高中数学必修2第二章_空间点、直线、平面之间的位置关系
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
第二章点、直线、平面之间的地点关系空间点、直线、平面之间的地点关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基天性质①公义 1：A lB llAB②公义 2：不共线的三点确立一个平面③公义 3：Pl 则 P lP二、点与面、直线地点关系1、 A1、点与平面有 2 种地点关系2、 B2、点与直线有1、 A l2 种地点关系l2、 B三、空间中直线与直线之间的地点关系1、异面直线2、直线与直线的地点关系订交共面平行异面3、公义 4 和定理公义 4：l1 Pl3l1 Pl 2l 2 Pl3定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
4、求异面直线所成角的步骤：① 作：作平行线获得订交直线；② 证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；③ 结构三角形求出该角。
提示： 1、作平行线常有方法有：直接平移，中位线，平行四边形。
2、异面直线所的角的范围是000 ,90。
四、空间中直线与平面之间的地点关系地点关系直线 a在平面内直线 a与平面订交直线 a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a a IA a P图形表示五、空间中平面与平面之间的地点关系地点关系两个平面平行两个平面订交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示P I a图形表示直线、平面平行的判断及其性质一、线面平行1、判断：ba b Pb Pa（线线平行，则线面平行）2、性质：a Pa a Pbb（线面平行，则线线平行）二、面面平行1、判断：aba b P Pa Pb P（线面平行，则面面平行）2、性质 1：PI a a PbI b（面面平行，则线面平行）性质 2：Pm Pm（面面平行，则线面平行）说明（ 1）判断直线与平面平行的方法：① 利用定义：证明直线与平面无公共点。
② 利用判断定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。
③ 利用面面平行的性质：两个平面平行，则此中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（2）证明面面平行的常用方法①利用面面平行的定义：此法一般与反证法联合。
高中数学必修2立体几何常考题型：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。
高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)
1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。
2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ； （2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】 已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误； 直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
空间直线与平面 平面与平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间 的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
一、直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系有哪些 靠什
么来划分呢
按照公共
点的个数
直线与平面的位置关系有且只有三种： 分类
①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点.
无交点 a∥α
下面画法错误的是：
a
α
α
a a
α
直线应画在面内
直线与平面的位置关系
位置 关系
a在α内
a与α相交 a与α平行
公共点 符号表示
有无数个公共 点
a
有且仅有一个 公共点
a∩＝A
没有公共点 a∥
图形表
a
示
α
A
应用举例
例1 下列命题中正确的个数是 B
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l ∥α. ②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条 直线都平行.
2.会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面 与平面之间的位置关系. 难点
3.培养空间想象能力.
a
练习：
若M∈平面α,M∈平面β,则不同平面α与β的
位置关系是 A．平行
B B．相交
C．重合
D．不确定
解析 由公理3知,α与β相交．
ห้องสมุดไป่ตู้
例2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条 画出图形表示你的结论.
答:有可能1条交线,也有可能3条交线.
（2）
（1）
(3)
1.若直线a不平行于平面α,且 立的是 B
2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1
• 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公
理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所
以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
• 规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其 推论．
• [证明] 如右图所示，
• ∵PA∩PB＝P， • ∴过PA，PB确定一个平面α. • ∴A∈α，B∈α. • ∵A∈l，B∈l， • ∴l⊂α. • ∴PA，PB，l共面．
3. 证明多点共线问题
• 例题3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，
BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
自主预习
1．平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出 来的，是无限___延__展_____的
通常把水平的平面画成一个__平__行__四__边__形__，并且其锐 角画成45°，且横边长等于其邻边长的___2__倍，如图 1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强 立体感，被遮挡部分用__虚__线___画出来，如图2所示
练习1
(1)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内， 则 M，a，α 间的关系可记为________.
(2) 根 据 右 图 ， 填 入 相 应 的 符 号 ： A________平面 ABC，A________平面 BCD， BD________平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD ＝________.
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在 和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不 能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定 一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在 性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．
人教版高中数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系全章教案
）利用生活中的实物对平面进行描述；的直观图）掌握平面的基本性质及作用；.思考4:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如思考5:直线和平面都可以看成点的集合.那么“点P在直线l在平面α内”，用集合符号可怎样表示？“点P在直线l外”,“点A在平面α外”用集合符号可怎样表示？思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线置关系如何？由此可得什么结论？公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内思考1:空间中，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，那么两思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所思考2:如果两条不重合的直线有公共点，则其公共点只有一个重合的平面有公共点，其公共点有多少个？这些公共点的位置关系如何？l β= ，有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据例2: 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,l P αβ=且（1）平面的概念、画法、表示方法；（2）文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关）了解空间中两条直线的位置关系；（养学生的空间想象能力；（；（）异面直线所成角的定义、范围及应用。
思考2:我们把上图中直线A′B与直线CD怎样理解异面直线？关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b思考2:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗 ?思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿EF 折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?思考4:通过上述实验可以得到什么结论？思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两思考2:如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?思考3:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′相等吗？例2：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中1. 空间直线的位置关系；2. 异面直线的概念(既不平行也不相交的两条直线)；3. 异面直线画法及判定；对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)思考3：求异面直线所成角的步骤有哪些？思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的思考3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗 ?例1：如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中.（1）直线A′B和CC′的夹角是多少？（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？1、正方体ABCD- A）了解空间中直线与平面的位置关系；（（.思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? （1）直线在平面内---有无数个公共点；思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？（1）两个平面平行---没有公共点；例1：给出下列四个命题：(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(4)若直线l在平面α内，且l与平面β平行，则平面α与平面β一、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点.二、两个平面之间有两种位置关系：）理解并掌握直线与平面平行判定定理；（思考3：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？思考4：有一块木料如图，P为面思考5：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行？思考1：如果直线a与平面α内的一条直线b平行，则直线a与平面α一定思考2：设直线b在平面α内，直线a在平面α外，若a//b，则直线a与直线b确定一个平面β，那么平面α与平面β的位置关系如何？此时若直线a思考3：通过上述分析，我们可以得到判定直线与平面平行的一个定理，你能用文字语言表述出该定理的内容吗？定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平思考5：直线与平面平行的判定定理可简述为“线线平行，则线面平行”，在例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.（2）设E，F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.2.两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？思考5: 建筑师如何检验屋顶平面与水平面是否平行？思考3:通过上述分析，我们可以得到判定平面与平面平行的一个定理，用文字语言表述出该定理的内容吗？定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行思考4:上述定理通常称为平面与平面平行的判定定理，怎样表述？思考5:在直线与平面平行的判定定理中，“a∥α,b∥β”，可用什么条件例1：在正方体ABCD-A′B′C′例2 ：在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证：平面DEF//平面ABC.）掌握两个平面平行的性质定理及其应用（）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（）掌握直线和平面所成的角及其应用（（。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
la l b
l
b
A
a
直线与直线垂直
探究 如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中， ABCD ABCD 底面四边形 满足什么条件时， ？
ABCD
AC BD
B
A
D
C
A D B
答：底面四边形ABCD对角线相互垂直．
P , 且P l , 且P l
作用：判断两个平面位 置关系的基本依据
P
l
探究问题
• 根据公理1探究直线与平面的各种位置关系. • 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个
平面的合理性.
• 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.
小结
1.平面的表示：概念、图形、符号等 2.平面的基本性质
记为l
平面 的垂线 垂足
l
P
直线 l 的垂面
平面内任意ห้องสมุดไป่ตู้ 条直线
思考4
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线， 那么这条直线是否与这个平面垂直？
l α
线面垂直的判定
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线 与此平面垂直．
a l b a b A
A ．
B ．
α
A l , B l , 且A , B l
作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据
平面的基本性质
思考2：经过两点可以确定一条直线， 那么经过几个点可以确定一个平面呢？
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个 平面. “不共线的三点确定一个平面”
集合符号表示
2.2.2
平面与平面平行的判定
两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
小结
1. 知识小结
2. 思想方法
线线平行 线面平行 面面平行
2.2.3
直线与平面平行的 性质
复习
直线与平面平行的判定定理是什么？
定理 若平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行，则该直线与此平面平行.
直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
直线和平面的三种位置关系的画法
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
观察 若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与 桌面所在的平面具有怎样的位置关系？
l
直线和平面平行
思考 如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下 直线a与平面α平行.
a
A
记为：a=A
直线与平面
（3）直线与平面平行
a
没有公共点
记为：a//
直线与平面
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 记为：a a//
a a
a=A 或
A
主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
2.1.4
平面与平面之间的 位置关系
两个平面平行的性质
结论1
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平 面．
a
// , a a //
两个平面平行的性质定理 定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 平行．
即：
// a a // b b
问：其逆定理是否成立？
直线与平面平行
性质定理及证明 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这 条直线和交线平行．
已知： a // ， ， b a // b ． 求证： 证 明：
b
b a //
．
a b 又a a // b b
a
a//b
α
b
直线和平面平行
判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直 线和这个平面平行．
b
小结
直线与平面平行的判定定理可简述为
“线线平行，则线面平行”
思想方法 通过直线间的平行，推证直线与平面平 行，即将直线与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关 系（平面问题）.
两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
a
b
a
b
异面直线的图示
两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法 最合适？ A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；
B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线；
C. 分别在不同平面内的两条直线；
D. 不在同一个平面内的两条直线；
． A ． B ． C
已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平 面，使得A、B、C 作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内
平面的基本性质
思考3：如果两个平面有一个公共点， 那么还会有其它公共点吗？如果有这些 公共点有什么特征？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
点
直线
可无限延伸的
平面
平面是可无限延展的
平面的表示
平面的画法 一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如 图一, 在画立体图时，为了增强立体感， 常常把平 面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的 平面的水平直观图.
图一
图二
平面的表示
平面的符号表示 D C A B 1. 希腊字母： 平面， 平面，平面
这个定理判定两直线平行的依据之一
小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用 2. 思想方法
面面平行
线面平行或线线平行
2.3 直线、平面垂直的 判定及其性质
主要内容
2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.1
小结
直线与平面平行的性质定理可简述为
“线面平行，则线线平行”
思想方法 线面平行的性质定理不但提供了用线面平行来证明线线平行的方法， 也提供了作平行线的一种方法.
2.2.4
平面与平面平行的性质
复习1: 两个平面的位置关系是
平行或相交 .
复习2:
两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
P l , A “点P在直线l 外”,“点A在平面α外”
直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l 直线 l 在平面α外.
l ,l
平面的基本性质
思考1：如何让一条直线在一个平面内？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 ,那么这条直线在此平面内.
平面经过这条直线 集合符号表示
公理1
公理2
公理3
3.判断共面的方法
2.1.2
空间中直线与直线 之间的位置关系
两条直线的位置关系
思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？ 空间中的两条直线呢？
b
C
a
1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何？
2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何？
主要内容
2.2.1 直线与平面平行的判定
2.2.2 平面与平面平行的判定
2.2.3 直线与平面平行的性质
2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.1 直线与平面平行的 判定
复习
直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
（1）直线在平面内——有无数个公共点． （2）直线和平面相交——有且只有一个公共点． （3）直线和平面平行——无公共点．
基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.
2.1.3
空间中直线与平面之间 的位置关系
主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
直线与平面
直线和平面的位置关系有且只有三种 (1)直线在平面内 有无数个公共点
a
记为：a
直线与平面
(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点
2. 一个或几个拉丁字母： 平面M， 平面AC，
平面ABCD等
平面的表示
两个相交平面的画法和表示 平面和平面相交于一条直线a a 平面平面=直线a 被遮住的部分画虚线
a
平面的表示
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系 直线和平面都可以看成点的集合
P l, A “点P在直线l上”,“点A在平面α内”
E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系： 相交直线: 同一平面内，有且只有一 个公共点； 平行直线: 同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点
共面直线
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c 空间中的平行线具有传递性 C F D F
平面的斜线 平面的垂线
P
斜足A
l
垂足B
α
斜线PA在平面内的射影
A
B
斜线PA与平面所成的角为PAB
1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的 射影所成的角 (0,900 )
2.平面的垂线与平面所成的角为直角
C
C
A
C
B
A
B
C
A