6.3.1 平面向量基本定理
2020-2021高中数学人教版第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。
过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。
典例讲练破题型类型一 基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。
高中数学人教A版(2019)必修第二册 6.3.1平面向量基本定理说课稿
高中数学人教A版（2019）必修第二册6.3.1平面向量基本定理说课稿一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修2第六章《平面向量及其应用》第三节《平面向量基本定理及其坐标表示》第一课时。
本节首先由向量的概念和运算得出平面向量基本定理.平面向量基本定理是平面向量中的重要内容.此定理表明平面内的任一向量可以由同一平面内的两个取定的不共线向量表示，而且表示式是唯一的.因而向量的运算可以归结为两个取定的不共线向量的运算，这为利用向量运算解决问题带来了方便.由此定理还可引出向量的坐标的概念，进而引出向量运算的坐标表示。
1.平面向量基本定理平面向量基本定理告诉我们，同一平面内任一向量都可表示为两个取定的不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过取定的两个不共线的向量得到表示。
也就是说，平面内的任意一个点可以由平面内的一个点及两个取定的不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因，下面对其中的思想作一概述.用向量表示几何元素是容易的，并且很直接.选一个定点，那么，任何一个点都可以用一个向量来表示.对于一条直线l，如果我们的兴趣只在于它的方向，那么用一个与l平行的非零向量图片就行了；如果想确定这条直线的位置，则还要在l上任选一点。
这样，一个点A，一个向量图片就在原则上确定了直线l，这是对直线的一种定性刻画。
如果想具体地表示l上的每一个点，我们需要实数k和向量图片的乘法图片.这时，l上的任意一点X都可以通过点A和某个图片来表示（图6-17）.希望在“实际”上控制直线l，可以看作是引入图片的一个原因.再来看平面.两条相交直线确定一个平面 a.一个定点，两个不共线的向量便“原则”上确定了平面α，这是对平面的一种定性刻画.但在讨论几何问题时，常常涉及平面α上的某一点X，为了具体地表示它，我们需要引进向量的加法.这时，平面α上的点X就可以表示为（相对于定点A），这样点X 就成为可操作的对象了（图6-18）.在解决几何问题时，这种表示能发挥很重要的作用.虽然向量的加法、数乘运算有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话，上述考虑可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这可以使我们更容易接受并喜爱向量运算。
高中数学必修二 6 3 1 平面向量的基本定理(无答案)
6.3.1平面向量的基本定理导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【自主学习】知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内 向量的一组基底．知识点2 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个 向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则 ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a 与b ．③当θ＝180°时，a与b．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.【合作探究】探究一 基底的概念【例1】下面说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的． A ．②④ B ．②③④ C ．①③ D ．①③④归纳总结：【练习1】设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2探究二 用基底表示向量【例2】如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM→＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.归纳总结：【练习2】如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以{a ，b }为基底表示DE →、BF →.探究三 平面向量基本定理的应用【例3】如图所示，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ的值为( )A.53B.－12C.12D.23归纳总结：【练习3】如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP : PM 与BP : PN 的值．课后作业A 组 基础题一、选择题1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 23．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③4．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝05.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <06．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①在△ABC 中，{AB →，AC →}可以作为基底； ②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组： ①AD →与AB →； ②DA →与BC →； ③CA →与DC →； ④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( )A ．6ME →B ．－6MF →C ．0D ．6MD →二、填空题9.设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)10.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.11．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.(用b 、c 表示)13．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝3.14.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．15．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．三、解答题16.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.17.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.18．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.B 组 能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE 上一点，AF =2FE ，则BF =（ ）A ．1123AB AD -B ．1132AB AD -C ．1123AB AD -+ D ．1132AB AD -+2.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A ．1142a b + B ．2133a b + C ．1124a b + D ．1233a b +3.ABC 中，M 、N 分别是BC 、AC 上的点，且2BM MC =，2AN NC =，AM 与BN 交于点P ，则下列式子正确的是（ ）A ．3142AP AB AC =+ B ．1324AP AB AC =+ C ．1124AP AB AC =+ D ．1142AP AB AC =+ 4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AE 的中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗5.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．26.如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．17.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若34AF xAB AD =+，则x ( )A．34B．23C．12D．14二、填空题8.如图，在ABC 中，13B BCD →→=，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ→→→=+，则12λμ+的取值范围是_____．9.在ABC 中，D 为线段AB 上一点，且3BD AD =，若CD CA CB λμ→→→=+，则λμ= .10.在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 .三、解答题11.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE 的值．。
平面向量基本定理PPT课件
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解
决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向
量向基底化归，使问题得以解决.
→
→
设AB＝a，AD＝b，
→ → → → 1→ 1
则AE＝AD＋DE＝AD＋2AB＝2a＋b，
1
→ → → → 1→
AF＝AB＋BF＝AB＋2AD＝a＋2b，
→
所以BF＝BA＋AF＝BA＋λAC＝a＋λ(c－a)＝
(1－λ)a＋λc.
4
→ 1 4
又BF＝5a＋5c，所以 λ＝5，
→ 4→
所以AF＝5AC，所以 AF∶CF＝4∶1.
反思感悟
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量
都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解
是唯一的.
任一向量a ，有且只有一对实数1、2，可使
a 1 e1 +2 e2
若e1，不共线，我们把
e2
e1，
e2 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
谢谢
人教2019A版必修 第二册
6.3.1 平面向量基本定理
回顾：向量共线定理:
a(a 0)与b共线 有且只有唯一一个实数， 使b a.
位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个
非零向量表示。
思考：平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个
不共线向量表示呢？
创设问题情境
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，练习2 如图，在△OAB中源自OC为中线，点D为线段OB靠近O点
1
的三等分点，AD交OC于点M，若 OM OA xOB ，求x的值.
高中试卷-【新教材精创】6.3.1 平面向量基本定理 同步练习(2)(含答案)
6.3.1 平面向量基本定理（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号基底的概念及辨析1,2,10用基底表示向量3,5,6,7,9平面向量基本定理的应用4,8,11,12基础巩固1．如果12e e u v u u v ，是平面a 内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有（）①12()e e R l m l m +Îu vu u v，可以表示平面a 内的所有向量；②对于平面a 内的任一向量a ，使12a e e l m =+u v u u vv的实数,l m ，有无数多对；③若向量1112e e l m +u v u u v 与2122e e l m +u v u u v共线，则有且只有一个实数l ，使()11122122e e e e l m l l m +=+u v u u v u v u u v ；④若实数,l m ，使120e e l m +=u v u u v v，则0l m ==.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②【答案】B【解析】由平面向量基本定理可知，①是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零即12120l l m m ====时，这样的l 有无数个；对于④，若0l ¹，则12e e m l=-u r u ur ，由平面向量共线定理知，12e e u r u u r ，共线，与题意矛盾，故0l =，20e m \=u u r r即有0m =，因此0l m ==；故选B .2．已知向量1e u v ，2e u u v 不共线，实数x ，y 满1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+u v u u v u v u u v，则x y -的值是（ ）A ．3B ．3-C ．0D ．2【答案】A【解析】由题意得346,233,x y x y -=ìí-=î解得3x y -=．故选：A3．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =uuu r（）A ．3144AB AD+uuur uuu r B ．1142AB AD-+uuur uuu r C ．12AB AD+uuur uuu r D ．3144AB AD+uuur uuu r 【答案】B【解析】()111111222224BF BC CF BC CE BC BE BC BC BE BC BA =+=+=+-=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r1124AD AB =-uuu r uuur 故选：B4．如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为,AB AD 上的点，且45AM AB =uuuu v uuu v ，23AN AD =uuu v uuu v，连接,AC MN 交于P 点，若AP AC l =uuu v uuu v，则l 的值为（ ）A ．35B ．37C ．411D ．413【答案】C【解析】∵42,53AM AB AN AD ==uuuu v uuu v uuu v uuu v，则：()534253,42AP AC AB ADAM AN AM AN l l l l l ==+æö=+ç÷èø=+uuu v uuu v uuu v uuu v uuuuv uuu v uuuuv uuu v ∵三点M ，N ，P 共线．∴53142l l +=，解得：411l =本题选择C 选项.5．已知△ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==Ð=°==，则AD BE ×=uuu r uuu r（）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【解析】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r,11,22AE EC BE BC BA =\=+uuu r uuu r uuu r,211()()322AD BE BC BA BC BA ×=-×+uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r 22111362BC BC BA BA =-×-uuur uuu r uuu r uuu r 111123622=-´´´=.故选:C.6．△ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AB =uuu r ，2AC =uuu r ，则AM BC ×=uuuu r uuu r_____.【答案】52-【解析】因为点M 是边BC 的中点，所以12AM =uuuu r （AB AC +uuu r uuu r ），又因为BC AC AB =-uuu r uuu r uuu r，所以12AM BC ×=uuuu r uuu r （AB AC +uuu r uuu r ）×（AC AB -uuu r uuu r ）12=（22AC AB -uuu r uuu r ）52=-，故答案为：52-.7．在平行四边形ABCD 中1AB e =uuu v u v ，2AC e =uuu v u u v ，14NC AC =uuu v uuu v ，12BM MC =uuuu v uuu u v ，则MN =uuuu v.（用12,e e u v u u v表示）【答案】1225312e e -+u v u u v 【解析】如图：MN uuuu r ＝CN uuu r －CMuuuu r＝CN uuu r ＋2BM uuuu r ＝CN uuur ＋23BCuuu r ＝－14AC uuu r＋23(AC uuu r －AB uuu r )＝－214e u ur ＋212()3e e -u u r u r ＝1225312e e -+u r u u r .故本题答案为1225312e e -+u r u u r .8．如图所示，在BOC D 中，C 是以A 为中点的点B 的对称点，2OD DB =uuu r uuu r，DC 和OA 交于点E ，设OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r .（1）用a r 和b r 表示向量OC uuu r 、DC uuur；（2）若OE OA l =uuu r uuu r，求实数l 的值.【答案】（1）2OC a b =-uuu r r r ，523DC a b =-uuu r r r ；（2）45l =.【解析】（1）由题意知，A 是线段BC 中点，且2233OD OB b ==uuu r uuu r r.2OC OA AC OA BA OA OA OB a b =+=+=+-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r ，()252233DC OC OD a b b a b =-=--=-uuu v uuu v uuu v v v v v v ；（2）()()22EC OC OE a b a a b l l =-=--=--uuu v uuu v uuu v v v v Q v v，由题可得//EC DC uuu r uuu r，且523DC a b =-uuu r r r ，设EC k DC =uuu r uuu r ，即()5223a b k a b l æö--=-ç÷èøv v v v ，则有22513k k l -=ìïí-=-ïî，解得4535k l ì=ïïíï=ïî.因此，45l =.能力提升9．在ABC D 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB y AC x y =+>>uuu r uuu r uuu r ，则12x y+的最小值为（ ）A ．1B ．8C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()20,0AF xAB y AC x y =+>>uuu r uuu r uuu r，且点F 在线段BC 上，则21x y +=，且0,0x y >>，则()1212424448y x x y x y x y x yæö+=++=++³+=ç÷èø.故选：B.10．设向量23m a b =-u r r r ，42n a b =-r r r ，32p a b =+u r r r ，用m u r 、n r表示p u r ，则p =u r ______.【答案】71348m n -+u r r【解析】设(),p xm yn x y =+ÎR u r u r r，则()()()()3223422432a b x a b y a b x y a x y b +=-+-=++--r r r r r r r r ，得243322x y x y +=ìí--=î，解得74138x y ì=-ïïíï=ïî，所以71348p m n =-+u r u r r .故答案为：71348m n -+u r r .11．已知e f v v ，为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足24AB e f BC e f =+=--uuu v uuu v v vv v ，，53CD e f=--uuu v v v （1）将AD 用e f vv ，表示；（2）证明四边形ABCD 为梯形.【答案】（1）82AD e f =--uuu v v v（2）详见解析【解析】（1）(2)(4)(53)AD AB BC CD e f e f e f =++=++--+--uuu v uuu v uuu v uuu v v v v v v v (145)(213)82e f e f =--+--=--r u r r u r（2）因为822(4)2AD e f e f BC =--=--=uuu r r u r r u r uuu r ，即2AD BC =uuu r uuu r，所以AD uuu r 与BC uuu r 同方向，且AD uuu r的长度为BC uuu r 的长度的2倍，所以在四边形ABCD 中，AD BC ∥，且AD BC ¹，所以四边形ABCD 是梯形.素养达成12．设O 为△ABC 内任一点，且满足230OA OB OC ++=uuu v uuu v uuu v v，若D E ，分别是BC CA ，的中点.（1）求证：D E O ，，共线；（2）求△ABC 与AOC △的面积之比. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）如图，22OB OC OD OA OC OE +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，，∵23()2()2(2)0OA OB OC OA OC OB OC OD OE ++=+++=+=uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v v ，即20OD OE +=uuu r uuu r r，∴与OD 与OE 共线，即D E O ，，三点共线.（2）由（1）知2||||OD OE =uuu r uuu r ，∴22112223343AOC COE CDE ABC ABC S S S S S D D D D D ==´=´´=，∴3ABCAOCS S D D =.。
6.3.1 平面向量基本定理课件(共54张PPT)
解 因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以D→C＝A→F＝12A→B＝12b. E→F＝E→D＋D→A＋A→F ＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意 向量； C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋ λ2e2一定在平面α内； D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为 平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为__(－__∞__，__4_)_∪__(_4_，__＋__∞__) _.
解析 若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线. a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2， 所以21≠2λ，得 λ≠4.
跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D ＝b，B→D＝c，则以{a，b}为基底时，A→C可表示为__a_＋__b___， 以{a，c}为基底时，A→C可表示为__2_a_＋__c__.
解析 以{a，b}为基底时，A→C＝A→B＋A→D＝a＋b； 以{a，c}为基底时，将B→D平移，使 B 与 A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得A→C＝2a＋c.
平面向量基本定理(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
2.(多选)如图，设是平行四边形两对角线的交点，有下列向量组，可作为该平面内的其他向量基底的是（ ）.A.与 B.与 C.与 D.与
答案：AC.解：结合图形可知，与不共线，与不共线，∴A、C可以作为基底.B、D两组向量分别共线，故不可以作为基底.
3、在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以
高一数学（人教A版2019必修第二册）
6.3.1平面向量基本定理
【单元目标】（1）理解平面向量基本定理及其意义。（2）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。（3）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。（4）能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个向量的平面夹角。（5）能用坐标示平面向量共线、垂直的条件。
5、课后作业1.习题6.3 1、11（1）2．6.3.1平面向量基本定理（分层作业）（必做题+选做题）
THANKS
“
”
方法规律 平面向量基本定理的作用以及注意点(1) 根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算(2) 基底的选取要灵活，必要时可Байду номын сангаас建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量
1、如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( A )A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
【单元知识结构框架】
教学重点： 平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及平面向量运算的坐标表示。教学难点： 平面向量基本定理唯一性证明。
6-3-1 平面向量基本定理(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
D.
1 4
AB
3 4
AC
解析：如图，由
E
为
AD
的中点，得
AE
1 2
AD
，
EB AB AE AB 1 AD .
2
又
D
为
BC
的中点，
AD
1 2
AB
1 2
AC
，
EB
AB
1 4
AB
1 4
AC
3 4
AB
1 4
AC
.故选
A.
AD 7.如果 e1 ， e2 是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是( )
对于 D，由 AM x AB y AC ，且 x y 1 ，可得 2AM 2x AB 2 y AC ，2x 2y 1 ， 2
设 AD 2AM ，则 AD 2x AB 2 y AC ， 2x 2y 1 ，可知 B，C，D 三点共线，
△MBC
的边
BC
上的高是△ABC
的边
BC
上的高的
BC
4BD
，所以
BD
1 4
BC
1 4
( AC
AB)
1 4
AC
1 4
AB
，
所以 AD AB BD AB 1 AC 1 AB 3 AB 1 AC .
4 4 44
因为
AC
3CE
，所以
AE
2 3
AC
，所以
BE
AE
AB
2 3
AC
AB
.
(2)因为 AM 2 AB 2 AC ，所以 BM AM AB 1 AB 2 AC .
1 4
AB
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高一数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用
学习目标
1.了解平面向量的基本定理及其意义; 2.能够在具体问题中适当的选取基底，使其他
向量能够用基底来表示; 3.理解平面向量共线的条件，会用向量证明简
单的几何问题; 4.核心素养：数学推理、数学抽象、数学运算。
一、回顾旧知
1 2
e1
e2
AE
AE // FC
∵ AE, FC 共线，又无公共点,
AE // FC
变式训练2 用向量方法求证：直径所对的圆周角为直角.
已知:如图，AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.
求证： ∠ABC=90°
证明: 如图 AB AO OB OC OB
BC OC OB
A
AB BC (OC OB) (OC OB)
即 a 1e1 +2 e2
a 1e1 2 e2
a
a
e1
e2
若 a 0, 取 1 2 0, 使 0 1e1 2 e2
若 a 与 e1 (e2 ) 共线，则 2 0 (1 0),
使 a 1e1 2 e2
１.平面向量基本定理 如果e1, e2是同一平面内的两个不共线向量,
那么对于这一平面内的任一向量a, 有且只有
OM 1OA 1e1 ON 2OB 2 e2
OC 1e1 2 e2
即 a 1e1 +2e2
给定平面内两个不共线的向量 e1 、e2
可表示该平面内任一向量 a吗？
N
A B
e1
e2
a
e1
e2
C
O
a
如图 OC OM ON
M
OM 1OA 1e1 ON 2 OB 2 e2
OC 1e1 2 e2
一对实数1，2 , 使
a 1e1 2 e2
若e1, e2不共线,我们把 e1, e2 叫做表示这
一平面内所有向量的一个基底.
设e1,e2不共线,且a x1e1 y1e2,b x2e1 y2e2,
若a
b,
则有
x1 y1
x2 y2
.
四、巩固新知
例1. 如图,OA,OB不共线,且AP t AB(t R),
3
方法一：设BP PN
9
0 ,得BP
BN
9
AN AB ,
1+ 1+
则AP
AB
BP
1
1+
AB
1+
AN , m8 9
1
1+ 1+
解得
m
8 1 9
方法二：又B、P、N三点共线，由三点共线的性质定理可知
m 1 1,m 1
8
9
例2.如图6.3-5，CD是ABC的中位线，CD 1 AB, 2
用向量的方法证明ABC是直角三角形.
证明：如图6.3 6,设CD=a, DA=b,
C
则CA=a+b，DB=-b，于是CB=a-b.
2
2
CACB
a+b
a-b
a b .
向量的数量积
A
因为CD= 1 AB, 2
是否为零，是判 断相应的两条线
所以CD DA
段（或直线）是 否垂直的重要方
因为a2 CD2 , b2 D法之A一2 ,.
OP mOA (1 m)OB
即,OP OB m(OA OB)
其逆命题是否成立？
得, BP mBA
即：已知O、A、B三点不共线， 若OP mOA nOB,且m n 1
BP // BA
则A、P、B三点共线
B是公共点,所有A, P, B三点共线.
2.平面内三点共线的一个充要条件
若O、A、B三点不共线， 则P、A、B三点共线的充要条件为：
OP mOA nOB, m, n R且m n 1
变式训练1:
在ABC中, AN 1 NC, P是BN上一点,若AP mAB 2 AC,
3
A9
A 则实数m的值为( )
N
A. 1 B. 1 C.1 D.3 B
PC
9
3
解： AN 1 NC, AP m AB 2 AC, AP m AB 8 AN ,
D
P、Q、E分别是线段 AC、BD、AB 的中点
P
Q
PE 1 a , EQ 1 b,
2
2
A
E
B
PQ PE EQ 1 a 1 b. 22
拓展训练4
(1)小明从A到B,再从B到C,则他两次的位移之和是：
AB BC AC 三角形法则
D
首尾相接，由首至尾
C
AB AD AC 平行四边形法则
A
共起点
B
(2)向量共线定理：
如果有一个实数，使b a(a 0),
那么b与a是共线向量；
反之，如果b与a a 0 是共线向量，
那么有且只有一个实数，使b= a.
OC 2 OB 2 0
B O
C
图 2.5-4
AB BC
利用向量的数量积可解决
即ABC 90 长度、角度、垂直等问C与BD
的中点，BC a, DA b,并且a,b不是共线向量，
试用基底a, b表示向量PQ. 解法一： PQ PA AD DQ
用OA,OB表示OP. P
解： AP t AB
B
OP OA AP
OA t AB
A
OA t(AO OB) O
OA tOA tOB
(1 t)OA tOB
解题反思： 本题的实质是：已知O、A、B
三点不共线，若点P在直线AB上 则OP mOA nOB,且m n 1
OP mOA nOB, m n 1
D
B
图6.3-5
C
所以CA CB 0
A
因此CA CB
于是ABC是直角三角形.
D
B
图6.3-6
变式训练2: ABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，
e 试判断AE,CF是否平行？
D
2
E
C
解：取基底 AB e1, AD e2
则有 AE AD DE A
e2
1 2
e1
F e1 B
FC
FB
BC
二、探究新知
给依定照平速面度内的分两解个，不平共面线内的任向一量向量e1 、a e2
可可表作示怎该样平的分面解内呢任？一向量 a吗？
平行四边形法则
≈
a
e2
e2
e1
a
e1
e2
e1
给定平面内两个不共线的向量 e1 、e2
可表示该平面内任一向量 a吗？
M
C
a
e1
e2
如图 OC OM ON
Aa
e1
O e2 N B
PQ PC CB BQ
C D
P
Q
2PQ AD CB a b A
B
PQ 1 a 1 b 22
拓展训练3
设P, Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD
的中点，BC a, DA b,并且a,b不是共线向量，
试用基底a, b表示向量PQ.
C
解法二：取AB的中点 E,连接 PE、QE，