高中数学平面向量公式(精选课件)
人教A版高中数学必修二课件 《平面向量基本定理及坐标表示》平面向量及其应用(平面向量基本定理)
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
B.12(a＋b)
C.12(b－a)
D.12b＋a
解析：选 B.如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段
BC 的中点，从而B→D＝D→C，即A→D－A→B＝A→C－A→D，
从而A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(a＋b)．
平面向量基本定理的理解 设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1； ④e1＋e2 与 e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出 满足条件的序号)．
B.23a＋13b
C.35a＋45b
Hale Waihona Puke D.45a＋35b解析：选 B.因为B→D＝12D→A，C→B＝a，C→A＝b，所以C→D＝a＋B→D
＝a＋13B→A＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.
2．如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分别是 AD， BC 边上的中点，且 BC＝3AD，B→A＝a，B→C＝b.试以{a，b}为 基底表示E→F，D→F.
法二：设A→B＝x，B→C＝y，则A→D＝B→C＝y， 又AA→ →BD＋－BA→→CB＝＝AB→→CD，， 所以yx－＋xy＝＝ba，，解得 x＝12a－12b，y＝12a＋12b， 即A→B＝12a－12b，B→C＝12a＋12b.
6-3-3平面向量加、减、数乘运算的坐标表示 课件20张-人教A版(2019)高中数学必修第二册
6.3.3 平面向量加、减、数乘运算的坐标
表示
复习引入
平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a=λ1e1+λ2e2.
e1
e1
a
O
e2
e2
a
探究新知
思考：向量的坐标与点的坐标有何联系与区别？
(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
解法2：如图，由向量加法的平行四边形
法则可知 BD ＝ BA ＋BC ＝(-2-(-1),1-3)
＋(3-(-1),4-3)＝(3,-1)，
而 OD ＝ OB ＋ BD ＝(-1,3)＋(3,-1)
＝(2,2)，
所以顶点D的坐标为(2，2)．
∴a＋b＝(2,1) ＋(－3，4)＝(－1，5)，a－b＝(2,1) －(－3，4)＝(5，－3)，
3a＋4b＝3(2,1) ＋4(－3，4)＝(6,3) ＋(－12，16)＝(－6,19)。
典例分析
例3 如图，已知□ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别是
(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
目标检测
2．在下列各小题中，已知A、B两点的坐标，分别求 AB ， BA
的坐标：
（1）A（3，5），B（6，9）；
（2）A（－3，4），B（6，3） ；
（3）A （0，3）， B（0，5）；
（4）A （3，0）， B（8，0）．
的位置的坐标．
2.求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点
坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该
《高中数学必修一课件-平面向量》
应用场景
物理、力学、几何等领域。
平面直角坐标系与坐标变换
概念
平面直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴组成。
2
变换方法
平移变换、旋转变换、对称变换及它们的组合。
3
应用
求解几何问题、绘图、数学建模等。
向量的三维空间表示方法
1 向量定义
也叫立体向量，有大小和方向。
2 空间直角坐标系
由三个相互垂直的坐标轴构成。
1 基本定义
向量的数量积为数字，表示向量大小及方向之间的夹角。
2 共线判定方法
向量数量积为0。
向量叉乘与单位向量
1
单位向量
2
具有单位长度的向量，用于研究向量的 方向和位置。
定义及计算方法
向量的叉乘是一个向量，同时需要满足 符合右手定则。
向量的投影和正交分解
计算方法
求投影长度、投影向量、正交向量。
向量的应用场景拓展
力和力矩
对物体施加的推、拉、扭力。
行列式
对向量进行线性变换时，行列 式的符号和绝对值有特殊含义。
图像形变
向量的平移、旋转、对称变换 可以用于图像形变。
高中数学必修一课件—— 平面向量
本课件将详细介绍平面向量的基本概念、运算、坐标变换及其应用，带你探 索向量的美妙世界。
什么是平面向量？
定义
平面内既有大小又有方向的量。
简单示例
飞行器的行驶速度、汽车的前进方向等。
向量加减法
加法
线段相加法、三角形法、平行四边形法。
减法
负向量加法法则。
向量数量积和向量共线
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
高一数学平面向量复习课件
数乘向量
要点一
总结词
数乘向量是将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向 量。
要点二
详细描述
数乘向量是一种扩展了向量加法的运算。给定向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x, y)$和一个实数$k$， 数乘后的向量$koverset{longrightarrow}{a} = (kx, ky)$ 。当$k > 0$时，数乘后的向量方向与原向量相同；当$k < 0$时，数乘后的向量方向与原向量相反；当$k = 0$时 ，数乘后的向量为零向量。
VS
详细描述
正定性指的是当两个向量的夹角为锐角时 ，它们的数量积大于0；当夹角为直角时 ，数量积等于0；当夹角为钝角时，数量 积小于0。负定性指的是当两个非零向量 的夹角为π弧度时，它们的数量积小于0 。齐次性指的是向量的数量积满足齐次性 ，即对于任意实数λ和μ，有 (λa+μb)·c=λ(a·c)+μ(b·c)。
高一数学平面向量复
习课件
汇报人：
202X-12-30
• 平面向量的基本概念 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积 • 平面向量的应用
目录
01
平面向量的基本概念
平面向量的定义
总结词
平面向量是二维空间中的有向线段，由起点和终点唯一确定 。
详细描述
平面向量是一种数学对象，表示为起点和终点的有向线段。 它具有方向和长度，通常用箭头表示。在平面直角坐标系中 ，一个向量可以用一个带箭头的线段表示，起点固定在坐标 原点。
向量积的几何意义
方向
向量积的方向垂直于作为运算对 象的两个向量，并遵循右手定则
。
大小
向量积的大小等于作为运算对象的 两个向量的模长与其夹角的正弦值 的乘积。
6-3-1 平面向量基本定理(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
D.
1 4
AB
3 4
AC
解析：如图，由
E
为
AD
的中点，得
AE
1 2
AD
，
EB AB AE AB 1 AD .
2
又
D
为
BC
的中点，
AD
1 2
AB
1 2
AC
，
EB
AB
1 4
AB
1 4
AC
3 4
AB
1 4
AC
.故选
A.
AD 7.如果 e1 ， e2 是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是( )
对于 D，由 AM x AB y AC ，且 x y 1 ，可得 2AM 2x AB 2 y AC ，2x 2y 1 ， 2
设 AD 2AM ，则 AD 2x AB 2 y AC ， 2x 2y 1 ，可知 B，C，D 三点共线，
△MBC
的边
BC
上的高是△ABC
的边
BC
上的高的
BC
4BD
，所以
BD
1 4
BC
1 4
( AC
AB)
1 4
AC
1 4
AB
，
所以 AD AB BD AB 1 AC 1 AB 3 AB 1 AC .
4 4 44
因为
AC
3CE
，所以
AE
2 3
AC
，所以
BE
AE
AB
2 3
AC
AB
.
(2)因为 AM 2 AB 2 AC ，所以 BM AM AB 1 AB 2 AC .
1 4
AB
高一数学平面向量 PPT课件 图文
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
人教A版高中数学必修第二册《平面向量的正交分解及加、减运算的坐标表示》名师课件
探究新知
探究：将表示向量的有向线段的起点放在坐标原点后
有何结论呢？
y
A(2,3)
a OA (2,3)
2
结论：以原点O为起点的向量
A
3
a
1
j
OA的坐标与点A的坐标相同
此时向量坐标就由这条有向线
段的终点坐标唯一确定了.
o
1
i
2
3
x
探究新知
问题:若已知点A、点B的坐标,如何求向量AB的坐标呢？
复习引入
平面向量的基本定理
= +
其实质：同一平面内任一向量都可以用两个不共线向量来表示.
人教A版同步教材名师课件
平面向量的正交分解及加、
减运算的坐标表示
学习目标
学习目标
核心素养
通过平面向量基本定理及正交分解,可以导出平面向
数学抽象
量的坐标表示,利用向量的加、减法及数乘运算法则,
解析
(1)因为 m＋n＝(2m＋n,m－2n)＝(9,－8),
Ԧ
所以ቊ
= 2,
＋ = 9,
所以ቊ
所以m－n＝2－5＝－3.故填－3.
= 5,
－ = −8,
(2)由A(2,－4),B(－1,3),C(3,4),得＝(2－3,－4－4)＝(－1,－8),＝(－1－3,3－4)
(2) ＝(2 ,6)－( ,－1)＝( ,7)．
方法归纳
求点和向量坐标的常用方法
(1)在求一个向量时,可以第一求出这个向量的起点坐标A(x1,y1)和终点坐标
B(x2,y2),则＝(x1,y1), ＝(x2,y2),＝－＝(x2,y2)－(x1,y1)＝(x2－x1,
量数乘的运算法则进行．
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高中数学平面向量公式
１、向量的的数量积
定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则
角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规
定0≤
记作a•ｂ。若a、b不共线，则a•b=｜a|•｜b｜•ｃ
ｏｓ〈a,b〉；若a、b共线，则a•b=＋-∣a∣∣ｂ∣.
...
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向量的数量积的坐标表示:a•b=x•x'+y•ｙ'。
向量的数量积的运算律
a•b=b•a（交换律）；
（λａ）•ｂ=λ（a•ｂ）（关于数乘法的结合律）;
（a+b)•c=a•c+ｂ•c（分配律)；
向量的数量积的性质
a•ａ=|a|的平方.
ａ⊥b 〈=〉a•b＝0。
|a•b|≤|a｜•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即:（a•b）•c≠ａ
•(b•ｃ)；例如：（ａ•b)＾２≠a^2•ｂ^2.
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２、向量的数量积不满足消去律，即:由 ａ•b=a•c
（a≠0)，推不出 b=ｃ。
3、|a•b｜≠|ａ｜•|b｜
4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出 a=ｂ或ａ=－ｂ。
2、向量的向量积
定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个
向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b
∣＝｜ａ|•｜ｂ｜•ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:
垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.
若ａ、ｂ共线，则a×b=0。
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向量的向量积性质:
∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=０。
a‖b〈=〉ａ×b＝０。
向量的向量积运算律
a×b=－b×a；
（λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)；
（a+b)×c=a×ｃ+b×c。
注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义
的.
3、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣；
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① 当且仅当ａ、b反向时,左边取等号;
② 当且仅当a、ｂ同向时，右边取等号。
2、∣∣ａ∣-∣b∣∣≤∣ａ—b∣≤∣a∣＋∣b∣。
① 当且仅当ａ、ｂ同向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
４、定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ•向量PＰ2）
设P1、Ｐ2是直线上的两点，P是l上不同于Ｐ１、P2
的任意一点.则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量
PP2,λ叫做点Ｐ分有向线段P1Ｐ2所成的比。
...文档交流 仅
供参考...
若P1(x1，y１)，Ｐ2(x2，y2）,Ｐ(ｘ，y)，则有
ＯP＝（OＰ1+λＯＰ2)(１+λ）;(定比分点向量公式）
x=（ｘ1+λｘ2）／(1+λ),
y＝（y1+λｙ2)/（1＋λ).（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P２的定比分点公
式
5、三点共线定理
若ＯC=λOA +μOＢ ,且λ＋μ=1 ,则Ａ、B、Ｃ三点
共线
三角形重心判断式
4 / 4·····谢阅。。。。。
在△ABC中，若GＡ +ＧB +GC=Ｏ，则Ｇ为△ABC的重
心
向量共线的重要条件
若b≠０，则a//ｂ的重要条件是存在唯一实数λ，
使a=λｂ.
a//b的重要条件是 ｘy＇-x＇y=0。
零向量０平行于任何向量。
向量垂直的充要条件
ａ⊥b的充要条件是 a•ｂ=0.
ａ⊥b的充要条件是 xｘ'+ｙy’=0.
零向量０垂直于任何向量。