整式的加减典型例题

整式的加减典型例题类型一：用字母表示数量关系1．填空题：（1）商店运来一批梨，共9箱，每箱n个，则共有___________个梨.（2）小明x岁，小华比小明的岁数大5岁，则小华___________岁.（3）一个正方体边长为a，则它的体积是___________.（4）一个梯形，上底为3 cm，下底为5 cm，高为h cm,则它的面积是___________cm2.（5）一辆客车行驶在长240千米的公路，设它行驶完共用a个小时，则它的速度是每小时_______千米.解析：1.9n 2.x+5 3.a3 4.4h 5.总结升华：用字母表示实际问题中的数量关系时，若式子是积或商形式，则将单位名称写在式子的后面即可；若式子是和或差的形式，则应把整个式子用括号括起来，再将单位名称写在后面。

举一反三：[变式一](1)香蕉每千克售价3元，m千克售价____________元。

(2)温度由5℃上升t℃后是__________℃。

(3)每台电脑售价x元，降价10％后每台售价为____________元。

(4)某人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为__________。

解析：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表达出来。

答案：(1)3m (2)(5＋t) (3) 0.9x （提示：(1－10％)x=0.9x）(4)[变式二]某校学生给“希望小学”邮寄每册元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5％，则共需邮费______________元。

解析：邮费是书价的5%，因此，共需邮费是元。

答案：12a类型二：整式的概念2．把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。

x2y，a－b，x＋y2－5，，－29，2ax＋9b－5，600xz，axy，xyz－1，。

思路点拨：本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。

单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。

解析：单项式有：x2y，－，－29,600xz，axy多项式有：a－b，x＋y2－5,2ax＋9b－5，xyz－1整式有：x2y，a－b，x＋y2－5，－，－29，2ax＋9b－5,600xz，axy，xyz－1。

举一反三：[变式]指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。

(1)x＋1；(2)a＝2；(3)π；(4)S＝πR2；(5)；(6).分析：根据整式的定义，x＋1是整式；单独的一个数或一个字母也是整式，所以π和也是整式；而a＝2，S＝πR2，，含有等号或不等号，因此它们都不是整式。

答案：(1) x＋1，(3)π，(5) 都是整式；(2)a＝2，(4)S＝πR2，(6)都不是整式。

总结升华：判断是不是整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别，等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。

类型三：同类项3．若与是同类项，那么a,b的值分别是（）（A）a=2, b=－1 （B）a=2, b=1（C）a=－2, b=－1 （D）a=－2, b=1思路点拨：解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同，要注意同类项与系数的大小没有关系。

解析：由同类项的定义可得：a－1=－b,且2a+b=3，解得a=2, b=－1，故选A。

举一反三：[变式]在下面的语句中，正确的有( )①－a2b3与a3b2是同类项；②x2yz与－zx2y是同类项；③－1与是同类项；④字母相同的项是同类项。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个解析：①中－a2b3与a3b2所含的字母都是a，b，但a的次数分别是2,3，b的次数分别是3,2，所以它们不是同类项；②中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以x2yz与－zx2y是同类项；不含字母的项(常数项)都是同类项，③正确，根据①可知④不正确。

故选B。

类型四：整式的加减4．化简m－n－（m+n）的结果是（）（A）0 （B）2m（C）－2n（D）2m－2n思路点拨：按去括号的法则进行计算，括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。

解析：原式=m－n－m－n=－2n，故选（C）。

答案：C举一反三：[变式一]（2011市）计算a+(－a)的结果是（）（A）2a （B）0 （C）－a2 （D）－2a分析：先去括号再合并同类项答案：B[变式二]（2011西南师大附中期中）计算：整式去括号应为( )（A）（B）（C）（D）分析：按去括号法则进行计算，先去小括号，再去中括号答案：A5．（1）方格中，除9和7外其余字母各表示一个数，已知方格中任何三个连续A 9 H M O X 7思路点拨：任何三个连续方格中的数之和相等得A+9+H =9+H+M，M+O+X=O+X+7，进一步求出A+H+M+O的值.解析：由方格中任何三个连续方格中的数之和为19，得A+9+H =9+H+M，A=M；M+O+X=O+X+7，M=7；所以A=M=7，H+M+O=19，所以A+H+M+O=26.答案：26.（2）（化简代入求值法）已知x＝－，y＝－,求代数式(5x2y－2xy2－3xy)－(2xy＋5x2y－2xy2)思路点拨：此题直接把x、y的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。

解析：原式＝5x2y－2xy2－3xy－2xy－5x2y＋2xy2＝－5xy当x＝－，y＝－时，原式＝－5×。

总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。

应注意的问题是：当整式中有同类项时，应先合并同类项化简原式，再代入求值。

举一反三：[变式1] 当x＝0，x＝，x＝-2时，分别求代数式的2x2－x＋1的值。

解：当x＝0时，2x2－x＋1＝2×02－0＋1＝1；当x＝时，2x2－x＋1＝2×；当x＝-2时，2x2－x＋1＝2×（-2）2－（-2）＋1＝2×4+2＋1＝11。

总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、指数及运算符号都不改变。

但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。

[变式2]先化简，再求值。

3(2x2y－3xy2)－(xy2－3x2y)，其中x＝，y＝－1。

解：3(2x2y－3xy2)－(xy2－3x2y)＝(6x2y－9xy2)－xy2＋3x2y＝6x2y－9xy2－xy2＋3x2y＝9x2y－10xy2。

∴当x＝，y＝－1时，原式＝9××(－1)－10××(－1)2＝－。

总结升华：解题的基本规律是先把原式化简为9x2y－10xy2，再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。

[变式3]求下列各式的值。

(1)(2x2－x－1)－，其中x＝(2)2[mn＋(－3m)]－3(2n－mn)，其中m＋n＝2，mn＝－3。

解析：(1) (2x2－x－1)－＝2x2－x－1－x2＋x＋＋3x2－＝4x2－4当x＝时，原式＝4×－4＝9－4＝5。

(2) 2[mn＋(－3m)]－3(2n－mn)＝2mn－6m－6n＋3mn＝5mn－6(m＋n)当m＋n＝2，mn＝－3时原式＝5×(－3)－6×2＝－27。

类型五：整体思想的应用6．当x＝1时，代数式px3＋qx＋1的值为2013，则当x＝－1时，代数式px3＋qx＋1的值为( )A、－2011B、－2012C、－2013D、2011思路点拨：这是一道求值的选择题，显然p，q的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所求的值与已知值之间的关系。

解析：当x＝1时，px3＋qx＋1＝p＋q＋1＝2013，而当x＝－1时，px3＋qx＋1＝－p－q＋1，可以把p＋q看做一个整体，由p＋q＋1＝2013得p＋q＝2012，于是－p－q ＝－(p＋q)＝－2012，所以原式＝－2012＋1＝－2011。

故选A。

举一反三：[变式1]已知x2＋x－1＝0，求代数式x3＋2x2－7的值。

分析：此题由已知条件无法求出x的值，故考虑整体代入。

解析：∵x2＋x－1＝0，∴x2＝1－x，∴x3＋2x2－7＝x(1－x)＋2(1－x)－7＝x－x2＋2－2x－7＝-x2-x-5＝（-x2-x+1）-6 =－6。

[变式2]已知x2＋x＋3的值为7，求2x2＋2x－3的值。

分析：该题解答的技巧在于先求x2＋x的值，再整体代入求解，体现了数学中的整体思想。

解析：由题意得x2＋x＋3＝7，所以x2＋x＝4，所以2(x2＋x)＝8，即2x2＋2x＝8，所以2x2＋2x－3＝8－3＝5。

总结升华：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。

运用这种方法应从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化。

在中考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到。

[变式3]已知A＝3x3－2x＋1，B＝3x2－2x＋1，C＝2x2＋1，则下列代数式中化简结果为3x3－7x2－2的是( )A、A＋B＋2CB、A＋B－2CC、A－B－2CD、A－B＋2C分析：将A，B，C的式子分别代入A，B，C，D四个选项中检验，如：A－B－2C＝3x3－2x＋1－(3x2－2x＋1)－2(2x2＋1)＝3x3－2x＋1－3x2＋2x－1－4x2－2＝3x3－7x2－2。

故选C。

答案：C[变式4]化简求值。

(1)3(a＋b－c)＋8(a－b－c)－7(a＋b－c)－4(a－b－c)，其中b＝2(2)已知a－b＝2，求2(a－b)－a＋b＋9的值。

分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将a＋b－c，a－b－c 分别视为一个“整体”，这样化简较为简便；(2)若想先求出a，b的值，再代入求值，显然行不通，应视a－b为一个“整体”。

解析：(1)原式＝3(a＋b－c)－7(a＋b－c)＋8(a－b－c)－4(a－b－c)＝－4(a＋b－c)＋4(a－b－c)＝－4a－4b＋4c＋4a－4b－4c＝－8b。

因为b＝2，所以原式＝－8×2＝－16。

(2)原式＝2(a－b)－(a－b)＋9＝(a－b)＋9因为a－b＝2，所以原式＝2＋9＝11。

类型六：综合应用7．已知多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值与x无关，试求5a2－2(a2－3a＋4)的值。

思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0即可.解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝(3a－9)x2＋4。