高中数学 2.3.3-2.3.4(第2课时)直线与平面、平面与平面垂直的性质习题 新人教A版必修2
高中数学2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质同步辅导与检测课件新人教A版必修
线面垂直性质的应用 如图，已知PA⊥矩形ABCD所 在平面，M、N分别是AB、PC的中点． (1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平 面PCD.
证明：(1)取PD的中点E，连接NE，又N为PC中点，
1 则NE∥CD，NE＝ 2 CD. 1 又∵AM∥CD，AM＝ 2 CD，∴AM綊NE.
②如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂
直于第二个平面的直线在第一个平面内． 2．直线与平面垂直的性质、面面垂直的性质，结合其 判定定理，其核心思想是转化思想，即实现了线面垂直、线 线垂直、面面垂直的相互转化，而且沟通了平行和垂直的内
在联系，实现了平行和垂直的相互转化.
2．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另
一个平面一定垂直吗？ 解析：不一定．只有垂直于两平面的交线才能垂直于 另一个平面．
自测自评 1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有( D ) A．b∥α C．b⊥α B．b⊂α D．b∥α或b⊂α
2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一 个平面( D ) A．垂直 B．平行 C．平行或相交 D．平行或相交或直线在另一个平面内
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，∴BG⊥AD. 又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB. ∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB. (2)当F为PC的中点时，
满足平面DEF⊥平面ABCD.
取PC的中点F，连接DE、EF、DF， 在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，
而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E. PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，
∴四边形AMNE为平行四边形． ∴MN∥AE.
⇒ ⇒ ∵ CD⊂平面ABCD CD⊥AD，PA∩AD＝A
高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质学案 新人教A版必修2
0 1 2 3
5．在四棱锥 中， 底面 ，
底面各边都相等， 是 上的一动点，
当点Байду номын сангаас满足__________时，平面 平面 。
6．三棱锥 中， ，点 为 中点， 于 点，连 ，求证：平面 平面
2.3.4平面与平面垂直的性质
课前预习导学案
一、预习目标
（1）明确平面与平面垂直的判定定理。
（2）直线与平面垂直的性质定理
二、预习内容
1、平面与平面垂直的判定定理
2、直线与平面垂直的性质定理
3、思考题：
（1）黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
（2）在长方体 中，平面 与平面 垂直，直线 垂直于其交线 。平面 内的直线 与平面 垂直吗？
试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a∥α）(引导学生思考)
解：（略）
变式 练习2题（略）
A组第1题（略）
当堂检测
1.如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。
(1)平面ADD′A′⊥平面ABCD (2) DD′⊥面ABCD (3)AD′⊥面ABCD
2.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,亲说明理由
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
高一数学人教版A版必修二练习2.3.4 平面与平面垂直的性质 Word版含解析
平面与平面垂直的性质【课时目标】．理解平面与平面垂直的性质定理．．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内于的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝，⊂α，⊥⇒．．两个重要结论：()如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在．图形表示为：符号表示为：α⊥β，∈α，∈，⊥β⇒．()已知平面α⊥平面β，⊄α，⊥β，那么(与α的位置关系)．一、选择题．平面α⊥平面β，直线∥α，则()．⊥β．∥β．与β相交．以上都有可能．平面α∩平面β＝，平面γ⊥α，γ⊥β，则()．∥γ．⊂γ．与γ斜交．⊥γ．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有()．条．条．条．无数条．设α－－β是直二面角，直线⊂α，直线⊂β，，与都不垂直，那么()．与可能垂直，但不可能平行．与可能垂直，也可能平行．与不可能垂直，但可能平行．与不可能垂直，也不可能平行．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是()①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面．．．．．如图所示，平面α⊥平面β，∈α，∈β，与两平面α、β所成的角分别为和．过、分别作两平面交线的垂线，垂足分别为′、′，则∶′′等于()．∶．∶．∶．∶二、填空题．若α⊥β，α∩β＝，点∈α，∈，则下列命题中正确的为．(只填序号)①过垂直于的平面垂直于β；②过垂直于的直线垂直于β；③过垂直于α的直线平行于β；④过垂直于β的直线在α内．．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点，空间一点到α、β、γ的距离分别是、、，则点到的距离为．．在斜三棱柱－中，∠＝°，⊥，则点在底面上的射影必在．。
高中数学 2.3.4平面与平面垂直的性质双基限时练 新人教A版必修2
高中数学 2.3.4平面与平面垂直的性质双基限时练新人教A版必修2①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A．4 B．3C．2 D．1解析①为直线和平面平行的性质定理，所以正确；②为直线与平面垂直的判定定理，所以正确；③不正确．平行于同一平面的两条直线相交、平行、异面都有可能；④为两个平面垂直的判定定理，所以正确．答案B2．用α表示一个平面，l表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l( ) A．平行B．相交C．异面D．垂直解析排除法．当l与α相交时，A不成立，当l∥α时，B不成立，当l⊂α时，C 不成立．因此排除A、B、C，故D正确．答案D①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，a∥β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案A4．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案C5．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析如图所示：(1)∵DF∥BC，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF.故A成立；(2)∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE，又DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B成立；(3)由(2)知平面PAE⊥平面ABC，故D成立．综上知，不成立的应是C.答案C6．如图，平面ABC⊥平面BCD，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.解析取BC的中点E，连接AE，DE，∵AB＝AC＝a，∴AE⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC. ∴AE⊥平面BCD.∵DE⊂平面BCD，∴AE⊥DE.计算得BC＝2a.AE＝22a，DE＝12BC＝22a.∴AD＝AE2＋DE2＝a.答案 a7．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.则当满足条件________时，有m⊥β；当满足条件________时，有m∥β.答案②⑤③⑤8．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是__________．解析由底面ABCD是正方形，知AC⊥BD，又AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，又AC在平面ACD1内，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.答案垂直9．如图，已知点M是菱形ABCD所在平面外的一点，且MA＝MC，求证：AC⊥平面BDM.证明设BD∩AC＝O，连接MO，10．已知：如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，求CD长．解连接BC.∵AC⊥AB，∴AC⊥β，AC⊥BD.∵BD⊥AB，∴BD⊥α，BD⊥BC.∴△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝AC2＋AB2＝32＋42＝5，在Rt△CBD中，CD＝BC2＋BD2＝52＋122＝13.∴CD长为13.11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，求证：AB⊥BC.证明如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于点D，则由平面A1BC⊥侧A1ABB1，且平面A1BC∩侧A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面A1BC.又∵BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC.∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC.又AA1∩AD＝A，∴BC⊥侧面A1ABB1.又AB⊂侧面A1ABB1，∴AB⊥BC.12．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明(1)设AC与BD交于点O，∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝12AC＝1，∴四边形AOEF为平行四边形．∴AF∥OE.∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FO，∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD，又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.。
高考数学2-3-3~4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质配套课件新人教A版必修
[思路探索] 可以利用线面垂直的性质定理证明线线平行，为此 需作出辅助平面．
证明
如图所示，连接 AB1、B1D1、B1C、BD，
∵DD1⊥平面 ABCD， AC⊂平面 ABCD， ∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD，∴AC⊥平面 BDD1B1， 又 BD1⊂平面 BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理可证 BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥AC，EF⊥A1D， 又 A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. ∴EF⊥平面 AB1C，∴EF∥BD1.
规律方法
线面垂直的性质也是得到线线平行的一个方法，在
有线面垂直的条件下，要得平行线，就应考虑线面垂直的性质 定理．
【变式 1】 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC. 求证：(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点 .
解
(1)如图， 在菱形 ABCD 中， 连接 BD， 由已知∠DAB＝60° ，
∴△ABD 为正三角形， ∵G 是 AD 的中点，∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD， 且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴BG⊥平面 PAD. (2)如图，连接 PG. ∵△PAD 是正三角形，G 是 AD 的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知 BG⊥AD. 又∵PG∩BG＝G. ∴AD⊥平面 PBG.而 PB⊂平面 PBG.∴AD⊥PB.
证明
(1)∵ADD1A1 为正方形，
∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1， ∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD＝D， ∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC， ∴MN∥AD1.
(2)连接 ON，在△A1DC 中， A1O＝OD，A1N＝NC， 1 1 ∴ON 綉 CD 綉 AB， 2 2 ∴ON∥AM， 又∵MN∥OA， ∴四边形 AMNO 为平行四边形， ∴ON＝AM. 1 ∵ON＝2AB， 1 ∴AM＝2AB，∴M 是 AB 的中点．
高中数学 2.3.4平面与平面垂直的性质练习 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
【成才之路】2015-2016学年高中数学 平面与平面垂直的性质练习新人教A 版必修2基础巩固一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则( ) A ．m ∥βB ．m ⊂βC ．m ⊥βD ．m 与β相交但不一定垂直 [答案] C2．已知平面α⊥平面β，直线a ⊥β，则( ) A ．a ⊂α B ．a ∥α C ．a ⊥α D ．a ⊂α或a ∥α[答案] D3．(2015·某某高一检测)空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 [答案] B4．如下图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点 [答案] D[解析] ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面PAC ，∴AC ⊥平面PBC ．又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC ．∴∠ACB ＝90°. ∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点．5．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )A ．2 1B ．3 1C ．3 2D ．4 3[答案] A[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB A ′B ′＝21.6．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部 [答案] A[解析] ∵AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，∴AC ⊥平面ABC 1， 又∵AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC ，∴C 1在平面ABC 上的射影H 必在平面ABC 1与平面ABC 的交线AB 上，故选A ． 二、填空题7．平面α⊥平面β，直线l ⊂α，直线m ⊂β，则直线l ，m 的位置关系是________. [答案] 相交、平行、异面8．三棱锥P －ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的________心． [答案] 垂[解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC ⊥PA ，AB ⊥PC ，CA ⊥PB ，又由BC ⊥PA ，PH ⊥BC ，得BC ⊥平面PAH ，则BC ⊥AH ，同理有AB ⊥CH ，CA ⊥BH ，所以H 为△ABC 高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD ．[证明]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ⊥平面BCD CD ⊥BC ⇒CD ⊥平面ABC AB ⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥AB AB ⊥AC ⇒AB ⊥平面ACDAB ⊂平面ABD⇒平面ABD ⊥平面ACD ． 10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ⊥PD ，底面ABCD 是直角梯形，其中BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，AD ＝3BC ，O 是AD 上一点．(1)若CD ∥平面PBO ，试指出点O 的位置； (2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ．[解析] (1)∵CD ∥平面PBO ，CD ⊂平面ABCD ， 且平面ABCD ∩平面PBO ＝BO ， ∴BO ∥CD ．又BC ∥AD ，∴四边形BCDO 为平行四边形． 则BC ＝DO ，而AD ＝3BC ，∴AD ＝3OD ，即点O 是靠近点D 的线段AD 的一个三等分点．(2)证明：∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊂底面ABCD ，且AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ．又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB．又PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．能力提升一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是( )A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b[答案] D[解析] 选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B 不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β[答案] C[解析] l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，A错；l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，B错；l⊥α，α∥β⇒l⊥β，C正确；若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．3．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则能够得出a⊥b的是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β[答案] C[解析] b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又a⊂α，∴b⊥a.4.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③[答案] C[解析] 注意折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变．①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，∴BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．二、填空题5.如右图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.[答案] 45°[解析] 如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD．∵△PAD是等边三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG ＝45°，即θ＝45°.6．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值X 围是________.[答案] (12，1)[解析] 如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ，∵平面ABD ⊥平面ABC ，又DK ⊥AB ， ∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF . ∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点．所以t 的取值X 围是(12，1)．三、解答题7．(2015·某某某某一中期末)如图，四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC ，CE 与平面ABE 所成的角为45°.(1)证明：AD ⊥CE ；(2)求二面角A －CE －B 的正切值．[解析] (1)证明：如图，取BC 的中点H ，连接HD ，交CE 于点P ，连接AH ，AP . ∵AB ＝AC ， ∴AH ⊥BC ．又∵平面ABC ⊥平面BCDE ， ∴AH ⊥平面BCDE ， 又CE ⊂平面BCDE ， ∴AH ⊥CE .又∵HC CD ＝CD DE＝12，∠BCD ＝∠CDE ＝90°，∴Rt △HCD ∽Rt △CDE . ∴∠CDH ＝∠CED ， ∴HD ⊥CE .又AH ∩HD ＝H ， ∴CE ⊥平面AHD ． ∴AD ⊥CE .(2)由(1)CE ⊥平面AHD ，得AP ⊥CE ， 又HD ⊥CE ，∴∠APH 就是二面角A －CE －B 的平面角． 过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，连接EG . ∵BE ⊥BC ，且BE ⊥AH ，AH ∩BC ＝H ， ∴BE ⊥平面ABC ， ∴BE ⊥CG ，又BE ∩AB ＝B ，∴CG ⊥平面ABE ，∴∠CEG 就是CE 与平面ABE 所成的角，则∠CEG ＝45°， 又CE ＝22＋22＝6，∴CG ＝EG ＝ 3.又BC ＝2，∴∠ABC ＝60°， ∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∴AH ＝ 3. 又由△HCP ∽△DEP 得HP ＝33， ∴tan ∠APH ＝AH HP＝3.8．(2011·某某)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD ．[解析] (1)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ． 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD ．(2)连接BD．因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．。
高中数学人教A版必修二2.3.3-2.3.4《直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质》ppt课件
α A
学法小结
1. 直线与平面垂直的性质； 2. 平面与平面垂直的性质。
例题精析
例1：如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′
中，求证：平面ACC′A′⊥平面A′BDC′。
D′
C′
B′ A′
D
C
A
B
例2：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上
的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在
平面，D，E分别是VA，VC的中点，试判断
知识回顾
1. 直线与平面、平面与平面垂直的判定； 2. 直线、平面间所成的三类角的研究方法。
教材研读
A. 研读教材P70 1. 直线与平面垂直的性质； 2. 研究直线与平面垂直的性质的证明，体会
几何证明的方法及维度的选择？ 3. 自我检测： （1）教材P71练习部分； （2）教材P71探究部分。
B. 研读教材P71： 1. 平面与平面垂直的性质；
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
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谢谢欣赏！
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② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
2. 平面与平面垂直的性质证明体现了“线面”
维度间怎样的联系？
最新高中数学人教A版必修二2.3.4《平面与平面垂直的性质》同步练习(精品试卷).doc
2.3.4 平面与平面垂直的性质【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．1．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内________于________的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a⊄α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交D．以上都有可能2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )A．l∥γB．l⊂γC．l与γ斜交D．l⊥γ3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )A．0条B．1条C．2条D．无数条4．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么( )A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行5．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面A ．4B ．3C ．2D ．16．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，PD/∈l ，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P 垂直于l 的平面垂直于β；②过P 垂直于l 的直线垂直于β；③过P 垂直于α的直线平行于β；④过P 垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P 到α、β、γ的距离分别是2cM、3cM、6cM，则点P到O的距离为________．9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在__________．三、解答题10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA 的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理，应用时应注意：(1)两平面垂直；(2)直线必须在一个平面内；(3)直线垂直于交线．2．此定理另一应用：由一点向一个平面引垂线，确定垂足位置是求几何体高的依据．2．3．4 平面与平面垂直的性质答案知识梳理1．垂直交线a⊥β2．(1)第一个平面内a⊂α(2)a∥α作业设计1．D2．D[在γ面内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，由于β⊥γ，γ∩β＝m，所以OE⊥面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，OE∩OF＝O，所以l⊥γ．]3．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]4．C 5．B6．A[如图：由已知得AA ′⊥面β，∠ABA ′＝π6， BB ′⊥面α，∠BAB ′＝π4， 设AB ＝a ，则BA ′＝32a ，BB ′＝22a ， 在Rt △BA ′B ′中，A ′B ′＝12a ，∴AB A ′B ′＝21．] 7．①③④解析 由性质定理知②错误．8．7cm解析 P 到O 的距离恰好为以2cm,3cm,6cm 为长、宽、高的长方体的对角线的长．9．直线AB 上解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC1，又AC⊂面ABC，∴面ABC1⊥面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．10．证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB．11．证明(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．12．证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．13．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855， 此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24．∴V P —ABCD ＝13×24×23＝163．。
学练考高中数学2.3.3、2.3.4直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2
图 2-3-55 证明：过点 A 作 AE⊥PB，垂足为 E， ∵平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB∩平面 PBC＝PB，∴AE⊥平面 PBC. ∵BC⊂平面 PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC. ∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面 PAB.
第二十四页，共28页。
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 D -ABC 的体积．
图 2-3-18
第十五页，共28页。
2.3.4 │ 考点(kǎo diǎn)类析
解：(1)证明：在图(a)中，可得 AC＝BC＝2 2，从而 AC 2 ＋BC 2＝AB 2，故 AC⊥BC.因为平面 ADC⊥平面 ABC，平面
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
当堂自测
1．已知直线 b⊥平面 α，直线 a⊂α，则 a 与 b 的位置关系 是( )
A．a∥b B．a⊥b C．a 与 b 垂直相交 D．a 与 b 垂直且异面 [答案]B
第二十五页，共28页。
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
2．已知平面 α，β，直线 l，若 α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B．垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C．垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D．垂直于直线 l 的平面一定与平面 α、β 都垂直
高一数学人教A版必修2课件：2.3.3-2.3.4 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
证明:连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图. ∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD,BD∩DD1=D, ∴AC⊥平面BDD1B1. ∴AC⊥BD1. 同理BD1⊥B1C, ∵AC∩B1C=C, ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. 又EF⊥AC明目标、知重点 ,AC∩B1C=C,
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变式训练2 如图,四棱锥V-ABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面 ABCD,且VB⊥平面VAD. 求证:平面VBC⊥平面VAC. 证明:∵平面VAB⊥平面ABCD, 且BC⊥AB, ∴BC⊥平面VAB,∴BC⊥VA. ∵VB⊥平面VAD,∴VB⊥VA. 又VB∩BC=B, ∴VA⊥平面VBC. ∵VA⊂平面 VAC, 明目标、知重点
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变式训练 如图,已知PA⊥平面ABC,二面角A-PB-C是直二面角.
求证:AB⊥BC. 证明:由二面角A-PB-C为直二面角,得平面PAB⊥平面CPB,且PB 为交线. 在平面PAB内,过点A作AD⊥PB,D为垂足, 则AD⊥平面CPB.又BC⊂平面CPB,所以AD⊥BC.
2.3.3~2.3.4 直线与平面垂直的性 质 平面与平面垂直的性质
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2.3.3-2.3.4第2课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线
n
与平面α的关系是( )
A．n∥α B．n∥α或n⊂α
C．n⊂α或n与α不平行 D．n⊂α
解析：选A ∵l⊂α且l与n异面，∴n⊄α.
又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.
2．如图所示，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个
结论不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
解析：选C 由题意知BC∥DF，
∴BC∥平面PDF.
∵P－ABC为正四面体，
∴BC⊥PA，AE⊥PC.
∴BC⊥平面PAE，DF⊥平面PAE.
∵DF⊂平面ABC，
∴平面PAE⊥平面ABC.
3．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，
则α⊥β；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．其中正确的命题是
( )
A．②③ B．①③
C．②④ D．③④
解析：选D 对于①，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，不可能垂直，所以①不
正确；对于②，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，所以②不正确；③④正确，故选
D.
4．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，
当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )
A．变大 B．变小
C．不变 D．有时变大有时变小
解析：选C 由于BC⊥CA，l⊥平面ABC，
∴BC⊥l，故BC⊥平面ACP，
∴BC⊥CP，∴∠PCB＝90°，故选C.
5．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则
下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
解析：选D ∵PA⊥平面ABC，
∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝PAAD＝2AB2AB＝1，
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°，选D.
二、填空题
6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个
论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；
④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命
题：________.
解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④
⇒①为真．∴应填“若①③④则②”，或“若②③④则①”．
答案：若①③④则②(或若②③④则①)
7．如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，
得到四棱锥A－BCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是________．
解析：∵AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，且平面ADE∩平面BCDE＝DE，∴AD⊥平面BCDE.
又BC⊂平面BCDE，
∴AD⊥BC.又BC⊥CD，CD∩AD＝D，
∴BC⊥平面ACD，又BC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD.
答案：平面ABC⊥平面ACD
8．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，则二
面角C－BD－A的平面角的正切值为________．
解析：过C点作CO⊥AB，垂足为O，作OH⊥BD，
垂足为H，连接CH.
∵平面ABC⊥平面ABD，交线为AB.
∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥BD.
又∵OH⊥BD，OH∩CO＝O，
∴BD⊥平面COH，∴BD⊥CH.
∴∠CHO为二面角C－BD－A的平面角．
设CA＝CB＝a，则AB＝BD＝AD＝2a，CO＝22a.
∴OH＝12×32×2a＝64a.
∴tan∠CHO＝COOH＝22a64a＝233.
答案：233
三、解答题
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，
已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.
(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积．
解：(1)证明：在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，
∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
BD⊂平面ABCD
，
∴BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD.
(2)过P作PO⊥AD，垂足为O.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
即PO为四棱锥P－ABCD的底面ABCD上的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO＝23.
在底面四边形ABCD中，
AB∥DC，AB＝2DC
，
∴四边形ABCD为梯形．
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，即梯形的高为855.
∴S四边形ABCD＝25＋452×855＝24.
∴VP－ABCD＝13×24×23＝163.
10．如图，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线
段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB＝5a.
(1)证明：EB⊥FD；
(2)求点B到平面FED的距离．
解：(1)证明：∵FC⊥平面BED，BE⊂平面BED，∴EB⊥FC.
又点E为AC的中点，B为直径AC的中点，∴EB⊥BC.
又∵FC∩BC＝C，∴EB⊥平面FBD.
∵FD⊂平面FBD，∴EB⊥FD.
(2)如图，在平面BEC内过C作CH⊥ED，连接FH.则由FC⊥平面
BED知，ED⊥平面FCH
.
∵Rt△DHC∽Rt△DBE，
∴DCDE＝CHBE.
在Rt△DBE中，
DE＝BE2＋BD2＝BE2＋BC2＝5a
，
∴CH＝DC·BEDE＝a·a5a＝55a.
∵FB＝5a，BC＝a，∴FC＝2a.
在平面FCH内过C作CK⊥FH，则CK⊥平面FED.
∵FH2＝FC2＋CH2＝4a2＋a25＝215a2，
∴FH＝1055a.
∴CK＝FC·CHFH＝2a·55a1055a＝22121a.
∵C是BD的中点，
∴B到平面FED的距离为2CK＝42121a.