高中数学第二章平面向量专题整合课件苏教版
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高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理2同
C
B
e2
A e1 2.5e1
3e2
·O
例2: 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点.
请大家动手, 在图中确一组
DM
C
基底，将其他向
量用这组基底表
示出来。
A
N
B
解析： 设AB = e1,AD = e2,则有：
DC
=
1
2 AB
=
12e1
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC
= e2
- e1+
1 2
e1=
-
1 2
e1
+
e2
MN = DN-DM
DM C
=(AN-AD)- 1 DC
=
1 2
e1 -
e2
21
-4
e1
=
1 4
e1
-
e2
.
A
N
B
评析 能够在具体问题中适当地选取
基底，使其他向量能够用基底来表 示，再利用有关知识解决问题。
例3: ABCD中，E、F分别是DC和AB
共线向量，那么对于这一平面内的任
一向量 a 有且只有一对实数1、2使
a = 1e1 + 2e2 我们把不共线的向量e1、e2叫做表
这一平面内所有向量的一组基底。
思考
（1）平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
M
CF
M
C
Aa
a
O
N BO
N
E
思考
(2)若基底选取不同，则表示同一
向量的实数1、2是否相同？
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的坐标运算2
解(2x y 1) (2) (x y 2) 2 0
2x y 1 (x y 2)
解得：x
1 3
y R
(2)解得：x
y
1 3
1 3
又问：x, y为何值时，a与b相等？
例题2、已知 a 10,b (3, 4)且a // b，
求向量a.
解：设a (x, y),则a x2 y2 10
又b (3,4),a // b
x2 y2 10
4x 3y 0
解得：xy
68或xy
6 8
a (6,8)或a (6,8)
课堂练习:
1、已知两点A(0,2)，B(2,0)，则与向量AB 同向量的单位向量是（ B）
终点的坐标减去起点的坐标．
例2、如图，已知A（1，3），
B（1， 3），C（4，1），D（3，4），
Y
求向量OA，OB，
D
AO，CD的坐标。
A
四边形OCDA 是平行四边形？
O
C X
B
课堂练习:
1、向量a=(n,1),b=(4,n) 共线且方向相同， 则n =（C）
1 A. 2
B.± 1 2
与它起点坐标和终点坐标
-4
间有什么联系吗？
y
y2
B
y2-y1
A
y1
x2-x1
0 x1
x2
x
一个重要结论：
AB OB OA
(x2 , y2 ) (x1, y1) (x2 x1, y2 y1)
已知点A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
高中数学苏教版必修4课件：第二章 平面向量 2.2.1
【精彩点拨】 → → 要证 AECF 是平行四边形，只要证AE＝FC. 图 223
【自主解答】
→ → → → → → 因为AE＝AB＋BE，FC＝FD＋DC，
→ → 又因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以AB＝DC. → → → → 因为 FD＝BE，且FD与BE的方向相同，所以FD＝BE. → → → → → → 所以AB＋BE＝FD＋DC，即AE＝FC，所以 AE 与 FC 平行且相等，所以四 边形 AECF 是平行四边形．
教材整理 2
向量加法的运算律
阅读教材 P63，完成下列问题．
b＋a (1)交换律：a＋b＝_______. a＋(b＋c) ． (2)结合律：(a＋b)＋c＝__________ a (3)a＋0＝0＋a＝___.
(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝___. 0
→ → → → 1．化简：AO＋OB＋CD＋BC＝________. → → → → 【解析】 (AO＋OB)＋CD＋BC
【解】
→ → 如图，设OA表示小雨滴无风时下落的速度，OB表
→ 示风的速度，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则OC就是 小雨滴实际飞行的速度．
→ → 在 Rt△OAC 中，|OA|＝4 m/s，|AC|＝3 m/s， → 所以|OC|＝ →2 →2 |OA| ＋|AC| ＝5 m/s.
阶 段 一
阶 段 三
2.2
向量的线性运算 向量的加法
学 业 分 层 测 评
2.2.1
阶 段 二
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几 何意义．(重点) 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运 用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点) 3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释 向量加法运算律的合理性．(难点)
【自主解答】
→ → → → → → 因为AE＝AB＋BE，FC＝FD＋DC，
→ → 又因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以AB＝DC. → → → → 因为 FD＝BE，且FD与BE的方向相同，所以FD＝BE. → → → → → → 所以AB＋BE＝FD＋DC，即AE＝FC，所以 AE 与 FC 平行且相等，所以四 边形 AECF 是平行四边形．
教材整理 2
向量加法的运算律
阅读教材 P63，完成下列问题．
b＋a (1)交换律：a＋b＝_______. a＋(b＋c) ． (2)结合律：(a＋b)＋c＝__________ a (3)a＋0＝0＋a＝___.
(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝___. 0
→ → → → 1．化简：AO＋OB＋CD＋BC＝________. → → → → 【解析】 (AO＋OB)＋CD＋BC
【解】
→ → 如图，设OA表示小雨滴无风时下落的速度，OB表
→ 示风的速度，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则OC就是 小雨滴实际飞行的速度．
→ → 在 Rt△OAC 中，|OA|＝4 m/s，|AC|＝3 m/s， → 所以|OC|＝ →2 →2 |OA| ＋|AC| ＝5 m/s.
阶 段 一
阶 段 三
2.2
向量的线性运算 向量的加法
学 业 分 层 测 评
2.2.1
阶 段 二
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几 何意义．(重点) 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运 用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点) 3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释 向量加法运算律的合理性．(难点)
高中数学第1部分第2章2.32.3.1平面向量基本定理课件苏教版必修.pptx
[例 3] 如图，△ABC 中，D 为 BC 的中 点，G 为 AD 的中点，过点 G 任作一直 线 MN 分别交 AB、AC 于 M、N 两点， 若 AM ＝x AB， AN ＝y AC ，试问：1x＋1y是否为定值？
5. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M， AB＝a， AD＝b， 试用 a，b 表示 MC ， MA， MB和 MD. 解：∵ AC ＝ AB＋ AD＝a＋b， 又∵平行四边形的对角线互相平分， ∴ MC ＝12 AC ＝12a＋12b， MA＝－ MC ＝－12a－12b， ∴ MB＝12 DB＝12( AB－ AD)＝12a－12b， MD＝－ MB＝12b－12a.
(2)平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的唯一性是相 对于基底e1，e2而言的．一旦选定一组基底，则给定向量 沿着基底的分解是唯一的．
[例1] 若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断c，d能否作为基底．
[思路点拨] 要判断c，d能否作为基底，只需看c，d是 否共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底．
4. 如图所示，△ABC 中，若 D、E、F
依次是 AB 的四等分点，则以CB＝e1， CA＝e2 为基底时，CF ＝________. 解析： CB ＝e1， CA＝e2， ∴ AB＝e1－e2. ∵ AF ＝34 AB，∴ AF ＝34(e1－e2)． ∴CF ＝CA＋ AF ＝e2＋34(e1－e2)＝34e1＋14e2. 答案：34e1＋14e2
问题4：根据问题2的作图过程，你认为如何用e1和e2表示a? 提示：因OM ＝λ1e1，ON ＝λ2e2， OC ＝OM ＋ON ，则 a＝λ1e1＋λ2e2，λ1、λ2 是常数．
1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内两个 不共线 的向量，那么对 于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e2 .
高中数学 第二章 平面向量专题整合课件 苏教版必修4
∴A→B与A→C不共线，即点 C 不在直线 AB 上，同理点 D 也
不在直线 AB 上，直线 AB 与 CD 不共线，即线段 AB 与 CD 不共线． [点评] 若只由A→B＝(2，4)，C→D＝(6，12)，得A→B＝13C→D，
[解] 由条件知，A→B＝(3，3)，B→C＝(－2，1)，A→D＝(m－1， n)，D→C＝(2－m，4－n)， 如右图所示． (1)若四边形 ABCD 为 平行四边形，则A→B＝D→C， 所以(3，3)＝(2－m，4－n)，即 3＝2－m 且 3＝4－n. 解得 m＝－1，n＝1. 所以当 m＝－1，n＝1 时，四边形 ABCD 为平行四边形．
＝12－m2 (m<1 且 m≠－1)．
[点评] 通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一 个 有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个 向 量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样,就 给出了向量的另一种表示——坐标表示法，向量的加法、减 法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算 完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题 的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
第2章 平面向量
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫做向量的线性 运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共 线、两线段平行、线段相等等问题，而理解相关概念，用基 底表示向量是基础．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC， BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，试用 c，d 表示A→B和A→D.
平面向量的数量积
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向 量 的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、 判 断 相应的两条直线是否垂直等．
不在直线 AB 上，直线 AB 与 CD 不共线，即线段 AB 与 CD 不共线． [点评] 若只由A→B＝(2，4)，C→D＝(6，12)，得A→B＝13C→D，
[解] 由条件知，A→B＝(3，3)，B→C＝(－2，1)，A→D＝(m－1， n)，D→C＝(2－m，4－n)， 如右图所示． (1)若四边形 ABCD 为 平行四边形，则A→B＝D→C， 所以(3，3)＝(2－m，4－n)，即 3＝2－m 且 3＝4－n. 解得 m＝－1，n＝1. 所以当 m＝－1，n＝1 时，四边形 ABCD 为平行四边形．
＝12－m2 (m<1 且 m≠－1)．
[点评] 通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一 个 有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个 向 量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样,就 给出了向量的另一种表示——坐标表示法，向量的加法、减 法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算 完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题 的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
第2章 平面向量
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫做向量的线性 运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共 线、两线段平行、线段相等等问题，而理解相关概念，用基 底表示向量是基础．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC， BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，试用 c，d 表示A→B和A→D.
平面向量的数量积
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向 量 的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、 判 断 相应的两条直线是否垂直等．
(新课程)高中数学 《第二章平面向量》归纳整合课件 苏教版必修4
用．
几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量 的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条 对角线的向量．注意两向量要移至共起点． 减法也满足交换律、结合律． (3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上 向量长度的伸缩变换．
数乘向量满足结合律和分配律．
3．共线定理与平面向量基本定理 (1)共线向量定理：向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一 个实数 λ，使得 b＝λa. 共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问 题的重要方法． 特别地，平面内一点 P 位于直线 AB 上的条件是存在实数 x， → ＝xAB → (或 xAC → )，或对直线外任意一点 O，有OP → ＝xOA → ＋yOB → 使AP (x＋y＝1)．
1＋μ 1－μ ＝ a＋ b， 2 2 1＋μ 1－μ λ λ ∴2a＋4b＝ 2 a＋ 2 b. ∵向量 a、b 不共线，由平面向量基本定理，得 λ ＝1＋μ， 2 2 λ 11 解得 λ＝3，故AF＝3a＋3b.
2 1 答案 3a＋3b
专题二 向量的坐标运算 1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐 标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一． 2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转 化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体 现． 3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹 角，判断共线、平行、垂直等问题．
专题一 向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫做向量的线 性运算．主要是运用它们的运算法则、运算律，解决诸如三点共 线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题，而理解 相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础．
高中数学苏教版必修二《平面向量》课件
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
4
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• 单击此处3编.相辑等母向版文量本:长样度式相等且方向相同的向量.
• 第二级
• 第三级
向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两
• 向第四量级 a 与 b 相等,记为 a b . • 第五级
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
• 单击此（处c）编有辑母限版个文向本量样a式1，a2，...an相加, 可以从点O出发, • 第•二第逐级三一级 作向量OA1 a1 , A1 A2 a2 , ...An1 An an ,则向量 O•A第n四•为级第这五级些向量的和,即 a1+a2 +...+an =OA1 A1 A2 ... An1 An (向量加法的多边形法则) 当An和O重合时(即上述折线OA1 A2 ...An 成封闭折线时), 则和向量为零向量. 注意:逆用以上向量的和式,即把一个向量表示为若 干个向量和的情势,是解决向量问题的关键.
21
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• 第二级
• 第三级
• 第四设级 两个非零向量 a 与 b 不共线， • (第1五)若级 A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)． 求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
22
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• 第五级
使b＝λa.
• 向量的加、减、数乘运算 统称为向量的线性运算．
12
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• 单击此四处．编辑运母算版律文本样式
• 第二级
• 第•••三aa第级、＋四• 级第bb、＝五级c为任意；向(量a＋，bλ)＋、cu＝、u1、u2为任意实；数
4
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• 第二级
• 第三级
向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两
• 向第四量级 a 与 b 相等,记为 a b . • 第五级
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
• 单击此（处c）编有辑母限版个文向本量样a式1，a2，...an相加, 可以从点O出发, • 第•二第逐级三一级 作向量OA1 a1 , A1 A2 a2 , ...An1 An an ,则向量 O•A第n四•为级第这五级些向量的和,即 a1+a2 +...+an =OA1 A1 A2 ... An1 An (向量加法的多边形法则) 当An和O重合时(即上述折线OA1 A2 ...An 成封闭折线时), 则和向量为零向量. 注意:逆用以上向量的和式,即把一个向量表示为若 干个向量和的情势,是解决向量问题的关键.
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• 第二级
• 第三级
• 第四设级 两个非零向量 a 与 b 不共线， • (第1五)若级 A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)． 求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
22
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• 第五级
使b＝λa.
• 向量的加、减、数乘运算 统称为向量的线性运算．
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• 第二级
• 第•••三aa第级、＋四• 级第bb、＝五级c为任意；向(量a＋，bλ)＋、cu＝、u1、u2为任意实；数
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
答案
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
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题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
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[分析] AB、AD 为▱ABCD 的边，故可先用A→B、A→D作为基底 表示出A→M、A→N,再解出用A→M、A→N表示A→B、A→D的表达式.
[解] 设A→B＝a，A→D＝b，则由 M、N 分别为 DC，BC 的 中点，可得B→N＝12b，D→M＝12a. 在△ABN 和△ADM 中，
a＋21b＝d， ①
∴A→B与A→C不共线，即点 C 不在直线 AB 上，同理点 D 也
不在直线 AB 上，直线 AB 与 CD 不共线，即线段 AB 与 CD 不共线． [点评] 若只由A→B＝(2，4)，C→D＝(6，12)，得A→B＝13C→D，
平面向量的数量积
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向 量 的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、 判 断 相应的两条直线是否垂直等．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，－2)， B(2，3)，C(－2，－1)． (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的[点评] 通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一 个 有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个 向 量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样,就 给出了向量的另一种表示——坐标表示法，向量的加法、减 法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算 完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题 的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
从而 5t＝－11，所以 t＝－151.
[点评] 数量积的运算是平面向量的核心内容，利用数量积 可以解决以下几个大问题：平行问题、垂直问题、求模问 题、求夹角问题以及求向量及进行数量积运算等．
向量的共线问题
证明向量平行(共线)问题常用的结论有：(1)向量 a、b(a≠0) 共线⇔存在惟一实数 λ，使 b＝λa；(2)向量 a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量 a 与 b 共线⇔|a·b| ＝|a||b|；(4)向量 a 与 b 共线⇔存在不全为零的实数 λ1，λ2， 使 λ1a＋λ2b＝0.判断两向量所在的基线共线时，除满足定理 的要求外，还应说明此两基线有公共点．
(2)设实数 t 满足(A→B－tO→C)·O→C＝0，求 t 的值．
[分析] 对角线的长即为向量的模，利用模的计算公式求解.
[解] (1)由题意知A→B＝(3，5)，A→C＝(－1，1)， 则A→B＋A→C＝(2，6)，A→B－A→C＝(4，4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 2 10，4 2. (2)由题设知O→C＝(－2，－1)，A→B－tO→C＝(3＋2t，5＋t)，由 (A→B－tO→C)·O→C＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 即(－2)(3＋2t)＋(－1)(5＋t)＝0.
向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．引入向量的 坐 标表示后，向量的运算完全转化为代数运算，达到了数与 形 的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向 量 的模、判断共线、平行等问题．
已知A、B、C、D四点的坐标分别是A(1，0)、 B(4，3)、C(2，4)、D(m，n)，当m，n满足什么条件 时， 四 边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、 梯 形 (A、B、C、D按逆时针方向排列)? [分析] 将平行四边形、菱形等的判断条件用向量的关 系 式 表示出来求解．
[解] 由条件知，A→B＝(3，3)，B→C＝(－2，1)，A→D＝(m－1， n)，D→C＝(2－m，4－n)， 如右图所示． (1)若四边形 ABCD 为 平行四边形，则A→B＝D→C， 所以(3，3)＝(2－m，4－n)，即 3＝2－m 且 3＝4－n. 解得 m＝－1，n＝1. 所以当 m＝－1，n＝1 时，四边形 ABCD 为平行四边形．
(2)当 m＝－1，n＝1 时，A→B＝(3，3)，A→D＝(－2，1)，
则A→B＝3 2，|A→D|＝ 5，|A→B|≠|A→D|. 因此，使四边形 ABCD 为菱形的 m，n 不存在． (3)当 m＝－1，n＝1 时，A→B·A→D＝(3，3)·(－2，1)＝－3≠0， 即 AB，AD 不垂直，因此使四边形 ABCD 为矩形的 m， n 不存在．
已知 A(－1，1)，B(1，5)，C(－2，－5)，D(4，7)， 试判断两线段 AB 与 CD 是否共线？ [分析] 本题主要考查向量共线定理，要判断 AB 与 CD 是否 共线．首先看是否满足A→B＝λC→D，再说明线段 AB 与 CD 是否 有公共点．
[解] ∵A→B＝(2，4)，A→C＝(－1，－6)， ∴－1×4－(－6)×2＝－4＋12＝8≠0，
第2章 平面向量
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫做向量的线性 运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共 线、两线段平行、线段相等等问题，而理解相关概念，用基 底表示向量是基础．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC， BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，试用 c，d 表示A→B和A→D.
有
b＋21a＝c. ②
①×2－②，得 a＝23(2d－c)．
②×2－①，得 b＝23(2c－d)． 故A→B＝43d－23c，A→D＝43c－23d. [点评] 该类题常以解答题出现，主要考查用基底表示向 量，选择一组基底，结合三角形法则或平行四边形法则 可用基底向量表示同一平面内任一向量．
向量的坐标运算
(4)由(2)(3)知，使四边形 ABCD 为正方形的 m，n 不存在．
(5)若四边形 ABCD 为梯形，则D→C＝λA→B或A→D＝λB→C，其 中 λ 为实数，且 λ>0，λ≠1，所以24－ －mn＝＝33λλ，，(λ>0 且 λ≠1) 或mn＝－λ1，＝－2λ，(λ>0 且 λ≠1)． 整理得 m，n 的取值条件为 n＝m＋2(m<2 且 m≠－1)或 n
[解] 设A→B＝a，A→D＝b，则由 M、N 分别为 DC，BC 的 中点，可得B→N＝12b，D→M＝12a. 在△ABN 和△ADM 中，
a＋21b＝d， ①
∴A→B与A→C不共线，即点 C 不在直线 AB 上，同理点 D 也
不在直线 AB 上，直线 AB 与 CD 不共线，即线段 AB 与 CD 不共线． [点评] 若只由A→B＝(2，4)，C→D＝(6，12)，得A→B＝13C→D，
平面向量的数量积
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向 量 的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、 判 断 相应的两条直线是否垂直等．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，－2)， B(2，3)，C(－2，－1)． (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的[点评] 通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一 个 有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个 向 量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样,就 给出了向量的另一种表示——坐标表示法，向量的加法、减 法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算 完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题 的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
从而 5t＝－11，所以 t＝－151.
[点评] 数量积的运算是平面向量的核心内容，利用数量积 可以解决以下几个大问题：平行问题、垂直问题、求模问 题、求夹角问题以及求向量及进行数量积运算等．
向量的共线问题
证明向量平行(共线)问题常用的结论有：(1)向量 a、b(a≠0) 共线⇔存在惟一实数 λ，使 b＝λa；(2)向量 a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量 a 与 b 共线⇔|a·b| ＝|a||b|；(4)向量 a 与 b 共线⇔存在不全为零的实数 λ1，λ2， 使 λ1a＋λ2b＝0.判断两向量所在的基线共线时，除满足定理 的要求外，还应说明此两基线有公共点．
(2)设实数 t 满足(A→B－tO→C)·O→C＝0，求 t 的值．
[分析] 对角线的长即为向量的模，利用模的计算公式求解.
[解] (1)由题意知A→B＝(3，5)，A→C＝(－1，1)， 则A→B＋A→C＝(2，6)，A→B－A→C＝(4，4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 2 10，4 2. (2)由题设知O→C＝(－2，－1)，A→B－tO→C＝(3＋2t，5＋t)，由 (A→B－tO→C)·O→C＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 即(－2)(3＋2t)＋(－1)(5＋t)＝0.
向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．引入向量的 坐 标表示后，向量的运算完全转化为代数运算，达到了数与 形 的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向 量 的模、判断共线、平行等问题．
已知A、B、C、D四点的坐标分别是A(1，0)、 B(4，3)、C(2，4)、D(m，n)，当m，n满足什么条件 时， 四 边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、 梯 形 (A、B、C、D按逆时针方向排列)? [分析] 将平行四边形、菱形等的判断条件用向量的关 系 式 表示出来求解．
[解] 由条件知，A→B＝(3，3)，B→C＝(－2，1)，A→D＝(m－1， n)，D→C＝(2－m，4－n)， 如右图所示． (1)若四边形 ABCD 为 平行四边形，则A→B＝D→C， 所以(3，3)＝(2－m，4－n)，即 3＝2－m 且 3＝4－n. 解得 m＝－1，n＝1. 所以当 m＝－1，n＝1 时，四边形 ABCD 为平行四边形．
(2)当 m＝－1，n＝1 时，A→B＝(3，3)，A→D＝(－2，1)，
则A→B＝3 2，|A→D|＝ 5，|A→B|≠|A→D|. 因此，使四边形 ABCD 为菱形的 m，n 不存在． (3)当 m＝－1，n＝1 时，A→B·A→D＝(3，3)·(－2，1)＝－3≠0， 即 AB，AD 不垂直，因此使四边形 ABCD 为矩形的 m， n 不存在．
已知 A(－1，1)，B(1，5)，C(－2，－5)，D(4，7)， 试判断两线段 AB 与 CD 是否共线？ [分析] 本题主要考查向量共线定理，要判断 AB 与 CD 是否 共线．首先看是否满足A→B＝λC→D，再说明线段 AB 与 CD 是否 有公共点．
[解] ∵A→B＝(2，4)，A→C＝(－1，－6)， ∴－1×4－(－6)×2＝－4＋12＝8≠0，
第2章 平面向量
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫做向量的线性 运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共 线、两线段平行、线段相等等问题，而理解相关概念，用基 底表示向量是基础．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC， BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，试用 c，d 表示A→B和A→D.
有
b＋21a＝c. ②
①×2－②，得 a＝23(2d－c)．
②×2－①，得 b＝23(2c－d)． 故A→B＝43d－23c，A→D＝43c－23d. [点评] 该类题常以解答题出现，主要考查用基底表示向 量，选择一组基底，结合三角形法则或平行四边形法则 可用基底向量表示同一平面内任一向量．
向量的坐标运算
(4)由(2)(3)知，使四边形 ABCD 为正方形的 m，n 不存在．
(5)若四边形 ABCD 为梯形，则D→C＝λA→B或A→D＝λB→C，其 中 λ 为实数，且 λ>0，λ≠1，所以24－ －mn＝＝33λλ，，(λ>0 且 λ≠1) 或mn＝－λ1，＝－2λ，(λ>0 且 λ≠1)． 整理得 m，n 的取值条件为 n＝m＋2(m<2 且 m≠－1)或 n