高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版
2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版
姓名，年级：时间：2．1 平面向量的实际背景及基本概念[教材研读]预习课本P74～76，思考以下问题1．向量是如何定义的?向量与数量有什么区别？2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些?3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别? 5．如何判断相等向量或共线向量?向量错误!与向量错误!是相等向量吗？［要点梳理］1．向量的概念和表示方法（1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示2.向量的长度（或称模）与特殊向量（1)向量的长度(或模)定义：向量的大小叫做向量的长度(或模）．（2)向量的长度表示：向量错误!,a的长度分别记作：|错误!|，|a｜。
(3）特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．3．向量间的关系（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量,记作:a ＝b。
（2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．［自我诊断]判断(正确的打“√"，错误的打“×”)1．两个向量能比较大小．（)2．向量的模是一个正实数．（)3．单位向量的模都相等．( ）4．向量错误!与向量错误!是相等向量．( )［答案］1。
×2。
× 3.√ 4.×错误!思考：已知下列各量:①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移;⑦加速度；⑧重力;⑨路程;⑩密度．其中是数量的有__________，是向量的有__________．提示:②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧下列说法正确的有__________．（填序号)①若｜a|＝｜b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；②若|a｜＝｜b|，且a与b的方向相同，则a＝b；③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反；⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量．［思路导引] 利用向量的有关概念逐一判断．[解析] ①不正确．由|a|＝｜b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们方向的关系．②正确．因为|a｜＝｜b｜，且a与b同向，由两向量相等的条件,可得a＝b.③不正确．依据规定：0与任一向量平行．④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．[答案] ②⑤解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,如:共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0;规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．［跟踪训练]下列说法错误的有__________．（填上你认为所有符合的序号)①两个单位向量不可能平行；②两个非零向量平行，则它们所在直线平行;③当两个向量a，b共线且方向相同时，若｜a｜〉｜b｜，则a>b.[解析］①错误，单位向量也可以平行；②错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．[答案] ①②③错误!思考：向量就是有向线段，这种说法对吗？提示:不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1）,用直尺和圆规画出下列向量:（1）错误!,使|错误!|＝4错误!，点A在点O北偏东45°；（2)错误!，使｜错误!|＝4，点B在点A正东；（3)错误!，使｜错误!|＝6，点C在点B北偏东30°。
数学导学练人教B版全国通用必修四练习：第二章 平面向量2.3.2 Word版含答案(1)
2.1.3 向量的减法
1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.(重点) 2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义.(难点) 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(易混点)
[基础·初探] 教材整理 1 向量的减法 阅读教材 P84 倒数“第 7 行”以上内容，完成下列问题.
【导学号：72010046】
①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则 a 与 b 方向相同；
②若|a|＋|b|＝|a－b|，则 a 与 b 方向相反；
③若|a|＋|b|＝|a－b|，则 a 与 b 有相等的模；
④若||a|－|b||＝|a－b|，则 a 与 b 方向相同.
【解析】 当 a，b 方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|，当 a，b 方
“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－AB”改为“BA”.
[再练一题]
→→→ 2.如图 2121，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且AB＝a，AC＝b，AE
→→→→→ ＝c，试用 a，b，c 表示向量BD，BC，BE，CD及CE.
图 2121
【解】 ∵四边形 ACDE 为平行四边形，
→→→ 所以||AB|－|AD||<|AC|
→→ → → ＝|AB＋AD|<|AB|＋|AD|，
→ 即 0<|AC|<4.
→ 【答案】 (1)D (2)①0 ②AB (3)2 (0,4)
1.向量加法与减法的几何意义的联系：
高中数学必修四
→→
→
→
(1)如图所示，平行四边形 ABCD 中，若AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，DB＝a－b.
(word版)高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案,文档
一、选择题:(本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.)1．设点P〔3，-6〕，Q〔-5，2〕，R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，那么R点的横坐标为〔〕。
A、-9B、-6C、9D、62．=(2,3),b=(-4,7)，那么在b上的投影为〔〕。
A、B、C、D、3．设点A〔1，2〕，B〔3，5〕，将向量按向量=〔-1，-1〕平移后得向量为〔〕。
A、〔2，3〕B、〔1，2〕C、〔3，4〕D、〔4，7〕4．假设(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ABC是〔〕。
A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5．||=4,|b|=3,与b的夹角为60°，那么|+b|等于〔〕。
A、B、C、D、6．O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，那么〔〕。
A、B、C、D、7．O 是ABC所在平面上一点，且满足条件，那么点O是ABC的〔〕。
A、重心B、垂心C、内心D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，那么以下4个命题：(1)(·b)2=2·b2(2)|+b|≥|-b|(3)|+b|2=(+b)2(4)(b)-(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是〔〕。
A、1B、2C、3D、49．在ABC中，A=60°，b=1，，那么等于〔〕。
A、B、C、D、10．设、b不共线，那么关于x的方程x2+bx+=0的解的情况是〔〕。
A、至少有一个实数解C、至多有两个实数解二、填空题：〔本大题共4小题，每题B、至多只有一个实数解D、可能有无数个实数解4分，总分值16分.〕.11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=22，那么ABCA=_________ 12．ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，那么用a，b表示AB为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课后习题 新人教A版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、A组1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,a与b的夹角为30°,则a·(a-2b)=()A.2-2B.4-2C.-4D.-2解析:a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos 30°=4-2×2×=4-6=-2.答案:D2.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.又0≤θ≤π,∴θ=.答案:B3.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:根据投影的定义,可得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos α==-4,其中α为a与b的夹角.故选A.答案:A4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:∵(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4cos 60°-6×16=|a|2-2|a|-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,∴|a|=6或|a|=-4(舍去),故选C.答案:C5.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于()A.-25B.-20C.-15D.-10解析:由已知可得△ABC为直角三角形,则的夹角为,=0,∴·()==-||2=-25.答案:A6.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=.解析:∵|a-b|=1,∴a2-2a·b+b2=1.又|a|=|b|=1,∴a·b=.∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,∴|a+b|=.答案:7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2,若a·b=0,则k的值为.解析:∵a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=k-2k e1·e2+e1·e2-2=k-2k·-2=2k-=0.∴k=.答案:8ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=. 解析:∵D是边BC的中点,∴).又,∴)·()=)=×(32-22)=.答案:9.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.解:(1)∵a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=4.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,∴a·b=-4,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴θ=.10.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.(2016·山东淄川一中阶段性检测)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(k a-4b),则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题知,(2a+3b)·(k a-4b)=0,即2k a2+(3k-8)a·b-12b2=0,即2k-12=0,k=6.故选B.答案:B2.(2016·江西赣州期末考试)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为()A.2B.1C. D.解析:在平行四边形ABCD中,,∴=()·=1,∴1-×1×||×cos 60°=1,解得||=.答案:D3.在△ABC中,AB⊥AC,AC=1,点D满足条件,则等于()A. B.1C. D.解析:∵AB⊥AC,∴=0.∴·()==0+=·()=)=×(1-0)=.答案:A4.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=()A.2B.C.4D.解析:因为向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,所以a·b=-.所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=13.所以|a-b|=.答案:D5.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析:|2a-b|=.∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.∴|2a-b|=0或4.答案:0或46.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析:由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=m a-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)由向量c与d垂直,得c·d=0,而c·d=(3a+5b)·(m a-3b)=3m a2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,∴m=,即m=时,c与d垂直.(2)由c与d共线,得存在实数λ,使得c=λd,∴3a+5b=λ(m a-3b),即3a+5b=λm a-3λb.又∵a与b不共线,∴解得即当m=-时,c与d共线.8)如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解:(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.∴b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.。
高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。
£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。
高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做 ，长度为 的向量叫做零向量(zero vector)，记做 ．零向量的方向不确定．长度等于 个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 （parallel vectors），向量 、 平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量 与 相等，记做 ．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若 ， 是单位向量，则 ；⑥ 若非零向量 与 是共线向量，则四点 共线．其中真命题的个数为（ ）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（ ）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为 ，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示， 是正六边形 的中心．（1）与 的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与 长度相等、方向相反的向量？（3）与 共线的向量有哪些？解：（1）因为 的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有 个，所以共有 个与 的模相等的向量．（2）存在，是 ．（3）有 、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
【精品推荐】高中数学北师大版必修四课后训练2.3.2 平面向量基本定理 Word版含答案
课后训练1．已知向量a ＝e 1－2e 2， b ＝2e 1＋e 2．其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )．A ．不共线B ．共线C ．相等D ．无法确定2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组 ①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ．其中可作为表示这个平行四边形所在平面的所有向量基底的是( )．A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 3．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD 为( )． A ．23b ＋13c B ．53c －23b C ．23b －13c D ．13b ＋23c 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA OB OC ++ ＝0，那么( )．A ．AO OD =B ．2AO OD =C ．3AO OD = D ． 2AO OD =5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP 等于( )． A ．()AB AD λ+ ，λ∈(0,1)B ．()AB BC λ+ ，λ∈⎛ ⎝⎭C ．()AB AD λ- ，λ∈(0,1)D ．()AB AC λ- ，λ∈0,2⎛ ⎝⎭6．如图，在平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，满足OA OB = ＝1，OA 与OB 的夹角为120°，OC 与OA 的夹角为30°，OC =设OC mOA nOB =+ (m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( )．A ．2 3B ．6C ．10D ．15 7．如图，在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB = ，13CD CA CB λ=+ ，则λ＝__________．8．在△ABC 中，P 为BC 边上一点，且满足23BP PC = ． (1)用AB ，AC 为基底表示AP ； (2)用AB ，PC 为基底表示AP ．9．如图△OAB ，其中OA ＝a ，OB ＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且13OM = a ，12ON = b ，设AN 与BM 相交于P ，用向量a ，b 表示OP ．10．(1)设e 1，e 2是两个不共线的向量，试确定k 的值，使向量a ＝e 1＋k e 2(k ∈R )与向量b ＝－(e 2－2e 1)共线；(2)在ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC ＝a ，BD ＝b ，用a ，b 表示AF ．参考答案1答案：B2答案：C3答案：A4答案：A5答案：A6答案：D7答案：2 38答案：(1)2355 AP AB AC =+(2)32 AP AB PC =+9答案：1255 OP=+a b10答案：(1)1 2 -(2)2133 AF=+a b。
2019-2020学年高中数学人教B版必修4教学案：第二章 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 Word版含答案
2．2.1 平面向量基本定理预习课本P96～98，思考并完成以下问题 (1)平面向量基本定理的内容是什么？(2)如何定义平面向量基底？(3)直线的向量参数方程式是什么？[新知初探]1．平面向量基本定理 (1)定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.(2)基底把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式．[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a 都可以用e 1，e 2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．直线的向量参数方程式已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，则对于直线l 上任意一点P ，存在唯一实数t (1－t )；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等(1－t )叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．当t ＝12时，＝12，此时P 点为线段AB 的中点，这是线段AB 中点的向量表达式．[点睛] 1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底．( )(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (3)零向量不可以作为基底中的向量．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2答案：B3．设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1，e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1，e 1＋e 2 答案：B4．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若点O 是▱ABCD 4e 16e 2，则3e 2－2e 1＝________.解析：3e 2－2e 1＝12(6e 2－4e 1)＝12(＝12((答案不唯一)用基底表示向量[典例] 如图，在平行四边形ABCD 中，a b ，试用基底a ，b 表示AB ，BC .[解] 法一：由题意知，AO ＝OC ＝12AC ＝12a ，BO ＝OD ＝12BD ＝12b .所以AB ＝AO ＋OB ＝AO －BO ＝12a －12b ，BC ＝BO ＋OC ＝12a ＋12b ，法二：设AB ＝x ，BC ＝y ，则AD ＝BC ＝y ，又⎩⎪⎨⎪⎧AB ＋BC ＝AC ， AD －AB ＝BD ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ，即AB ＝12a －12b ，BC ＝12a ＋12b .用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[活学活用]如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 边上的中点，且BC ＝3AD ，BA ＝a ，BC ＝b .试以a ，b 为基底表示EF ，DF ，CD .解：∵AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，∴AD ＝13BC ＝13b .∵E 为AD 的中点， ∴AE ＝ED ＝12AD ＝16b .∵BF ＝12BC ，∴BF ＝12b ，∴EF ＝BA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－(DF ＋FC )＝－(DF ＋BF )＝－⎝⎛⎭⎫16b －a ＋12b ＝a －23b .直线的向量参数方程式的应用[典例] 已知平面内两定点A ，B ，对该平面内任一动点C ，总有OC ＝3λOA ＋(1－3λ)OB (λ∈R ，点O 为直线AB 外的一点)，则点C 的轨迹是什么图形？简单说明理由．[解] 法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R ，结合直线的向量参数方程式可知点C 的轨迹是直线AB .法二：将已知向量等式两边同时减去OA ，得OC －OA ＝(3λ－1) OA ＋(1－3λ) OB＝(1－3λ)( OB －OA ) ＝(1－3λ) AB ，即AC ＝(1－3λ) AB ，λ∈R ，∴A ，B ，C 三点共线，即点C 的轨迹是直线AB .直线的向量参数方程式的两方面应用(1)若A ，B ，C 三点共线，则有OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1；(2)若OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1，则有A ，B ，C 三点共线． [活学活用]在△ABC 中，D 为AB 上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：法一：∵AD ＝2DB ， ∴AD ＝23AB ＝23(CB －CA )．∵在△ACD 中，CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB ，∴λ＝23.法二：A ，B ，D 三点共线， 又∵C 在直线AB 外，则13＋λ＝1，∴λ＝23.答案：23[典例] NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN .[解] e 1e 2，3e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN 2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ＝－λe 1－3λe 2，2μe 1＋μe 2.(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2.2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3， 解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2.[一题多变]1．[变设问]a b ，试用a ，b解：由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2CP ＝CN ＋NP ＝CN ＋25NB ＝b ＋25(―CB －CN )＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN . 解：如图，设BM ＝e 1，CN ＝e 2，则AM ＝AC ＋CM ＝－2e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN ＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使得AP ＝λAM ＝－λe 1－2λe 2，BP ＝μBN ＝2μe 1＋μe 2.故BA ＝BP ＋PA ＝BP －AP ＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA ＝BC ＋CA ＝2e 1＋2e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2， 解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.∴AP ＝23AM ，BP ＝23BN ，∴AP ∶PM ＝2，BP ∶PN ＝2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．1．已知平行四边形ABCD 中，P 是对角线AC (t －t ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．任意实数解析：选B P ，A ，C 三点共线，所以t ＋t －1＝1，故t ＝1，故选B.2．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD3．若AD 是△ABC 的中线，a b ，则以a ，b ( )A.12(a －b ) B.12(a ＋b ) C.12(b －a ) D.12b ＋a解析：选B 如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从＝12(＝12(a ＋b )．4．在矩形ABCD 中，O e 1e 2( ) A.12(e 1＋e 2) B.12(e 1－e 2) C.12(2e 2－e 1) D.12(e 2－e 1)解析：选A 因为O 是矩形ABCD e 1e 2，＝12＝12(e 1＋e 2)，故选A.5．(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC ( )ABCD解析：选A＝－136．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. 答案：37．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.解析：由题设，知k22＝1－5k23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.答案：－2或138．如下图，在正方形ABCD a b c ，则在以a ，b 为基底______，在以a ，c ______．解析：以a ，c B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABCa b ，试用a ，b＝13a －23b ，＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，＝13(a ＋b )．10．证明：三角形的三条中线共点．证明：如图所示，设AD ，BE ，CF 分别为△ABCa b .b －a .设G 在AD 上，且AG AD ＝23a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．＝12b －a .＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a＝23⎝⎛⎭⎫12b －a∴G 在BE即G 在CF 上．故AD ，BE ，CF 三线交于同一点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC a b 用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b )解析：选C＋23(＝13a ＋23b .2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AMλ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A ∵M 为边BC 上任意一点，x ＋y ＝1) ∵N 为AM 的中点，＝12x ＋12y ∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：选B A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1，λ2有且只有一对．4(λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A λ，(1＋λ)又∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. 5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b .答案：23 －136．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析：EBλ＝12，μ＝14，λ＋μ＝34.答案：347．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.8．若点M 是△ABC (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O x ，y 的值． 解：(1)可知M ，B ，C 三点共线，BM ＝AB ＋λλ＝(1－λ)λ＝14，所以S △ABM S△ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算预习课本P99～102，思考并完成以下问题 (1)两个向量垂直如何定义？(2)一个向量如何正交分解？(3)向量的直角坐标定义是什么？(4)如何由a ，b 的坐标求a ＋b ，a －b ，λa 的坐标？[新知初探]1．两个向量的垂直与正交分解如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．2．向量的平面直角坐标的定义(1)基底：在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e 1，e 2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．(2)坐标分量：在坐标平面xOy 内，任作一向量a (用有向线段)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a＝(a 1，a 2)，其中a 1叫做向量a 在 x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在 y 轴上的坐标分量． 3．向量的坐标表示xe 1＋ye 2＝(x ，y )(x ，y )⇔点A 的坐标(x ，y )． 4．向量的直角坐标运算(1)若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)，λa ＝(_λa 1，λa 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝(x 2－x 1，y 2－y 1)；线段AB 中点公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.[点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．( )(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A ．(5,3) B ．(4,3) C ．(8,3) D ．(0，－1) 答案：C3(1,2)(3,4)( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2)答案：A4．若点M (3,5)，点N (2,1)______.答案：(－1，－4)平面向量的坐标表示[典例] 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB 与AD 的坐标．[解] 由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 由三角函数的定义，得 x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，∴B ⎝⎛⎭⎫32，12.x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，32.∴AB ＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知O 是坐标原点，点A |OA |43，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA 的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA 的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23， y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA ＝(23，6)． (2) BA ＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).平面向量的坐标运算[典例] (1)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，则向量3AB ＋2CA ＝________，BC－2AB＝________.(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，∴AB＝(1,5)，CA＝(4，－1)，BC＝(－5，－4)．∴3AB＋2CA＝3(1,5)＋2(4，－1)＝(3＋8,15－2)＝(11,13)．BC－2AB＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－5－2，－4－10)＝(－7，－14)．[答案](11,13)(－7，－14)(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7) D．(1,3)解析：选A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，MP＝12MN，则P点坐标为______．解析：法一：设P(x，y)，MP＝(x－3，y＋2)，MN＝(－8,1)，＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.法二：P 为MN 的中点，由中点坐标公式得 P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32t AB ，t 为何值时，点P 在y 轴上？点P 在第二象限？[解] (1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )， 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， 所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.[一题多变]1．[变条件]本例中条件“点P 在x 轴上，点P 在y 轴上，点P 在第二象限”若换为“B 为线段AP 的中点”试求t 的值．解：由典例知P (1＋3t,2＋3t )， 则⎩⎨⎧1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t ＝2.2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 值；若不能，说明理由．解：OA ＝(1,2)，PB ＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA ＝PB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．1．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB 可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j解析：选C 记O 为坐标原点，则OA ＝2i ＋3j ，OB ＝4i ＋2j ，所以AB ＝OB －OA ＝2i －j .2．已知AB ＝a ，且A ⎝⎛⎭⎫12，4，B ⎝⎛⎭⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－18，－1 B.⎝⎛⎭⎫14，3 C.⎝⎛⎭⎫18，1D.⎝⎛⎭⎫－14，－3 解析：选A ∵a ＝AB ＝⎝⎛⎭⎫14，2－⎝⎛⎭⎫12，4＝⎝⎛⎭⎫－14，－2， ∴λa ＝12a ＝⎝⎛⎭⎫－18，－1. 3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6)D ．(2,0)解析：选A b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则DA ＝( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选C ＝(1,1)．5．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN P 点的坐标为( )A ．(－14,16)B ．(22，－11)C ．(6,1)D ．(2,4)解析：选D 设P (x ，y )(10－x ，－2－y )(－2－x,7－y )，⎩⎪⎨⎪⎧ 10－x ＝4＋2x ，－2－y ＝－14＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.6．(江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m－n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－37．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)________. 解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，(2,3)(－3,3)．(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)． 答案：(－4,9)8．已知O 是坐标原点，点A ＝6，∠xOA ＝150°________．解析：设点A (x ，y )，则x ＝6cos 150°＝－33，y ＝6sin 150°＝3，即A (－33，3)(－33，3)．答案：(－33，3)9．已知a B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )，(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10， 即A 点坐标为(8，－10)．10(4,3)(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标．(2)若点P (2，y )(λ∈R)，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，(4,3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3,1)．同理可得D (－4，－3)， 设BD 的中点M (x 2，y 2)， 则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1， 所以M ⎝⎛⎭⎫－12，－1.(2)(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，(λ∈R)，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎨⎧λ＝－17，y ＝37.层级二 应试能力达标1(2,4)(0,2)( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选D＝12＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2解析：选D ∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)解析：选A 设点D (m ，n )，则由题意得(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝⎛⎭⎫2，72，故选A. 4．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“”为m n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“”为m n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设f ＝(p ，q )，若f ＝(5,0)，则f 等于( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－4)解析：选B 由(1,2)⊗f ＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以f ＝(1，－2)，所以f ＝，－2)＝(2,0)．5．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2；③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．答案：16．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.(λ∈R)，则λ＝ ________.解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.答案：237．在△ABC 中，已知A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F解：∵A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，(3－7,5－8)＝(－4，－3)，(4－7,3－8)＝(－3，－5)．∵D 是BC 的中点，＝12(＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4.∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴F 为AD 的中点．＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(1)0(2)(m ，n ∈R)，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，求m －n .解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，0，(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2,2)，(2,2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(2,3)－(1,1)＝(1,2)，(3,2)－(1,1)＝(2,1)，所以(x 0，y 0)＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上， 所以y 0－x 0＝1， 所以m －n ＝1.2．2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件预习课本P103～104，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]两向量平行的条件[点睛] 两向量的对应坐标成比例．这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，若a ∥b ，则必有a 1b 2＝a 2b 1.( ) (2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( ) 答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( ) A ．(2,1) B ．(－1,2) C ．(6,10) D ．(－6,10) 答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2D ．2答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0向量共线的判定[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12B.13C ．1D ．2(2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12.[答案] A(2)(0,4)－(2,1)＝(－2,3)(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线． 又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反． 综上，AB 与CD 共线且方向相反．向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b .(2)利用向量共线的坐标表达式a 1b 2－a 2b 1＝0直接求解． [活学活用]已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向．∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．三点共线问题[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)，∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k＝－2或k＝11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看AB与BC，或AB与AC，或AC与BC 是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用AC＝λBC，或AB＝λBC，或AB＝λAC都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．[活学活用]设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？解：AB＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，CD＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．由AB与CD共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.又AB与CD方向相同，所以x＝2.此时，AB＝(2,1)，BC＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB与BC不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C，D不在同一条直线上．向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|1|DC|＝1|AB| 2.∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形，∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)．(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，DE ∥BC . 题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．证明：(4,3)－(1,0)＝(3,3)，(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0(－1,2)(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0 ∴四边形ABCD 是梯形．(－2,1)(－1,2)，∴＝5BC ＝AD . 故四边形ABCD 是等腰梯形．题点三：求交点坐标3.如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标．解：法一：t (4,4) ＝(4t,4t )，(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)． 法二：设P (x ，y )，(x ，y )(4,4)．∴4x －4y ＝0.①(x －2，y －6)(2，－6)，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一 学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a λ的值为( ) A ．－23B.32C.23D ．－32解析：选C 根据A ，B (3,1)，∵a 2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.3．已知A (2，－1)，B (3,1)a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D (1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．75°解析：选A ∵a ∥b ， ∴32×13－tan α cos α＝0， 即sin α＝12，α＝30°.6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________． 解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线， ∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________.(x ＋1，－6)(4，－1)，(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23. 答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________． 解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1), (x 2，y 2)，(2,2)(－2,3)(4，－1)．(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23.同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0⎝⎛⎭⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝010．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值． 解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)， 所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)． (2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)． 又因为a ＝(2,1)， 且a 与m 平行， 所以2(λ＋2)＝λ＋5， 解得λ＝1.层级二 应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴． 2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D A ，B ，C 三点共线，(－8,8)(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c ∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5(6,1)(x，y)(－2，－3)x＋2y的值为________．解析：(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06(3，－4)(6，－3)(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C(3,1)，(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )(x －1，y )，(5,4)(－3,6)(4,0)．由B ，P ，D (5λ，4λ)．(5λ－4,4λ)，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47，⎝⎛⎭⎫207，167，27 7，16 7.∴P的坐标为⎝⎛⎭⎫。
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【必修4】 第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段，分别表示一个竖直向上，大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、（1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？ （2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，，用向量加法的三角形法则作出b a +.2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空： （1）________;=+d a （2）.________=+b c4、根据图示填空： （1）________;=+b a （2）________;=+d c （3）________;=++d b a （4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=-AD AB ________;=-BC BA ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-OB OA3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2.3 练习1、任画一向量e ，分别求作向量e b e a 44-==，2、点C 在线段AB 上，且25=CB AC ，则.________AB BC AB AC ==， 3、把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积：；，e b e a 63)1(== ；，e b e a 148)2(-== ；，e b e a 3132)3(=-= .3243)4(e b e a -=-=，4、判断下列各小题中的向量b a 与是否共线： ；，e b e a 22)1(=-= .22)2(2121e e b e e a +-=-=，5、化简：；)32(4)23(5)1(a b b a -+- ；)(21)23(41)2(31)2(b a b a b a ----- .)())(3(a a y x y x --+6、已知向量)(三点不共线、、、B A O OB OA ，求作下列向量：);(21)1(OB OA OM +=);(21)2(OB OA ON -=.23)3(OB OA OG +=2.3 练习1、已知向量b a 、的坐标，求b a b a -+，的坐标： ；，，，)25()42()1(=-=b a；，，，)83()34()2(-==b a ；，，，)32()32()3(--==b a ).40()03()4(，，，==b a2、已知)10()23(-==，，，b a ，求b a b a 3442++-，的坐标.3、已知B A 、两点的坐标，求BA AB ，的坐标： ；，，，)96()53()1(B A ；，，，)36()43()2(B A - ；，，，)50()30()3(B A ).08()03()4(，，，B A4、已知点)12()21()0,1()10(，，，，，，D C B A ，试判断CD AB 与的位置关系，并给出证明.5、求线段A 的中点坐标： ；，，，)34()12()1(B A ；，，，)63()21()2(B A - ).63()45()3(--，，，B A6、已知点)00(，O ，向量)36()32(-==，，，OB OA ，点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标.7、已知点)34()32(-，，，B A ，点p 在线段AB =P 的坐标.2.4.1 练习1、已知q p q p 和，，68==的夹角是060，求q p ⋅.2、已知ABC ∆中，b a ==AC AB ，，当00=⋅<⋅b a b a 或时，试判断ABC ∆的形状.3、已知e a ，6=为单位向量，当e a 、之间的夹角θ分别等于0001359045，，时，画图表示e a 在方向上的投影，并求出其值.2.4.2 练习1、已知.)25()43(b a b a b a ⋅=-=，，，求，，，2、已知)21()42()32(--=-==，，，，，c b a ，求.)())()(2b ac (b a b a b a b a ++⋅-⋅+⋅，，，3、已知)75()23(-==，，，b a ，利用计算器，求b a 与的夹角θ（精确到01）.习题2.1A 组1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：（1）4=OA ，点A 在点O 正南方向；（2）22=OB ，点B 在点O 北偏西45o方向；（3）2=OC ，点C 在O 南偏西30o方向。
（第1题）2、一人从点A 出发，向东走500米到达点B ，接着向北偏东60o走300米到达点C ，然后在向北偏东45o走100米到达点D ，试选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移。
3、如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆各边的中点，写出图中与FD EF DE 、、相等的向量。
4、如图，在方格纸上的平行四边形ABCD 和折线MPQRST 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，且c b a ===AB OB OA ，，，分别写出图中与c b a ，，相等的向量。
5、已知边长为3的等边三角形ABC ，求BC 边上的中线向量AD 的模AD 。
6、判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由。
（1）若b a 、都是单位向量，则b a = （ ） （2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 （ ）（3）方向为南偏西60o 的向量与北偏东60o的向量是共线向量 （ ） （4）直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量 . （ ）B 组1、有人说，由于海平面以上的高度（海拔）用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是向量，你同意他的看法吗？温度、角度是向量吗？为什么？2、在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 、N 分别为AB 和CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对？习题2.2A 组1、设a 表示“向东走10km ”，b 表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”，试说明下列向量的意义。
（1）a;a + （2）b;a + （3）c;a + （4）d;b + （5）b;c b ++ （6）d a d ++2、一架飞机向北飞行300km ，然后改变方向向西飞行400km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成。
3、一艘船以8km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h ，求船实际航行的速度的大小和方向（精确到1o）4、化简：（1） CA BC AB ++（2） OM BO MB AB +++)( （3） CO BO OC OA +++ （4） CD BD AC AB -+- （5） AD OD OA +- （6） DC AD AB -- （7） MP MN QP NQ -++5、作图验证：（1）a b)(a 21b)(a 21=-++ （2）bb)(a 21b)(a 21=--+6、已知向量b a ，，求作向量c ，使0c b a =++，表示c b a ，，的有向线段能构成三角形吗？7、作图验证：b)(a a b --=-。
8、已知b a ，为两个非零向量： （1）求作向量b a b a -+及；（2）向量b a ，成什么位置关系时，b a b a -=+（不要求证明）。
9、化简：（1）3a);4(2b 2b)5(2a -+- （2）c);b a 4(c)3b 6(a -+--+- （3）9b)];(6a 315a 2b)[(3a 21--+-（4）))(())((b a b a ---+-y x y x10、已知21212e 3e b ,2e e a -=+=，求2b 3a b ,a b ,a --+与11、已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且b a ==OB OA ,，用向量b a ，分别表示向量BC DC OD OC 、、、12、ABC ∆中，BC DE AB AD //41，=，且与边AC 相交于点E ，ABC ∆的中线AM 与DE 相交于点N ，设b a ==AC AB ，，用b a,分别表示向量AN DN EC DB DE BC AE 、、、、、、 13、已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：HG EF =B 组1、飞机从甲地以北偏西15o的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地以南偏东75o的方向飞行1400km 到达丙地，试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？2、已知b a,是非零向量，b a b a ++与一定相等吗？为什么？3、如图，AC AN AB AM 31,31==，求证：BC MN 31=4、根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD 的形状，并给出证明： （1）BC AD =; （2）BC AD 31=; （3）DC AB ==,5、已知O 为四边形ABCD 所在平面内的一点，且向量OD OC OB OA 、、、满足等式OD OB OC OA +=+（1）作图并观察四边形ABCD 的形状；（2）四边形ABCD 有什么特性？试证明你的猜想。
习题2.3A 组1、已知表示向量的有向线段始点A 的坐标，求它的终点B 的坐标： （1）);00()12(，，，A -=a （2）);51()31(，，，-=A a （3）).73()52(，，，A --=a2、已知作用在坐标原点的三个力分别为)13()52()43(321，，，，，=-==F F F ，求作用在原点的合力321F F F ++的坐标。
3、已知平行四边形ABCD 的顶点)65(),13(),21(，，，C B A ---，求顶点D 的坐标。
4、已知点)51()11(，，，-B A 及AB AD AB AC 221==，,AB AE 21-=，求点C 、D 、E 的坐标。
5、x 为何值时，)6()32(-==，与，x b a 共线？ 6、已知)47()41()12()32(----，，，，，，，D C B A ，试问CD AB 与是否共线？ 7、已知点)31()21()00(，，，，，-B A O ，且OB B O OA A O 3,2='='，求点B A ''、及向量B A ''的坐标。