平面向量公式
平面向量考试常用结论
平面向量考试常用结论
平面向量是高中数学中比较重要的一章，也是考试中常出现的题型。
在考试中，我们不仅要熟练掌握平面向量的概念和基本运算，还需要掌握一些常用的结论，以应对各种题型的考查。
下面是一些平面向量考试常用结论，供大家参考。
1. 平面向量共线的充要条件：两个非零向量共线的充要条件是它们之间存在一个实数 k，使得一个向量等于另一个向量的 k 倍。
2. 平面向量垂直的判定方法：如果两个非零向量的点积为零，那么它们垂直。
3. 平面向量投影的公式：设向量 a 和 b 不共线，向量 a 在向量 b 上的投影为：
proj_b a = (a · b) / |b|^2 * b
其中，proj_b a 表示向量 a 在向量 b 上的投影，|b| 表示向量 b 的长度。
4. 平面向量模长的乘法公式：|a · b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ表示向量 a 和向量 b 之间的夹角。
5. 平面向量三角形面积的公式：设三角形 ABC 的两个边向量分别为 a 和 b，那么三角形 ABC 的面积为：
S = 1/2 * |a × b|
其中，×表示向量的叉积。
6. 平面向量几何平均值的公式：设向量 a 和向量 b 不共线，那么它们的几何平均值为：
|a × b| = |a| * |b| * sinθ
7. 平面向量共面的判定方法：如果三个非零向量共面，那么它们的混合积为零。
以上是平面向量考试常用结论的一些例子，希望对大家应对平面向量考试有所帮助。
当然，掌握这些结论只是基础，还需要多做练习，才能在考试中灵活运用。
向量运算公式大全
向量运算公式大全
向量运算，它是数学中的一门重要学科，许多人也熟知它的基本概念，它是利
用有限的空间中的点的运动来描述物体的状态的一种运算。
向量运算公式大全包括平面向量公式、空间向量公式、余弦定理公式和积分公式等。
如平面向量公式，其概念是在二维空间中描述点的运动，它包括三个有向箭头，分别表示x，y，z方向，它们运算规律就是余弦定理，即a^2+b^2=c^2，它可以用
来求解两个向量之间的角度。
空间向量公式在三维空间中用来求解向量间运动，它们有四个有向箭头表示，
它们分别表示x、y、z、w方向，它们也遵循余弦定理，满足a^2+b^2+c^2=d^2。
余弦定理公式，也叫三角形公式，它是向量运算中使用最多的公式之一，它描
述的是两个向量之间的角度。
即a^2+b^2=c^2，它可以用来计算向量的大小、角度等。
积分公式，积分是求向量函数的积分，它是指把一块特定形状的空间按特定函
数进行划分，再把划分出来的空间求和获得一个函数值的过程。
向量函数可以用多种方法来表示，最常见的是用积分公式来求解。
以上是向量运算公式大全的概要介绍，它们的具体使用，实际上还要求一定的
数学知识，理解能力才能更深入的去了解、使用，只有这样才能获得最优效果。
高中数学-公式-平面向量
平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。
〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
平面向量基本公式大全
平面向量基本公式大全平面向量是数学中的一个重要概念，用于描述两个方向和大小都有所限定的量。
平面向量有很多重要的基本公式，这些公式在数学和物理学中都有广泛的应用。
下面就来介绍一下平面向量的基本公式。
1、平面向量的模长公式平面向量的模长（也叫长度）是平面向量的重要特性之一，表示向量在平面上的长度。
平面向量的模长公式为：AB，=√(某2-某1)2+(y2-y1)2其中，A(某1,y1)和B(某2,y2)表示向量AB的起点和终点坐标。
2、平面向量的加法和减法公式平面向量的加法和减法公式是指两个向量相加或相减的规则。
其公式为：A+B=(A某+B某,Ay+By)A-B=(A某-B某,Ay-By)其中，A、B分别表示两个向量，A某、Ay、B某、By分别表示两个向量在某轴和y轴上的分量。
3、平面向量的数量积公式数量积是向量中另一个重要的特性，用于描述两个向量之间的夹角。
平面向量的数量积公式为：A·B=，A，B，cosθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
4、平面向量的叉积公式叉积也是向量中的一种运算，用于计算两个向量所在平面的法向量，常用于计算力矩和面积等。
平面向量的叉积公式为：A某B=，A，B，sinθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
5、平面向量的坐标表示对于向量AB，在平面直角坐标系中，可以用一个有序数组(某,y)表示其坐标。
例如A(1,2)和B(3,4)，则向量AB可以表示为(2,2)。
6、平面向量的方向角公式平面向量的方向角指向量与正方向某轴之间的夹角，其公式为：θ=tan-1(y/某)其中，某、y分别表示向量的某轴和y轴分量。
7、平面向量的正交公式两个向量如果互相垂直，则称它们是正交的。
平面向量的正交公式为：A·B=0其中，A、B分别表示两个向量，·表示数量积运算。
总之，平面向量的基本公式是理解和应用平面向量的关键。
平面向量的所有公式-向量单位化公式
平面向量的所有公式-向量单位化公式
平面向量是指在平面内具有大小和方向的向量。
在数学和物理学中，平面向量有许多重要的公式，其中之一是向量单位化公式。
向量单位化是将一个向量转化为单位向量的过程，单位向量的长度为1。
单位向量通常用符号`u`表示。
向量单位化公式如下：
如果有一个非零向量`v`，其坐标为`(x, y)`，则向量单位化公式可以表示为：
u = (x, y) / ||(x, y)||
其中，`||v||`表示向量`v`的长度，也称为向量的模。
当一个向量的模等于1时，它就是一个单位向量。
在计算单位向量时，需要对向量的坐标进行标准化。
标准化指的是将一个向量的每个分量除以该向量的模。
例如，如果有一个向量`v`，其坐标为`(3, 4)`，则可以通过向量单位化公式计算单位向量`u`如下：
首先，计算向量`v`的模：
||v|| = √(x^2 + y^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
然后，将向量`v`的每个分量除以模`||v||`，即可得到单位向量`u`：
u = (3/5, 4/5)
因此，向量`(3, 4)`的单位向量为`(3/5, 4/5)`。
向量单位化公式是计算单位向量的重要工具，在许多数学和物理问题中都有应用。
了解和掌握向量单位化公式可以帮助我们更好地理解和计算平面向量。
以上是关于平面向量的所有公式中的向量单位化公式的介绍。
参考文献：。
平面向量公式 有哪些公式
平面向量公式有哪些公式平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。
平面向量用a,b,c 上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
那么平面向量公式都有什么？平面向量公式有哪些公式1平面向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
平面向量公式总结
平面向量公式，轻松掌握的关键平面向量的公式是学习向量初步的重要基础。
下面将为大家简单总结平面向量公式，帮助大家轻松掌握。
1.向量的加法向量a+b的结果是以向量a的起点为起点，向量b的起点为终点的向量。
其公式表达为：a+b=(a1+b1,a2+b2)注：其中a1、a2和b1、b2分别是向量a、向量b的横、纵坐标。
2.向量的减法向量a-b的结果是以向量b的终点为起点，向量a的终点为终点的向量。
其公式表达为：a-b=(a1-b1,a2-b2)注：其中a1、a2和b1、b2分别是向量a、向量b的横、纵坐标。
3.向量的数乘数乘指的是一个实数（数学中的标量）乘以向量，结果是一个新向量。
其公式表达为：k*a=(k*a1,k*a2)注：其中a1、a2是向量a的横、纵坐标。
k为标量。
4.向量的模向量的模指向量的长度，可以通过勾股定理来计算。
其公式表达为：|a|=sqrt(a1^2+a2^2)注：其中a1、a2是向量a的横、纵坐标。
5.向量的点积向量的点积也称为向量的内积或数量积，它是两个向量的数量积的夹角余弦值乘以向量模长。
其公式表达为：a·b=|a|×|b|×cosθ注：其中a、b为向量，θ为向量a与向量b之间的夹角。
6.向量的叉积向量的叉积也称为向量的外积或矢量积，它是两个向量所确定的平行四边形的面积的大小与平面法向量的方向所确定的矢量。
其公式表达为：a×b=|a|×|b|×sinθ×n注：其中a、b为向量，θ为向量a与向量b之间的夹角，n是一个与向量a和向量b均垂直的向量。
小结：平面向量的公式不仅是学习向量初步的重要基础，也是在以后学习更高深的数学知识时用到的重要基础。
只有掌握了这些公式，才能够在向量的加、减、数乘、模、点积和叉积等各方面轻松应对。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是研究平面上的有大小和方向的量，它有三个基本组成部分：模、方向和位移。
在平面向量的运算中，有加法、减法、数量乘法和点乘法等基本运算法则。
平面向量的计算公式如下：一、向量的模：向量的模即向量的长度，用，AB，表示，A、B为向量的起点和终点。
根据两点之间的距离公式，向量AB的长度为：，AB，= sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、向量的方向角：向量的方向角用θ表示，θ的计算公式为：θ = arctan(y/x)三、向量的加法：向量的加法可用平行四边形法则或三角形法则进行运算。
-平行四边形法则：若AB向量与CD向量首位相连，则它们的和向量AC的终点D与向量CD的终点D形成一条与中点O1O2平行的平行线。
-三角形法则：若AB向量与BC向量首位相连，则它们的和向量AC的起点A与向量AB的起点A和向量BC的起点B重合，且终点C与向量BC的终点C重合。
四、向量的减法：向量的减法可用向量加法的逆运算进行。
若向量AB与向量CD首位相连，则它们的差向量AC的终点C与向量CD的起点C重合。
即向量减法A-B=A+(-B)，其中-B是向量B的逆向量。
五、数量乘法：向量与标量的乘法可分为两种情况。
-正数乘法：若k为正数，则k倍数的向量k·A与A方向相同，长度为原向量长度的k倍。
-负数乘法：若k为负数，则k倍数的向量k·A与A方向相反，长度为原向量长度的，k，倍。
六、数量积(点乘法)：数量积是向量积的另一种形式，它用于计算两个向量之间的夹角以及向量在一些方向上的投影。
-数量积的计算：设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的数量积为：A·B=x1*x2+y1*y2- 夹角的计算：设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角为θ，则夹角的余弦为：cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)- 向量在一些方向上的投影：设向量A的模为，A，θ为A与一些方向的夹角，则A在该方向上的投影为：P = ，A，* cosθ以上是平面向量的一些基本计算公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量公式
1.向量三要素：起点，方向，长度
2.向量的长度=向量的模
3.零向量：⎩
⎨⎧方向任意长度为.20
.1
4.相等向量：⎩⎨
⎧长度相等
方向相同.2.1
5.向量的表示：AB ()始点指向终点
6.向量的线性加减运算法则：
()()⎪⎩⎪⎨
⎧=-=+终点指向始点
始点指向终点，
CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积：
()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=⋅ 5.a b b a ⋅=⋅ 6.()()b a b a ⋅⋅=⋅λλ 7.()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 注；()()c b a c b a ≠⋅
8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数
λ，使得:
a b λ=
9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=y x a
⇒y
x
2
2
+=
()2已知；A ()y x 11+，B ()
y x 22+⇒(
)
(
)()
⎪⎩
⎪⎨⎧+=--=
--y y x x y y x x AB 12122,.12
2
1
212
()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,=
()
()⎪⎩
⎪⎨⎧+⋅=•±±=±⇒和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212
121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=⇔01221=⋅-⋅y x y x (横纵交错乘积之差为0）
()5已知；已知；()y x a 11,=⊥()y x b 22,=02121=⋅+⋅⇔y y x x （对应坐标乘积之和为0）
10.数量积b
a ⋅等于a
b 在a 的方向上的投影θcos ⋅的乘积：
θcos =⋅b a
()的夹角与为b a θ
变形
⇒b a =
θcos
11.线段的定比分点：
设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p p 21,上的任意两点；即有：p p p p 2
1λ=⎪⎩
⎪⎨
⎧⇒<⇒>外在点内
在点p p p p p p 212
100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。
）
（1）.线段的定比分点“定比”λp
p p p 2
1 （终点
分点分点
始点→→）
(2)定比分点的坐标公式：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧++=++=
λ
λλ
λ112
1
2
1
y
y x
x y x
12.线段的中点坐标公式： 已知点()()y x y x B A 2221,,,，点()y x P ,为AB
的中点，则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
=+=
⇒2
2
2
1
2
1y
y x
x y x
13.三角形的重心坐标公式：已知点()()()y x y x y x C B A 332221,,,,,为三角形的三个顶点，点()y x G 00,为三角形的重心，则：
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨
⎧++=++=333210
3
210
y y y y x x x x 13.向量的三角形不等式
1、∣∣a ∣-∣b ∣∣≤∣a+b ∣≤∣a ∣+∣b ∣； ① 当且仅当a 、b 反向时，左边取等号； ② 当且仅当a 、b 同向时，右边取等号。
2、∣∣a ∣-∣b ∣∣≤∣a-b ∣≤∣a ∣+∣b ∣。
① 当且仅当a 、b 同向时，左边取等号； ② 当且仅当a 、b 反向时，右边取等号。