平面向量共线
平面向量的共线与垂直
平面向量的共线与垂直在数学领域中，平面向量是一种由起点和终点确定的有向线段。
在平面向量的研究中，共线与垂直是两个基本的概念。
本文将探讨平面向量的共线和垂直性质，并给出相关的定理和例子来加深理解。
共线是指两个或多个向量位于同一条直线上。
当两个向量的方向相同或相反时，它们是共线的。
则两个共线向量可以通过相加或相减而获得一个与它们同向的向量。
分别设向量A的终点为点P，向量B的终点为点Q，向量C的终点为点S。
根据共线性定义，A、B、C三个向量共线。
则向量OP可以表示为两个向量的线性组合：OP = n * AP + m * BS，其中n和m为任意实数。
这个性质被称为向量的线性组合表示。
垂直是指两个向量的夹角为90度。
即两个向量的内积为0。
设向量A的终点为点P，向量B的终点为点Q，则向量A与B垂直（即A ⊥B）的条件是A·B = 0。
根据勾股定理的推论，如果两个向量相互垂直，那么它们的长度可以用勾股定理求解。
例如，已知向量A = 2i + 3j和向量B = -3i + 2j，可以通过计算它们的内积来判断它们是否垂直：A·B = (2 * -3) + (3 * 2) = -6 + 6 = 0，因此向量A和向量B是垂直的。
除了上述基本性质之外，还有一些关于共线和垂直的定理需要注意。
首先是平面向量共线定理。
如果向量A和向量B共线，那么存在一个实数t使得A = tB。
其次是平面向量垂直定理。
如果向量A与向量B垂直，那么A·B = 0。
这些定理可以在证明中使用，以加深对平面向量的共线和垂直性质的理解。
下面我们通过一个具体的例子来演示一下平面向量的共线和垂直。
假设有平面上的三个向量A、B和C，它们的终点为点P、Q和R。
已知A = 3i + 4j，B = 6i + 8j，并且A与B共线。
我们需要求解向量C，使得A、B和C共线。
由于A和B共线，根据平面向量共线定理，存在一个实数t使得A = tB。
平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理：
（1）定义
平面向量三点共线定理是指：在三维空间中，若三个任意的点共在一个平面，则它们所在的平面的向量也可以构成一条直线。
（2）正式定义
如果S1、S2、S3是三个同一平面的点，则这三个点的向量形式为：S1S2，S2S3和S1S3，它们围绕原点O构成一种结构，即三角形形式的向量，满足以下条件：
若三个向量都平行，则说明三个点共线。
（3）实际应用
在很多数学知识中，平面向量三点共线定理有着重要的作用。
例如：在平面几何学中，有一个叫“三角平分线定理”的定理，就是用平面向量三点共线定理来推断的结论。
此外，平面向量三点共线定理还可以应用于判断几何图形是否平行、
垂直或成一条直线，甚至可以用于决定三角形的内角和外角，以及三
角形的面积大小等。
（4）证明方式
平面向量三点共线定理是采用数学归纳法来证明的：
设ABC是平面上任意三点，用AB表示AB连线，则有AB+BC=AC。
同理，用BC表示，则有BC+CA=AB，用CA表示，则有CA+AB=BC。
相似地，可以证明，任意N个点在同一平面上的加和结果均为零，即：AB+BC+CD+…+AP=0。
这时，由于任意三个点位于同一平面，包括它们的任意两个连接向量
在内的多个向量的加和结果都是0，因此，任意三个点都必定在一条直线上，这就是平面向量三点共线定理的实际物理意义。
平面向量的共线与垂直
平面向量的共线与垂直
引言
本文将详细介绍平面向量的共线与垂直的概念、判定方法及其应用。
共线向量
共线向量是指两个或多个向量在同一直线上的向量。
共线向量具有以下特点：
1. 共线向量可以通过放缩相互表达，即一个向量的放缩倍数可以表示为另一个向量。
2. 如果两个向量的方向相同或相反，它们是共线的。
共线判定方法
判断两个向量是否共线，可以使用以下方法：
1. 向量放缩法：如果两个向量可以通过放缩相互转化，它们是共线的。
2. 线性组合法：如果两个向量可以通过线性组合得到零向量，它们是共线的。
垂直向量
垂直向量是指两个向量相互垂直或正交的向量。
垂直向量具有以下特点：
1. 垂直向量的点积为零。
2. 如果两个向量的方向互为直角，它们是垂直的。
垂直判定方法
判断两个向量是否垂直，可以使用以下方法：
1. 向量点积法：如果两个向量的点积为零，它们是垂直的。
2. 坐标法：如果两个向量的坐标分量对应相乘之和为零，它们
是垂直的。
应用举例
共线向量和垂直向量在几何学和物理学中有广泛的应用，例如：
1. 平面几何中，判断线段是否共线或垂直。
2. 物理学中，判断力的方向是否垂直。
结论
平面向量的共线与垂直是基础的几何概念，通过判定方法可以
方便地判断向量之间的关系。
在实际应用中，掌握共线和垂直的判
定方法有助于问题的解决和理解。
总字数：xxx字。
平面向量共线的坐标表示
向量共线的应用
向量共线可以用于解决一些实际问题，例如物理 学中的力合成、物理学中的速度合成等。
向量共线也可以用于解析几何中的图形变换、线 性变换等。
在向量研究中，向量共线还可以用于证明一些定 理和推导一些公式。
向量共线的坐标表示
向量共线定理
如果两个向量$\overrightarrow{AB}$和 $\overrightarrow{CD}$共线，那么存在实数 $\lambda$使得 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{C D}$。
坐标表示
设$\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1)$， $\overrightarrow{CD}=(x_2,y_2)$，如果 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{C D}$，则有$\left\{\begin{matrix} x_1=\lambda x_2 \\ y_1=\lambda y_2 \end{matrix}\right.$。
向量共线的代数表示
总结词
如果两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$共线，那么存在一个 非零实数$\lambda$，使得 $\overset{\longrightarrow}{b} = \lambda\overset{\longrightarrow}{a}$。
向量共线的性质
要点一
向量共线的性质包括
交换律、结合律、分配律等。这些性质可以用来简化向 量的运算，并用于解决实际问题。
平面向量之两点共线
平面向量之两点共线
引言
在平面几何中，向量是研究平面上点和点之间的关系的重要工具。
而了解两点是否共线是其中一个基本问题。
本文将介绍平面向量的概念，并讨论如何判断两点是否共线。
平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的量。
在平面上，向量通常用线段来表示，起点和终点分别为向量的起点和终点。
两点共线的判断方法
判断两点是否共线最简单的方法是通过计算它们之间的向量。
具体步骤如下：
1. 假设有两点A和B，它们的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)。
2. 计算向量AB的坐标差：AB = (x2 - x1, y2 - y1)。
3. 如果向量AB的坐标差可以写成一个常数乘以另一个向量，则说明点A和点B共线。
举例说明
为了更好地理解共线判断的方法，我们举一个具体例子。
假设有点A(1, 2)和点B(3, 4)。
我们可以计算向量AB的坐标差为AB = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)。
由于向量AB的坐标差可以写成2乘以向量(1, 1)，所以点A和点B是共线的。
结论
通过计算向量的坐标差，我们可以判断两点是否共线。
这是一个简单而有效的方法，可以应用于平面向量中。
向量共线、定比分点公式及数量积
向量共线、定比分点公式及数量积一、 平面向量共线定理、定比分点 1. 平面向量共线定理设),(11y x a =，),(22y x b =（ b 0），则b a //⇔01221=-y x y x注：不能写成b a //⇔2211x y x y =，因21x x 、为有可能为0. 2.定必分点公式已知),(111y x P ，),(222y x P ，),(y x P ，若21PP P P λ=则OP =λ+111OP +λ+λ12OP 坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，（λ≠－1），即,1(21λ+λ+=x x P )121λ+λ+y y 注意：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ ＞0时，P为内分点；λ ＜0时，P 为外分点.二、平面向量的数量积1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量 |a ||b |cos叫a 与b 的数量积，记作a b ，即a b = |a ||b |cos，(0)θπ≤≤并规定0与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积ab 等于a 的长度与b 在a 方向上投影 |b |c os 的乘积.b 在a 方向上的投影：OP aba b ⋅=θ=cos 3．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量 （1）-|a ||b |≤|ab | ≤ |a ||b |，当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = -|a ||b |；（2）a b a b = 0（两向量垂直的判定）；（3）cos =||||b a b a ⋅，|a |cos =||b b a ⋅，|b |cos =||a ba ⋅（投影式）.4.平面向量数量积的运算律 （1）交换律：a b =ba （2） 数乘结合律：(λa )b =λ(a b ) =a (λb )（3）分配律：(b a + )c = ac + bc5.平面向量数量积的坐标表示yP 2 PP 1O x abθθaboPo（1）已知两个向量),(11y x a =，),(22y x b =,则a b 2121y y x x +=.（2）设),(y x a =，则22||y x a +=.（3）平面内两点间的距离公式如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=.（4）向量垂直的判定 ：两个非零向量),(11y x a =),(22y x b =b a ⊥⇔02121=+y y x x .（5）两向量夹角的余弦 cos=||||b a b a ⋅⋅（πθ≤≤0） 平面向量共线定理、定比分点1、 a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋32、下列各组向量可以作为该平面一组基底的是( )A ．)2,1(=a 与)1,2(=bB ．)2,1(-=a 与=b 0C ．)2,1(=a 与)4,2(--=bD ．)1,0(=a 与)1,0(-=b 3、已知)3,2(-A ,)2,3(-=,则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( )A ．)5,5(-B ,)0,0(M B ．)5,5(-B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,27MC ．()1,1B ,)0,0(M D ．()1,1B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,27M 4、已知向量 a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4 b －2 a 平行，则实数x 的值是 ( )A ．－2B ．0C ．1D ．25、在ABC ∆中，=AB b ,=c ,若点D 满足2=,则=( )A ．c b 3132+B ．b c 3235-C ．c b 3132- D ．c b 3231+6、已知向量a 与向量b 不共线，实数y x,满足)2(y x -a +4b =5a +()y x 2-b ， 则=+y x ________ ；7、已知ABC ∆三顶点)4,5(),3,2(),2,1(C B A -，则其重心坐标为_____________； 8、如右图所示，在ABC ∆中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD AG ＝GD C 的坐标为____________.9、已知)2,3(),2,1(-==b a ，当k 为何值时，k b a +与b a 3-平行，此时它们方向如何?10、(1) 已知点)4,3(),2,1(--B A ,点P 在直线AB 上，且BP AP 31=,求点P 的坐标；(2)已知点)8,6(),4,2(--B A ,点P 在直线AB =求点P 的坐标.平面向量的数量积1、已知等边ABC ∆的边长为6，则⋅与()CA BC AB ⋅+的值分别为( )A ．18-和36B ．18-和36-C ．18和36-D ．18-和36 2、已知2=b ，6-=⋅b a ，则a 在向量b 方向上的投影为( )A ．3-B ．12-C ．3D ．无法确定 3、已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（ ） A ． 2 B . 3 C. 5 D. 10 4、已知向量等于则垂直与若a ,b a ),n ,(b ),n ,(a 11-==（ ） A ．1B ．2C ．2D ．45、已知),(b ),,(a 1623-==，而)b a ()b a (λ-⊥+λ，则λ等于（ ）A ．1或2B ．2或－12C ． 2D ．以上都不对6、若平面向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180o, 且 b 3=则b 等于( ).A. (3,6)-B. (3,6)-C. (6,3)-D. (6,3)-7、已知2,2,1-=⋅==b a b a ，则a 与b 的夹角为_________； 8、已知)4,3(=a ，且10=⋅b a ，求b 在a 的投影_________.9、已知3||,4||==b a ，的夹角为与b a 4π，求||b 2a +，||4b -3a .10、已知,|b |,|a |12==a 与b 的夹角为3π,若向量+a 2k b 与b a +垂直, 求k .11、已知1||,3||==b a ，b a 与的夹角为6π，求b -a b a 与+的夹角的余弦值.12、已知向量4||,3||==b a ，且4)2()(≥-⋅+b a b a ，求a 与b 夹角θ的取值范围.13、ABC ∆中，c AC b BC a AB ===,,，4||,2||,3||===c b a ，求d c c b b a ⋅+⋅+⋅14、已知向量)2,3(),2,1(-==b a ，向量=c k b a +，b a d 3-=（1）当k 为何值时，有d c ⊥；（2）若的夹角为钝角时与 d c ，求k 的取值范围.。
平面向量的共线与共面
平面向量的共线与共面1. 引言平面向量是数学中重要的概念，涉及到几何和代数的结合。
其中一个重要的性质是共线与共面。
本文将详细介绍平面向量的共线与共面的定义、判定方法以及相关定理。
2. 共线向量的定义在平面上，如果两个向量的起点相同或者它们平行于同一条直线，则这两个向量被称为共线向量。
共线向量具有以下性质：- 共线向量的模长之比为常数。
- 任意一个共线向量都可以表示为另一个共线向量与一个比例系数的乘积。
3. 共线向量的判定方法判定两个向量是否共线，可以通过以下方法：- 判断两个向量的方向是否相同或者相反，如果方向相同或者相反则共线。
- 比较两个向量的模长之比，如果相等则共线。
4. 共面向量的定义平面上的三个向量，如果它们在同一平面内，则这三个向量被称为共面向量。
共面向量具有以下性质：- 共面向量可以通过线性组合的方式表示，即一个向量可以表示为其他两个向量的线性组合。
- 共面向量满足行列式为0的条件。
5. 共面向量的判定方法判定三个向量是否共面，可以通过以下方法：- 构造由这三个向量组成的行列式，如果行列式的值等于0，则这三个向量共面。
6. 共线与共面的相关定理在平面向量的共线与共面研究中，涉及到一些重要的定理，包括但不限于：- 共面向量的线性组合仍然共面。
- 如果两个向量和一另外一个向量共面，那么这两个向量也共面。
7. 示例与应用举例说明平面向量的共线与共面在实际问题中的应用。
例如在力学中，我们可以利用平面向量共线与共面的概念来分析力的合成与分解，以及平衡条件等。
8. 结论平面向量的共线与共面是数学中重要的概念，具有广泛的应用。
共线向量可以通过方向和模长之比进行判定，而共面向量可以通过行列式为0进行判定。
掌握这些概念和判定方法，可以帮助我们更好地理解和应用向量的性质和定理。
9. 参考文献- 高等数学教程- 向量与几何代数。
_平面向量共线的坐标表示
k 1 3
这两个向量是反向.
4. 若三点P(1, 1)，A(2, －4)，B(x, －9)共线，
则 （B）
A．x =－1
B．x=3
C．x = 9
2
D．x=51
5.设a=( 3 , sinα)，b=(cosα, 1 )，且a// b，则
2 锐角α为 ( C )
3
A．30o
B．60o
C．45o
uuuur 设 P1( x1, y1 ) ，P2 ( x2 , y2 )，P分P1P2 所成的
比为 ，如何求P点的坐标呢？
分析：Q
uuur P1P
(
x
x1,
y
y1)
uuur
uuur uuur
PP2 (x2 x, y2 y) P1P PP2
( x x1, y y1 ) ( x2 x, y2 y)
uuur OP1
1 3
uuuur P1P2
P P1
uuur OP1
1 3
uuur (OP2
uuur OP1 )
2 3
uuur OP1
1 uuur 3 OP2
O
x
2x1 3
x2
,
2
y1 3
y2
即点P的坐标是（2x1 x2 ，2 y1 y2 ）
3
3
直线l上两点 P1 、 P2，在l上取不同于P1 、P 2
又2 6 3 4 0，
AB // AC. 直线AB、直线AC有公共点 A， A、B、C三点共线.
练习：
1.已知av=
4,
2，bv
6,
y
,
且av
/
v /b,
求y的值.
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平面向量共线的坐标表示
学习目标
1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。
2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。
学习重点:学习用坐标表示向量共线的条件
学习难点:利用向量共线的坐标表示解决有关问题
预习案
复习:
AB 若点、的坐标分别为，那么向量的坐标 ABxy,xy,，，，，1122
为
.
ab，,ab,,若，则
，
，axybxy,,,,,，，，，1122
,a,
※ 探索新知
探究:平面向量共线的坐标表示
问题 1:两向量平行(共线)的条件是什么,
b,0 若()共线，当且仅当存在实数，使
。 ,ab,
b,0 问题 2:假设()，用坐标该如何表示这两个 axybxy,,,,,，，，，1122
向量共线呢,
PP 当点是线段的中点时，求点的坐标; PP12
PP 当点是线段的一个三等分点时，求点的坐标. PP12
巩固案
ABABD(2,3),(2,1),C(1,4)(7,4),,,,，1 已知判断与是否共线, CD
ab，22ab,1. 已知 a,1,2，bx,,1，若与平行，则的值 x，，，， 为. 3、已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足 OP,OA，λ(AB，AC)，λ[0，，)，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的( ) A(外心 B(垂心 C(内心 D(重心 2
b,0axybxy,,(,),(,)2、设，其中，则等价于 ab，，
变式:判断下列向量与是否共线 ab
ab,,(2,3) (3,4)
8 ab,,(2,3) (,4)3
1
例 2、向量，，， OAk,,12OB,4,5OCk,10,，，，，，，
当为何值时，三点共线. ABC,,k
PPPP,例 3、设点是线段上的一点，的坐标分别是，. Pxy,xy,，，，，
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