高中数学第二章平面向量专题整合课件苏教版
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＝12－m2 (m<1 且 m≠－1)．
[点评] 通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一 个 有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个 向 量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样,就 给出了向量的另一种表示——坐标表示法，向量的加法、减 法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算 完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题 的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
[分析] AB、AD 为▱ABCD 的边，故可先用A→B、A→D作为基底 表示出A→M、A→N,再解出用A→M、A→N表示A→B、A→D的表达式.
[解] 设A→B＝a，A→D＝b，则由 M、N 分别为 DC，BC 的 中点，可得B→N＝12b，D→M＝12a. 在△ABN 和△ADM 中，
a＋21b＝d， ①
∴A→B与A→C不共线，即点 C 不在直线 AB 上，同理点 D 也
不在直线 AB 上，直线 AB 与 CD 不共线，即线段 AB 与 CD 不共线． [点评] 若只由A→B＝(2，4)，C→D＝(6，12)，得A→B＝13C→D，
(4)由(2)(3)知，使四边形 ABCD 为正方形的 m，n 不存在．
(5)若四边形 ABCD 为梯形，则D→C＝λA→B或A→D＝λB→C，其 中 λ 为实数，且 λ>0，λ≠1，所以24－ －mn＝＝33λλ，，(λ>0 且 λ≠1) 或mn＝－λ1，＝－2λ，(λ>0 且 λ≠1)． 整理得 m，n 的取值条件为 n＝m＋2(m<2 且 m≠－1)或 n
向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．引入向量的 坐 标表示后，向量的运算完全转化为代数运算，达到了数与 形 的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向 量 的模、判断共线、平行等问题．
已知A、B、C、D四点的坐标分别是A(1，0)、 B(4，3)、C(2，4)、D(m，n)，当m，n满足什么条件 时， 四 边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、 梯 形 (A、B、C、D按逆时针方向排列)? [分析] 将平行四边形、菱形等的判断条件用向量的关 系 式 表示出来求解．
第2章 平面向量
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫做向量的线性 运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共 线、两线段平行、线段相等等问题，而理解相关概念，用基 底表示向量是基础．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC， BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，试用 c，d 表示A→B和A→D.
[解] 由条件知，A→B＝(3，3)，B→C＝(－2，1)，A→D＝(m－1， n)，D→C＝(2－m，4－n)， 如右图所示． (1)若四边形 ABCD 为 平行四边形，则A→B＝D→C， 所以(3，3)＝(2－m，4－n)，即 3＝2－m 且 3＝4－n. 解得 m＝－1，n＝1. 所以当 m＝－1，n＝1 时，四边形 ABCD 为平行四边形．
已知 A(－1，1)，B(1，5)，C(－2，－5)，D(4，7)， 试判断两线段 AB 与 CD 是否共线？ [分析] 本题主要考查向量共线定理，要判断 AB 与 CD 是否 共线．首先看是否满足A→B＝λC→D，再说明线段 AB 与 CD 是否 有公共点．
[解] ∵A→B＝(2，4)，A→C＝(－1，－6)， ∴－1×4－(－6)×2＝－4＋12＝8≠0，
(2)当 m＝－1，n＝1 时，A→B＝(3，3)，A→D＝(－2，1)，
则A→B＝3 2，|A→D|＝ 5，|A→B|≠|A→D|. 因此，使四边形 ABCD 为菱形的 m，n 不存在． (3)当 m＝－1，n＝1 时，A→B·A→D＝(3，3)·(－2，1)＝－3≠0， 即 AB，AD 不垂直，因此使四边形 ABCD 为矩形的 m， n 不存在．
平面向量的数量积
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向 量 的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、 判 断 相应的两条直线是否垂直等．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，－2)， B(2，3)，C(－2，－1)． (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
从而 5t＝－11，所以 t＝－151.
[点评] 数量积的运算是平面向量的核心内容，利用数来自百度文库积 可以解决以下几个大问题：平行问题、垂直问题、求模问 题、求夹角问题以及求向量及进行数量积运算等．
向量的共线问题
证明向量平行(共线)问题常用的结论有：(1)向量 a、b(a≠0) 共线⇔存在惟一实数 λ，使 b＝λa；(2)向量 a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量 a 与 b 共线⇔|a·b| ＝|a||b|；(4)向量 a 与 b 共线⇔存在不全为零的实数 λ1，λ2， 使 λ1a＋λ2b＝0.判断两向量所在的基线共线时，除满足定理 的要求外，还应说明此两基线有公共点．
有
b＋21a＝c. ②
①×2－②，得 a＝23(2d－c)．
②×2－①，得 b＝23(2c－d)． 故A→B＝43d－23c，A→D＝43c－23d. [点评] 该类题常以解答题出现，主要考查用基底表示向 量，选择一组基底，结合三角形法则或平行四边形法则 可用基底向量表示同一平面内任一向量．
向量的坐标运算
(2)设实数 t 满足(A→B－tO→C)·O→C＝0，求 t 的值．
[分析] 对角线的长即为向量的模，利用模的计算公式求解.
[解] (1)由题意知A→B＝(3，5)，A→C＝(－1，1)， 则A→B＋A→C＝(2，6)，A→B－A→C＝(4，4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 2 10，4 2. (2)由题设知O→C＝(－2，－1)，A→B－tO→C＝(3＋2t，5＋t)，由 (A→B－tO→C)·O→C＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 即(－2)(3＋2t)＋(－1)(5＋t)＝0.
[点评] 通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一 个 有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个 向 量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样,就 给出了向量的另一种表示——坐标表示法，向量的加法、减 法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算 完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题 的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
[分析] AB、AD 为▱ABCD 的边，故可先用A→B、A→D作为基底 表示出A→M、A→N,再解出用A→M、A→N表示A→B、A→D的表达式.
[解] 设A→B＝a，A→D＝b，则由 M、N 分别为 DC，BC 的 中点，可得B→N＝12b，D→M＝12a. 在△ABN 和△ADM 中，
a＋21b＝d， ①
∴A→B与A→C不共线，即点 C 不在直线 AB 上，同理点 D 也
不在直线 AB 上，直线 AB 与 CD 不共线，即线段 AB 与 CD 不共线． [点评] 若只由A→B＝(2，4)，C→D＝(6，12)，得A→B＝13C→D，
(4)由(2)(3)知，使四边形 ABCD 为正方形的 m，n 不存在．
(5)若四边形 ABCD 为梯形，则D→C＝λA→B或A→D＝λB→C，其 中 λ 为实数，且 λ>0，λ≠1，所以24－ －mn＝＝33λλ，，(λ>0 且 λ≠1) 或mn＝－λ1，＝－2λ，(λ>0 且 λ≠1)． 整理得 m，n 的取值条件为 n＝m＋2(m<2 且 m≠－1)或 n
向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．引入向量的 坐 标表示后，向量的运算完全转化为代数运算，达到了数与 形 的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向 量 的模、判断共线、平行等问题．
已知A、B、C、D四点的坐标分别是A(1，0)、 B(4，3)、C(2，4)、D(m，n)，当m，n满足什么条件 时， 四 边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、 梯 形 (A、B、C、D按逆时针方向排列)? [分析] 将平行四边形、菱形等的判断条件用向量的关 系 式 表示出来求解．
第2章 平面向量
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫做向量的线性 运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共 线、两线段平行、线段相等等问题，而理解相关概念，用基 底表示向量是基础．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC， BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，试用 c，d 表示A→B和A→D.
[解] 由条件知，A→B＝(3，3)，B→C＝(－2，1)，A→D＝(m－1， n)，D→C＝(2－m，4－n)， 如右图所示． (1)若四边形 ABCD 为 平行四边形，则A→B＝D→C， 所以(3，3)＝(2－m，4－n)，即 3＝2－m 且 3＝4－n. 解得 m＝－1，n＝1. 所以当 m＝－1，n＝1 时，四边形 ABCD 为平行四边形．
已知 A(－1，1)，B(1，5)，C(－2，－5)，D(4，7)， 试判断两线段 AB 与 CD 是否共线？ [分析] 本题主要考查向量共线定理，要判断 AB 与 CD 是否 共线．首先看是否满足A→B＝λC→D，再说明线段 AB 与 CD 是否 有公共点．
[解] ∵A→B＝(2，4)，A→C＝(－1，－6)， ∴－1×4－(－6)×2＝－4＋12＝8≠0，
(2)当 m＝－1，n＝1 时，A→B＝(3，3)，A→D＝(－2，1)，
则A→B＝3 2，|A→D|＝ 5，|A→B|≠|A→D|. 因此，使四边形 ABCD 为菱形的 m，n 不存在． (3)当 m＝－1，n＝1 时，A→B·A→D＝(3，3)·(－2，1)＝－3≠0， 即 AB，AD 不垂直，因此使四边形 ABCD 为矩形的 m， n 不存在．
平面向量的数量积
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向 量 的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、 判 断 相应的两条直线是否垂直等．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，－2)， B(2，3)，C(－2，－1)． (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
从而 5t＝－11，所以 t＝－151.
[点评] 数量积的运算是平面向量的核心内容，利用数来自百度文库积 可以解决以下几个大问题：平行问题、垂直问题、求模问 题、求夹角问题以及求向量及进行数量积运算等．
向量的共线问题
证明向量平行(共线)问题常用的结论有：(1)向量 a、b(a≠0) 共线⇔存在惟一实数 λ，使 b＝λa；(2)向量 a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量 a 与 b 共线⇔|a·b| ＝|a||b|；(4)向量 a 与 b 共线⇔存在不全为零的实数 λ1，λ2， 使 λ1a＋λ2b＝0.判断两向量所在的基线共线时，除满足定理 的要求外，还应说明此两基线有公共点．
有
b＋21a＝c. ②
①×2－②，得 a＝23(2d－c)．
②×2－①，得 b＝23(2c－d)． 故A→B＝43d－23c，A→D＝43c－23d. [点评] 该类题常以解答题出现，主要考查用基底表示向 量，选择一组基底，结合三角形法则或平行四边形法则 可用基底向量表示同一平面内任一向量．
向量的坐标运算
(2)设实数 t 满足(A→B－tO→C)·O→C＝0，求 t 的值．
[分析] 对角线的长即为向量的模，利用模的计算公式求解.
[解] (1)由题意知A→B＝(3，5)，A→C＝(－1，1)， 则A→B＋A→C＝(2，6)，A→B－A→C＝(4，4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 2 10，4 2. (2)由题设知O→C＝(－2，－1)，A→B－tO→C＝(3＋2t，5＋t)，由 (A→B－tO→C)·O→C＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 即(－2)(3＋2t)＋(－1)(5＋t)＝0.