平面向量的一些重要结论
平面向量垂直定理
平面向量垂直定理平面向量垂直定理是数学中一个重要的定理，它描述了平面上两个向量的垂直关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量垂直定理的定义、证明和应用。
定义在平面几何中，给定两个非零向量A和B，如果它们的数量积为零，则称这两个向量垂直，记作A⊥ B。
证明为了证明平面向量垂直定理，我们需要使用数量积的定义和性质。
设A = (x1, y1) 和B = (x2, y2) 是平面上的两个非零向量。
根据数量积的定义，有：A ·B = x1 * x2 + y1 * y2如果A⊥ B，则有：x1 * x2 + y1 * y2 = 0为了证明这一点，我们可以通过代入具体数值或使用几何推导来说明。
首先考虑代入具体数值。
假设A = (3, 4) 和B = (-4, 3)，则有：3 * (-4) +4 * 3 = -12 + 12 = 0因此，根据数量积的定义，可以得出结论：A ⊥ B。
其次，我们可以使用几何推导来证明平面向量垂直定理。
假设A和B是平面上的两个非零向量，我们可以将它们的起点都放在原点，得到两个有向线段。
然后，我们可以通过旋转其中一个向量使其与另一个向量重合，并保持长度不变。
如果这两个向量重合后的位置是垂直的，则可以得出结论：A ⊥ B。
应用平面向量垂直定理在几何学和物理学中具有广泛的应用。
下面我们将介绍几个常见的应用场景。
1. 判断线段垂直通过使用平面向量垂直定理，我们可以判断线段是否垂直。
假设有一条线段AB和另一条线段CD，我们可以计算向量AC和向量BD的数量积。
如果它们的数量积为零，则可以得出结论：AB ⊥ CD。
2. 判断两条直线垂直在解析几何中，我们经常需要判断两条直线是否垂直。
通过将两条直线表示为它们所在平面上的法向量，然后计算这两个法向量的数量积，如果结果为零，则可以得出结论：这两条直线垂直。
3. 判断平面上的两个向量垂直除了判断线段和直线的垂直关系外，平面向量垂直定理还可以用于判断平面上的两个向量是否垂直。
平面向量的重要结论
平面向量的重要结论1.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa+λb . 2.a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b|cos θ。
3.平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.4. 两向量的夹角公式：cos ||||a ba b θ⋅==⋅ (a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).5. 平面两点间的距离公式：,A B d=||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).6. 向量的平行与垂直 ：设a=11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0 ，则：a ||b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.（交叉相乘差为零） a ⊥b (a ≠0 )⇔ a ·b=012120x x y y ⇔+=.（对应相乘和为零）7. 线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP的分点,λ是实数，且12PP PP λ= ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 8.三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.9.三角形五“心”向量形式的充要条件：设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.。
向量的知识点总结和解三角形
平面向量复习基本知识点结论总结一、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；例题 已知向量，则与其共线的单位向量为__________.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
例题下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______ 二、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法。
三，平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
例题（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =（ ）a +（ ）b ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___四、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||AB AB ± )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
如下列命题：（1）若a b = ，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c == ，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c。
其中正确的是______ 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。
平面向量的数量积与向量积知识点总结
平面向量的数量积与向量积知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们可以用来表示物体在平面上的位移、速度、加速度等。
平面向量有许多重要的运算，其中包括数量积和向量积。
本文将对平面向量的数量积与向量积进行知识点总结和讨论。
一、数量积数量积又称为点积，是两个向量的运算，它的结果是一个标量（即一个实数）。
数量积的定义如下：对于两个向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示向量a和b之间的夹角。
1. 特点：数量积是两个向量的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
根据这个特点，我们可以得出一些重要结论：（1）若夹角θ为90°，则cosθ=0，数量积为0，即两个向量垂直。
（2）若夹角θ为180°，则cosθ=-1，数量积为-|a||b|，即两个向量反向。
（3）若夹角θ为0°，则cosθ=1，数量积为|a||b|，即两个向量同向。
2. 计算数量积的方法：（1）坐标法：设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则a·b = a₁b₁ + a₂b₂。
（2）几何法：设向量a的起点为O，终点为A，向量b的起点为O，终点为B，则a·b = AB·OBcosθ，其中AB和OB分别表示向量a和向量b的长度。
3. 应用：数量积在物理学中有广泛应用，例如计算力的做功、计算向量的投影等。
二、向量积向量积又称为叉积，是两个向量的运算，它的结果是一个向量。
向量积的定义如下：对于两个向量a和b，它们的向量积定义为：a×b = |a||b|sinθn其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示向量a和b 之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量。
1. 特点：向量积的结果是一个垂直于原向量所在平面的向量，并且其模的大小等于a和b所张的平行四边形的面积。
平面向量考试常用结论
平面向量考试常用结论
平面向量是高中数学中比较重要的一章，也是考试中常出现的题型。
在考试中，我们不仅要熟练掌握平面向量的概念和基本运算，还需要掌握一些常用的结论，以应对各种题型的考查。
下面是一些平面向量考试常用结论，供大家参考。
1. 平面向量共线的充要条件：两个非零向量共线的充要条件是它们之间存在一个实数 k，使得一个向量等于另一个向量的 k 倍。
2. 平面向量垂直的判定方法：如果两个非零向量的点积为零，那么它们垂直。
3. 平面向量投影的公式：设向量 a 和 b 不共线，向量 a 在向量 b 上的投影为：
proj_b a = (a · b) / |b|^2 * b
其中，proj_b a 表示向量 a 在向量 b 上的投影，|b| 表示向量 b 的长度。
4. 平面向量模长的乘法公式：|a · b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ表示向量 a 和向量 b 之间的夹角。
5. 平面向量三角形面积的公式：设三角形 ABC 的两个边向量分别为 a 和 b，那么三角形 ABC 的面积为：
S = 1/2 * |a × b|
其中，×表示向量的叉积。
6. 平面向量几何平均值的公式：设向量 a 和向量 b 不共线，那么它们的几何平均值为：
|a × b| = |a| * |b| * sinθ
7. 平面向量共面的判定方法：如果三个非零向量共面，那么它们的混合积为零。
以上是平面向量考试常用结论的一些例子，希望对大家应对平面向量考试有所帮助。
当然，掌握这些结论只是基础，还需要多做练习，才能在考试中灵活运用。
关于平面向量基本定理的几个结论
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２０ ０ ９年 第 ６期
中学数 学教 学
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轴 上两 点 间距 离 公 式 ， 可 算 出 两 条 直 角 边 Ｐ。 Ｑ、
Ｐ Ｑ 的 长 度 ； 再 在 Ｒ ／ Ｐ Ｐ。 中 ， 用 勾 股 ｔｋ Ｑ 利 定 理 ， 算 出斜 边 Ｐ Ｐ 可 长 度 ． 师 ：引 新 ） 天 我 们 来 学 习 点 到 直 线 的 距 离 （ 今 公式 ． 么是点 到直 线 的距 离 ？ 们 规定 ： 点 Ｐ 什 我 从
2.3平面向量基本定理
当向量的始点在坐标原点时， 向量的坐标就是向量终点的坐标．
[思考尝试· 夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与 x 轴平行的向量的纵坐标为 0；与 y 轴平行的向量的横坐 标为 0.( √ )
(2)两个向量的终点不同， 则这两个向量的坐标一定不同． (× ) (3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐 标．( √ )
练习：P53步步高，例 2，跟踪训练3 例题讲解：P53 跟踪训练1.
练习：P54 当堂检测3，5
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
[知识提炼· 梳理]
1．平面向量共线的条件 向量 a(a≠0)与 b 共线， 当且仅当有唯一一个 实数 λ，使 b＝λ_a．
2.平面向量共线的坐标表示： 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a，b 共 线⇔x1y2－x2y1＝0．
[常规解答] 设 AC，BD 交于点 O， 1→ 1 → → 1→ 1 → → 则有AO＝OC＝ AC＝ a，BO＝OD＝ BD＝ b. 2 2 2 2 1 1 → → → → → 所以AB＝AO＋OB＝AO－BO＝ a－ b， 2 2 1 1 → → → BC＝BO＋OC＝ a＋ b. 2 2
练习：步步高P51例3，跟踪训练3
2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理
[知识提炼· 梳理] 1．平面向量基本定理
条件 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任意向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2 不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底
→ ＝－OC → ，故 O 为 CM 的中点， 所以OM 1 1 1 所以 S△AOC＝ S△CAM＝ S△ABC＝ ×4＝1. 2 4 4
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平面向量的一些重要结论
向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：
（一）向量与三角形四心 ①1()3
PG PA PB PC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ÛG 为ABC D 的重心， 特别地0PA PB PC P ++=Ûuuu r uuu r uuu r r 为ABC D 的重心；
(),[0,)AB AC l l +Î+¥uuu r uuu r 是BC 边上的中线AD 上的任意向量，过重心；
()
1,2
AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r 等于已知AD 是ABC D 中BC 边的中线. ②PA PB PB PC PC PA P ×=×=×Ûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 为ABC D 的垂心； ()||cos ||cos AB AC AB B AC C
l +uuu r uuu r uuu r uuu r [0,)l Î+¥是ABC △边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心. ③ ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=Ûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r ABC D 的内心； 向量()(0)||||
AC AB AB AC l l +¹uuu r uuu r uuu r uuu r 所在直线过ABC D 的内心(是BAC Ð的角平分线所在直线). ④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +×=+×=+×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
222OA OB OC OA OB OC Û==Û==Ûuuuu r uuuu r uuuur uuu r uuu r uuu r O 为ABC D 的外心.
（二）向量与平行四边形 向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD 中，设,AB a AC b ==uuu r r uuu r r ，则有以下的结论： ①,AB AC a b AD +=+=uuu r uuu r r r uuu r 通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若C AB D =uuu r uuu r ,可判断四边形为平行四边形；
②,,a b AD a b CB +=-=r r uuu r r r uuu r 若0a b a b a b +=-Û×=r r r r r r 对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；
()()0a b a b a b +×-=Û=u u r r r r r r 对角线垂直.则平行四边形为菱形； ③222222a b a b a b ++-=+r r r r r r 说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；
④||||||||||||a b a b a b -£±£+r r r r r r ，特别地，当 a b r r 、同向或有0r Û||||||a b a b +=+r r r r ³||||||||a b a b -=-r r r r ；当 a b r r 、反向或有0r Û||||||a b a b -=+r r r r ³||||||||a b a b -=+r r r r ；当 a b r r 、不共线Û||||||||||||a b a b a b -<±<+r r r r r r (这些和实数比较类似).
（三）解析几何与向量综合时可能出现的结论
（1） 给出直线的方向向量()k u ,1=r 或()n m u ,=r ；
（2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;
（3）给出0r =+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;
（4）给出()BQ BP AQ AP +=+l ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一： ①AC AB //； ②存在实数,AB AC l l =r
r 使； ③若存在实数,,1,OC OA OB a b a b a b +==+uuu r uuu r uuu r 且使,
等于已知C B A ,,三点共线.
（6） 给出l
l ++=1OB OA OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，l 为定比，即PB AP l = （7） 给出0=×MB MA ,等于已知MB MA ^,即AMB Ð是直角,给出0<=×m MB MA ,等于已知AMB Ð是钝角, 给出0>=×m MB MA ,等于已知AMB Ð是锐角,
（8
）给出MP MB MA =öæ+l ,等于已知MP 是AMB Ð的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-×+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;
（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，等于已知ABCD 是矩形;
（11）在ABC D 中，给出2
22OC OB OA ==，等于已知O 是ABC D 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在ABC D 中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC D 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在ABC D 中，给出OA OC OC OB OB OA ×=×=×，等于已知O 是ABC D 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在ABC D 中，给出+=OA OP (||||
AB AC AB AC l +uuu r uuu r uuu r uuu r )(+ÎR l ，等于已知AP 通过ABC D 的内心； （15）在ABC D 中，给出,0=×+×+×OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC D 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16在ABC D 中，给出()
12AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ,等于已知AD 是ABC D 中BC 边的中线;。