平面向量中三点共线定理探究

平面向量中“三点共线向量定理”探究

三点共线定理在教材中没有作为定理使用，但在各级考试中却应用广泛，笔者尝试通过

聚焦结论，优化思路，多维度揭示定理的价值所在.

()

0.a b b a b a b λλ≠=向量共线定理：对平面内的任意两个向量 、 ， // 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使由该定理可以得到平面内三点共线定理：

()121212+= OA OB OP OP OA OB R λλλλλλ=+∈三点共线定理：已知平面内一组基底 ， 及任一向量 ,， , 则A ，B ，P 三点共线，当且仅当 1.

()()()1122121,,1,

=1,,+= A B P AP AB OP OA OB OA OP OA O OP OA O B B λλλλλλλλλλλλλ=⇔-=-⇔=-+-=+=证明：如图 ， 三点共线，当且仅当有唯一一个实数 ， ，且使

令则 1.

()()()()()()1212112212=1,1;2+= OA OP OP OA OB OP OA OB OA AP AB OB OP OA OB λλλλλλλλλλλλλλ⇔-===-+⇔-=-⇔=+ 的系数之和等于1 即为向量，的变化而变化的定理特.如图，

且1征：

向量，

的系数点P 的位置是随着令 ， 当点P 在线段AB 内()()

()()

()()

12121212121,1,,=10,10,1=1,01,0=10,,0=0=110

=1=10 1.

λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-∈=∈-∈-∞=∈+∞<-<<>∈+∞=∈-∞-===-===此时 此时，0，当点P 在线段AB 的延长线上时， ，点P 在线段AB 反向延长线上时， ，当点P 与点A ， ，当点P 与点B 重合时， 时此时此时此时，， ，重合时,

111AP PB OP OA OB λλλλ∆==

+++推论：在OAB 中，P 为直线AB 上的一点，且则

P B

A O

1()

()1.,,2,21522112 (33333333)

ABC AB c AC b D BD DC AD A b c B c b C b c D b c ∆====+--+定理应用1：由三角形边上的分点引出向量问题

例在中，若点 满足 则

()2= 1212+=1+21+233

3BD DC AD AB AC c b λ==+解析：如图 ，因为，由推论可得2，

所以 ，所以答案为A. ()

11.2,,=3

2112....3333ABC AD DB CD CA CB A B C D λλ∆==+练习在 中，已知点D 是AB 边上一点，若 则 - -()124+= =33.

A λλ∴解析：如图，因为A,B,D 三点共线，所以1，所以答案为

()()()2.51,,0,0ABC BP PC AM mAB AN nAC m n m n λλ∆==>>+=定理应用2：由过三角形一边上分点的直线引出向量问题

例如图，在 中，点P 是直线BC 上的一点 ，且满足 = ,过点P 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若,则

()()()()11111111,,+=1+=1+.11AP AB AC AM AN m n M P N m n m n λλλλλλλλλλλ=

+=+++++∴∴++因为三点共线，，解析：由推论可知，

()()

2.6,,ABC AB mAM AC nAN m n ∆==+=练习如图，在 中，点D 是BC 的中点 ，过点D 的直线分别交直线AB,AC

于不同的两点M,N,若则11,2222

,,+1,+ 2.22

m n AD AB AC AM AN m n M D N m n =

+=+==解析：因为D 是BC 的中点，所以又因为三点共线，所以所以

()()

3.712,,ABC BD DC AM mAB AN nAC m n ∆==+=练习如图，在 中，点D 满足 =2 ，过点D 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若则()()1212, 3.1+ 2=12AD AM AN m n

m n λ=

+∴+=+解析：令2，则 ()()()

3.811,,0,0ABC AM mAB AN nAC m n m n ∆==>>+=定理应用3：由过三角形重心的直线引出向量问题

例如图，设点G 是在 的重心，过点G 直作直线MN 于直线AB,AC 交于不同的两点M,N,且满足,则2111133333,,,1111=1=3.33AD AB AC AM AG m AN M G N m m m m

n =+=+∴+∴+=

解析：设D 为BC 的因为三点共线，点，则，

中

()()()()

4.8,,0,012,23AMN ABC ABC AM mAB AN nAC m n m n S S m n ∆∆∆==>>===+=练习如图，设点G 是在 的重心，过点G 直作直线MN 与直线AB,AC 两边分别交于

M,N,两点，且，

若则；若则111=3 1.2

1sin 222,=,133sin 211=33 2.AMN AMN ABC ABC m n m n AM AN MAN S S S mn S AB AC BAC m n mn m n

∆∆∆∆+∴==⋅⋅∠=∴==⋅⋅∠+∴+==，当时， 因为若 因 ，解因为为析： {}()()

12002004.=.100.101.200.201

n n a OB a OA a OC O A B C D 定理应用4：由三点共线定理引出的数列求和问题

例已知等差数列 的前n 项和为S ,若 = + ,

且A,B,C 三点共线该直线不过原点 ,则S ()12001200200200++=1=

=100.2.a a a a A ∴，S 解析：由A,B 所,C 三以答点共线可案为知，

()220192201920202020+,+=1=

=1010.2

.a a AB d BC A B C a a B ∴∴∴= ， 三点共线 ，S 所以答解析因案为：

为