平面向量补充讲义----三点共线定理(修改版)
(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理：
（1）定义
平面向量三点共线定理是指：在三维空间中，若三个任意的点共在一个平面，则它们所在的平面的向量也可以构成一条直线。
（2）正式定义
如果S1、S2、S3是三个同一平面的点，则这三个点的向量形式为：S1S2，S2S3和S1S3，它们围绕原点O构成一种结构，即三角形形式的向量，满足以下条件：
若三个向量都平行，则说明三个点共线。
（3）实际应用
在很多数学知识中，平面向量三点共线定理有着重要的作用。
例如：在平面几何学中，有一个叫“三角平分线定理”的定理，就是用平面向量三点共线定理来推断的结论。
此外，平面向量三点共线定理还可以应用于判断几何图形是否平行、
垂直或成一条直线，甚至可以用于决定三角形的内角和外角，以及三
角形的面积大小等。
（4）证明方式
平面向量三点共线定理是采用数学归纳法来证明的：
设ABC是平面上任意三点，用AB表示AB连线，则有AB+BC=AC。
同理，用BC表示，则有BC+CA=AB，用CA表示，则有CA+AB=BC。
相似地，可以证明，任意N个点在同一平面上的加和结果均为零，即：AB+BC+CD+…+AP=0。
这时，由于任意三个点位于同一平面，包括它们的任意两个连接向量
在内的多个向量的加和结果都是0，因此，任意三个点都必定在一条直线上，这就是平面向量三点共线定理的实际物理意义。
平面向量中“三点共线定理”妙用
OG 2 1 (OA OB) 1 (OA OB)
32
3
图5
OP xOA
OA 1 OP x
OQ yOB
OB 1 OQ y
OG 1 (OA OB) 1 (1 OP 1 OQ)
3
3x
y
OG 1 OP 1 OQ 3x 3y
又 P,G,Q 三点共线， 1 1 1 1 1 3
典的高考题。
例 2 已知 P 是 ABC的边 BC 上的任一点,且满足 AP xAB yAC, x.y R ，则 1 4 xy
的最小值是 解: 点 P 落在 ABC 的边 BC 上 Ｂ，Ｐ,Ｃ三点共线
AP xAB yAC x y 1 且x>0,y>0
1 4 (1 4 ) 1 (1 4 ) (x y) 1 y 4x 4 5 y 4x
3x 3y
xy
1 1 为定值 3 xy
例６（汕头市东山中学 2013 届高三第二次模拟考试）如图６所示,
在平行四边形 AＢＣD 中， AE 1 AB , AF 1 AD ,ＣE 与 BＦ相交
3
4
于 G 点,记 AB a ， AD b ，则 AG ＿______
A． 2 a 1 b
B． 2 a 3 b C. 3 a 1 b
唯一的实数 t，使得 OP t AB t(OB OA) tOA tOB ， OP xOA yOB t x,t y
t 1 , y 1 ,又因为点 P 在两平行直线 AＢ、OM 之间，所以 1 y 3 ,所以实数 y
22
2
2
的取值范围是: ( 1 , 3 ) 22
练习：
3. OAB ，点 P 在边 AB 上， AB 3AP ,设 OA a, OB b ,
共线定理以及三点共线
共线定理以及三点共线一、向量共线定理平面向量共线定理：对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b aλ=例1.设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则A. 0B.C.D.【解答】 解：因为向量与共线，所以存在实数x 有，则，解得故选D ．例2.已知向量，，且与共线，，则 A.B.C.或D.或【解答】 解：与共线，，， ， 或．故选：D ．例3.若、是不共线向量，，，且，则k等于A. 8B. 3C.D.【解析】解：，是不共线向量，，，且，存在实数使得．．，解得．故选D．例4.向量，，若与共线且方向相反，则______．【解答】解：，，解得，又与方向相反，．故答案为．例5.已知点P在线段AB上，且，设，则实数______．【解析】解：如图所示，点P在线段AB上，且，；又，．故答案为：．例6.已知向量______．【解析】解：，，则有，解得，故答案为．例7.已知是平面内两个不共线向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为A. 2B.C.D. 3【解答】解：，，、B、D三点共线，与共线，存在唯一的实数，使得即解得．故选A．例8.已知、是两个不共线向量，设，，，若A，B，C三点共线，则实数的值等于A. 1B. 2C.D.【解答】解：，，，，，，B，C三点共线，不妨设，，，解得．故选C．例9.设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为A. B. 8 C. 6 D.【解答】解：，因为三点A，B，D共线，所以与共线，则存在实数，使得，即，由向量相等的条件得，所以．故选A．例10.设，是不共线向量，与共线，则实数k为______ ．【解答】解：与共线，且，是不共线向量，存在实数满足：，且，．故答案为．例11.设向量，不平行，向量与平行，则实数________．【解答】解：向量，不平行，向量与平行，，，解得实数．故答案为．二、三点共线定理在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB=+且1x y+=。
高中数学三点共线讲解
高中数学三点共线讲解
三点共线是初中数学中的基础知识，而在高中数学中，三点共线的概念更加深入和复杂。
本文将从定义、性质和应用三个方面，对高中数学中的三点共线进行详细讲解。
一、定义
三点共线是指三个点在同一条直线上。
在平面直角坐标系中，设三个点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则当且仅当它们满足以下条件时，三点共线：
(x2-x1)/(x3-x1) = (y2-y1)/(y3-y1)
这个条件也可以写成：
(x2-x1)*(y3-y1) = (x3-x1)*(y2-y1)
二、性质
1. 三点共线的充分必要条件是它们满足上述条件。
2. 三点共线的直线方程可以用点斜式或两点式表示。
3. 如果三点共线，则它们的向量共线。
4. 如果三点共线，则它们的线段长度比满足以下条件：
AB/AC = x2-x1/x3-x1 = y2-y1/y3-y1
5. 如果三点共线，则它们的重心也在同一条直线上。
三、应用
三点共线在几何中有着广泛的应用，下面列举几个例子：
1. 证明三角形的垂心、重心、外心、内心四点共线。
2. 求解两条直线的交点，可以将它们表示为两点式，然后解方程。
3. 求解平面上的最短距离，可以将点表示为向量，然后求解向量的模长。
4. 求解平面上的中垂线，可以先求出两点的中点，然后求出中垂线的斜率，最后用点斜式表示中垂线的方程。
总之，三点共线是高中数学中的重要概念，它不仅有着广泛的应用，而且还是其他几何概念的基础。
因此，我们需要深入理解三点共线的定义、性质和应用，才能更好地掌握高中数学的知识。
再议平面向量中三点共线定理
再议平面向量中三点共线定定理三点共线向量定理：已知平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ,OB OA OP 21λλ+=,()12,R R λλ∈∈，则A,B,P 三点共线，当且仅当121=+λλ.如图（1）所示.提出问题：当121≠+λλ时，点P 应在什么位置呢？ 预备知识：点P 的位置是随着1λ，2λ的变化而变化的.如图（2）所示，点P 在直线AB 上，等价于,AP AB R λλ=∈u u u r u u u r,所以，OP OA OB OA λλ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以()1OP OA OB λλ∴=-+u u u r u u u r u u u r所以11=λ12=1,λλλλ∴-=，（1）当 0<λ，即12=11,0λλλλ->=<时点P 在线段AB 的反向延长线上； （2）当 0=λ，即12=1=1,=0λλλλ-=时点P 与点A 重合；（3）当 10<<λ，即()()12=10,1,0,1λλλλ-∈=∈时点P 在线段AB 的内部； （4）当 1=λ，即12=1=0,=1λλλλ-=时点P 与点B 重合；（5）当 1>λ，即12=10,1λλλλ-<=>时点P 在线段AB 的延长线上.问题分析（1）当OP 在直线AB 的同侧且AB OP //时，如图（3）所示，OP AB OB OA λλλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r,此时，1212=,+=0λλλλλλ-=，.（2）当OP 在直线AB 的同侧且0P AB OP =I 时，如图（4）所示()01212OP OP OA OB OA OB λλμμλμλμ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,121+=1λμμ<，且此时，()11221212=,+=+=1λλμλλμλλλμμλ=< ，.过点O 直线OE//AB①当点P 位于直线OE 与直线AB 之间时，如图（5）所示，()01212OP OP OA OB OA OB λλμμλμλμ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，1201+=1λμμ<<，且，此时，()()11221212=,+=+=0,1λλμλλμλλλμμλ=∈ ，. ②当点P 位于直线OE 上方时，如图（6）所示，()01212OP OP OA OB OA OB λλμμλμλμ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，120+=1λμμ<，且，此时，()11221212=,+=+=0λλμλλμλλλμμλ=< ，. （3）当OP 在直线AB 的两侧且0P AB OP =I 时，如图（7）所示()01212OP OP OA OB OA OB λλμμλμλμ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,121+=1λμμ>，且，此时，()11221212=,+=+=1λλμλλμλλλμμλ=> ，综上讨论可知，已知平面内一组基底,及任一向量,21λλ+=，()12,R R λλ∈∈.(1)当12+1λλ<时，点O,P 在直线AB 的同侧； ①当120+1λλ<<时，点O,P 在直线AB 与OE 之间； ②当12+=0λλ时，点P 在直线OE 上；③当12+0λλ<时，点O,P 在直线AB 的同侧，且不在直线AB 与OE 之间； (2)当12+=1λλ时，点P 在直线AB 上； (3)当12+1λλ>时，点O,P 在直线AB 的两侧； 结论应用例1.已知点P 为ABC ∆所在平面内的一点，且13AP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r,t R ∈,若点P 落在ABC∆的内部，如图（8）所示，则实数t 的取值范围是（ ）3.04A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 13.24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ().01C ， 2.03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解析1.如图（9），13AP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r =OC CP +u u ur u u u r ,则=CP tOB u u u r u u u r ，当点P 与点C 重合时，0=t ，当点P 与点D 重合时，32=t ，故320<<t ，答案为D.解析2.因为点O,P 在直线AB 的同侧，所以113t +<，23t <，又0t >，所以答案为D.例2. 如图（10）已知A,B,C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内的一点D,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，则x y +的取值范围是（ ）().01A ， ().1+B ∞，().,1C -∞- ().1,0D -解析1.()1212=OC xOA yOB OD OA OB OA OB λλμμλμλμ=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，121μμ+=，1λ<-，所以()12121x y λμλμλμμλ+=+=+=<-，所以答案为C.例3. 如图（11）AB OM //，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是（ ）A ．)43,41( B. )32,32(- C. )43,41(- D. )57,51(-解析：因为点O,P 在直线AB 的同侧，所以1x y +<，排除A,D ，而B 选项中=0x y +此时//OP AB u u u r u u u r,不符合题意，故答案选C.例4. 如图（12）AB OM //，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，当12x =-时,y 的取值范围是 .解析1.如图（12），1112OP OA yOB OA A P =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则1=A P yOB u u u r u u u r，当点P 与点C 重合时，21=y ，当点P 与点D 重合时，23=y ，故2321<<y ，答案为2321<<y .解析2.如图（12），依题意1012y <-+<，所以1322y <<.。
平面向量的共点与共线定理
平面向量的共点与共线定理平面向量是数学中重要的概念，它们可以描述平面上的位移、力等物理量。
在研究平面向量时，共点与共线定理是一个重要的概念，本文将详细介绍平面向量的共点与共线定理及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，平面向量通常由有序实数对(a, b)表示，其中a为向量在x轴上的分量，b为向量在y轴上的分量。
平面向量可以用箭头（或有向线段）表示，箭头从向量起点指向终点，长度表示向量的大小，方向表示向量的方向。
二、平面向量的共点与共线1. 共点向量若有两个或多个向量的起点都相同，则这些向量称为共点向量。
2. 共线向量若有两个或多个向量都能够通过平移将它们重合在同一直线上，则这些向量称为共线向量。
共线向量除了在同一直线上的位置相同外，其大小和方向都可以不同。
三、平面向量的共点定理如果三个平面向量a, b, c共点，则存在实数λ, μ，使得a = λb + μc。
即，一个向量可以用其他两个向量的线性组合表示。
四、平面向量的共线定理1. 三个向量共线的充分必要条件给定三个平面向量a, b, c，它们共线的充分必要条件是存在实数λ, μ，使得a = λb + μc。
2. 两个向量共线的判定方法给定两个非零向量a和b，它们共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a = λb。
五、平面向量的应用平面向量的共点与共线定理在许多问题中有广泛的应用。
下面以几个例子来说明其应用。
例1：证明三角形的垂心、重心和外心共线。
解析：设O为三角形的外心，M为三角形的中心，D为三角形的垂心。
连接OM、OD。
根据共点与共线定理，只需证明OM和OD共线即可。
例2：证明四边形的对角线的交点与中点共线。
解析：设ABCD为四边形，连接AC和BD，并设交点为E。
根据共点与共线定理，只需证明AE和DE共线即可。
例3：证明四边形的对角线和中线共点。
解析：设ABCD为四边形，连接AC和BD，并设交点为E。
根据共点与共线定理，只需证明AC和BD的中点与交点E共线即可。
共线向量基本定理三点共线
共线向量基本定理三点共线
三点共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。
共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。
证明过程：
AC=OC-OA=λOA+μOB-OA=μOB+（λ-1）OA=μ（OB-OA）。
而AB=OB-OA，即AB=μAC，故A、B、C三点共线。
共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上。
所以称为共线向量。
共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b 与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。
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平面向量补充讲义----三点共线定理
班级：__________姓名：___________
三点共线定理：若平面内，向量12,OP OP 不共线，向量12OP OP OP λμ=+，
则12,,P P P 三点共线的等价条件是1λμ+=．（如图，共线时λ满足：221P P P P λ=）
说明1：若12,,P P P 三点共线，设221P P P P λ=，则11OP OP PP =+，则
例1．如图，在△ABC 中，13
AN NC =，点P 是BN 上的一点，若211
AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211
练习
例2．，点在边上，，设，则（ ）
例3．如图，点是△的重心，、分别是边、上的动点，
且、、三点共线．设，，求：
的值
推论：如图，若平面内，向量12,OP OP 不共线，点P 为直线12P P 的
平行线上任意一点，且向量
12OP
OP
OP λμ=+，则λμ+为定值．
（这条平行线称为等和线）
例4
．已知点G 为ABC ∆重心，P 为GBC ∆内动点（不包括边界），且AP AB AC λμ=+，则λμ+的取
值范围是__________________；2λμ+的取值范围是_______________________.
OAB ∆P AB 3AB AP =,OA a OB b ==OP =12.33A a b +21.33
B a b +.
C 1233a b -.
D 2133a b -G OAB P Q OA OB P G Q x =y =y
x 11+2
12P 1
例5．半径为1的扇形AOB ，120AOB ∠=，C 为圆弧AB 上任意一点，y x +=，则x y +的
最大值为__________________，2x y +最大值为_______________．
练习
1．在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14
AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =（ ）
A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277
a b +
2．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14
AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为（ ）
A ．32
B ．33
C ．34
D ．35
3．若O 为△ABC 所在平面内一点，且743=++，则△OAC 和△OBC 的面积之比为
__________________
4．如图，OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的
阴影区域内（不含边界）.且y x +=，则实数对（x ,y ）可以是
（ ）
A ．)43,41( B. )32,32(- C. )43,41(- D. )5
7,51(-
5．已知向量,OA OB 满足1OA OB ==,,(,,)OA OB OC OA OB R λμλμ⊥=+∈若M 为AB
的中点，
A
并且1MC =,则λμ+的最大值是___________。