高中数学专题学习：平面向量及其应用

第10讲 平面向量及其应用【课标解读】（1）向量的概念、向量的基本定理，有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型.（2）向量的运算，命题形式主要以填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合.（3）向量与三角函数、向量与解析几何的综合问题.命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形、向量与解析几何的的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题.向量与三角函数的综合问题是经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了试题的覆盖面的要求. 【知识梳理】1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．2．向量的表示：①用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．②用字母a 、b （黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ； 3．向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作AB ．4．几组特殊的向量：①零向量：长度为零方向任意的向量叫做零向量，记作0或0． ②单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．③平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．记作a b ∥． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若a 与b 相等，记作a b =． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．向量a 的相反向量记为a -． 5．向量加法：①规定：0a a +=，()()0a a a a +-=-+=，即0AB BA +=；②向量加法的三角形法则③向量加法的平行四边形法则：6．向量加法的运算律：交换律：a b b a +=+；结合律：()()a b c a b c ++=++． 7．向量减法：三角形法则即a b -表示从向量b 的终点指向被减向量a 的终点的向量．8．向量的数乘的定义：一般的，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）a a λλ=；(2 ) 当λ>0时，a λ与a 方向相同，当λ<0时，a λ与a ，方向相反，当λ＝0时，a λ＝0．实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘．9．向量数乘的运算律：（1）()()a a λμλμ= (结合律)；（2）()a a a λμλμ+=+ (分配律)；（3）()a b a b λλλ+=+ (分配律)．10．向量共线定理：一般地，对于两个向量a （0a ≠），b ，如果有一个实数λ，使得(0)b a a λ=≠，那么b 与a 是共线向量，反之，如果b 与a （0a ≠）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=． 11．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1λ，2λ，使a=1λ1e +2λ2e ．我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．12．向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任取一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yi =+，则把（x ，y ）叫做向量的直角坐标，记作：a =(x ，y ).13．向量坐标运算：已知),(11y x a =，),(22y x b =，1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，),(11y x a λλλ=．两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．14．共线向量坐标表示的一般性结论：设a 11(,)x y =，b 22(,)x y =（a ≠0），如果a ∥b ，那么12210x y x y -=；反过来，如果12210x y x y -=，那么a ∥b ．结论（简单表示）：向量a 与b 共线0≠b 01221=-⇔=⇔y x y x b a λ．15.向量的夹角：对于两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则AOB θ∠=（0︒≤θ≤180°）叫做向量a 和b 的夹角．特别地，当θ=0︒时，a 与b 同向；当θ=180︒时，a 与b 反向；当θ=90︒时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ．16. 平面向量数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积，记作a ·b ，即：a ·b =|a ||b |cos θ． 向量数量积的运算律：设向量a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：（1）a ·b =b ·a ；（交换律）； （2）（λa ）·b =a ·（λb ）=λ（a ·b ）=λa ·b ；（结合律）； （3）（a +b ）·c =a ·c +b ·c ．（分配律）.17.平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为a = (x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 推论及公式：设a =（x ，y ），则a 2=x 2+y 2，即|a |=22x y +．两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式为AB =()()221212x x y y -+-．a=(x 1,y 1)，b= (x 2,y 2)，它们的夹角为θ，则有1212x x y y ⇔+=0．【方法归纳】（1）以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常方便； （2）以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解；在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算. 【课堂训练】例题1．(2010安徽)设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是 ( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解题思路：本题主要考查向量的坐标运算A 项，∵|a |＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22，∴|a |≠|b |； B 项，∵a ·b ＝1×12＋0×12＝12；C 项，∵a －b ＝(1,0)－⎝⎛⎭⎫12，12＝⎝⎛⎭⎫12，－12， ∴(a －b )·b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12·⎝⎛⎭⎫12，12＝14－14＝0；D 项，∵1×12－0×12≠0，∴a 不平行b .答案：C例题2.(2011江苏)10.已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为 .解题思路：本题主要考查向量的基底表示和向量的数量积运算.答案：54由0a b →→⋅=得：121212(2)()2(12)0e e k e e k k e e →→→→→→-⋅+=-+-⋅=,1212e e →→⋅=-,54k =.例题3. (2010全国)△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝ ( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 解题思路：本题主要考查平面向量的加法和减法运算和三角形法则.答案：由角平分线的性质得|AD →|＝2|DB →|，即有AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)＝23(a －b )．从而CD →＋AD →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .故选B.例题4.(2010江西)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________. 解题思路：本题主要考查向量的模的计算，采用平方法. 答案：|a －b |2a b -＝a 2＋b 2－2a ·b＝12＋22－2×1×2cos 60°＝ 3.例题5.如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |=|OB |=1，|OC |23= 若OC OA OB =λ+μ (λ，μ∈R )，则λ+μ的值为 .解题思路：本题考查平面向量的基本定理，向量OC 用向量OA 与向量OB 作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则.答案：过C 作OA 与OC 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由∠BOC=90°，∠AOC=30°，|OC |23=2和4， λ+μ=2+4=6.ABCO例题6.已知).1,2(),0,1(==b a①求|3|b a +；②当k 为何实数时,k -a b 与b a3+平行, 平行时它们是同向还是反向？解题思路：本题主要考查向量的坐标运算，第一问考查向量的模的运算，第二问考查向量的平行的必要条件.答案：①b a3+= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴|3|b a += 2237+=58.②k -a b= k(1,0)－(2,1)=(k －2,－1).设k -ab=λ(b a3+),即(k －2,－1)= λ(7,3),∴⎩⎨⎧=-=-λ31λ72k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒31λ31k . 故k= 31-时, 它们反向平行.例题7.（2010湖北）已知,1||,2||==b a a 与b 的夹角为3π,若向量b k a+2与b a +垂直, 求k.解题思路：本题主要考查向量的数量积的运算和向量垂直的条件.答案：3πcos ||||b a b a=⋅=2×1×21=1.∵b k a+2与b a +垂直,∴(b k a+2))(b a +⋅= 0∴2⇒ k =－5.例题8．(2010浙江)已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．解题思路：本题主要考查向量和三角函数的综合应用.答案：如图，数形结合知β=AB →，α＝AC →，|AB |＝1，C 点在圆弧上运动，∠ACB ＝60°，设∠ABC ＝θ，由正弦定理知AB sin 60°＝|α|sin θ，∴|α|＝233sin θ≤233，当θ＝90°时取最大值． ∴|α|∈⎝⎛⎦⎤0，233.例题9.如图，在直角梯形ABCD 中，,1,3AB AD AD DC AB ⊥===,动点P 在BCD ∆内运动，（含边界）， 设(),AP AB AD R αβαβ=+∈, 则αβ+的取值范围是 .解题思路：本题主要考查向量的线性表示及，考查向量与线性规划综合应用. 答案：建立xAy 坐标系，则()()0,1,3,0AD AB ==.(),AP x y =()3,AB AD αβαβ=+= .3x y αβ=⎧⎨=⎩, 3xy αβ+=+ . 转化为线性规划问题.在C 点，433x y += . 在B 或D 点，13x y += .41,3αβ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦例题10.（2011苏州）设P 是ABC ∆内一点，满足()()()21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈.则x 的取值范围是 .解题思路：本题主要考查向量的加减法运算，考查向量与不等式的综合应用能力.答案：()2,4 如图.若点P 在BC 边上， 且AP x AB y AC =+.则∵()()1AP AB BP AB uBC AB u AC AB u AB u AC =+=+=+-=-+ ∴当点P 在BC 边上时，1x y +=.点P 在三角形内时，0＜x y +＜1 .从而有，()()211211x y y x y y -+-⎧⎪-⎨⎪-⎩0＜＜0＜＜0＜＜1 从而，y x ⎧⎨⎩1＜＜22＜＜4 .【课后作业】1.已知向量a 和b 的夹角为1200，|a |=1|b |=3，，|5a b |=- ．2．(2010陕西)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 3.已知点O 是，，内的一点，090BOC 150AOB =∠=∠∆ABC,,,OA c OC b OB a ===设,312===试用.,c b a 表示和4.（2010扬州调研） 求向量a =(1,2)在向量b =(2，－2)方向上的投影.5. （2011南通模拟）已知(2,4)a =-，(1,3)b =-，(6,5)c =，2p a b c =+-，则以a ，b 为基底，求p .6.（2010安徽） 已知两单位向量a 与b 的夹角为0120，若2,3c a b d b a =-=-，试求c 与d 的夹角.7.（2010江苏苏州模考）已知△ABC 的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高AD ，求AD 及点D 的坐标.8.已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93B ．77(,)39--C ．77(,)39D ．77(,)93--9. （2011江苏常州模考）如图所示，正六边形PABCDE 的边长为b ，有五个力→→→→PD PC PB PA 、、、、→PE作用于同一点P ，求五个力的合力10.（2010湖北）设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ＝2e 1＋k e 2，CB ＝e 1＋3 e 2，CD ＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.11.（2011苏州模拟） 已知O为△ABC所在平面内一点，且满足2222||||||||CA OB BC OA +=+2||OC = 2||AB +．求证：O 点是△ABC 的垂心.12.（2010浙江）已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =，则（ⅰ）pqp q =+ ,（ⅱ）12S S 的取值范围是 .13．（2011南京模拟）如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.。