人教版高中数学必修四练习第二章《平面向量》质量评估
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．32．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17113．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ） A ．4B ．37+C ．25D ．54．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．2D ．225．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B ．6C ．5D ．26．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=（ ）A ．97B ．74C ．72D ．927．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ）A ．18-B ．116-C ．316-D ．08．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ） A ．42，0 B ．4，42C ．16，0D ．4，010．直线0ax by c与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ） A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]-11．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定二、填空题13．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值为___________.14．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．15．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 16．已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______； 17．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________. 18．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.19．已知a →，b →为单位向量，2c a b →→→=-，且,3a b π→→<>=，则,a c →→〈〉=________．20．已知向量(1,3)a =，1(2,)2b =-，若单位向量c 与2a b -平行，则c =___________.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知()3,0a =，(1,3)b =． （Ⅰ）求a b ⋅和b 的值；（Ⅱ）当()k k ∈R 为何值时，向量a 与k +a b 互相垂直？23．已知平面直角坐标系中，点 O 为原点，()()3,1,1,2A B - ． (I)求AB 的坐标及AB ；(Ⅱ)设 e 为单位向量，且 e OB ⊥，求e 的坐标 24．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积．25．（1）已知向量()1,3a =，(),2b m =，()3,4c =，且()3a b c -⊥，求实数m 的值；（2）已知(3,2)a =，(2,1)b =-，若a b λ+与a b λ+平行，求实数λ的值 26．如图，在梯形ABCD 中，E 为DC 的中点，//,,2AD BC BAD π∠=,3BDA BC BD π∠==．（1）求AE BD ⋅；（2）求AC 与BD 夹角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.2．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222m OD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m -=. 故选D 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252ab a ba b a b a b++-++-≤=+=，当且仅当a b a b+=-，即a b⊥时取等号，故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.4．B解析：B【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OPE PF=⋅-，求得OP的最大值，由此可求得PE PF⋅的最大值.【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O，()()()()2221 PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P为ABCD的顶点时，2OP取得最大值2，所以PE PF⋅的最大值为1.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C【分析】以,AD AB为一组基底，表示向量,AE BF，然后利用12AE BF⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴25sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，判断出G 是三角形CFH 的重心，得出,CG CO 的比例，由此得出λ的值.【详解】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，连接FH ，连接BD 交AC 于O ，则//BD FH .在三角形CFH 中，,CG FG 是两条中线的交点，故G 是三角形CFH 的重心，结合23CH CF BH DF ==可知24.5CG CO =，由于O 是AC 中点，故224.529CG AC ==⨯.所以72AGCG=，由此可知72λ=，故选C.【点睛】本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题.7．C解析：C 【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，3t ≤，则 22333()16⋅=-=--AP CP t t t ，进而可求最小值. 【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，3(0,)2C ，设()0,P t ，其中32t ≤1(,)2AP t =-，3(0,)2CP t ==，22333()2416⋅=-=--AP CP t t t ，当34t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-．故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.8．C解析：C 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯= 故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.9．D解析：D 【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值． 【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ2sinθ+1），所以|2|a b -2＝（2cosθ2+（2sinθ+1）2＝8﹣cosθ+4sinθ＝8﹣8sin （3πθ-），所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0； 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．10．A解析：A 【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-，()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解. 【详解】解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b==+，在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-； 当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.11．D解析：D 【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-， 所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.12．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．二、填空题13．【分析】将作为平面向量的一组基底再根据平面向量基本定理用表示出再由即可得出结论【详解】因为在中D 是的中点E 在边上且所以又所以即所以故答案为：【分析】将AB AC 、作为平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用AB AC 、表示出AD EC ⋅，再由3AB AC AD EC ⋅=⋅即可得出结论.【详解】因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =， 所以111()()()223AD EC AB AC AC AE AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭22111263AC AB AB AC -+⋅, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以2211026AC AB -=，即||3AB AC =， 所以=3ABAC. 故答案为：314．1【分析】如图建系设P 点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B解析：1 【分析】如图建系，设P 点坐标(cos ,sin )θθ，则可得,,AP AB AC 的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案. 【详解】取BC 中点O ，以O 为原点，OC ，OA 方向为x 轴y 轴正方向建系，如图所示由题意得：2sin 603OA =︒=3),(1,0),(1,0)A B C -， 如图以BC 为直径的半圆方程为：221(0)x y y +=≤， 设(cos ,sin )P θθ，因为sin 0θ≤，所以[,2]θππ∈，则(cos ,sin 3)AP θθ=-，(1,3),(1,3)AB AC =--=-，因为AP AB AC λμ=+，所以cos sin 333θλμθλμ=-+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，整理可得113cos sin 22131sin cos 22μθθλθθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以131113322(sin cos )cos sin sin()222226πλμθθθθθ+=--++-=-+， 因为[,2]θππ∈，所以713[,]666πππθ+∈， 当1366ππθ+=时，sin()6πθ+取最大值12，所以2λμ+的最小值为31122-=， 故答案为：1 【点睛】解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.15．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析：6 【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则()()()()04,00,40,44A B C D ，，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--，因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，所以()()3,1,3,3PA PB =-=--， 所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】由已知得再两边平方求得代入可求得答案【详解】因为所以又因为所以即又所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算向量的数量积以及向量的模的计算属于中档题 解析：25-【分析】由已知得()c a b =-+，再两边平方22+2+25a a b b ⋅=，求得0a b ⋅=，代入可求得答案. 【详解】因为0a b c ++=，所以()c a b =-+，又因为5c =， 所以()225a b+=，即22+2+25a a b b ⋅=，又3a =，4b =，所以9+2+1625a b ⋅=，所以0a b ⋅=，所以()()20+25a b b c c a a b c b a c c c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅-=-=-， 故答案为：25-. 【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题.17．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题 解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π.【详解】解：∵ 3a =，2b =，∴ 229a a ==，224b b==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，∵ ()()2318a b a b +⋅-=-，∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=-整理得：1cos ,2a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.18．【分析】将均用表示出来进而将表示成与相关可以求出同时可用表示即可求出结果【详解】因为因此故答案为：【点睛】研究向量的数量积一般有两个思路一是建立平面直角坐标系利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基解析：58【分析】将,,,BA CA BF CF 均用,BC AD 表示出来，进而将BA CA ⋅，BF CF ⋅表示成与,FD BC 相关，可以求出 2223,827FD BC ==，同时BE CE ⋅可用,FD BC 表示，即可求出结果. 【详解】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58. 【点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．19．【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解【详解】因为又所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义运算法则性质向量的夹角公式属于中档题解析：6π【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.【详解】因为22cos(cos,2|||||2)2|aa c aa caba bcπ→→→→→→→→→→→→→→-⋅〈〉==--===⋅，又,0a cπ→→〈≤〉≤，所以,6a cπ→→〈〉=，故答案为：6π【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，运算法则，性质，向量的夹角公式，属于中档题. 20．或【分析】由向量的坐标运算求出并求出它的模用除以它的模得一向量再加上它的相反向量可得结论【详解】由题意∴又∴或故答案为：或【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量一般与平行的单位向量有两个它们是相反向量解析：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭．【分析】由向量的坐标运算求出2a b-，并求出它的模，用2a b-除以它的模，得一向量，再加上它的相反向量可得结论．【详解】由题意2(1,3)(4,1)(3,4)a b-=--=-，∴22(3)5a b-=-=，又234,552a ba b-⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，∴c=34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭．故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量，一般与a平行的单位向量有两个，它们是相反向量：a a±．只写出一个向量a a是错误的．三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（Ⅰ）3⋅=a b ，b ＝2；（Ⅱ）3k =-． 【分析】（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算； （Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解． 【详解】（Ⅰ）由题意3103a b ⋅=⨯+=；21(2b =+=．（Ⅱ）(3,3)a kb k k +=+， 因为向量a 与k +a b 互相垂直，所以()3(3)0a a kb k ⋅+=+=，解得3k =-． 【点睛】本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．23．（1）()4,1=-AB,17;=AB （2）25,55⎛=⎝⎭e ，或25.55⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭e【详解】试题分析：（I ）利用向量的坐标运算直接求AB 的坐标及AB ； （II ）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可． 试题（I ）()()AB 13,214,1=---=-,(AB =-=(Ⅱ)设单位向量(),e x y =， 所以221x y +=，即221x y += 又(),1,2⊥=-e OB OB , 所以20x y -+=即2x y =由2221x y x y =⎧⎨+=⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以25,⎛= ⎝⎭e ，或25.⎛=-⎝⎭e 24．（1）23π；（23） 【分析】（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果；（2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果； （3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果. 【详解】（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=，所以2244361aa b b-⋅-=.又4,3a b ==， 所以6442761a b -⋅-=， 所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432a ba b θ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=； （3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=， 所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝1432⨯⨯= 【点睛】该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目. 25．（1）1m =-；（2）1λ=±. 【分析】（1）先求()313,3a b m -=--，再根据向量垂直的坐标运算即可求得1m =-； （2）先计算()32,21a b λλλ+=+-，()23,2a b λλλ+=+-+，再根据向量共线的坐标运算求解即可得1λ=±. 【详解】解：（1）根据题意有：()()()31,33,213,3a b m m -=-=--，∵ ()3a b c -⊥，∴ ()()3313120a b c m -⋅=⨯--=，解得1m =-，所以实数m 的值为：1m =-.（2）根据题意：()()()3,22,132,21a b λλλλλ+=+-=+-，()()()3,22,23,2a b λλλλλ+=+-=+-+，∵ a b λ+与a b λ+平行，∴ ()()()()32223210λλλλ+-+-+-=，解得：1λ=±.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直与平行的坐标表示，考查运算能力，是基础题.26．（1）0；（2） 【分析】（1）由BCD △为等边三角形得出2BC AD =，由向量的加法和减法运算得出13,22AE AB AD BD AD AB =+=-，再由向量的数量积公式得出AE BD ⋅的值；（2）设AD a =，则3,2,AB BC BD a AC ====，由数量积公式得出AC BD ⋅，进而得出AC 与BD 夹角的余弦值．【详解】解：（1）因为//AD BC ，,,23BAD BDA BC BD ππ∠=∠==所以BCD △为等边三角形，23BC AB AD == 又E 为DC 的中点所以1113()(),2222AE AC AD AB BC AD AB AD BD AD AB =+=++=+=- 则221313()02222AE BD AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅+= ⎪⎝⎭（2）设AD a =，则3,2,7AB a BC BD a AC a ==== 222(2)()2AC BD AB AD AD AB AB AD AB AD a ⋅=+⋅-=--⋅+=-设AC 与BD 的夹角为θ，则2cos 2AC BDAC BD θ⋅=== 【点睛】本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.。
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。
故所求的向量或。
2 b ka t b20．解：（1）, 0. [( 3) ] ( ) 0.x y x y 即 a t2 22a b 0,a 4,b 1,4k t(t 3) 0,即k 142t(t 3).（2）由f(t)>0, 得1 2t(t 3) 0,即t(t 3) (t 3)0,则 3 t 0或4t 3.必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。
2020学年高中数学第二章平面向量单元质量测评(含解析)新人教A版必修4(2021-2022学年)
第二章单元质量测评对应学生用书P79 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分１50分,考试时间1２０分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共1２小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列等式恒成立的是()A.错误!+错误!未定义书签。
＝０B．错误!－错误!=错误!C.(a·ｂ）·c＝a·(b·c)D.(a＋b)·ｃ＝a·c+b·c答案 D解析由数量积满足分配律可知D正确．２．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题：①给定向量ｂ，总存在向量c,使a＝b+c;②给定不共线的向量ｂ和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μｃ;③给定单位向量ｂ和正数μ,总存在单位向量ｃ和实数λ，使ａ=λb+μc;④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c,使a＝λb+μc.上述命题中的向量ｂ，c和ａ在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )Ａ.1 B.2 C．３ D．4答案Ｂﻬ解析显然①②正确;对于③，当μ〈|ａ｜sｉｎ<a，b>时,不存在符合题意的单位向量c和实数λ,③错误；对于④,当λ=μ=１,｜a｜＞2时,易知④错误．3．在五边形ＡBCDE中(如图),错误!+错误!-错误!未定义书签。
=()A.错误!未定义书签。
B.错误!C．错误! D．错误!答案 B解析错误!未定义书签。
＋错误!-错误!未定义书签。
＝错误!+错误!未定义书签。
=错误!未定义书签。
.4．设D为△ABＣ所在平面内一点,错误!=３错误!，则（ )Ａ.错误!＝－错误!未定义书签。
错误!＋错误!未定义书签。
错误! B．错误!未定义书签。
＼s＼ｕp6（→)-错误!错误!＝错误!未定义书签。
ＡBＣ．错误!=错误!未定义书签。
错误!+错误!未定义书签。
错误! D.错误!=错误!未定义书签。
高中数学 必修四 第二章 平面向量阶段质量评估 新人教A版必修4
阶段质量评估(二) 平面向量第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列量不是向量的是( )A ．力B ．速度C ．质量D ．加速度解析：质量只有大小，没有方向，不是向量． 答案：C2．已知a ，b 都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝1 B ．a 2＝b 2C ．a ∥b ⇒a ＝bD ．a ·b ＝0解析：因为a ，b 都是单位向量，所以|a |＝|b |＝1.所以|a |2＝|b |2，即a 2＝b 2. 答案：B3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD → B.12AD → C.BC →D.12BC → 解析：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.答案：A4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0)D ．(4,3)解析：由于a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，于是b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，选B. 答案：B5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π3 C.π2D.3π4解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝3＋1＋3－32×22＝22，又θ∈[0，π]，∴θ＝π4. 答案：A6．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( ) A ．a ＝(1，－2) B ．a ＝(9,3) C ．a ＝(－1,2)D ．a ＝(－4，－8)解析：∵AB →＝(1,2)，∴a ＝(－4，－8)＝－4(1,2)＝－4AB →.∴D 正确． 答案：D7．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6D ．3 3解析：－122＝|a |·|b |·cos 135°，且|a |＝4，故|b |＝6. 答案：C8．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92B ．0C ．3D.152解析：因为a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，所以2a －3b ＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k －3，－6)． 因为(2a －2b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝(2k －3，－6)·(2,1)＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3.故选C.答案：C9．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3. 答案：A10．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1D.22解析：∵(a ＋b )⊥a ，∴(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝0.∴a·b ＝－1.∵(2a ＋b )⊥b ，∴(2a ＋b )·b ＝2a·b ＋b 2＝0.∴b 2＝2.∴|b |＝ 2.故选B.答案：B11．若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－1解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，所以2a ＋b ＝(－1,4)，a －m b ＝(1＋3m,2)．又因为(2a ＋b )∥(a －m b )，所以(－1)×2＝4(1＋3m )．解得m ＝－12.答案：A12．在△ABC 中，AB 边上的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35b D.45a －45b 解析：因为a ·b ＝0，所以CA →⊥CB →.所以AB ＝12＋22＝ 5.又因为CD ⊥AB ，所以△ACD∽△ABC .所以AC AB ＝AD AC .所以AD ＝AC 2AB ＝2212＋22＝455.所以AD →＝45AB →＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →－CA →＝45(a －b )＝45a －45b .答案：D第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中横线上) 13．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(3m －1,4－m )，若a ⊥b ，则m 的值为________． 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝3(3m －1)＋(－2)(4－m )＝0. ∴m ＝1. 答案：114．已知a ＝(2,4)，b ＝(－1，－3)，则|3a ＋2b |＝______. 解析：3a ＋2b ＝3(2,4)＋2(－1，－3) ＝(6,12)＋(－2，－6)＝(4,6)， 所以|3a ＋2b |＝42＋62＝213. 答案：21315．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.解析：利用共线向量求参数值． ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b .∴|λa |＝|－b |＝|b |＝22＋12＝ 5. ∴|λ|·|a |＝ 5.又|a |＝1，∴|λ|＝ 5. 答案： 516．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：∵向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)， ∴c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)． ∴a·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， ∴a·c |a ||c |＝b·c |b ||c |，即a·c |a |＝b·c|b |. ∴5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(1)已知a ＝(4,2)，求与a 垂直的单位向量的坐标． (2)若|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为120°，求|a ＋b |的值． 解：(1)设与a 垂直的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，4x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝－255或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55，y ＝255.所以e ＝⎝⎛⎭⎪⎫55，－255或e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋2×2×1×cos 120°＋1＝3， 所以|a ＋b |＝ 3.18．(本小题满分12分)已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB .求证：AC ⊥BC .证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，设AD ＝1，则A (0,0)、B (2,0)、C (1,1)、D (0,1)．∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)， BC →·AC →＝－1×1＋1×1＝0.∴BC ⊥AC .19．(本小题满分12分)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7. (1)求a ，b 的夹角θ； (2)求|3a ＋b |的值．解：(1)由已知得(3a －2b )2＝7， 即9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝7， 又|a |＝1，|b |＝1，代入得a·b ＝12，∴|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.∴向量a ，b 的夹角θ＝π3.(2)由(1)知，(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝9＋3＋1＝13. ∴|3a ＋b |＝13.20．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面上的一组基底，a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2.(1)若a 与b 共线，求λ的值；(2)若e 1，e 2是夹角为60°的单位向量，当λ≥0时，求a ·b 的最大值． 解：(1)∵a ∥b ，∴存在实数μ，使得b ＝μa .∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝μ，λμ＝－1，解得λ＝±22. (2)∵e 1，e 2是夹角为60°的单位向量， ∴e 1·e 2＝12.∴a ·b ＝(e 1＋λe 2)·(－2λe 1－e 2)＝－λ2－3λ－12.在λ∈[0，＋∞)上是减函数， ∴λ＝0时，a ·b 取最大值－12.21．(本小题满分12分)已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|b |＝25，且a ∥b ，求b 的坐标；(2)若|c |＝10，且2a ＋c 与4a －3c 垂直，求a 与c 的夹角θ. 解：(1)设b ＝(x ，y )， ∵a ∥b ，∴y ＝2x .①又∵|b |＝25，∴x 2＋y 2＝20.②由①②联立，解得x 1＝2，y 1＝4，x 2＝－2，y 2＝－4. ∴b ＝(2,4)或b ＝(－2，－4)． (2)由已知(2a ＋c )⊥(4a －3c )，(2a ＋c )·(4a －3c )＝8a 2－3c 2－2a ·c ＝0， 又|a |＝5，|c |＝10， 解得a ·c ＝5， ∴cos θ＝a ·c |a ||c |＝22.∵θ∈[0，π]， ∴a 与c 的夹角θ＝π4.22．(本小题满分14分)已知向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，|ka ＋b |＝3|a －k b |，k ＞0，k ∈R .(1)求a ·b 关于k 的解析式f (k )； (2)若a ∥b ，求实数k 的值； (3)求向量a 与b 夹角的最大值． 解：(1)由已知|k a ＋b |＝3|a －k b |， 有|k a ＋b |2＝(3|a －k b |)2，即k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2 ＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2.又∵|a |＝|b |＝1，得8k a ·b ＝2k 2＋2，∴a ·b ＝k 2＋14k ，即f (k )＝k 2＋14k(k ＞0)．(2)∵a ∥b ，k ＞0，∴a ·b ＝k 2＋14k＞0，则a 与b 同向．∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝1.即k 2＋14k＝1，整理得k 2－4k ＋1＝0，∴k ＝2± 3.∴当k ＝2±3时，a ∥b . (3)设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝a ·b＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2，当k ＝1k，即k ＝1时，cos θ取最小值12.又0≤θ≤π，所以θ＝π3.即向量a 与b 夹角的最大值为π3.。
人教版高中数学必修4第二章《平面向量》质量评估
单元质量评估(二)第二章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2013·三明高一检测)化简-+-得( )A. B. C. D.02.已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( )A.a·b=1B.a2=b2C.a∥b a=bD.a·b=03.已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量=(1，1)，n=(1，-1)，且n·=2，则n·等于( )A.-2B.2C.0D.2或-24.点C在线段AB上，且=，若=λ，则λ等于( )A. B. C.- D.-5.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)∥(a-m b)，则m= ( )A.-B.C.2D.-26.(2013·牡丹江高一检测)已知a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，则a在c方向上的投影是( )A. B.-11 C.- D.117.(2013·兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°8.已知△ABC满足2=·+·+·，则△ABC是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形9.(2013·西城高一检测)在矩形ABCD中，AB=，BC=1，E是CD上一点，且·=1，则·的值为( )A.3B.2C.D.10.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c=( ) A. B.C. D.11.(2013·六安高一检测)△ABC中，AB边上的高为CD，若=a，=b，a·b=0，|a|=1，|b|=2，则= ( )A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b12.在△ABC所在平面内有一点P，如果++=，则△PAB与△ABC的面积之比是( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|= .14.已知向量a=(1，)，b=(-2，2)，则a与b的夹角是.15.(2013·江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的射影为.16.(2013·武汉高一检测)下列命题中：①a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③|a·a·a|=|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a·b=b·c且b≠0，则a=c.其中正确命题的序号是.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA=AB. 求证：AC⊥BC.18.(12分)(2013·无锡高一检测)设=(2，-1)，=(3，0)，=(m，3).(1)当m=8时，将用和表示.(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件.19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设=2，=3. (1)用向量，作为基底表示向量.(2)求·.20.(12分)(2013·唐山高一检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2).(1)若|b|=2，且a∥b，求b的坐标.(2)若|c|=，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角θ.21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1，cosx)，b=（，sinx），x∈(0，π).(1)若a∥b，求的值.(2)若a⊥b，求sinx-cosx的值.22.(12分)(能力挑战题)已知向量a，b满足|a|=|b|=1，|k a+b|=|a-k b|(k>0，k∈R).(1)求a·b关于k的解析式f(k).(2)若a∥b，求实数k的值.(3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析1.【解析】选D.-+-=+-=-=0.2.【解析】选B.因为a，b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.3.【解析】选B.因为n·=n·(-)=n·-n·，又n·=(1，-1)·(1，1)=1-1=0，所以n·=n·=2.4.【解析】选C.由=知，||∶||=2∶3，且方向相反(如图所示)，所以=-，所以λ=-.5.【解析】选A.因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-m b=(1+3m，2)，又因为(2a+b)∥(a-m b)，所以(-1)×2=4(1+3m)，解得m=-.【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据(1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b=λa，则向量a与b共线(平行).(2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b.(3)对于向量a，b，若|a·b|=|a|·|b|，则a与b共线.向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性.6.【解析】选C.a·c=[(a+b)-b]·c=(a+b)·c-b·c.因为a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，所以a·c=(a+b)·c=(1，2)·(-3，-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11，所以a在c方向上的投影是==-.7.【解析】选C.因为c=a+b，c⊥a，所以c·a=(a+b)·a=a2+b·a=0，所以a·b=-a2=-|a|2=-12=-1，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ===-，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°.8.【解析】选C.因为=·+·+·，所以2=·+·+·，所以·(--)=·，所以·(-)=·，所以·=0，所以⊥，所以△ABC是直角三角形.【变式备选】在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形【解析】选C.因为=++=-8a-2b=2，所以四边形ABCD为梯形.9.【解析】选B.如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.A(0，0)，B(，0)，C(，1)，设点E坐标为(x，1)，则=(x，1)，=(，0)，所以·=(x，1)·(，0)=x=1，x=，所以·=·(，1)=×+1×1=2.10.【解析】选D.设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)，a+b=(1，2)+(2，-3)=，因为(c+a)∥b，c⊥(a+b)，所以即解得所以c=.【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误.11.【解析】选D.因为a·b=0，所以⊥，所以AB==，又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△ABC，所以=，所以AD===，所以===(a-b)=a-b.12.【解题指南】先对++=进行变形，分析点P所在的位置，然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系.【解析】选A.因为++==-，所以2+=0，=-2=2，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示).所以△PAB与△ABC的面积之比是.13.【解析】因为3a+2b=3(2，4)+2(-1，-3)=(6，12)+(-2，-6)=(4，6)，所以|3a+2b|==2.答案：214.【解析】设a与b的夹角为θ，a·b=(1，)·(-2，2)=1×(-2)+×2=4，|a|==2，|b|==4，所以cosθ===，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°.答案：60°15.【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|cos θ=|a|=，而a·b=(e1+3e2)·2e1=2+6cos=5，|b|=2，所以所求射影为.答案：16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②正确.e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③正确.===；④错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；⑤错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有a·b=b·c.答案：②③17.【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以=(-1，1)，=(1，1)，·=-1×1+1×1=0，所以AC⊥BC.18.【解析】(1)当m=8时，=(8，3)，设=x+y，则(8，3)=x(2，-1)+y(3，0)=(2x+3y，-x)，所以所以所以=-3+.(2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线，=(1，1)，=(m-2，4)，所以1×4-1×(m-2)≠0，所以m≠6. 19.【解析】(1)=+=-+. (2)·=·(-+)=·(-)+·=||·||cos150°+||·||cos30°=×1×+××1×=-.20.【解析】(1)设b=(x，y)，因为a∥b，所以y=2x；①又因为|b|=2，所以x2+y2=20；②由①②联立，解得b=(2，4)或b=(-2，-4).(2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c)，(2a+c)·(4a-3c)=8a2-3c2-2a·c=0，又|a|=，|c|=，解得a·c=5，所以cosθ==，θ∈[0，π]，所以a与c的夹角θ=.21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用.【解析】(1)因为a∥b，所以sinx=cosx⇒tanx=，所以===-2.(2)因为a⊥b，所以+sinxcosx=0⇒sinxcosx=-，所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=.又因为x∈(0，π)且sinxcosx<0，所以x∈⇒sinx-cosx>0，所以sinx-cosx=.22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f.(2)先根据k>0和a∥b，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值.(3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|k a+b|=|a-k b|有|k a+b|2=(|a-k b|)2，k2a2+2k a·b+b2=3a2-6k a·b+3k2b2.又因为|a|=|b|=1，得8k a·b=2k2+2，所以a·b=即f(k)=(k>0).(2)因为a∥b，k>0，所以a·b=>0，则a与b同向.因为|a|=|b|=1，所以a·b=1，即=1，整理得k2-4k+1=0，所以k=2±，所以当k=2±时，a∥b.(3)设a，b的夹角为θ，则cosθ==a·b===.当=，即k=1时，cosθ取最小值，又0≤θ≤π，所以θ=.即向量a与b夹角的最大值为.关闭Word文档返回原板块。
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4第二章平面向量检测一.选择题:1．以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC M B ADC ．；－＋BM AD M B D ．；＋－CD OA OC3．已知=（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ） A ．6563B ．65 C ．513D ．134． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ）)(21→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ） )(21→→+b a6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（ ）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）（A ）矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（ ）（A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A. 2-或0；B. 25；C. 2或25；D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 二. 填空题13．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ． 14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．15、已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。
最新人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)名师优秀教案
必修4第二章平面向量教学质量检测一.选择题（5分×12=60分）:1．以下说法错误的是（）A．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为的是（）A． B．C．D．3．已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（）A． B． C．D．4．已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+ 3b| =（） A． B． C． D．45．已知ABCDEF是正六边形，且＝，＝，则＝（）（A）（B）（C）＋（D）6．设，为不共线向量，＝+2,＝－4－,＝－5－3,则下列关系式中正确的是（）（A）＝（B）＝2（C）＝－（D）＝－27．设与是不共线的非零向量，且k＋与＋k共线，则k的值是（）（A） 1 （B）－1 （C）（D）任意不为零的实数8．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是（）（A）矩形（B）菱形（C）直角梯形（D）等腰梯形9．已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为（）（A）（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）10．已知＝（1，2），＝（－2，3），且k+与－k垂直，则k＝（）（A）（B）（C）（D）11、若平面向量和互相平行，其中.则（）A. 或0；B. ；C. 2或；D. 或.12、下面给出的关系式中正确的个数是（）①②③④⑤(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3二. 填空题(5分×5=25分):13．若Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知，则．15、已知向量，且，则的坐标是_________________。
16、ΔABC中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C点坐标为________________。
17．如果向量与b的夹角为θ，那么我们称×b为向量与b的“向量积”，×b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=4,|b|=3, ·b=-2，则| ×b|=____________。
全国通用高中数学第二章平面向量学业质量标准检测新人教A版必修4(2021年整理)
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第二章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．下列命题中正确的是（ D ）A．错误!－错误!＝错误!B．错误!＋错误!＝0C．0·错误!＝0 D．错误!＋错误!＋错误!＝错误![解析]起点相同的向量相减，则取终点,并指向被减向量，错误!－错误!＝错误!；错误!，错误!是一对相反向量,它们的和应该为零向量，错误!＋错误!＝0；0·错误!＝0．2．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足错误!＋错误!＝0，2错误!＋错误!＋错误!＝错误!,若｜错误!|＝λ|错误!｜，则正实数λ＝（ A )A．12B．13C．1 D．错误![解析］满足错误!＋错误!＝0，∴点P是线段AC的中点．∵2错误!＋错误!＋错误!＝错误!,∴2错误!＝错误!－错误!－错误!－错误!＝2错误!，∴点Q是线段AB的中点，∵｜错误!|＝λ｜错误!|，∴λ＝错误!．3．如果a、b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( D )A．a＝b B．a·b＝1C．a＝－b D．|a｜＝｜b｜[解析]两个单位向量的方向不一定相同或相反,所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B不正确；｜a｜＝|b｜＝1，则选项D正确．4．如图，a－b等于（ C ）A．2e1－4e2 B．－4e1－2e2C．e1－3e2 D．3e1－e2[解析］a－b＝e1－3e2．5．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么错误!＝( D )A．错误!错误!＋错误!错误!B．－错误!错误!－错误!错误!C．－错误!错误!＋错误!错误!D．错误!错误!－错误!AD［解析］错误!＝错误!错误!＝错误!(错误!－错误!)．6．(错误!＋错误!)·(错误!－错误!）等于（ A ）A．0 B．λ1＋λ2C．λ1－λ2D．λ1λ2[解析］∵a|a｜＝a0。
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章末质量评估(二) 平面向量(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2012·江油市测试)若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是( )．A.AB →与CD →共线 B.AC →与BD →相等C.AD →与CB →模相等，方向相反 D.AB →与CD →模相等解析 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB →＝DC →，故A ，D 正确；AC ＝BD 但AC →与BD →的方向不同，故B 不正确；AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB →的方向相反，故C 正确． 答案 B2．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( )． A ．a ＝(1，－2) B.a ＝(9,3) C ．a ＝(－1,2)D.a ＝(－4，－8)解析 ∵AB →＝(1,2)，∴a ＝(－4，－8)＝－4(1,2)＝－4AB →，∴D 正确． 答案 D3．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )． A ．3B.－3C ．0 D.2解析 由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3.答案 A4．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( )． A ．等腰非直角三角形 B.等边三角形 C ．直角非等腰三角形D.等腰直角三角形解析 ∵AC →＝BC →－BA →＝(－2，－1)，∴AC →·BC →＝－2×2＋(－1)×(－4)＝0，∴AC →⊥BC →. 又|AC →|≠|B C →|，∴△ABC 是直角非等腰三角形． 答案 C5．(2012·丰台测试)如图，在四边形ABCD 中，下列各式中成立的是( )． A.BC →－BD →＝CD → B.CD →＋DA →＝AC → C.CB →＋AD →＋BA →＝CD → D.AB →＋AC →＝BD →＋DC →解析 BC →－BD →＝BC →＋DB →＝DC →，故A 错误；CD →＋DA →＝CA →，故B 错误；CB →＋AD →＋BA →＝CB →＋BA →＋AD →＝CA →＋AD →＝CD →，故C 正确；BD →＋DC →＝BC →≠AB →＋AC →，故D 错误． 答案 C6．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，用a ，b 作基底可将c 表示为c ＝p a ＋q b ，则实数p ，q 的值为( )． A ．p ＝4，q ＝1 B.p ＝1，q ＝4 C ．p ＝0，q ＝4D.p ＝1，q ＝－4解析 ∵c ＝(3，－2)＝p a ＋q b ＝(－p ＋q,2p －q )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －p ＋q ＝3，2p －q ＝－2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝4. 答案 B7．已知向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( )． A ．(4,8) B.(8,4) C ．(－4，－8)D.(－4,8)解析 a ＝(1，－2)＝－14(－4,8)． 即b ＝－4a ，∴b 可能是(－4,8)． 答案 D8．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( )． A ．12 B.3 C ．6D.3 3 解析 －122＝|a |·|b |·cos 135°，且|a |＝4，故|b |＝6. 答案 C9．关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )． A ．船垂直到达对岸所用时间最少 B ．当船速v 的方向与河垂直时用时最少 C ．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D ．以上说法都不正确解析 根据向量将船速v 分解，当v 垂直河岸时，用时最少． 答案 B10．设0≤θ<2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( )． A. 2 B. 3 C ．3 2D.2 3解析 ∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)， ∴|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤3 2.答案 C11．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O是△ABC 的( )．A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫OA →－OC →·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心． 答案 D12．如图所示，半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是( )．A ．2 B.0 C ．－1D.－2解析 由平行四边形法则得PA →＋PB →＝2PO →， 故(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， 又|PC →|＝2－|PO →|，且PO →、PC →反向，设|PO →|＝t (0≤t ≤2)， 则(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2t (2－t ) ＝2(t 2－2t )＝2[(t －1)2－1]． ∵0≤t ≤2，∴当t ＝1时，(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－2，故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．给出下列四个结论：①若a ≠0，且a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ； ②若|a ·b |＝|a |·|b |，则a ∥b ；③在△ABC 中，a ＝5，b ＝8，c ＝7，则BC →·CA →＝20；④设A (4，a )，B (6,8)，C (a ，b )，若OABC 是平行四边形(O 为原点)，则∠AOC ＝π4，其中正确的序号是________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．解析 由于两个非零的向量有可能互相垂直，故①错；由|a ·b |＝|a ||b |可知cos 〈a ·b 〉＝±1，∴a ∥b ，故②正确；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝52＋82－722×5×8＝12，∴BC →·CA→＝－CB →·CA →＝－5×8×12＝－20，故③错；由OABC 是平行四边形可得a ＝2，b ＝6，则cos ∠AOC ＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝20202＝22，∴∠AOC ＝π4，故④正确．答案 ②④14．如图，圆O 的半径为1，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且∠AOB ＝30°，AC ＝2AB ，则OA →·BC →＝________. 解析 ∵∠AOB ＝30°，AC ＝2AB ， ∴∠AOC ＝2∠AOB ＝60°. ∴OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝1×1×cos 60°－1×1×cos 30°＝1－32. 答案1－3215．(山东临沂高一检测)已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2e 1＋e 2和b ＝2e 2－3e 1的夹角是________．解析 设a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(2e 2－3e 1) ＝－6e 12＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋1×1×12＝－72. |a |＝(2e 1＋e 2)2＝4e 12＋e 22＋4e 1·e 2＝7. |b |＝(2e 2－3e 1)2＝4e 22＋9e 12－12e 1·e 2＝7.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727·7＝－12.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 答案 120°16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)解析 当a ＝0时，①不成立；对于②，若a ∥b ，则－2k ＝6，∴k ＝－3，②成立；对于③，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则以|a |，|b |为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD ＝60°，AC →＝a ＋b ，由菱形的性质可知，a 与a ＋b 的夹角为∠BAC ＝30°. 答案 ②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0， (1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形． 解 (1)∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0， ∴OC →＝2OA →－OB →. (2)如图，DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)． 故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．18．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<α<β<π. (1)求|a |的值；(2)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直． (1)解 ∵a ＝(cos α，sin α)， ∴|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1.(2)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝1－1＝0，∴a ＋b 与a －b 互相垂直．19．(本小题满分12分)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61， 即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13， |a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝16－2×(－6)＋9＝37.20．(本小题满分12分)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b . (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c ，d 是否同向； (2)若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d . 解 (1)c ∥d ，故c ＝λd ， 即k a ＋b ＝λ(a －b )．又a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧ k ＝λ，1＝－λ.得⎩⎨⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向．(2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b )＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos 60°， 又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k2a 2＝0. 即(k －1)＋1－k2＝0.解得k ＝1.21．(本小题满分12分)如图，AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．(1)若BC →∥DA →，求x 与y 之间的关系式；(2)若在(1)的条件下，又有AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积． 解 (1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)＝(x ＋4，y －2)， ∴DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )． 又∵BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.(2)∵AC →＝AB →＋BC →＝(6,1)＋(x ，y )＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x ，y )＋(－2，－3)＝(x －2，y －3)， 且AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0. 又由(1)的结论x ＋2y ＝0，∴(6－2y )(－2y －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0. 化简，得y 2－2y －3＝0.∴y ＝3，或y ＝－1. 当y ＝3时，x ＝－6.于是有BC →＝(－6,3)，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)． ∴|AC →|＝4，|BD →|＝8.∴S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16； 当y ＝－1时，x ＝2.于是有BC →＝(2，－1)，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)． ∴|AC →|＝8，|BD →|＝4. ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16.∴⎩⎨⎧ x ＝－6，y ＝3，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，S 四边形ABCD ＝16. 22．(本小题满分12分)设a 、b 是两个不共线的非零向量，(1)记OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？(2)若|a |＝|b |＝1且a 与b 的夹角为120°，那么实数x 为何值时，|a －x b |的值最小？高中数学-打印版精校版 解 (1)∵OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )， ∴AB →＝OB →－OA →＝t b －a ， AC →＝OC →－OA →＝13b －23a .若A 、B 、C 三点共线，则AB →＝λAC →.∴t b －a ＝λ⎝⎛⎭⎪⎫13b －23a ＝λ3b －2λ3a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝λ3，－1＝－2λ3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝32，t ＝12.∴当t ＝12时，A 、B 、C 三点共线．(2)|a －x b |＝(a －x b )2 ＝a 2－2x a ·b ＋x 2b 2 ＝x 2＋x ＋1＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34. ∴当x ＝－12时，|a －x b |最小，最小值为32.。