高中数学必修二第二章 2.2.3课件
高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系课件2.2.2平行平面的判定
P
符号语言：
b a b P // a // b //
a
8
尝试性练习：
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1、下面的说法正确吗？ (1)、如果一个平面内有两条直线分别平行于另一 个平面,那么这两个平面平行.( ) (2)、如果一个平面内有无数条直线分别平行于另 一个平面,那么这两个平面平行.( ) (3)、如果一个平面内任意一条直线平行于另一个 平面,那么这两个平面平行.( )
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C1
D1 B1
A1
C
D B
1
复习：
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一、直线与平面平行的判定定理：
a b a // a // b
线面平行问题 直线与平面平行关系
空间问题 空间问题
1、定义：如果两个平面没有公共点，那么 这两个平面互相平行，也叫做平行平面.
（ 1 ）、平面平行于平面 ，记作： // .
(2)、 画法：
4
2、判定：
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探究：
（ 1 ）、若内有一条直线 a与平行， 则与平行吗？
× ×
9
品质来自专业 判定定理 :一个平面内两条相交直线分别 信赖源于诚信 平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 金太阳教育网
判定定理剖析： 1〉两条 条件要点：内有2〉相交 直线 3〉分别和平行
b
P
a
结论： // a 符号语言： b a b P // a // b //
高中数学必修二课件-2.2.3 两条直线的位置关系-人教B版
解法二a：)(∵2a直＋线3)＝l1⊥0，l2，解∴得(aa＝＋±2)(1a.－1)＋(1－
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 要[注点意评直] 线在的利斜用率k1是·k否2＝有－可1判能定不垂存直在关这系一时情，况一．定
已知直线 2ax＋y－1＝0 与直线(a－1)x＋ay
＋1＝0 垂直，则实数 a 的值等于( )
2.2.3 两条直线的位置关系
课前自主预习
课堂典例讲练
方思法想警方示法探技究巧
新知推广应用
课后强化作业
课前自主预习
k1k2 1
1．两直线垂直的条件 (1)l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2i ＋B2i ≠0)，
A1A2 Bl11B⊥2 l2⇔0 _____________________.
1
3
A.2
B.2
C．0 或12
D．0 或32
[答案] C [解析] 由已知，得2a(a－1)＋a＝0，∴a＝0或12.
两直线垂直的简单应用 过点 P－1，32且与直线 x－4y－1＝0 垂直的直线 方程是__________________．
[答案] 8x＋2y＋5＝0 [解析] 由题意，知所求直线的斜率为－4， 又∵直线过点P－1，32， ∴所求直线方程为y－32＝－4(x＋1)， 即8x＋2y＋5＝0.
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0
[答案] A
[解析] 直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程 为－x－y＋1＝0，即x＋y－1＝0.
点 P(－1,1)关于直线 ax－y＋b＝0 的对称点是
Q(3，－1)，则 a、b 的值依次是( )
高中数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系211平面及其表示法(含习题课)PPT课件
1，2，3（1）（2）
21
补充练习金太：阳教育网
l 1、A为直线 l上的点，又点A不在平面
与 的公共点最多有 _______1个.
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内，则
2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平
面，则可以作_____1_或___4_或___6个不同的平面 .
22
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2
金实太阳教例育网引入
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观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
3
一.平面金太的阳教育概网 念：
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光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现
实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
文字语金言太阳：教育网 公理1.如果一条直线上两点品信质赖在来源自于专诚一业信 个平面内，那么这条直线在此平
面内（即这条直线上的所有的点
23
点、线金、太阳面教之育网间的位置关系及语言表达
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文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内
α
A
α
α
A
a a
A∈α A∈ α
aα
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∩α＝φ 或 a∥α24
B A
B
CαA
C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
高中数学第二章函数2.2.3待定系数法课件新人教B版必修1
(C)y=-x-1 (D)y=-x+1
解析:可将点
P、Q
坐标代入验证,也可由
2 3k b, 2 k b,
解得
k b
1, 1.
3.(2018·北京通州期中)已知函数f(x)=x2+bx+c的图象的对称轴是x=1,并且 经过点A(3,0),则f(-1)等于( C ) (A)6 (B)2 (C)0 (D)-4
思路点拨:表示点 B,D 坐标→代入抛物线方程求解析式→求 D 点坐标→求时间
解:(1)由题意,设抛物线的解析式为 y=ax2(a<0), 点 D 的坐标为(5,y),点 B 的坐标为(10,y-3), 又 D,B 在抛物线 y=ax2 上,
所以有
y y
25a, 3 100a,
变式训练4-:如图所示,有一条双向公路隧道,其横断面由抛物线和矩形 ABCO的三边组成,隧道的最大高度为4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m.现把隧道的 横断面放在平面直角坐标系中,若有一辆装有集装箱的高为4 m,宽为2 m的 汽车要通过隧道.问:如果不考虑其他因素,汽车的右侧离隧道右壁多少才 不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部,AO,BC为壁)?
即(x-5)2=9.解得 x1=8,x2=2. 显然 x2=2 不合题意,舍去.所以 x=8. OC-x=10-8=2. 故汽车应离开右壁至少 2 m,才不至于碰到隧道顶部.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
解析:f(x)=x2+bx+c,对称轴为 x= b =- b =1,得 b=-2, 21 2
高中数学 第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.3
2.2.3 待定系数法整体设计教学分析 在初中阶段，学生已经对待定系数法有了认知基础．由于待定系数法是解决数学问题的重要方法，所以本节进一步学习．教材利用实例引入了待定系数法，并且通过两个例题介绍了其应用．值得注意的是本节重点应放在运用待定系数法求函数的解析式上，对于其他方面的应用不必过多延伸．三维目标1．了解待定系数法，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．2．掌握用待定系数法求函数解析式的方法及其应用，提高学生解决问题的能力． 重点难点教学重点：待定系数法及其应用． 教学难点：待定系数法的应用． 课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.已知一次函数y ＝f(x)的图象经过点(1,2)和(2，－1)，求一次函数y ＝f(x)的解析式，我们用什么方法？(待定系数法)教师指出本节课题．思路 2.这节课我们学习求一次函数和二次函数解析式的方法——待定系数法，教师指出本节课题．推进新课 新知探究 提出问题①两个关于x 的一元多项式ax 2－x ＋4与2x 2＋bx ＋c 相等，即任意x ∈R ，总有ax 2－x ＋4＝2x 2＋bx ＋c ，求a ，b ，c 的值.②两个一元多项式相等的条件是什么？③已知一次函数y ＝f x 的图象经过点1，2和2，－1，求一次函数y ＝f x 的解析式即前面导入中的问题.④这种求函数解析式的方法称为什么？ ⑤待定系数法有什么优点？讨论结果：①a＝2，b ＝－1，c ＝4.②两个一元多项式分别整理成标准式(按降幂排列)之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项式相等．③设f(x)＝kx ＋b(k≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－1，解得k ＝－3，b ＝5.即f(x)＝－3x ＋5. ④待定系数法．⑤待定系数法的特点是先根据数量之间的关系所具有的形式，假定一个含有待定的系数的恒等式，然后根据恒等式的性质列出几个方程，解这个方程组，求出各待定系数的值或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，从而使问题得到解决．应用示例思路1例1已知一个二次函数f(x)，f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5，求这个函数．解：设所求函数为f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 待定．根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0＋0＋c ＝－5，a －b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝5，解此方程组，得a ＝2，b ＝1，c ＝－5.因此所求函数为f(x)＝2x 2＋x －5.点评：求二次函数解析式可用待定系数法，已知图象上任意三点的坐标时，二次函数解析式设为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；已知顶点坐标时，二次函数解析式设为顶点式y＝a(x －m)2＋n(a≠0)比较简便；已知抛物线与x 轴的两个交点的坐标，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时，二次函数解析式设为零点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)比例2已知y ＝f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．解：设f(x)＝kx ＋b(k≠0)， 其中k ，b 待定．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2(2k ＋b)－3(k ＋b)＝5，2b －(－k ＋b)＝1，解得k ＝3，b ＝－2，即这个函数的解析式f(x)＝3x －2.点评：用待定系数法求函数解析式的一般步骤是： (1)设出函数解析式，其中包括待定的系数；(2)把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组． (3)解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式.例1已知f(x)＝ax ＋7，g(x)＝x 2＋2x ＋b ，且f(x)＋g(x)＝x 2＋22x ＋9，试求a 、b 的值．解：f(x)＋g(x)＝ax ＋7＋x 2＋2x ＋b ＝x 2＋(2＋a)x ＋(7＋b)，则⎩⎨⎧2＋a ＝22，7＋b ＝9，解得a ＝2，b ＝2.点评：对任意x∈R ，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ＝a′x 2＋b′x＋c′⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a′，b ＝b′，c ＝c′.例2一根弹簧原长是12厘米，它能挂的重量不超过15 kg ，并且每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，挂后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)是一次函数的关系．(1)求y 与x 的函数解析式； (2)写出函数的定义域； (3)画出这个函数的图象． 解：(1)设y ＝kx ＋b(k≠0)．由于弹簧原长是12厘米，则f(0)＝12，所以b ＝12， 每挂重量1kg 就伸长0.5厘米，则k ＝0.5， 所以y 与x 的函数解析式是y ＝0.5x ＋12. (2)[0,15]．(3)图象如下图所示．点评：解决本题的关键是审清题意，读懂题．弹簧原长是12厘米是指当x ＝0时，y ＝12；每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，是指斜率k ＝0.5.知能训练1．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式( )A ．y ＝c －a c －b xB ．y ＝c －a b －c xC ．y ＝c －b c －a xD ．y ＝b －c c －a x解析：由题意得xa%＋yb%x ＋y ＝c%，解得y ＝c －a b －cx.答案：B2．二次函数的图象过点A(0，－5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝3，求这个二次函数的解析式．解：∵二次函数的图象过点B(5,0)，对称轴为直线x ＝3，∴设抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为(x 1,0)，则对称轴：x ＝x 1＋x 22， 即5＋x 12＝3，∴x 1＝1.∴C 点的坐标为(1,0)． 设二次函数解析式为y ＝a(x －1)(x －5)，又∵图象过A(0，－5)，∴－5＝a(0－1)(0－5)，即－5＝5a.∴a＝－1.∴y＝－(x －1)(x －5)＝－x 2＋6x －5. 拓展提升二次函数图象经过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)三点，求二次函数的解析式．解法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， ∵二次函数图象过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)， ∴a＋b ＋c ＝4，①a－b＋c＝0，②9a＋3b＋c＝0，③解得a＝－1，b＝2，c＝3，∴函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.解法二：∵抛物线与x轴相交两点(－1,0)和(3,0)，∴1＝－1＋32.∴点(1,4)为抛物线的顶点．设二次函数解析式为y＝a(x＋h)2＋k，∴y＝a(x－1)2＋4.∵抛物线过点(－1,0)，∴0＝a(－1－1)2＋4，得a＝－1.∴函数的解析式为y＝－1(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.解法三：由题意可知两根为x1＝－1、x2＝3，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，∵函数图象过点(1,4)，∴4＝a(1＋1)(1－3)，得a＝－1.∴函数的解析式为y＝－1(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.课堂小结本节课学习了待定系数法及其应用．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节教学设计中，注重了待定系数法的应用，其理论基础只是简单地作了介绍，这符合课程标准．教师在实际教学中可以对教材适当拓展以适应高考的要求．备课资料待定系数法1．要确定变量间的函数关系，根据所给条件设出某些未定系数，并确定这一关系式的基本表达形式，从而进一步求出表达式中含有的未定系数的方法，叫做待定系数法．其理论依据是多项式恒等原理．也就是依据了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)≡g(a)．或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等．待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未定系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否用待定系数法求解．主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式．如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，设出含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步，解方程或方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．2．运用待定系数法求二次函数的解析式时，一般可设出二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，但如果已知函数的对称轴或顶点坐标或最值，则解析式设为y＝a(x－h)2＋k 会使求解比较方便，具体来说：(1)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再利用一个独立条件求a；(2)已知对称轴方程x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再利用两个独立的条件求a与k；(3)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x＋h)2＋n，再利用两个独立条件求a与h；(4)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x＋h)2，再利用两个独立条件求a与h.对于用待定系数法求二次函数的解析式，在课堂上要展开讨论，要让学生探索所需的已知条件，然后可由学生自行设计问题、解决问题．。
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修
一级达标重点名校中学课件
2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝D→E，b＝D→F，用a，b表示D→B. [解] 由题意ab＝＝A12→A→BB－－12AA→→DD，， 解得 AA→→BD＝＝4323aa－－2343bb，， 所以D→B＝A→B－A→D＝23a＋23b.
一级达标重点名校中学课件
A，B，D三点共线．
(2)先用共线向量定理引入参数λ得
→ AP
＝λ
→ AB
，再用向量减法的几何意义向
O→P＝xO→A＋yO→B变形，最后对比求x＋y.
一级达标重点名校中学课件
(1)A，B，D
[(1)∵
→ AB
＝e1＋2e2，
B→D＝
B→C＋
→ CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝
2(e1＋2e2)＝2A→B.
A [对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线．]
一级达标重点名校中学课件
4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 【导学号：84352202】
－57 [由题意知a＝－57b.]
一级达标重点名校中学课件
一级达标重点名校中学课件
2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.A→B＝3B→C
B.A→C＝2B→C
C.A→C＝12B→C
D.A→C＝2C→B
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正确．]
一级达标重点名校中学课件
3．如图2-2-27，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，A→B＋A→D＝λA→O，则λFra bibliotek________.
数学：2.2.3《直线与平面平行的性质》课件(新人教A版必修2)
C1
A1
D
FLeabharlann B1C BA例题示范 例2：有一块木料如图，已知棱 BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面 A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？
（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平 面A'C'交于B'C'，所以BC∥B'C'，由（1）知， EF∥B'C'，所以，EF∥BC，因此，EF//BC, EF平面AC,BC平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。
线面平行 线线平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直 线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 平行。
作业：P62 5、 6题.
例题示范
如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α.
证明:过a作平面β ,使它与 平面α相交,交线为c. 因为a//α,a β ,α Çβ =c, 所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c α, b α, 所以 b// α。
证明：∵α ∩β ＝b，∴bα ∵ a∥α ，∴a与b无公共点， ∵aβ ，bβ ，∴a∥b。
我们可以把这个结论作定理来用.
直线与平面平行的性质定理： 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与这个平面的交线与该直线平行。 符号表示：
a // , a , b
提出问题、引入新课
提出问题:如果已知直线与平面平 行，会有什么结论？
直线与平面平行的性质
探研新知
探究1.如果一条直线与平面平行，那么 这条直线是否与这个平面内的所有直线 都平行？ 这条直线与这个平面内有多少条直线平 行？
人教版高中数学必修二课件-第二单元
公理1：若一条直线的两点在一个平面内， 则这条直线上所有的点都在这个平面内, 即:这条直线在这个平面内。
即: A∈且B∈ AB
A AB B
作用:用于判定线在面内
A
B
结论2 ：空间中线与面的位置关系
直线a在平面 内 记作：a
直线a在平面外
3.记法: B ①平面α、平面β、平面γ（标记在边上） ②平面ABCD、平面AC或平面BD
A
B
A
巩固: 判断下列各题的说法正确与否，在正 确的说法的题号后打 ，否则打 . 1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
3、一个平面的面积是 25 cm 2； 4、平面是无限延展、没有厚度的 ；
记作：a
强调: 空间中点与线(面)只有∈和 关系 空间中线与面只有 与 的关系 推导符号“”的使用： 条件1 结论 条件结论 条件2
｝
思考2:固定一扇门需要几样东西？
回答:确定一个平面需要什么条件?
公理2：过不在同一条直线上的三点,有 且只有一个平面。
B
A
C
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 作用:用于确定一个平面.
1
（2）若直线过焦点则可考虑利用第二定义,将弦长转 化为弦的端点到相应准线距离的和与离心率的 乘积,在应用时要注意区分两种情形: ① 如果两点在同一支上,那么| AB |=| AF1 | | BF1 | (见图一) ② 如果两交点分别在两支上,那么| AB |=|| AF1 | | BF1 || (见图二)
点A是线段
的中点？ PP 1 2
这样的直线 弦长|
l如果存在，求出它的方程及
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本
课
行，所以直线 a 与平面 α 内的任何直线无公共点，所以 a，
时 栏
b 两直线平行．
目 开
小结 线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过
关
这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：
线面平行则线线平行．
问题 5 线面平行性质定理用符号语言如何表述？
答 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
栏
得 a∥β；
目 开
又 a⊂α，a⊄β，β∩α＝c，得 a∥c，
关
所以 a∥b∥c.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
探究点二 线面平行的性质定理的应用
问题 1 如果直线 a 与平面 α 平行，那么经过平面内一点 P
且与直线 a 平行的直线怎样定位？
答 直线 a 与平面 α 内一点 P 确定一个平面，设这个平面与
连接 GO，OO′，GO′，
则梯形的高 GO′＝
a2＋
42a2＝3
4
2 a.
所以梯形的面积为12( 22a＋ 2a)×3 42a＝98a2.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
例 3 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，
求证：另一条也平行于这个平面．
已知 如图，直线 a、b，平面 α，且 a∥b，a∥α，
也提供了一种作 平行线 的重要方法．
Байду номын сангаас
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
本 [问题情境]
课
直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件
时
栏
问题，反之，在直线与平面平行的条件下，可以得到什么
目
开
结论呢？本节我们就来研究这个问题．
关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
探究点一 直线与平面平行的性质定理
问题 3 如果直线与平面平行，那么经过直线的平面与平面
有哪几种位置关系？
答 经过直线 a 的平面 α 与平面平行或相交．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
问题 4 如果直线 a 与平面 α 平行，经过直线 a 的平面 α 与
平面相交于直线 b，那么直线 a，b 的位置关系如何？为
什么？
答 直线 a，b 的位置关系为平行．因为直线 a 与平面 α 平
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
例 1 如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b.求证： a∥b.
证明 因为 α∩β＝b，所以 b⊂α.
本 课
又因为 a∥α，所以 a 与 b 无公共点．
时 栏
又因为 a⊂β，b⊂β，所以 a∥b.
目 开
小结 用线面平行的性质定理可以判定两直线是否平行，同
关
时也提供了一种作平行线的方法．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
跟踪训练 1 如图，平面 α、β、γ 两两相交，a，
b，c 为三条交线，且 a∥b.那么，a 与 c，b 与
c 有什么关系？为什么？
本
解 a 与 c，b 与 c 的关系为：a∥b∥c.
课 时
因为 γ∩α＝a，β∩γ＝b，α∩β＝c，且 a∥b，由 b⊂β，a⊄β，
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2.2.3
跟踪训练 2 如图，正方体的棱长是 a，C，D 分
别是两条棱的中点．
(1)证明：四边形 ABCD(图中阴影部分)是一个梯
形．(2)求四边形 ABCD 的面积．
本 (1)证明 如图，CD∥EF，EF∥AB，
课 时 故 CD∥AB.又 CD≠AB， 栏 目 所以四边形 ABCD 是梯形． 开 关 (2)解 设 DC 的中点为 G，EF 的中点为 O，AB 的中点为 O′，
开 关
A′B′，C′D′于点 E，F.连接 BE，CF.
则 EF、BE、CF 就是应画的线．
(2)因为棱 BC 平行于平面 A′C′，平面 BC′与平面 A′C′
交于 B′C′，所以 BC∥B′C′.
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2.2.3
由(1)知，EF∥B′C′，所以 EF∥BC，
EF∥BC
本 课
平面 α 的交线为 b，由线面平行性质定理得，a∥b，所以直线
时 栏
b 即为所确定的直线．
目 问题 2 教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地
开
关 面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
答 只需由灯管两端向地面引两条平行线，过两条平行线与地
面的交点的连线就是与灯管平行的直线．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
欢迎来到数学课堂
2.2.3
2.2.3 直线与平面平行的性质
[学习要求]
本
1．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推
课
出线线平行；
时 栏
2．结合具体问题体会化归与转化的数学思想．
目 开
[学法指导]
关
通过观察与类比，借助实物模型得到直线与平面平行的性
质定理和探索其他的一些性质，以及性质定理的应用，提
2.2.3
例 2 如图所示的一块木料中，棱 BC 平行
于面 A′C′.
(1)要经过面 A′C′内的一点 P 和棱 BC
将木料锯开，应怎样画线？
本
(2)所画的线与平面 AC 是什么位置关系？
课 时
解 (1)如图，在平面 A′C′内，过点 P 作
栏 目
直 线 EF ， 使 EF∥B′C′ ， 并 分 别 交 棱
问题 1 如果直线和平面平行，那么这条直线与这个平面内的
直线的位置关系是怎样的？
答 平行或者异面．
本 问题 2 若直线 a 与平面 α 平行，那么在平面 α 内与直线 a 平
课 时
行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？
栏 目
答 在平面 α 内与直线 a 平行的直线有无数条，这些直线
开 关
互相平行．
本 课
因此 EF⊄平面AC ⇒EF∥平面 AC. BC⊂平面AC
时
栏 目
BE、CF 显然都与平面 AC 相交．
开
小结 平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，
关
则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与
一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任意一条直线
平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．
高想象能力、思维能力，体会类比的作用，进一步渗透等
价转化的思想.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.3
直线与平面平行的性质定理：
本 课
一条直线与一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此
时 栏
平面的交线与该直线平行 ．
目 开
(1)符号语言描述：a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.
关 (2)性质定理的作用：可以作为直线和直线平行的判定方法，
a、b 都在平面 α 外．
本 课
求证 b∥α.
时 栏
证明 过 a 作平面 β，使它与平面 α 相交，交线为 c.
目
因为 a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以 a∥c，