2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算不同．1．向量的坐标(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．(2)如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．(3)在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2，则对任一向量a ，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a ＝(a 1，a 2)．其中a 1叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在y 轴上的坐标分量.(4)向量的坐标：设点A 的坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )．符号(x ，y )在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x ，y )，或向量(x ，y )．名师点拨同一个向量不论怎样平移，其坐标都是唯一的．这一结论告诉我们，当一个向量在原来位置不容易解决问题时，可以通过平移到合适的位置再进行处理，这样可以使得问题得以转化．与坐标轴平行的向量的坐标有何特点？答：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即b ＝(0，y )；与y 轴平行的向量的横坐标为0. 【自主测试1】已知{e 1，e 2}为正交基底，且e 1，e 2为单位向量，a 在此基底下的坐标为(2 011，－2 012)，且a ＝x e 1＋y e 2，则x ＝__________，y ＝__________.答案：2 011 －2 012 2．向量的直角坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2)，即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；若λ∈R ，则λa ＝(λa 1，λa 2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．归纳总结(1)在同一直角坐标系中，两向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如A (3,5)，B (6,8)，C (－5,3)，D (－2,6)，则AB →＝(3,3)，CD →＝(3,3)，显然AB →＝CD →，但A ，B ，C ，D 各点的坐标却不相同．(2)在平面直角坐标系中，给出了向量的坐标，将向量的运算代数化，同时也给出一种用向量运算解决问题的方法——向量坐标法．【自主测试2－1】已知a ＝(1，－1)，b ＝(3,0)，则3a －2b 等于( ) A ．(5,3) B ．(4，－1) C ．(－2，－1) D ．(－3，－3) 答案：D【自主测试2－2】已知向量ON ＝(9，－7)(O 为原点)，则点N 的坐标为( ) A ．(9，－7) B ．(9,7)C ．(－9,7)D ．(－9，－7) 答案：A对平面向量的坐标表示的理解剖析：(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ，y )．(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(3)在同一直角坐标系中，向量确定后，向量的坐标就被确定了，相等的向量，其坐标的表示必然相同．(4)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示．有了向量坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决．题型一 求向量的坐标【例题1】已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为线段AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．分析：表示出各点的坐标→用终点坐标减去始点坐标→得相应向量的坐标 解：如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32， 则AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.反思(1)向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．〖互动探究〗本例中，在原条件的基础上，加上“E 为线段AB 的中点，G 为三角形ABC的重心”，求向量CE →，AG →，BG →，GD →的坐标．解：CE →＝(0，－3)，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33，GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36.题型二 平面向量的坐标运算【例题2】已知a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与MN →相等，其中M (－1,3)，N (1,3)，求x 的值．分析：先用坐标表示出向量MN →，然后根据两向量相等的充要条件列出关于x 的关系式．解：∵M (－1,3)，N (1,3)，∴MN →＝(2,0)．又∵a ＝MN →，∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1. 故x 的值为－1.反思向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行．若已知表示向量的有向线段的两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【例题3】已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，以AB ，AC 为一组基底来表示AD ＋BD ＋CD .分析：首先由点A ，B ，C 的坐标求得向量AB ，AC ，AD ，BD ，CD 等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式AD ＋BD ＋CD ＝mAB →＋nAC →，再列出关于m ，n 的方程组，进而解方程求出m ，n 的值．解：AB ＝(1,3)，AC ＝(2,4)，AD ＝(－3,5)，BD ＝(－4,2)，CD ＝(－5,1)， ∴AD ＋BD ＋CD ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m ，n ，使得AD ＋BD ＋CD ＝mAB →＋nAC →，即(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)，也就是(－12,8)＝(m ＋2n,3m ＋4n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝－12，3m ＋4n ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，n ＝－22.∴AD ＋BD ＋CD ＝32AB →－22AC →.反思本题是平面向量基本定理与坐标运算相结合的题目，求解过程体现了方程的思想和待定系数法的特点，尤其要注意区分点的坐标与向量的坐标．题型三 用向量法证明几何问题【例题4】如图所示，正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，四边形PECF 是矩形，用向量方法证明PA ＝EF .分析：本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标法来解决，为此只要写出PA 和EF 的坐标，证明其模相等即可．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a ，则A (0，a )．设|D P →|＝λ(λ＞0)，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，22λ，∴EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－a ，－22λ，PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ，a －22λ.∵|EF |2＝λ2－2a λ＋a 2，|PA |2＝λ2－2a λ＋a 2， ∴|EF |＝|PA |，即PA ＝EF .反思直接证明几何命题有时较复杂，但合理建立坐标系，利用向量的坐标运算将几何中的边或角进行转换，往往能起到事半功倍的效果．题型四 易错辨析【例题5】已知A (3,5)，B (－2，－3)，将线段AB 向左平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段A ′B ′，则向量A ′B ′→的坐标为__________．错解：∵A (3,5)，B (－2，－3)，∴AB ＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)，再根据平移，得A ′B ′→＝(－5－6，－8＋1)＝(－11，－7)．错因分析：向量是自由向量，向量的平移不会改变其坐标，但会影响其始点和终点的坐标．正解：∵A (3,5)，B (－2，－3)，∴AB ＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)．又∵A ′B ′→＝AB ，∴A ′B ′→＝(－5，－8)．1．已知a ＝(－1,2)，b ＝(1，－2)，则a ＋b 与a －b 的坐标分别为( ) A ．(0,0)，(－2,4) B ．(0,0)，(2，－4) C ．(－2,4)，(2，－4) D ．(1，－1)，(－3,3) 答案：A2．已知AB ＝(x ，y )，点B 的坐标为(－2,1)，则OA 的坐标为( ) A ．(x －2，y ＋1) B ．(x ＋2，y －1) C ．(－2－x,1－y ) D ．(x ＋2，y ＋1) 解析：∵AB ＝OB －OA ，∴OA ＝OB －AB ＝(－2－x ，1－y )． 答案：C3．已知a ＝(－7,24)，|λa |＝50，则λ等于__________．解析：∵|λa |＝|λ||a |＝－2＋242|λ|＝50，∴|λ|＝2，∴λ＝±2.答案：±24．已知A (3，－1)，则OA 所在的直线与x 轴所夹的锐角为__________．解析：易知点A 在第四象限，如图，作AH ⊥x 轴于点H ，则在Rt △AHO 中，AH ＝1，HO＝3，则tan ∠HOA ＝33，故∠HOA ＝30°.答案：30°5．若作用在坐标原点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则作用在原点的合力F 1＋F 2＋F 3的坐标为__________．答案：(8,0)6．在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求出下列位移向量的坐标(如图所示)．(1)向量a 表示沿东北方向移动了2个单位长度；(2)向量b 表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度； (3)向量c 表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度．解：如题图所示，设OP →＝a ，OQ →＝b ，OR →＝c ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)． x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别为e 1，e 2.(1)因为∠POP ′＝45°，|OP →|＝2，所以a ＝OP →＝OP ′→＋P ′P →＝2e 1＋2e 2. 所以a ＝(2，2)．(2)因为∠QOQ ′＝60°，|OQ →|＝4，所以b ＝OQ →＝OQ ′→＋Q ′Q →＝－2e 1＋23e 2. 所以b ＝(－2,23)．(3)因为∠ROR ′＝30°，|OR →|＝6，所以c ＝OR →＝OR ′→＋R ′R →＝33e 1－3e 2. 所以c ＝(33，－3)．。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
减法
两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐 标公式
一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始 点的坐标
符号表示
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a-b=(x1-x2,y1-y2)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:确定出终点的坐标,即可确定向量������������的坐标. 解:设点 A(x,y), 则 x=|OA|cos 60°=2√3,y=|OA|sin 60°=6, 即 A(2√3,6),故������������=(2√3,6).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
变式训练1
探究三
思维辨析
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
思维脉络
1.理解平面向量的正交 分解及坐标表示的意义. 2.理解向量加法、减法、 数乘的坐标运算法则,能
熟练进行向量的坐标运
算. 3.能借助向量的坐标,用 已知向量表示其他向量.
1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i,j作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得 a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中 x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
课前导引
情景导入
我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的位置关系.还记得吗,关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）可以表示一条直线.怎样体现两条直线平行？向量的共线又如何用坐标表示呢？
提示:直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0可以用系数A1、B1、C1、A2、B2、C2来表示，即A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0.与此类似，向量a=（x1,y1)与b=（x2,y2)平行也可以用它们的坐标来表示，即x1y2-x2y1=0.
知识预览
设a=（a1,a2),b=(b1,b2)，则a，b共线的充要条件为a1b2-a2b1=0.
用语言表述为两个向量平行的条件是，相应坐标成比例.
1。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂导学三点剖析一、向量a =AB 的坐标如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得a=x i +y j . 我们把(x,y)叫做向量a 的(直角)坐标,记作a=(x,y).(*)其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,*式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a 相等的向量的坐标也为(x,y).特别地,i =(1,0),j =(0,1),0=(0,0).【例1】 在直角坐标系xOy 中,向量a 、b 、c 的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.思路分析：利用任意角的三角函数定义,若a =(a 1,a 2),a 的方向相对于x 轴正向的转角为θ,则有⎩⎨⎧==.sin ||,cos ||21θθa a a a 解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),c =(c 1,c 2),则a 1=|a |cos45°=2×22=2, a 2=|a |sin45°=2×22=2, b 1=|b |cos120°=3×(-21)=23-,b 2=|b |sin120°=3×23323=,c 1=|c |cos(-30°)=4×3223=, c 2=|c |sin(-30°)=4×(-21)=-2, 因此a=(2,2),b=(233,23-),c=(32,-2). 各个击破类题演练 1已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |=34，∠xOA=60°,求向量OA 的坐标. 思路分析:要求向量OA 的坐标，就是要求OA 在x 、y 轴上的坐标，为此可通过三角函数求解.解:设点A 的坐标为（x,y),则x=|OA |·cos60°=34×3221=, y=|OA |sin60°=34×23=6,即A （32，6）. ∴OA =（32，6）.变式提升 1如图,正方形ABCD 中,P 是对角线BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量证明PA=EF.思路分析:用向量的坐标法证明,只要写出PA 与EF 的坐标,利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系,考虑到四边形ABCD,故可以D 点为坐标原点,以DC 、AD 边所在直线分别为x 、y 轴,建立坐标系.证明:建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为a,||=λ(λ>0),则A(0,a),P(22λ,22λ),E(a,22λ),F(22λ,0), ∴PA =(22-λ,a -22λ),EF =(22λ-a,22-λ). ∵|PA |2=λ2-2aλ+a 2,|EF |2=λ2-2aλ+a 2, ∴||2=||2,故PA=EF. 二、向量的直角坐标运算(1)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.(2)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.(3)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若a =(a 1,a 2),λ∈R ,则λa =(λa 1,λa 2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.【例2】 已知点A(-1,2),B(2,8)及=31,=-31,求点C 、D 和的坐标. 思路分析：根据题意可设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),然后利用=31和=-31相等关系可得关于x 1、y 1及x 2、y 2的方程组,可得C 、D 点坐标及CD 坐标.解:设C 、D 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),由题意可得=(x 1+1,y 1-2),=(3,6), =(-1-x 2,2-y 2),=(-3,-6), ∵=31,=-31, ∴(x 1+1,y 1-2)=31(3,6),(-1-x 2,2-y 2)=-31(-3,-6),也就是(x 1+1,y 1-2)=(1,2),(-1-x 2,2-y 2)=(1,2).∴⎩⎨⎧=-=--⎩⎨⎧=-=+.22,11,22,112211y x y x ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.0,2,4,02211y x y x ∴C、D 的坐标分别为(0,4)、(-2,0). 因此CD =(-2,-4).类题演练 2(1)设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标.(2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1,-3)、(-2,4)、(0,5),求3a -b +c 的坐标.解:(1)a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),3a =3(-1,2)=(-3,6),2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).(2)3a -b +c =3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(5,-8).变式提升 2 用坐标法证明AB ++=0.思路分析:先设出点A 、B 、C 的坐标，然后根据向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，求出、和的坐标，再运用坐标运算证明等式.证明:设A （a 1,a 2)、B （b 1,b 2)、C(c 1,c 2),则=(b 1-a 1,b 2-a 2),=(c 1-b 1,c 2-b 2),=(a 1-c 1,a 2-c 2), ∴+BC +CA =(b 1-a 1,b 2-a 2)+(c 1-b 1,c 2-b 2)+(a 1-c 1,a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1,b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0,0). ∴AB +BC +CA =0.温馨提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A 、B 、C 是否共线.这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量.三、向量坐标运算的应用向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形中的法则是代数运算的几何含义,坐标运算是图形关系的精确表示,二者的法则互为补充.因此,向量的坐标运算是数与形的有机结合,为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.【例3】 已知A （1，-2），B （2，1），C （3，2），D （-2，3），以，为一组基底表示++.思路分析:求解时，首先由点A 、B 、C 、D 的坐标求得向量，，，，的坐标.然后根据平面向量基本定理设AD +BD +CD =m AB +n AC .最后列出关于m ，n 的方程组求解. 解：AB =（1，3），AC =（2，4），AD =（-3，5），BD =（-4，2），CD =（-5，1）. 设++=m +n ,∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),即(-12,8)=(m+2n,3m+4n).∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+-=+.22,32.843,122n m n m n m 解得AD +BD +=32AB -22. 温馨提示(1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识.(2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力.类题演练 3已知向量a =(x+3,x-3y-4)与AB 相等，若A （1，2），B （3，2），求x 、y 的值. 解:=-=（3，2）-（1，2）=（2，0）.∵a =，∴⎩⎨⎧=--=+.043,23y x x 故x=-1,y=35-. 温馨提示由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）.变式提升 3如图,在ABCD 中,M 、N 分别为DC 、BC 的中点,已知AM =c ,AN =d ,试用c 、d 表示AB 和AD .思路分析:直接用c 、d 表示AB 、AD 比较困难,利用“正难则反”的原则,可先用AB 、AD 表示c 、d ,再来解关于、的方程组.解:设AB =a ,AD =b ,则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得=21b ,DM =21a . +DM =,即b +21a =c .① +=AN ,即a +21b =d .② 由①②可得a =32(2d -c),b =32(2c -d ), 即AB =32(2d-c ),AD =32(2c -d).。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
木块产生垂直于斜面的压力F2，G＝ F1＋F2 叫做把重力 G 分解.
由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 a , 均可以分解为不共线的两个向量 1e1和 2 e2 ，
使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
探究一：平面向量的坐标表示
rr (5)a =-4i
r rr (3)a =-i-3 j
r
r
r
答案：(1)a (2,3) (2)a (2, 3) (3)a (1, 3)
r
r
(4)a (0, 5) (5)a (4, 0)
rrrr 例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a，b，c，d，
并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
思考：如图,在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),
C(3,4),D(5,7).设 O A i, O B j, 填空：
y
（1）| i | ___1__,| j | ____1__,
7
D
| OC | ___5___;
（2）若用 i, j 来表示 OC,OD ，
则：O C
_3_ _i __4_ _j_ , O D
a b , a b ,a 的坐标吗？
rr r r
rr
提示: a + b = (x1i + y1 j) + (x2i + y2 j),
由向量线性运算的结合律和分配律可得
(x1i y1 j) (x 2 i y2 j) (x1 x 2 )i (y1 y2 ) j,
rr 即 a b (x1 x2, y1 y2)，
r rr a 2i 3 j r a (2,3)
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【解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1)
=(-2，4)+(6，3)=(4，7)．
(2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3)
=(-7，-1)．
3 1 a 1 b 1 1，2 1 (2，1) ( 1，1) ( 2，1) ( 7，2).
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得 a=_x_i_+y_j_，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标. (3)坐标表示：a=(x，y). (4)特殊向量的坐标：i=__(1_，__0_) _，j=__(0_，__1_) _，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ ∈R，则有下表：
所以
AB (
3，1)，AD ( 1， 3 ).
22
22
答案：( 3，1)
22
( 1， 3) 22
【补偿训练】在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且 |a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出它们的坐标.
【解题指南】题目中给出了向量a，b，c的模以及与坐标轴的夹角， 要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形 式，然后写出其相应的坐标.
2
22
4
类型三 由相等向量求坐标
【典例】1.(2015·江苏高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若
ma+nb=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n的值为________.
2.已知A(2，4)、B(-4，6)，若AC 3 AB，BD 4 BA，则 CD的坐标为____.
2
3
2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标
题型一 题型二 题型三
解:������������=(1,3),������������=(2,4),������������=(-3,5),������������=(-4,2),������������=(-5,1),
则������������ + ������������ + ������������=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
∵a=������������ ,∴(x+3,x2-3x-4)=(2,0).
∴
������ + 3 = ������2-3������-4
2, =
0, 解得
������ = -1, ������ = -1 或������ = 4.
∴x=-1.
题型一 题型二 题型三
反思向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若 已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中 要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】 已知向量 a=(1,1),b=(1,-1),则12a-32b 等于( )
A.(2,1)
B.(-2,1)
C.(1,2)
D.(-1,2)
解析:12a-32b=
1 2
,
1 2
−
3 2,-Fra bibliotek3 2
=(-1,2).
答案:D
题型一 题型二 题型三
【例 3】 已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和 D(-2,3),以������������, ������������为一组 基底来表示������������ + ������������ + ������������.
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算