE FG S S S S S ∆∆∆---=∴221211121112122=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-= 故所求的四棱锥的体积为3212313111111=⨯⨯=⨯=-EE S V DG FE DE FC E(2)证明:由(1)知,F C E 11∆与F D G 11∆都就是等腰直角三角形 ︒=∠∴9011FE G ,即11FE FG ⊥又111D DCC EE 平面⊥Θ,111D DCC FG 平面⊂,11FG EE ⊥∴ 111E FE EE =I Θ,11FEE FG 平面⊥∴(3)解:以D 为原点,DA DC DD ,,1分别为z 轴,y 轴,x 轴的正向,121DD 为1个单位长度,建立空间直角坐标系,则)1,2,0(),1,0,0(),2,1,0(),1,2,1(11E G F E )0,0,2(,A)1,2,1(--=∴EA ,)0,2,0(11-=G E 111111,cos G E EA G E EA G E EA >=<∴36264=⨯=33)36(1,sin 211=->=<∴G E EA 4、(1)证明:连接1AC 交C A 1于点F ,则F 为1AC 中点 又D 就是AB 中点,连接DF ,则DF BC //1CD A DF 1平面⊂Θ,CD A BC 11平面⊂,CD A BC 11//平面∴ (2)由AB CB AC 22==得,BC AC ⊥ 以C 为坐标原点,CA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -,设2=CA ,则)0,1,1(D ,)1,2,0(E ,)2,0,2(1A ,)0,1,1(=CD ,)1,2,0(=CE ,)2,0,2(1=CA设),,(1111z y x n =就是平面CD A 1的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111CA n CD n ,即⎩⎨⎧=+=+02201111z x y x ,可取)1,1,1(1--=n 同理,设),,(2222z y x n =就是平面CE A 1的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122CA n CE n ,即⎩⎨⎧=+=+022022222z x z y ,可取)2,1,2(2-=n 从而33333,cos 212121=⨯=⋅>=<n n n n n n ,故36,sin 21>=<n n即二面角E C A D --1的正弦值为365、(1)证明:连接C A B A '',Θ三棱柱C B A ABC '''-为直三棱柱,M 为B A '的中点 M ∴为B A '的中点 又N Θ为C B ''的中点 C A MN '∴//C AC A C A ''⊂'平面Θ,C AC A MN ''⊄平面 C AC A MN ''∴平面//(2)以A 为坐标原点,分别以直线A A AC AB ',,为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz A -,如图所示: 设1='A A ,则λ==AC AB 于就是)0,0,0(A ,)0,0,(λB ,)0,,0(λC)1,0,0(A ',)1,0,(λB ',)1,,0(λC '因此,)21,0,2(λM ,)1,2,2(λλN 设),,(1111z y x n =就是平面MN A '的法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅='⋅0011MN n M A n 得,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-021202121111z y z x λλ,可取),1,1(1λ-=n 同理,设),,(2222z y x n =就是平面MNC 的法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022MN n NC n 得,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+-021202222222z y z y x λλλ,可取),1,3(2λ--=nC MN A --'Θ为直二面角021=⋅∴n n ,即0132=++-λ,解得2=λ6、(1)证明:设1=PA ,以A 为原点,AP AC AB ,,分别为z y x ,,轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示:则)0,0,21(),21,0,1(),0,0,2(),0,1,0(),1,0,0(N M B C P)0,21,1(S)0,21,21(),21,1,1(--=-=SN CM由002121=++-=⋅SN CM 可知,SN CM ⊥(2))0,1,21(-=NC设),,(z y x n =为平面CMN 的一个法向量由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CM n NC n 得,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-021021z y x y x ,可取)2,1,2(-=n设SN 与平面CMN 所成角为θ,则22223211,cos sin =⨯--=⋅⋅=><=SN n SN n SN n θ ︒=∴45θ7、(1)证明:E Θ为 的中点,BC AB =,AC 为直径 AD EB ⊥∴ 222EB FB FE +=Θ FB EB ⊥∴又B AD FB =I Θ,BDF EB 平面⊥∴ BDF FD 平面⊂Θ,FD EB ⊥∴(2)如图,以B 为原点,BD BE ,分别为y x ,轴正方向,过B 作平面BEC 的垂线,建立空间直角坐标系xyz B -,连接FC 由此得,)0,0,(),0,2,0(),0,,0(),0,0,0(a E a D a C B CD BC FB FD ==,ΘBD FC ⊥∴ a FC 2=∴FB FR FE FQ 32,32==∴)32,31,0(a a R ∴)0,0,32(32a BE RQ ==∴)32,35,0(a a RD -=设平面RQD 的法向量为),,(1111z y x n =,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011RQ n n 得,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-03203235111ax az ay ,可取)5,2,0(1=n同理,设平面BED 的法向量为),,(2222z y x n =,可取)1,0,0(2=n29295295,cos 21==>=<∴n n 29292,sin 21>=<∴n n ∴平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值为29292 8、证明:(1) 因为ABC ∆就是正三角形,M 就是AC 中点, 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面,BD ⊂平面ABCD ,PA BD ⊥………………2分 又PA AC A =I ,所以BD ⊥平面PAC ………………3分 又PC ⊂平面PAC ,所以BD PC ⊥………………4分 (2)在正三角形ABC 中,BM =………………5分 在ACD ∆中,因为M 为AC 中点,DM AC ⊥,所以AD CD =120CDA ∠=o ,所以DM =所以:3:1BM MD =………………6分 在等腰直角三角形PAB 中,4PA AB ==,PB =,所以:3:1BN NP =,::BN NP BM MD =,所以//MN PD ………………8分 又MN⊄平面PDC ,PD ⊂平面PDC ,所以//MN 平面PDC ………………9分(3)因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=o , 所以AB AD ⊥,分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系,所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P ………………10分 由(2)可知,(4,3DB =-u u u r 为平面PAC 的法向量………………11分4)PC =-u u u r ,(4,0,4)PB =-u u u r设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r,则00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r r uu u r r ,即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩,令3,z =则平面PBC的一个法向量为n =r………………12分设二面角A PC B --的大小为θ(显然为锐角),则cos 7n DB n DBθ⋅==⋅u u u r r u u u r r所以二面角A PC B --余弦值为77………………14分y。