(完整版)平面向量基本定理及经典例题
高考数学专题复习《平面向量基本定理》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
√A. (3,7)
B. (0, 7)
C. (3,5)
D. (3,5)
因为向量 a (1,1) ， b (3, 2) ， 所以 3a 2b 3(1,1) 2(3, 2) (3,3) (6, 4) (3, 7) .故选 A.
变式训练
2.已知向量 a ，b 满足 2a b 0,3 ，a 2b 3,0 ，a b 1,1，则 ( )
2
2 1 1
，解得
1 1
，故
0
.
故选 B.
剖情景，创素养
【规律总结】 1. 平面向量的线性运算要抓住两条主线： 一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现． 2. 正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识， 注重数形结合思想、方程思想与转化思想的形 ABCD 中,M 是 BC 的中点.若 AC AM BD ,则 的值为( )
A. 4 3
√B. 5 3
C. 15
D.2
8
典型例题
以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为 1，则
AC
(1,1)
,
AM
1,
1 2
, BD
(1,1) ,故1
2.基底 若 e1 ，e2 不共线，则把{e1 ，e2} 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 3. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
考点二：平面向量的坐标
知识梳理
设向量 a (x1 ，y1)，b (x2 ，y2 )， R ，则有下表：
运算
文字描述
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平面向量
考情分析
重点
1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数 乘运算. 3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
平面向量基本定理及坐标表示知识点讲解+例题讲解(含解析)
平面向量的基本定理及坐标表示一、知识梳理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.小结：1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B3.设P 是线段P 1P 2上的一点，若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( ) A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)解析 由题意得P 1P →＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3). 设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)， ∴x ＝2，y ＝2，则点P (2，2). 答案 A4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)解析 根据题意得AB→＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 答案 A5.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3. 答案 －36.(2019·苏州月考)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5. 答案 (1，5)考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC→(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( ) A.－12B.1C.32D.－3解析 (1)AM→＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →) ＝(λ－μ)AB→－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →.因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1， 即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12.(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD→＝13AB→＋12AC →.延长AD 交BC 于E ，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是________.解析：(2)设AE →＝xAD →，∵AD →＝13AB →＋12AC →， ∴AE→＝x 3AB →＋x 2AC →. 由于E ，B ，C 三点共线，∴x 3＋x 2＝1，x ＝65.根据平面向量基本定理，得λ＝x 3，μ＝x2.因此λ－μ＝x 3－x 2＝－x 6＝－15.答案 (1)A (2)－15【训练1】 (1)(2019·济南质检)在△ABC 中，AN→＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP→＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A.－4B.－1C.1D.4解析 (1)根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB→)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →. 又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎨⎧n ＝2，m ＝－1.(2)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC→＝23OA →＋13OB →，则|AC→||AB →|＝________. 解析：(2)因为OC→＝23OA →＋13OB →，所以OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，所以AC →＝13AB →，所以|AC →||AB →|＝13.考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB→＋AC →等于( )A.－2AD →B.2AD →C.－3AD →D.3AD →(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 (1)由题意得AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3AD→.(2)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)， ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则⎩⎨⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4. 答案 (1)C (2)D【训练2】 (1)已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________.解析 (1)由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2). 则⎩⎨⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝7. 所以向量OB→的坐标是(4，7).(2)(2019·天津和平区一模)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85C.2D.83解析：(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)， ∴CA→＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)， ∵CA→＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)， ∴⎩⎨⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.答案 (1)(4，7) (2)B考点三 平面向量共线的坐标表示 角度1 利用向量共线求向量或点的坐标【例3－1】 已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ).又AC→＝OC →－OA →＝(－2，6)， 由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)， 所以点P 的坐标为(3，3).法二 设点P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x4＝y4，即x ＝y .又AP→＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3). 答案 (3，3)角度2 利用向量共线求参数【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则mn ＝________. 解析 (1)由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，即λ＝12. (2)由2－1≠32，所以a 与b 不共线， 又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0. 那么当m a ＋n b 与a －3b 共线时， 有m 1＝n －3，即得m n ＝－13.答案 (1)12 (2)－13【训练3】 (1)(2019·北师大附中检测)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB→∥a ，则点B 的坐标为________.(2)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( ) A.－3B.－2C.2D.3解析 (1)由题意设B (x ，2x )，则AB→＝(x －3，2x )，∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6).(2)由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1. 2m ＋1＋2n ≥22m ＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3. 答案 (1)(－3，－6) (2)A三、课后练习1.如图，在△ABC 中，AD→＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.89B.49C.83D.43解析 AP→＝AB →＋BP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13(AD →－AB →)＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →.因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89. 答案 A2.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.2解析 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC→|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1. 又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2， 故x ＋y 的最大值为 2. 答案 B3.已知|OA→|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________.解析 ∵OA→·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA→＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ). ∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn ＝3. 答案 34.在△ABC 中，点D 满足BD→＝DC →，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC→，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________. 解析 因为BD→＝DC →，所以AD →＝12AB →＋12AC →.又AE→＝λAB →＋μAC →，点E 在线段AD 上移动，所以AE→∥AD →，则12λ＝12μ，即λ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤λ≤12. 所以t ＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12.当λ＝12时，t 的最小值是12. 答案 125.直角△ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且AD DB ＝2，则CD →·CA →＝________；若CD→＝xCA →＋yCB →，则xy ＝________. 解析 以A 为原点，分别以AB→，AC →的方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，则CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2，CA →＝(0，－2)，CB→＝(2，－2)，则CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2·(0，－2)＝43×0＋(－2)×(－2)＝4.由CD→＝x CA →＋y CB →＝x (0，－2)＋y (2，－2)＝(2y ，－2x －2y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝43，－2x －2y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，则xy ＝29.答案 4 29。
平面向量(附例题-习题及答案)
向量的线性运算`一．教学目标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3.理解向量线性运算的几何意义、向量共线的含义、平行向量基本定理；4.理解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、平面向量的坐标运算；5.理解用坐标表示平面向量的共线条件。
二．知识清单1.向量基本概念（1）向量的定义：既有又有称为向量；（2）向量的大小（或称模）：有向线段的表示向量的大小；^（3）零向量与单位向量：叫做零向量，叫做单位向量；（4）共线向量与相等向量：叫做共线向量（或平行向量），叫做相等向量。
2.向量的线性运算（1）向量的加法a.向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边形法则。
b.向量加法满足的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).（2）向量的减法\a.定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
一个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即=-。
b.三角形法则：“共始点，连终点，指向被减”。
（3）数乘向量a.定义：一般地，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa.b.数乘向量满足的运算律：（λ+μ）a=λ（μa）=λ（a+b）=—3.向量共线的条件与轴上向量坐标运算（1）向量共线的条件平行向量基本定理：如果，则；反之，如果，且，则一定存在，使。
（2）轴上向量的坐标运算4. 向量的分解与向量的坐标运算（1）平面向量基本定理如果是一平面内的的向量，那么该平面内的任一向量a，存在，使。
（2）平面向量的正交分解定义：把一个向量分解为，叫做把向量正交分解。
（3）向量的坐标表示>在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底。
对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量a都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。
平面向量知识点+例题+练习+答案
五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
平面向量基本定理例题、习题
例1．如图所示，已知ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点.若，试以a、b为基底表示、．解：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，∴∴。
∴．例２．如图，是一个梯形，且，、分别是和的中点，已知，，试用，表示和.分析：利用三角形法则（平行四边形法则）求解，也可利用“首尾顺次相接的问量构成封闭图形时，其中各向量的和为0”解题．解法一：连结，是的中点，∵，∴四边形是平行四边形，.又∵∴，∴解法二：在梯形中，有，即，得.仿上，在四边形中，利用，可得.小结：从解法二可以看出，利用前述这条向量的性质解题确实显得简捷．另外，本例本质上是平面向量基本定理的具体应用，因为，是两个不共线的向量，所以及可以用它们来表示。
例３．如图所示，在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则.证明：∵F是BC的中点，∴，∴。
∵E是AD的中点，∴。
又∵在△AFE中，；在△DEF中，，∴例４．设两非零向量和不共线，（1）如果，，，求证，，三点共线.（2）试确定实数，使和共线。
分析：要证明，，三点共线，须证存在使即可。
而若与共线，则一定存在，使.（1）证明∵，，∴，共线，又有公共点∴，，三点共线.（2）解∵与共线，∴存在使，则，由于与不共线，只能有则.小结：本题充分地运用了向量共线的充要条件，即与共线存在使（正用与逆用）练习：1．设、是两个不共线的向量，则向量与向量（）共线的充要条件是（） DA． B． C． D．２．若，且，则四边形ABCD是（）CA．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰梯形３．、是两个不共线的向量，且。
若A、B、D三点共线，则k的值为－8４．已知四边形ABCD中，，对角线AC、BD的中点为E、F，则向量５．设与是两个不共线的非零向量，若向量，试证明：A、C、D三点共线．证明：，∴，又，∴，∴与共线，∴A、C、D三点共线。
必修四平面向量基本定理(附答案)
必修四平面向量基本定理（附答平面向量基本定理［学习目标］1•理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义2在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.戸知识梳理_____ 自主学习I知识点一平面向量基本定理(1) 定理：如果e i, e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 ?i,茏，使a= A)e i+ ?e e2.(2) 基底：把不共线的向量e i,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.思考如图所示，e i，e2是两个不共线的向量，试用e i，e表示向量AB，CD，EF，GH，HG， a.答案通过观察，可得：AB = 2e i + 3e2, CD = 一e i + 4e2, EF = 4e i —4e2, GH = 一2e i + 5e2, H G = 2e i —5e2, a= —2e i.知识点二两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b,如图，作OA =a, OB = b,则 / AOB = 0(0 °180°),叫做向量a与b的夹角.①范围：向量a与b的夹角的范围是［0 ° 180° .②当0= 0°寸，a与b同向.③当0= 180°时，a与b反向.⑵垂直：如果a与b的夹角是90°则称a与b 垂直，记作a丄b.思考在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角.① AB、AC ；②AB、CA；③BA、CA；④AB、BA 答案①AB与AC的夹角为60°② AB与CA的夹角为120°③ BA与CA的夹角为60°④ AB与BA的夹角为180°.b题型探究重点突破题型一对向量的基底认识例1如果e i,e2是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 ___________ .①心+心（入卩€ R）可以表示平面a内的所有向②对于平面a内任一向量a,使的实数对（入0有无穷多个；③若向量入e i+ g i e2与力e i+ p2e2共线，则有且只有一个实数入使得入e i+ 0i e2= % ?2e i+ 0^2); ④若存在实数入0使得Q1+ 02= 0,则/= 0=0.答案②③解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的.对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的.对于③，当两向量的系数均为零，即入=%= 0=0= 0时，这样的入有无数个.跟踪训练1设e i、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e i与e i + e2；②e i —2e2与e —2e i ；③e i 一2e2 与4e2 一2e i ；④e i + e与e i —e2. 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 __ .(写出所有满足条件的序号)答案①②④解析对于③ 4e2—2e i= —2e i + 4e2=—2(e i —2e2),••• e i —2e2与4e2 —2e i共线，不能作为基底.题型二用基底表示向量例2如图所示，已知？ABCD中，E、:F分别是BC、DC边上的中点，若AB =a, AD = b,试以a、b为基底表示DE、BF.解J四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，AD = B C=2B E，B A = CD = 2CF，二B E = ~~A D=2b, C F=1B A = —*A B = —2a.・•・ D E = D A+A B + B E = —A D + A B + B E , 1 1=—b+ a+ ?b= a—?b,B F = BC + CF = AD + CF = b—2a.跟踪训练2如图，已知△ ABC中，D为BC的中点，E, F为BC的三等分点，/^\若 _ __ 亠H ED t （AB = a，AC = b，用a、b 表示AD、AE、AF.解A D=A B + B D = A B+2B C1 1 1=a+ 2（b —a）= 2a+ 2b;1A E = A B+B E = A B + ; B C1 2 1 =a+3(b —a) = 3a + 3b;2A F = A B+B F = A B+-3BC=a+|(b—a) = 3a + 3b.题型三向量夹角问题例3已知|a| = |b| = 2,且a与b的夹角为60° 设a+ b与a的夹角为a, a—b与a的夹角是3, 求a+ 3解如图'作OA = a?OB = b且/AOB=60° 以OA、OB为邻边作？OACB,则OC= a+ b, B A = OA一OB = a—b,BC= OA = a.因为|a|= |b|= 2,所以△ OAB为正三角形，所以/ OAB = 60°=/ ABC,即a—b与a的夹角p= 60°.因为|a|= |b|,所以平行四边形OACB为菱形，所以OC 丄AB,所以 / COA = 90°—60°= 30°, 即a+ b与a的夹角a= 30°,所以a+ p= 90°.跟踪训练 3 若a^ 0, b M0,且|a| = |b|= |a—b|, 求a与a+ b的夹角.解由向量运算的几何意义知a+ b, a—b是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线.如图，・・・| a|= |b|=|a—b|,・•・/ BOA = 60°.又・・・O C= a+ b,且在菱形OACB中，对角线OC平分/ BOA,・•・a与a+ b的夹角是30°.题型四平面向量基本定理的应用例4 如图所示，在厶OAB中,OA = a, OB = b,B点M是AB上靠近B的一个三等分/V点，点N是OA上靠近A的一个四'八等分点.若OM与BN相交于点P,求OP.解OM = OA + AM = OA + |AB = OA + 2(OB —f 1 2OA) = 3a+ 3b,因为OP与OM共线，故可设OP=tOM = fa+2tb.又NP 与NB 共线，可设NP = sNB ? OP = ON + sNB3 3=4OA + s(OB — ON)= 4(1 — s)a + sb所以 6=fo a +5bBN 与CM 相交于E ，设AB = a , AC = b ,试用基底a ，b 表示向量AE.解易得A N = 1A C = fb , A M = 2AB 由N , E , B 三点共线，设存在实数 m ,满足AE3 “ t 41—s=3 所以2s= 3,解得t = 2 t10,3s = 5・ 跟踪训练4如图所示，在△中，点M 是AB 的中点，且AN =1NC , 1 =2a ,ABC肘a1=mAN + (1 —m)AB = §mb+ (1 —m)a.由C, E, M三点共线，设存在实数n满足：AE1=nAM + (1 —n)AC = qna + (1 —n)b.1 1 所以§mb+ (1 —m)a=qna+ (1 —n )b,彳 11 —m = 2门,由于a, b为基底，所以〔解得3m = 1 —n，3m=5,4 n= 5,2 1所以AE = 2a+~b.5 5向量夹角概念不清致误例 5 已知OA =2a, OB = 2b, OC= —a+ 3b, 求向量B A与B C的夹角.错解由已知得，BA = OA — OB = 2a— 2b,BC = OC —OB = (—a + 3b) —2b = —a+ b,显然BA = —2BC，可见B A与B C共线，故B A与B C 的夹角为0°错因分析两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，当两个向量同向共线时，其夹角为0°当两个向量反向共线时，其夹角为180° 上面的解答没有注意到这个问题，导致出错.正解由已知得，BA = OA —OB = 2a—2b,BC = OC —OB = (—a+ 3b) —2b = —a + b.显然BA =—2BC，可见BA与BC共线，且是反向共线，故BA 与BC的夹角为180°3•在直角三角形ABC中，/ BAC = 30°则ACC ・120°4•设向量m= 2a—3b, n = 4a—2b, p= 3a+ 2b, 试用m, n表示p, p= _____ .5•如图所示，已知梯形ABCD中，AB II DC,且AB = 2CD, E、F 分别是DC、AB的中点，设AD = a, AB = b,试用a、b为基底表示DC、BC、EF.』时箱练一、选择题1. 下列关于基底的说法正确的是（）①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；② 基底中的向量可以是零向量；③ 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于 基底的线性分解形式也是唯一确定的. A .① B .②C .①③D .②③2. 如图所示，矩形ABCD 中，BC = 5e i , DC = 3*则OC 等于（）3. 如图，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、 CD 的中点，EF 与AC 交于点G ,若AB = a , AD =b ,用a 、b 表示AG 等于（）1A. 2(5e i + 3e 2)1 1B.2(5e i — 3e 2)14. 设向量e i 和e 是某一平面内所有向量的一组 基底，若 3xe i + (10 — y)e 2= (4y — 7)e i + 2xe 2,则实数y 的值为（上，且 CD = 4DB = rAB + sAC ,A.1L a +4b 4 4 哧-4b 4 41 1 B.3a + 3b D.；a +4b 4 45•若D 点在三角形ABC 的边 3r + s 的值为（）4:、填空题6.已知e i、e2不共线，a= e i + 2e2, b= 2e i+ )e2要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数入的取值范围为________7•如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点0,设AD = a, AB = b,若AB = 2DC，则AO = _____ (用 a 和 b 表示).8 若|a|= |b|= |a—b| = r(r>0)，则a 与b 的夹角为________ .9•如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC = 2AE +叭F，其中入吐R，贝y +尸 ____________ .10•设D, E分别是△ ABC的边AB, BC上的1 2点，AD = 2AB , BE = 3BC，若DE = A I AB + 沁（汕h为实数），贝V入+乃的值为 ______ .三、解答题11•判断下列命题的正误，并说明理由：（1）若ae1+ be2 = ce + de2（a、b、c、d€ R），贝a=c, b= d;⑵若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1 + e2、e1 —e表示出来.12•如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中OA与OB的夹角为120° OA与OC的夹角为30°且|OA|= |OB|= 1, |OC| = 2 3.若OC= OA + Q B（入让R），求H卩的值.13.已知单位圆0上的两点A、B及单位圆所在平面上的一点P, OA与OB不共线.⑴在厶OAB中，点P在AB上，且AP= 2PB, 若AP= rOB + sOA,求r + s 的值；⑵P满足OP= mOA + OB（m为常数），若四边形OABP为平行四边形，求m的值.1. 答案B解析 B 中，•・• 6e i —8e2 = 2(3e i —4e2), .•・(6e i —8e2)II (3e i —4e2),・•・3e i —4e2和6e i —8e2不能作为基底.2. 答案B3 3 解析A D = A B + B D = A B + 4B C = A B + 4(A C—A B)=抑+；AC；=4a+；b.3.答案D解析由向量夹角定义知，AC、BA的夹角为150 °.4.答案一4m + 13n解析 设 p = xm + yn ,贝V 3a + 2b = x(2a — 3b) + y(4a — 2b)= (2x + 4y)a + (— 3x — 2y)b ,5.解连接 FD , •/ DC II AB , AB = 2CD , E 、F 分别是DC 、AB 的中点，・・・DC 綊FB.・•・四边形DCBF 为平行四边形. 1 1依题意，DC = FB = 2AB = 2b , BC = FD = AD — AF = AD — =a —2b，2x + 4y = 3, ? —3x — 2y = 2 '7 4,13 y=8.1 E F =D F—DE = —F D—D E = —B C—qDC1 1 1 1 =—(a —2b) —2X2b = 4b—a.课时精练答案一、选择题1. 答案C解析零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确.2. 答案A解析OC = ；AC = 1(BC —BA) = 2(5e1 +3e2).3. 答案D1 1解析易知CF = 2C D , CE = 2C B.设CG= ?CA，则由平行四边形法则可得CG= KCB + CD)= 2沅 + 2XJF ,由于E, G、F三点共线，则2H 2^= 1,1 1即A1从而CG = 4CA,从而AG = 4AC = 4(a+ b).4. 答案B解析因为3xe1 + (10—y)62= (4y—7)e1 + 2xe2,所以(3x —4y+ 7)e1 + (10—y—2x)e2= 0,又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以3X —4y+7= °，解得X= 3，故选10—y—2x = 0，y= 4，B.5. 答案C解析•・• CD = 4DB = rAB + sAC ,・•・ CD = 5CB = 4金-AC)=rAB + sAC ,二、填空题6. 答案(一s, 4)U (4,+^ ) 解析 若能作为平面内的一组基底, 共线. a = e i + 2e 2, b = 2e i + 血, 由a M kb 即得存4.4 5,s =— 45. 「・ 3r + s = 12—4_ 85 — 5=5.2 17. 答案 §a + 3b解析设AO = ^AC , X AD + DC) = X A D + 2A B )=曲 +1涎.1因为D , O , B 三点共线，所以A+ 2匸1,所以 2匸3， 所以 AO =(AD +3AB =3a +3b. 8. 答案60°*解析作OA = a , OB = b ,则BA = a — b , / AOB 为 a 与 b 的夹角，由 |a|=|b|= |a — b|知 △ AOB 为等边三角形，则/ AOB = 60°. 9. 答案解析 设AB = a , AD = b ,HF亡则AO =A则AE = *a+ b, A F = a+ 为，又:AC = a+ b,2 2 4 ・°・AC=3（A E+AF），即入=尸3，二卅尸3.1io.答案2解析易知DE=2A B+2B C=2A B + |（A C—AB）=一1AB + 3AC.所以?1 + ?2 = 1"三、解答题11. 解(1)错，当e i与e共线时，结论不一定成立.(2)正确，假设e i + e与e i —e2共线，则存在实数入使e i + e2=?(e i —e2)，即(1 —?)e i=—(1+ ?)e2 因为1—入与1 +入不同时为0,所以e1与e 共线, 这与e1与e2不共线矛盾.所以e1 + e与e1 —e不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1 + e2、e1 —62表示出来.12 .解如图，以OC为对角线作？OMCN，使得M 在直线OA 上, N在直线OB 上, 则存在k□，使OM = O, ON =(J OB ,■W即OC= OM + ON = Q A + Q B.在Rt △ COM 中,|OC| = 2 3, / COM = 30 °/ OCM = 90°/. |O1M| = 4,・•・ OM = 4OA.又|ON|= |MC|= 2,・•・ ON = 2OB,二C*C= 4OA+ 2OB，即Q 4, Q= 2.二+ Q= 6.13.解⑴•・•1 = 2PB，二AP = 2A B ,2 2 2・•・ A P Q 3（O B—O A）=31 - 3OA, 又• Ap Q rOB + sOA,2 2・•・r = 3,・•・s=- 3,・•・r + s的值为0.⑵•・•四边形OABP为平行四边形, ・•・ OB= OP+ OA,又:OP= mOA + OB,/. OB= OB + (m+ 1)OA,依题意OA、OB是非零向量且不共线, .•・ m+ 1 = 0,解得m =—1.。
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(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.单位向量 aO 为单位向量 ｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同：(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
x1
y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.
∴航向为北偏西 30 ． 8.过点 O 作向量 OA 、 OB 、 OC ，使之分别与力 F1 ， F2 ， F3 相等，由于 F1 ， F2 ，
F3 的合力为 0 ，则以 OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与 OA 的长度相等，又
由于力 F1 ， F2 ， F3 的大小相等，∴ OA OB OC ，则三角形 OCD 和三角形
6
6
（7）北偏西 300
（8） 1200
（9）略
m 6 m 3
（10） n 3
或
n
3 2
略解或提示：
1.由单位向量的定义即得 a b 1 ，故选（D）．
2.由于 AC AB AD ，∴ AC AB AD ，即 BC AD ，∴线段 BC 与线段 AD 平行且
相等，∴ ABCD 为平行四边形，选（A）．
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= PP aP bP c [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图：
向量 MN 用 a 、 b 表示为
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平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习1.已知a =(x,2)，b =(1,x)，若a //b ，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 22.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-= ()B (2,3),(3,2)a b ==()C (1,2),(7,14)a b =-= ()D (3,2),(6,4)a b =-=-3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且CB CN CA CM ⋅=⋅=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为 三.知识归纳1. 平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+成立。
其中12,e e 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________；2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j作基底，则对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a +=、就把_________叫做向量a的坐标，记作____________。
3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量OA 的坐标为OA＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标．4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有：OM =________________，M 点的坐标为_____________．5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//⇔≠b b a ；坐标形式： _____________)0(//⇔≠b b a ．6. a=（x,y ）, 则a =___________.与a 共线的单位向量是：aa e = 四．例题分析：例1.(1)、 已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P点的坐标为（ ）A （－14，16） （B ）（22，－11） （C ）（6，1） （D ） （2，4） (2)、已知两点A(4,1), B(7,-3), 则与向量AB 同向的单位向量是 （ ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 (D)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54(3)、若a =（2，3），b =（－4，7），则a 在b 方向上的投影为____________。
例2．(1)已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x 的值。
(2) 已知向量a =，1），b =（0，-1），c =（k 。
若a -2b 与c 共线，则k=______例3．已知(1,0),(2,1)a b ==，（1）求|3|b a +；（2）当k 为何实数时，k -a b与b a 3+平行， 平行时它们是同向还是反向？例4．如图，平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB a =，=AD b ，（1）试以a ，b 为基底表示DE 、BF ；（2）求证：A 、G 、C 三点共线。
例5. 如图，平行四边形ABCD 中，BE=41BA ，BF=51BD ，求证：E ，F ，C 三点共线。
（利用向量证明）33CE F五．课后作业：1．31(,sin ),(cos ,)23a b αα==且//a b ，则锐角α为 ( )()A 30 ()B 60 ()C 45 ()D 752．平面内有三点(0,3),(3,3),(,1)A B C x --，且AB ∥BC ，则x 的值是 （ ）()A 1 ()B 5 ()C 1- ()D 5-3．如果1e ,2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ）()A 若实数12,λλ使11220e e λλ+=，则 120λλ==()B 空间任一向量a 可以表示为1122a e e λλ=+，这里12,λλ是实数 ()C 对实数12,λλ，向量1122e e λλ+不一定在平面α内()D 对平面内任一向量a ，使1122a e e λλ=+的实数12,λλ有无数对4.下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③5.若A(-1,-2),B(4,8),且CB AC 3-=,则C 点坐标为 ；6.已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= ； 7．已知向量(1,2)a =-，b 与a 方向相反，且||2||b a =，那么向量b 的坐标是_ _ 8．已知(5,4),(3,2)a b ==，则与23a b -平行的单位向量的坐标为 。
9．已知(3,1),(1,2),(1,7)a b c =-=-=，求p a b c =++，并以,a b 为基底来表示p 。
10.向量(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===,当k 为何值时，,,A B C 三点共线？平面向量的数量积一、教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．教学重点：平面向量数量积及其应用 二、课前预习：1．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-，如果向量a xb +与b 垂直，则x 的值为（ ）()A 323 ()B 233 ()C 2 ()D 25- 2.下列命题正确的是 ___________①0AB BA +=； ②00AB ⋅=； ③AB AC BC -=； ④00AB ⋅=3．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-=，且5a b ⋅=，则向量b =___ __ ____. 4．已知向量,a b 的方向相同，且||3,||7a b ==，则|2|a b -=___ ____。
5．已知向量a 和b的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a ⋅-)2(= 。
三、知识归纳1.平面向量的数量积：（1）定义:a ·0,0__(__________ ≠≠=b a b ，θ为a 与b的夹角，)0πθ≤≤；特例：0 ·0=a ，a 2 =a ·a =|a|2；()cos cos a b θθ叫做向量()a b b a 在方向上在方向上的________________；注._________cos ==θθb a（2）.坐标运算：若a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ）则a ·b=______________．2.两个向量的夹角与长度已知向量a=（1x ，1y ），b =（2x ，2y ）（1）两个向量a 与b的夹角θ：向量形式：θcos =__________________；坐标形式：θcos =__________________．注： 0.0cos ,2a ,0cos ,2;0cos ,20<⋅<<<=⋅==>⋅><<b a b b a 即即即θπθπθπθθπθb a b a ⋅=⋅=⋅=⋅=,,0，即反向时，即同向时πθθ（2）向量a 的长度|a |2=a 2 =a ·a =___________。
|a |=___________其中a=),(y x ；==+两点间的距离公式：|21P P |=___________________ 其中1P =（1x ，1y ），2P =（2x ，2y ）． 3.向量的平行、垂直如果，两个向量a=（1x ，1y ），b =（2x ，2y ）那么，（1）两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//⇔≠b b a ；坐标形式： _____________)0(//⇔≠b b a ．（2）两个向量垂直的充要条件是：向量形式：a ⊥b⇔____________；坐标形式：a ⊥b⇔____________．四：例题分析：例1．已知平面上三个向量a 、b 、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证：)(b a -⊥c；（2）若1||>+b a k )(R k ∈，求k 的取值范围.例2．已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； （2）若|b |=,25且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ.例3．1.若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥c ，则 A ．4 B ．3 C ．2 D ．02.已知单位向量，的夹角为60°，则__________3.在正三角形中，是上的点，，则 。
4.已知向量满足，且，，则a 与b 的夹角为 .5.在边长为1的正三角形ABC 中, 设则__________________．例4.(1) 已知由向量AB =（3，2），AC =（1，k ）确定的△ABC 为直角三角形，求k 的值。
(2) 设OA =（3，1），OB =（－1，2），OC ⊥OB ，BC ∥OA ，试求满足 OD +OA =OC 的OD 的坐标（O 为原点）。
(2)c a b •+=1e 2e122e e -=ABC D BC 3,1AB BD ==AB AD ⋅=,a b()()a b a b +2⋅-=-61a =2b =2,3,BC BD CA CE ==AD BE ⋅=五．课后作业：1．平面内有三点(0,3),(3,3),(,1)A B C x --，且AB ∥BC ，则x 的值是 （ ） ()A 1 ()B 5 ()C 1- ()D 5- 2.已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A 、150︒ B 、120︒ C 、60︒ D 、30︒3．已知向量)75sin ,75(cos=a ，)15sin ,15(cos =b ，那么||b a -的值是（ ）()A 21()B 22 ()C 23 ()D 14．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）()A 0,24 ()B 24,4()C 16，0 ()D 4，05．在ABC ∆中，0<⋅AC AB ，ABC ∆的面积是415，若3||=AB ，5||=AC ，则BAC ∠=()A 6π ()B 32π()C 43π ()D 65π6.在ΔABC 中,060,43=∠==BAC ,则=⋅AC BA （ ）A 、6B 、4C 、-6D 、-47．已知向量(1,2)a =-，b 与a 方向相反，且||2||b a =，那么向量b 的坐标是_ _ 平面上有三个点A(1,3),B(2,2) ,C(7,x),若B=ο90,则x=_______8.已知|a |＝1，|b | ＝2，且向量a + b 与2a -b 互相垂直，则b 与a 的夹角=____9．已知(5,4),(3,2)a b ==，则与23a b -平行的单位向量的坐标为 。