《整式的加减》知识点及典型试题(带解析)

解析《整式的加减》知识点
一、代数式1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

二、整式
多项式和单项式统称为整式。

特别注意：分母中不能含字母
三、单项式与多项式
单项式
1、都是数字与字母的相乘的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

多项式
1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

整式
1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式。

四、整式的加减
1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

去括号法则：如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。

2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项：
1）.合并同类项的概念：
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

2）.合并同类项的法则：
同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3）.合并同类项步骤：
a．准确的找出同类项。

b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

c．写出合并后的结果。

4）.在掌握合并同类项时注意：
a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.
b.不要漏掉不能合并的项。

c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：
1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

2）按去括号法则去括号。

3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：
（1）代数式化简
（2）代入计算
（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

《整式的加减》提高测试 答案
一 填空题（本题20分，每小题4分）：
１．仅当a ＝ ，b ＝ ，c ＝ 时，等式a x 2－bx ＋c ＝ x 2＋2x ＋3 成立；
２．仅当b ＝ ，c ＝ 时，5x 3y 2与23 x b y c 是同类项；
３．煤矿十月份生产a 吨煤，比九月份增产45%，煤矿九月份生产煤 吨；
４．当3＜a ＜4时，化简 |a －3|－|a －6| 得的结果是 ，它是一个 数；
５．n 张长为a cm 的纸片，一张接一张的贴成一个长纸条，每张贴合部分的长度都是b cm ，这个纸条的总长应是 cm ．
答案：
１．１，－２，３；
２．３，２；
３．45
.1a ； ４．2a －9，负；
５．na －b （n －1）．
三 先化简再求代数式的值：
１．5a 2＋[a 2＋（5a 2－2a ）－2（a 2－3a ）]，其中a ＝ －2
1； 解：5a 2＋[a 2＋（5a 2－2a ）－2（a 2－3a ）]
＝9a 2＋4a ＝)2
1(4)21(92-+- ＝24
9- ＝4
1；
四 （本题10分）
已知a ＝2
15-x ，且x 为小于10的自然数，求正整数a 的值． 解：只有当 x ＝ 3，5，7时，a 的正整数值分别是15，5，3.
五 （本题10分）
代数式15－（a ＋b ） 2的最大值是多少? 当（a ＋b ）2 －3取最小值时，a 与b 有什么关系?
解：由于（a ＋b ）2 是非负数，
所以 15－（a ＋b ） 2的最大值是15；
当（a ＋b ）2－3取最小值－3时，
a ＋
b ＝０，即a 与b 互为相反数．
六 （本题10分）
当a ＞0，b ＜0时，化简|5－b |＋|b －2a |＋|1＋a |.
解：当a ＞0，b ＜0时，有
5－b ＞0，b －2a ＜0，1＋a ＞0，
所以
|5－b |＋|b －2a |＋|1＋a |
＝ 5－b ＋2a －b ＋1＋a
＝ 6＋3a －2b ．
一、探索规律题
例1 （2007年荆门市）观察下面的单项式：a ，－2a 2，4a 3，－8a 4，…．根据你发现的规律，第8个式子是______．
分析：本题是一般性的探索性问题，较简单，只要经过观察、分析、比较、类比、归纳等探索大会就能找出规律来．
解：观察题中的４个单项式：后一个单项式的系数是前一个单项式的系数的２倍，a 的指数依次增加１，第奇数个的符号为“+”，第偶数个的符号为“－”．故第８个式子是8128a -．
二、开放性问题
例2 （2007年温州市）给出三个多项式：2221111,31,,222
x x x x x x +-++- 请你选择其中两个进行加法运算．
分析：求两个多项式的和或差，应把两个多项式分别看成一个整体，用括号括起来，运算时，先去括号，再合并同类项．
解：本题存在3种不同的求和结果，2211(1)(31)22x x x x +-+++，21(1)(2
x x +-+ 21)2x x -，2211(31)()22
x x x x +++-．
如222221111(1)(31)13142222
x x x x x x x x x x +-+++=+-+++=+． 四、数形结合
例4 （2007年重庆市中考题）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题：
（1）用含x 、y 的代数式表示地面总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m 2，且地面总面
积是卫生间面积的15倍．若铺1m 2地砖的平均费用为80元，
那么铺地砖的总费用为多少元？
分析：（1）地面总面积＝客厅面积+卫生间面积+卧室面
积+厨房面积；（2）设卫生间面积为a m 2，则客厅面积为（a
+21）m 2，再由地面总面积是卫生间面积的15倍即可列方程
求出有关面积，进而求出铺地砖的总费用．
解：（1）地面总面积为：1826++y x （m 2）；
（2）设卫生间面积为a m 2，则客厅面积为（a+21）m 2，由题意得，a+（a+21）+18＝15a ，解得：a ＝3 （m 2），∴地面总面积为15a ＝45（m 2），∴铺地砖的总费用为：36008045=⨯（元）．
五、实际应用题 15台，现要运往甲地18台，乙地14台。

从A 、B 两地运往甲、乙两地的费用如下表：
分析：解题关键是分析出各运输线路上机器的台数．
解：若从A地运往甲地x台，则从A地运往乙地（17－x）台，从B地运往甲地（18－x）台，从B地运往乙地（x－3）台．故完成以上调运所需总费用600500(17)400(18)800(3)
x x x x
+-+-+-=50013300
x+。