平面向量补充讲义----三点共线定理(修改版)

平面向量补充讲义----三点共线定理

班级：__________姓名：___________

三点共线定理：若平面内，向量12,OP OP 不共线，向量12OP OP OP λμ=+，

则12,,P P P 三点共线的等价条件是1λμ+=．（如图，共线时λ满足：221P P P P λ=）

说明1：若12,,P P P 三点共线，设221P P P P λ=，则11OP OP PP =+，则

例1．如图，在△ABC 中，13

AN NC =，点P 是BN 上的一点，若211

AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211

练习

例2．，点在边上，，设，则（ ）

例3．如图，点是△的重心，、分别是边、上的动点，

且、、三点共线．设，，求：

的值

推论：如图，若平面内，向量12,OP OP 不共线，点P 为直线12P P 的

平行线上任意一点，且向量

12OP

OP

OP λμ=+，则λμ+为定值．

（这条平行线称为等和线）

例4

．已知点G 为ABC ∆重心，P 为GBC ∆内动点（不包括边界），且AP AB AC λμ=+，则λμ+的取

值范围是__________________；2λμ+的取值范围是_______________________.

OAB ∆P AB 3AB AP =,OA a OB b ==OP =12.33A a b +21.33

B a b +.

C 1233a b -.

D 2133a b -G OAB P Q OA OB P G Q x =y =y

x 11+2

12P 1

例5．半径为1的扇形AOB ，120AOB ∠=，C 为圆弧AB 上任意一点，y x +=，则x y +的

最大值为__________________，2x y +最大值为_______________．

练习

1．在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14

AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =（ ）

A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277

a b +

2．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14

AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为（ ）

A ．32

B ．33

C ．34

D ．35

3．若O 为△ABC 所在平面内一点，且743=++，则△OAC 和△OBC 的面积之比为

__________________

4．如图，OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的

阴影区域内（不含边界）.且y x +=，则实数对（x ,y ）可以是

（ ）

A ．)43,41( B. )32,32(- C. )43,41(- D. )5

7,51(-

5．已知向量,OA OB 满足1OA OB ==,,(,,)OA OB OC OA OB R λμλμ⊥=+∈若M 为AB

的中点，

A

并且1MC =,则λμ+的最大值是___________