空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)[1]
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空间向量在立体几何中的应用:（1)直线的方向向量与平面的法向量: ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． （2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:设直线l ,m 的方向向量分别是a ，b ,平面α ，β 的法向量分别是u ,v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ; ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ,k ∈R ; ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ,b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ,显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ,显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ,在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ,β 的法向量，则<m 1，m 2>与该二面角的大小相等或互补．（4）根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3,OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1,点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1,AE 的中点,求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A （3，0，0），B (0，4，0)，O 1（0，0，2)，A 1(3，0，2），B 1（0，4，2），E （3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2,2）,R (3，2，0）,⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ,∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤：（1)证明两向量共线;(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明． 例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1,B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行． 解法一:设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A （4,0，0），M （2，0，4），N （4，2，4）,B (4，4，0)，E （0，2，4)，F （2，4，4)．取MN 的中点K ,EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O （2,2，0)，K （3,1,4），G （1，3，4）．MN ＝（2,2，0)，EF ＝(2，2,0)，AK ＝（－1,1,4），OG ＝（－1，1，4)， ∴MN ∥EF ,OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3），平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝（2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝（2，－2,1)．∵a ∥b ,∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0)，A (2，0,0），M (2，1，2）,C （0,2，0），N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ,连接B 1P ，B 1Q ，PQ ,PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角（锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质,适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A （0,0，0），B (0，a ，0），),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a aa C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a a D ，连接AD ，C 1D ．则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0),B (0，a ,0），A 1(0，0，a 2），)2,2,23(1a aa C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝（p ，q ，r ）, 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0,0)． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC 【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A－PB －C 的平面角的余弦值．解法二图解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C （0，0，0）,A (1，0，0），B （0，2，0)，P （1,0，1），由D 是PB 的中点,得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二:如图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0),)0,1,2(B ，C （0,1，0)，P (0，0,1），).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1,a 2，a 3），平面PBC 的法向量是b ＝（b 1,b 2，b 3）． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝（0,1，1）．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两个向量的夹角;应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．练习一、选择题： 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是（ ） (A)2（B ）2（C)5（D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是（ ) (A)30° （B)45° (C)60° （D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） (A)31 （B ）32 （C)33 (D ）32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ,B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ,AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是（ ）（A)θ ＞ϕ,m ＞n （B ）θ ＞ϕ，m ＜n （C)θ ＜ϕ,m ＜n(D ）θ ＜ϕ,m ＞n二、填空题:5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33,则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．4题图 7题图 9题图 8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21,P A ⊥底面ABCD ,PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图,正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值． 10．如图,在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点,N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ,A ∈PQ ，B ∈α ,C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．（Ⅰ）证明：BC ⊥PQ ；（Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．练习答案一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．548．42三、解答题：9题图 10题图 11题图 9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2,2，0)，C （0，2，0)，E （0，2，1），A 1（2,0，4）．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A（Ⅰ）∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．（Ⅱ）设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝（4，1，－2)．⋅==4214||||),cos(111C A C A C A n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ,y ，z 轴建立坐标系．则A （0，0,0)，B (1，0，0），)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0,0，2）,M （0，0，1），⋅-)0,42,421(N （Ⅰ）⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝（x ,y ,z ），则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ,得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． （Ⅱ）设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．（Ⅰ）证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ,α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ,又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ）由（Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点,分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图）．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角,则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°,∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z ）是平面ABC 的一个法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝（1,0,0）是平面β 的一个法向量． 设二面角B －AC －P 的平面角为θ ,∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55。
人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教案及教学反思
人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教案及教学反思1. 教学目的本节课是人教B版选修2课程的一部分，主要教授空间向量在立体几何中的应用。
本课程将帮助学生：•深入理解空间向量的概念及其运算法则•掌握将空间向量应用于立体几何中的方法和技巧•发展自己的独立思考能力和解决问题的能力2. 教学内容2.1 知识点本节课的重点知识点为：•空间向量的定义•空间向量的基本运算法则•点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法•空间向量在几何问题中的应用2.2 教学步骤本节课教学步骤如下：第一步：导入教师简单介绍空间向量及其基本运算法则，引发学生对此概念的兴趣。
第二步：概念讲解教师详细讲解空间向量的概念，以及点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法。
为了增强学生的理解，教师可以使用相关的图形和实例进行讲解。
第三步：举例说明教师通过几个实例，向学生展示如何使用空间向量解决立体几何问题。
在示例中，教师应尽可能地让学生自己思考并尝试解决问题，同时指导学生正确的解决方法，让学生深入理解知识点。
第四步：练习安排学生进行一定数量和难度的练习，让学生掌握应用相关知识解决问题的方法和技巧。
第五步：讲解与总结最后，教师应总结本节课的主要内容，并对学生的问题进行讲解和解答。
3. 教学反思本节课的教学方法主要采用“以实例为主，以问题为导向”的方式，让学生能够在探究中理解和掌握知识点。
这种探究式学习的方法能够有效激发学生的主动学习意识和自主学习能力。
在实际教学中，教师应充分发挥学生的主观能动性，让他们能够独立思考和解决问题。
同时，教师还应充分利用技术手段，如音视频、实例演示等方式进行综合教学，探索出适合学生的多元化、个性化的教学方式。
在上述教学步骤中，教师尤其需要注意：•难度掌握：教师在设计实例和练习时，应根据学生的实际情况及能力水平，掌握好难度，以确保学生的接受能力和理解能力•差异处理：同学的学习能力和理解能力会存在差异，教师需要采用差异化教学方法，根据学生的特点进行教学•评估方法：教师应采用多种评估方法，对学生进行全面评价，如通过小组讨论、思维导图、课堂测验等方式，合理衡量学生的学习成果和进步情况总之，人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教学，应侧重于实践探究和知识应用，培养学生的独立思考和解决问题的能力，让学生能够掌握并应用相关知识，提高学生的立体几何解题能力，为日后的数学学习打下基础。
空间向量在立体几何中的应用sxz
一.平行问题
Db
(一)证明两直线平行
A ,B a;C ,D b,A BC D a∥
C
A
b
a
B
方法思路：在两分 直别 线取 上不同的
得到两向量，转明 化两 为向 证量平行
知 A ( x 1 B ,y 1 )C , ( x 2 D ,y 2 )则 ,x 1 y 2 x 有 2 y 1 a ∥ b
方 底法 线思 性路 表： 示证 （明 即方 内直 在向 存线 平向 在的 面量 一可 向用 量平 与组 相面 方基 等 的 向）一 向 e 1 e 2
则可得面内一直外线的与线面平 ,从行而证线面. 平行
(三)面面平行
1.不重合的两 与平 的面法向量 n
分别m是 和n， mn∥
方法思路：平 求面 出的 其法 中向 一法 量向 ，量 再与 证
的不共线的量 两积 向 （ 0 为 量 即的 都数 垂直两 ）面 ，平 则
二.垂直问题
(一)证明两直线垂直
b
不 分重 别a合 为 和b的 ， a和 直 则a直 线 有 bb线 的 0 方 a向 b 向b 量 a a
方法思路：找两直线 方的 向向量 (分别
| m|
方法思路：求出任 平一 面法 的向m(量 方程
组可求 ),在面内任取Q一与点点P得一向量
转化为 P Q在法向量的投影,的 套长 公度 式。
D
(二)求两异面直线的距离d
b
知a,b是两异面直线A,，Ba,C, Db，
B
aA
C
找一向量与两异面都 直垂 线直的向m量，
则两异面直线的距 d＝离ACm
(二)证明线面垂直 l
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用教学目标1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件；(2)利用向量法证明线线、线面垂直；(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法；2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。
3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感，从而激发学数学、用数学的热情。
教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。
教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。
教学方法启发式教学、讲练结合教学媒体ppt课件学法指导交流指导，渗透指导.课型新授课教学过程一、知识的复习与引人自主学习1.若=x i+y j+z k，那么（x，y，z）叫做向量的坐标，也叫点P的坐标.2. 如图，已知长方体的边长为AB=2,AD=2,1AA '=．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标．3.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），那么±=（x 1±x 2，y 1±y 2， ）， ⊥⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 12M M =（2121,x x y y --， ） [探究]1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2．空间位置关系的向量表示[合作探究]二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为BC 的中点，N 为AB 的中点，P 为BB 1的中点．(Ⅰ)求证：BD 1⊥B 1C ；(Ⅱ)求证：BD 1⊥平面MNP ．设计意图：使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。
空间向量在立体几何中的应用-立体几何
点，A是α内任一点，则点P到α的距离d= | PA·m | .
|m|
考点一 用向量证明平行、垂直问题
如图，在四棱锥P—ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面 ABCD为矩形，且PA=AD， E,F分别为线段AB,PD的中 点.求证：
(1) AF∥平面PEC;
相等或互补 .
5.空间的距离
(1)一个点到它在一个平面内 正射影 的距离，叫做 点到这个平面的距离.
(2)已知直线l平行平面α，则l上任一点到α的距离 都 相等 ，且叫做l到α的距离.
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(3)和两个平行平面同时 垂直 的直线，叫做两 个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两 个平面的 公垂线段 .两平行平面的任两条公垂线段的长 都相等，公垂线段的 长度 叫做两平行平面的距离， 也是一个平面内任一点到另一个平面的距离.
EC=(
a
22 ,1,0),∴AF=
1
2 EP+
1 EC,
2
2
2
又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 11
∴AF·PD=(0, 2, 2)·(0,1,-1)=0, AF·CD=(0, 1 , 1 )·(-a,0,0)=0,
22 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D,
∴m⊥n.
∴平面ADE⊥平面A1D1F.
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考点二 用向量求线线角与线面角 如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°. (1)求DP与CC′所成角的大小； (2)求DP与平面AA ′ D′D所成角的大小
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解. 返回目录
空间向量在立体几何中的应用
∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角， ∴∠PAD＝60°. 在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3. ∴P(0，0，2 3)．
O→P＝(0，
22，－2)，O→D＝(－
2， 2
22，－2)．
设平面 OCD 的法向量为 n＝(x，y，z)，
由 n·O→P＝0，n·O→D＝0，
得
22y－2z＝0，
－ 22x＋ 22y－2z＝0.
取 z＝ 2，得 n＝(0，4， 2)．
∵M→N·n＝(1－ 42)×0＋ 42×4＋(－1)× 2＝0，∴M→N⊥n.
解 作AP⊥CD于点P,分别以AB,AP,AO所在的直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系A－xyz,如图所示,
则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0， 22，0)，D(－ 22， 22，0)，
O(0，0，2)，M(0，0，1)，N， 42，－1)，
A→M·n＝0.
a2y＋ 2az＝0，
令 y＝2，则 z＝－ 22，x＝0.
∴n＝(0，2，－ 22)．
又B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)，
∴cos〈B→C1，n〉＝B→→C1·n
|BC1||n|
＝
－a－a 3a×
9＝－29 2
6.
设 BC1 与平面 AMC1 所成的角为 θ，
则 sin θ＝|cos〈B→C1，n〉|＝296.
题型三 二面角的求法
例3 12分如图所示,正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中 点,求二面角AA1DB的余弦值．
空间向量在立体几何中的应用
练习：
正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中
点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面
BB1C1C、平面ABCD的中心
（2） 求异面直线PO3与O1O2Z成的角
D1 O1
C1
A1
B1
P
O2
D
C
A
O3
Y B
X
空间向量在
立几中应用
小结
本堂课的学习重点是用向量代数的方法解决 立体几何问题，但在学习中应把几何综合推 理与向量代数运算推理有机结合起来 向量代数推理是更加精练，严密的推理，每 一步都要根据运算法则进行 学习过程中应善于“前思后想”，提炼方法， 开拓思路
本题多次运用了封闭回路
空间向量在
立几中应用
利用向量求空间距离
空间距离是一种重要的几何量，利 用常规方法求距离，需要较强的转化能力， 而用向量法则相对简单
空间向量在
立几中应用
例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C 与平面A1BC1的距离
Z
D
C
B A
D1 A1
X
C1 Y
B1
空间向量在
评述：
立几中应用
空间向量在
立几中应用
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在
立几中应用
利用向量判断位置关系
利用向量可证明四点共面、线线平 行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问 题，其方法是通过向量的运算来判断，这 是数形结合的典型问题
空间向量在
立几中应用
空间向量在
立几中应用
空间向量在
立几中应用
利用向量求空间角
利用向量可以进行求线线角、线面 角、面面角，关键是进行向量的计算
补充材料：空间向量在立体几何解题中的应用讲座
空间向量在立体几何解题中的应用一、空间向量的基础知识1．空间向量的坐标运算 (1)空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }(i ，j ，k 按右手系排列)建立坐标系，坐标轴正方向与i ，j ，k 方向相同．空间一点P 的坐标的确定可以按如下方法：过P 分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面)，分别与坐标轴交于A 、B 、C 三点，|x |=OA ，|y |=OB ，|z |=OC ，当OA 与i 方向相同时，x >0，反之x <0．同理确定y 、z ．点P 的坐标与OP 坐标相同．(2)向量的直角坐标运算设a =(a 1，a 2，a 3)，b =(b 1，b 2，b 3)，则a +b =(a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3)；a -b =(a 1-b 1，a 2-b 2，a 3-b 3)；a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3， a ∥b ⇔a 1=λb 1，a 2=λb 2，a 3=λb 3(λ∈R )．或312123a a ab b b ==， a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0．(3)夹角和距离公式 ①夹角公式 cos<a ，b>=②距离公式设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则 |AB③定比分点公式设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则 若M 分AB 为定比λ(λ≠-1)，则M 的坐标为 x =121x x λλ++，y =121y y λλ++，z =121z z λλ++， 特别地，当λ=1即M 为中点时得中点坐标公式：x =122x x +，y =122y y +，z =122z z+． 由中点公式，可得以A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)为顶点的三角形重心公式：x =1233x x x ++，y =1233y y y ++，z =1233z z z++．2．平面法向量的概念和求法向量与平面垂直：如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α．平面的法向量：如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量． 一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反．一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题．推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量n =(x ，y ，z )[或n =(x ，y ，1)或n =(x ，1，z )，或n =(1，y ，z )]，在平面α内任选定两个不共线的向量a ，b ．由n ⊥α，得n ·a =0且n ·b =0，由此得到关于x ，y 的方程组，解此方程组即可得到n ．例1．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求平面A 1C 1D 的法向量n 和单位法向量n 0．二、空间向量在立体几何解题中的应用(一)空间角1．异面直线所成的角设点A ，B ∈直线a ，C ，D ∈直线b ，构造向量AB ，CD ． cos<AB ，CD >=||||AB CDAB CD ⋅，<AB ，CD >所对应的锐角或直角即为直线a (AB )与b (CD )所成的角．例2．在例1中，设AC ∩BD =O ，求异面直线D 1O ，DC 1所成的角的余弦值．2．线面所成的角如图，AB 为平面的斜线，n 为平面α的法向量，如果AB 与n 之间所成的角ϕ为锐角，则斜线AB 与平面α之间所成的角θ=2π-ϕ． 即利用向量AB 与n 求出的是角ϕ，实际上所求的角是θ．若ϕ为锐角，则θ=2π-ϕ，sin θ=cos ϕ； 若ϕ为钝角，则θ=2π-(π-ϕ)=ϕ-2π，sin θ=-cos ϕ．总之有，sin θ=|cos<AB ，n >|=||||||AB AB ⋅n n ．例3. 在例1中，设E 、F 分别为C 1D 1、B 1C 1的中点， (1)求证：E 、F 、B 、D 共面；(2)求A 1D 与平面EFBD 所成的角．3．二面角的求法二面角α—l —β，平面α的法向量m ，平面β的法向量n ．则二面角α—l —β的平面角θ=<m ，n >．所以，cos<m ，n >=||||⋅m nm n ．若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则<m ，n >为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则<m ，n >为二面角的平面角．例4. 在例1中，求二面角D 1—AC —D 的大小的余弦值．(二)空间距离1．点到面的距离设A 是平面α外一点，AB 是α的一条斜线，交平面α于点B ，而n 是平面α的法向量，那么向量BA 在n 方向上的正射影长就是点A 到平面α的距离h ，所以h =|||||cos ,|||BA BA BA ⋅⋅<>=n n n例5. 例1中，设G 、H 分别是A 1B 1、CD 的中点， 求点B 到截面AGC 1H 的距离．图3练习：在例1中，求点A 1到平面ACD 1的距离．2．异面直线间的距离如图3，若CD 是异面直线a 、b 的公垂线段，A 、B 分别为a 、b 上的任意两点．令向量n ⊥a ，n ⊥b ，则n ∥CD ．∵AB =AC +CD +DB ，∴AB ⋅n =AC ⋅n +CD ⋅n +DB ⋅n ， ∴AB ⋅n =CD ⋅n ，∴|AB ⋅n |=|CD |⋅|n |，∴|CD |=||||AB ⋅n n ． ∴两异面直线a 、b 间的距离为：d =||||AB ⋅n n ． 其中n 与a 、b 均垂直(即a ，b 的公垂向量)，A 、B 分别为两异面直线上的任意两点． 另外：假设异面直线a 、b ，平移直线a 至a ′且交b 于点A ，那么直线a ′和b 确定平面α，且直线a ∥α，设n 是平面α的法向量，那么n ⊥a ，n ⊥b ．所以异面直线a 和b 的距离可以转化为求直线a 上任一点到平面α的距离．例6．在例1中，求直线DA 1和AC 间的距离．练习．如图4，正四棱锥S —ABCD 的高SO =2，底边长AB，求异面直线BD 和SC 之间的距离．例7．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中AB =2，AD =4，AA 1=6，E 是BC 的中点，F 是CC 1的中点，求(1)异面直线D 1F 与B 1E 所成角大小的余弦值； (2)二面角D 1—AE —D 大小的余弦值； (3)异面直线B 1E 与D 1F 的距离．zB3．线面距离直线a与平面α平行时，直线上任意一点A到平面α的距离就是直线a与平面α之间的距离．其求法与点到面的距离求法相同．例8．在例1中，设P、Q、R分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，(1)求证：平面A1PQ∥平面B1RC；(2)求平面A1PQ与平面B1RC间的距离．例9．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，D是CB延长线上一点，且BD=BC．(1)求直线BC1与平面AB1D之间的距离；(2)求二面角B1—AD—B的大小；(3)求三棱锥C1—ABB1的体积．A1C1B1 BACD4．平面与平面间的距离平面α与平面β平行时，其中一个平面α上任意一点到平面β的距离就是平面α与平面β间的距离．其求法与点到面的距离求法相同．用法向量求直线到平面间的距离，首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题．用法向量求两平行平面间的距离，首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题．例10．如图8，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，AD a，M、N分别是AD、PB的中点．N P求证：平面MNC⊥平面PBC．(三)证明面面平行或面面垂直；线面平行或线面垂直等若两平面α、β的法向量分别为n1、n2，则(1)当n1·n2=0时，平面α⊥平面β；(2)当n1=λn2，即它们共线时，平面α∥平面β．若平面α的一法向量为n，直线AB在平面α外，则(1)当n·AB=0时，AB∥平面α；(2)①当n=λAB，即它们共线时，AB⊥平面α．②AB⊥平面α内的两条相交直线，则AB⊥平面α．若α∥β，则nα∥nβ；反之也成立．若α⊥β，则nα⊥nβ；反之也成立．练习题：1．如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点．(1)求二面角B—FB1—E的大小；(2)求点D到平面B1EF的距离；(3)在棱DD1上能否找一个点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．1A BE2．如图，四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，∠DAB =∠ABC =90°，AB =BC =a ，AD =2a ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，SA =a ．(1)证明四棱锥S —ABCD 的四个侧面都是直角三角形； (2)求点C 到平面SBD 的距离．四、利用法向量解立体几何试题纵观近几年全国各地高考试卷，立体几何试题基本保持了相对稳定，一般有1至2道选择题或填空题，1道解答题，且大多为中等难度或容易题．1．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥AC，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1．(Ⅰ)证明：AB =AC ；(Ⅱ)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．A 1B 1C 1DE2．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．(Ⅰ)证明：M在侧棱SC的中点；(Ⅱ)求二面角S－AM－B的大小．SBPDCA3．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC．(Ⅰ)求证：BC⊥平面PAC；(Ⅱ)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；(Ⅲ)是否存在点E使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．4．如图，四棱锥S－ABCD倍，P为侧棱SD上的点．(Ⅰ)求证：AC⊥SD；(Ⅱ)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．5．如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD =2a ，ADa ，点E 是SD 上的点，且DE =λa (0<λ≤2)．(Ⅰ)求证：对任意的λ∈(0，2]，都有AC ⊥BE ；(Ⅱ)设二面角C —AE —D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为ϕ，若tan θ·tan ϕ=1，求λ的值．6．如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB =4，BC =CD =2，AA 1=2，E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点．(Ⅰ)证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (Ⅱ)求二面角B －FC 1－C 的余弦值．EABCFE 1 A 1B 1C 1D 1 D BCSDA7．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB =1，AC =AA 1，∠ABC =60°．(Ⅰ)证明：AB ⊥A 1C ；(Ⅱ)求二面角A —A 1C —B 的大小．8．如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB =AE ，FA =FE ，∠AEF =45°．(Ⅰ)求证：EF ⊥平面BCE ；(Ⅱ)设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE ？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)求二面角F －BD －A 的大小．DCBPM E FA9．如图，在四棱锥S －ABCD 中，AD ∥BC 且AD ⊥CD ；平面CSD ⊥平面ABCD ，CS ⊥DS ，CS =2AD =2；E 为BS 的中点，CE，AS=．求：(Ⅰ)点A 到平面BCS 的距离；(Ⅱ)二面角E －CD －A 的大小．10．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC的中点，AF =AB =BC =FE =12AD ．(Ⅰ)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(Ⅱ)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(Ⅲ)求二面角A －CD －E 的余弦值．11. 在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点． （1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线； （2）设1AA AC ==，求二面角11A AD C --的大小．12. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1.（I ）求证：A 1C //平面AB 1D ；（II ）求二面角B —AB 1—D 的余弦值是； （III ）求点c 到平面AB 1D 的距离.13. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．14. 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形，M 为PB 的中点. (Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.ABCD1A1C1B15.如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上。
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空间向量在立体几何中的应用【知识网络】空间向量的定义与运算空间向量运算几何意义空间向量的坐标表示及运算应用空间向量的运算解决立几问题证明平行、垂直求空间角与距离【考点梳理】要点一、空间向量1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
要点诠释：⑴空间的一个平移就是一个向量。
⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2.共线向量（1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 。
3.向量的数量积（1）定义：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<> 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<> 。
（2）空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<> ；②0a b a b ⊥⇔⋅=；③2||a a a =⋅ ．（3）空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；②a b b a ⋅=⋅（交换律）；③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。
4.空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 。
若三向量,,a b c不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
5.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；6.空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．7.空间向量的直角坐标运算律：（1）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（2）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=；||a ==||b == ．夹角公式：cos ||||a b a b a b ⋅⋅==⋅．（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z，则||AB ==或,A B d =。
要点二、空间向量在立体几何中的应用1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直问题，一般是利用0a b a b ⊥⇔⋅=进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式cos ||||a ba b θ⋅=⋅ 。
要点诠释：平面的法向量的求法：设n =(x,y,z)，利用n 与平面内的两个不共线的向a ，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面α的一个法向量（如图）。
线线角的求法：设直线AB 、CD 对应的方向向量分别为a 、b ，则直线AB 与CD 所成的角为||arccos ||||a b a b ⋅⋅。
（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n 是平面α的法向量，AB →是直线l 的方向向量，则直线l 与平面α所成的角为||arcsin ||||AB n AB n ⋅⋅ （如图）。
二面角的求法：设n 1，n 2分别是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则121212,arccos ||||n n n n n n ⋅〈〉=⋅就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）3.用向量法求距离的公式设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则点B 到平面α的距离为||||AB n n ⋅ （如图）。
要点诠释：⑴点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅= ，其中B α∈，n是平面α的法向量。
⑵直线a 与平面α之间的距离：AB n d ⋅= ，其中,A a B α∈∈，n是平面α的法向量。
⑶两平行平面,αβ之间的距离：AB n d ⋅= ，其中,A B αβ∈∈，n是平面α的法向量。
【典型例题】类型一、空间向量的运算【例1】已知AB =（2，2，1），AC=（4，5，3），求平面ABC 的单位法向量。
类型二：向量法证明平行或垂直【例2】如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面,2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点NM A BDO （Ⅰ）证明：直线MN OCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。
举一反三：如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF.类型三：异面直线所成的角【例3】正方体ABCD-EFGH 的棱长为a，点P 在AC 上，Q 在BG 上，且AP=BQ=a,求直线PQ 与AD 所成的角举一反三：【变式】如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2（1）11B D 与1A D 能否垂直？请证明你的判断；（2）当111A B C ∠在[,32ππ上变化时，求异面直线1AC 与11A B 所成角的取值范围。
类型四：直线与平面所成的角【例4】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =。
试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为；举一反三：90，PA=1，AB=3，AC=2，PA⊥面ABC．【变式】如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值；(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；类型五：二面角【例5】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．举一反三：【变式】如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，AD ，EF=2。
3（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A—EF—C的大小为60°？类型六：空间距离【例5】如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2 3.求点A到平面MBC的距离．=类型七、利用空间向量解决立体几何中的探索问题【例6】在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,2AB AD CD ===，PA ^平面ABCD ，4PA =.（Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所成角的正弦值为3，求PQPB的值．【变式】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB，==1EB EF，=BC ，且M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ；（Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒？若存在，求出BP 的长度；若不存在，请说明理由..CAFEBMD。