平面向量基本定理03913
平面向量的基本定理
2.3 平面向量的基本定理极坐标表示2.3.1平面向量的基本定理班级： 姓名： 编者：兰学琴 高一数学备课组 问题引航1. 平面向量基本定理的内容是什么？2. 基底的概念是什么？平面中的基底唯一吗？3. 两向量的夹角是如何定义的？怎样求两向量的夹角？ 自主探究1.平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1和λ2，使得 ，其中把不共线的向量1e 和2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．基底不唯一。
2. 两向量的夹角（1）定义：如图，作OA a = ，OB b = ，则 叫做向量a 与b 的夹角。
（2）特例：当0θ= 时，a 与b 当90θ= 时，a 与b 当180θ= 时，a 与b 互动探究例1.已知向量1e ，2e ，求作向量-2.51e +32e当堂检测1.如图2.3-4在矩形ABCD 中，若BC =51e ,DC =32e ,则OC =( )A.21( 51e +32e )B.21( 51e -32e ) C.21( 32e -51e ) D.21( 52e -31e ) 2.设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（ ）A. 1e ，2e B . 1e +2e ，31e +32eC. 1e ，52eD. 1e ，1e +2e3.若向量a ，b 的夹角为30 ，则向量a - ，b - 的夹角为 （ ）A. 30B. 120C. 150D. 30-4. 如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t ∈R)用OA ，OB 表示OP .作业1、如图，平行四边形ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b 表示MA ，MB ，MC 和MD . 自我评价你对本节课知识掌握的如何 （ ）A.较好B.好C.一般D.差。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示【知识梳理】一、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)设OA ＝x i ＋y j ，则向量OA 的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标，即若OA ＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立．(O 是坐标原点)二、平面向量坐标运算:1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模:设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．2．向量坐标的求法:(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.三、平面向量共线的坐标表示:设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.【基础自测】 1．若向量AB ＝(1,2)，BC ＝(3,4)，则AC ＝______解析： ∵AC ＝AB ＋BC ，∴AC ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于________解析：选A 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)．3．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是__________ 解析：∵A (4,1)，B (7，－3)，∴AB ＝(3，－4)，∴与AB 同向的单位向量为AB |AB |＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________. 解析：AD ＝BC ＝AC －AB ＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，BD ＝AD －AB ＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB＝a ，AD ＝b .若MN ＝m a ＋n b ，则n m＝________. 解析：∵MN ＝MD ＋DA ＋AN ＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1.∴n m＝－4. 【说明】 1.基底的不唯一性: 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．【考点探究】 【考点探究一】平面向量基本定理及其应用[例1] 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD ＝a ，AB ＝b ，若AB ＝2DC ，则AO ＝________(用向量a 和b 表示)．[解] ∵AB ＝2DC ，∴△DOC ∽△BOA ，且OC OA ＝12，∴AO ＝23AC ＝23(AD ＋DC )＝23⎝⎛⎭⎫a ＋12b＝23a ＋13b .【由题悟法】用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．【以题试法】1．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为_______解析： 设CM ＝m CB ＝m (AB －AC )(0≤m ≤1)，则AM ＝AC ＋CM ＝(1－m ) AC ＋m AB ，AN ＝12AM ＝m 2AB ＋1－m 2AC ，所以λ＋μ＝m 2＋1－m 2＝12. 【考点探究二】平面向量的坐标运算[例2] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c .①求3a ＋b －3c ；②求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．②∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. 【一题多变】本例中第(2)题增加条件CM ＝3c ，ON ＝2b ，求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．解：∵CM ＝OM －OC ＝3c ，∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M (0,20)．又∵CN ＝ON －OC ＝－2b ，∴ON ＝－2b ＋OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)．∴MN ＝(9，－18)．【由题悟法】 1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[注意] 向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．【以题试法】2．已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π12x 的图象上，则实数λ的值为________．解析：由题意得OC ＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)，故点C 的坐标为(6,4＋2λ)，根据条件得4＋2λ＝sin 6π12＝1，解得λ＝－32. 【考点探究三】平面向量共线的坐标表示[例3] (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝_____[解] 可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12. 【一题多变】在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a ＋λb 和a －λc 平行？若平行， 是同向还是反向？ 解：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，a －λc ＝(1－3λ，2－4λ)，若(a ＋λb )∥(a －λc )，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0.∴λ＝1.∴a ＋λb ＝(2,2)与a －λc ＝(－2，－2)反向．即存在λ＝1使a ＋λb 与a －λc 平行且反向．【由题悟法】a ∥b 的充要条件有两种表达方式(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb (λ∈R )；(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b ≠0，而第(2)种无b ≠0限制．【以题试法】3．(1)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝___________ 解析：由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12. (2)已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2 ;B ．λ－μ＝1 ;C ．λμ＝－1 ;D ．λμ＝1解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB ＝t AC ，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝μt ，即λμ＝1. 【巩固练习】1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC 等于_________解析： BC ＝3PC ＝3(2PQ －PA )＝6PQ －3PA ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝____________解析：由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3.如图所示，向量OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，A ，B ，C 在一条直线上，且AC ＝－3CB ，则( )A ．c ＝－12a ＋32b ;B ．c ＝32a －12b ; C ．c ＝－a ＋2b ; D ．c ＝a ＋2b解析：选A ∵AC ＝－3CB ，∴OC －OA ＝－3(OB －OC )．∴OC ＝－12OA ＋32OB ，即c ＝－12a ＋32b . 4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)．给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ；③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA .其中正确的结论的个数是___________解析：3个 ∵OC ＝(－2,1)，BA ＝(2，－1)，∴OC ∥BA ，又A ，B ，C ，O 不共线， ∴OC ∥AB .①正确；∵AB ＋BC ＝AC ，∴②错误；∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB ，∴③正确；∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC ＝(－4,0)，∴④正确．5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ、μ为实数)，则m 的取值范围是__________________解析：由题意知向量a ，b 不共线，故m ≠3m －22，解得m ≠2. 答案(－∞，2)∪(2，＋∞) 6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝____________解析：由已知得DE ＝13EB ，又∵△DEF ∽△BEA ，∴DF ＝13AB . 即DF ＝13DC .∴CF ＝23CD . ∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC )＝23⎝⎛⎭⎫12b －12a ＝13b －13a . ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b . 7．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________. 解析：a －2b ＝⎝⎛⎭⎫8－2x ，x 2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫x 2－2·(16＋x )，整理得x 2＝16，又x >0，所以x ＝4.8． P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q =_____．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． 9．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ，AC 不共线．∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.10．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC . ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)． 11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求：(1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．12．已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB .(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．解：(1) OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．。
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
平面 向量基本定理
平面向量基本定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量基本定理是解析几何中的一个重要定理，它是平面向量运算的基础，也是矢量分析的核心概念之一。
在平面几何中，研究平面向量的性质和应用是非常重要的，通过掌握平面向量基本定理，可以更好地理解和解决平面几何中的各种问题。
平面向量基本定理是指，在平面直角坐标系中，两个不共线的向量可以唯一确定一个平面，并且这个平面也能确定这两个向量。
换句话说，如果在平面直角坐标系中给定两个不共线的向量a和b，那么这两个向量确定的平面就是以这两个向量为基底的平面，任意一个平面向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合。
下面我们来详细解释一下平面向量基本定理的内容和应用。
我们知道，在平面直角坐标系中，每个向量都可以表示为一个有序对(a,b)，其中a和b分别是向量在坐标系的x轴和y轴上的分量。
向量a可以表示为(a1,a2)，向量b可以表示为(b1,b2)。
两个向量的和是它们对应分量的和，两个向量的数量积是它们对应分量的乘积之和。
根据向量的加法和数量积的定义，我们可以得出平面向量加法的交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，以及数量积的分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。
这些性质是平面向量基本定理的重要基础。
根据平面向量基本定理，我们可以推导出平行向量的性质。
如果两个向量a和b平行，那么它们的数量积等于它们的模长乘积。
即a·b=|a|*|b|*cosθ，其中θ是a和b之间的夹角。
这个公式是计算两个向量夹角的重要方法之一，也是解决平面向量问题的关键步骤之一。
根据平面向量基本定理，我们还可以推导出向量的线性相关性和线性无关性的概念。
如果两个向量a和b线性相关，那么存在不全为零的实数k，使得a=k*b或者b=k*a。
反之，如果不存在这样的实数k，那么向量a和b就是线性无关的。
通过判断向量的线性相关性和线性无关性，我们可以确定向量组的秩，从而求解平面向量的线性组合问题。
知识讲解_平面向量的基本定理及坐标表示_基础
平面向量的基本定理及坐标表示【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【要点梳理】要点一：平面向量基本定理 1．平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+，称1122e e λλ+为12,e e 的线性组合.①其中12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果1122a e e λλ=+且''1122a e e λλ=+，那么1122λλλλ''=,=.③当基底12,e e 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.2．如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量1e 、 2e ，平面上的任何一个向量a 都可以用1e 、 2e 唯一表示为a =1λ1e +2λ2e ，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有1e 、 2e 的代数运算．要点二：向量的夹角已知两个非零向量a 与b ，在平面上任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则00(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做a 与b 的夹角，记为〈a ，b 〉．当向量a 与b 不共线时，a 与b 的夹角()000,180θ∈；当向量a 与b共线时，若同向，则00θ=；若反向，则0180θ=，综上可知向量a 与b 的夹角000,180θ⎡⎤∈⎣⎦．当向量a 与b 的夹角是90，就说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． 要点诠释：（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题．（2）向量a ⊥b 是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直． 要点三：平面向量的坐标表示 1．正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 要点诠释：如果基底的两个基向量1e 、2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2．平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面上的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ，使得a =x i +y j .这样，平面内的任一向量a 都可由,x y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =(,)x y ，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．把a =(,)x y 叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．要点诠释：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即12a b x x =⇔=且12y y =，其中1122(,),(,)a x y b x y ==．（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若(2,3)A ，(5,8)B ，则(3,5)AB =；若(4,3)C -，(1,8)D -，则(3,5)CD =，AB CD =，显然A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同．（3）(,)x y 在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 要点四：平面向量的坐标运算1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算运 算坐标语言加法与减法记OA --→=(x 1，y 1)，OB --→=(x 2，y 2)OA OB +=(x 1+x 2，y 1+y 2)，OB OA -=(x 2-x 1，y 2-y 1)实数与向量的乘积记a →=(x ，y)，则λa →=(λx ，λy)2．如何进行平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示 1．平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，或x 1y 2-x 2y 1=0.要点诠释：若()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →不能表示成,2121y y x x =因为分母有可能为0. 2.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y AB --→=(x 2-x 1，y 2-y 1)，AC --→=(x 3-x 1，y 3-y 1)，若21313121()()()()0,x x y y x x y y -----=则A ，B ，C 三点共线. 【典型例题】类型一：平面向量基本定理例1．如果1e 、2e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） ①12e e λμ+(,R)λμ∈可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个；③若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使得11122122()e e e e λμλλμ+=+；④若实数λ，μ使得120e e λμ+=，则0λμ==． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．② 【思路点拨】考查平面向量基本定理． 【答案】 B【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当向量1112e e λμ+与2122e e λμ+均为零向量，即12120λλμμ====时，满足条件的实数λ有无数个．故选B ．【总结升华】考查两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．例2．如图所示，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为邻边的平行四边形，C 为对角线的交点．又13BM BC =，13CN CD =，试用a ，b 表示OM ，ON ．【解析】 由题意，得OB BA OA +=，所以BA a b =-， 则1()2BC a b =-，11()36BM BC a b ==-， 115()666OM OB BM b a b a b =+=+-=+．144122()333233ON OC CN OC CD OC a b a b =+=+==⨯+=+．【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．举一反三：【变式1】如图，在ABC ∆中，:1:2OA a OB b BE EA ===，，，F 是OA 中点，线段OE 与BF 交于点G ，试用基底,a b 表示： （1）OE ；（2）BF ；（3）OG .【解析】（1）OE OB BE =+=13b BA +=1()3b OA OB +-=1()3b a b +-=1233a b +（2）BF OF OB =-=1122OA b a b -=-（3）在OAE ∆中，取13MN BA =//FM OE ∴1||||2FM OE ∴=同理：//GE FM1||||2GE FM =∴G 是BF 的中点1()2OG OB OF ∴=+ =111222b a +⋅=1142a b +类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 例3．设两个非零向量1e 和2e 不共线．（1）如果12AB e e =-，1232BC e e =+，1282CD e e =--，求证：A 、C 、D 三点共线；（2）如果12AB e e =+，1223BC e e =-，122CD e ke =-，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值． 【思路点拨】向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．【解析】（1）证明：12AB e e =-，1232BC e e =+，1282CD e e =--，1212114(82)22AC AB BC e e e e CD =+=+=---=-，∴AC 与CD 共线．又∵AC 与CD 有公共点，∴A 、C 、D 三点共线． （2）121212()(23)32AC AB BC e e e e e e =+=++-=-， ∵A 、C 、D 三点共线，∴AC 与CD 共线，从而存在实数λ使得AC CD λ=， 即31e ―22e =λ(21e ―k 2e )，由平面向量的基本定理，得322kλλ=⎧⎨-=-⎩，解之得32λ=，43k =．【总结升华】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．举一反三：【变式1】设1e ，2e 是平面内的一组基底，如果124AB e e =-，12BC e e =+，1269CD e e =-，求证：A ，C ，D 三点共线．【解析】 因为1212121(4)()233AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=，所以AC 与CD 共线． 类型三：平面向量的正交分解例4．如下图，分别用基底i ，j 表示向量a 、b 、c ，并求出它们的坐标．【解析】 由图可知23a OA OB i j =+=-+，∴a =（―2，3）．同理可知b =3i +4j =（3，4）．c =4i ―4j =（4，―5）．举一反三：【变式1】已知O 是坐标原点，点M 在第二象限，||63OM =xOM=120°，求OM 的坐标． 【解析】设M （x ，y ），则60x =-︒=-609y =︒=，即(M -，所以(OM =-．【总结升华】向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，对此要从两个方面加深理解：一是相等向量的坐标相同；二是当向量的起点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．类型四：平面向量的坐标运算例5．已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----，且3,2,CM CA CN CB ==求M 、N 及MN 的坐标. 【思路点拨】根据题意可设出点M 、N 的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标. 【解析】(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----(1,8),(6,3).3(3,24),2(12,6).CA CB CM CA CN CB ∴==∴====设(,)M x y ，则(3,4)(3,24),CM x y =++=33,0,,(0,20).424,20x x M y y +==⎧⎧∴∴∴⎨⎨+==⎩⎩同理可求(9,2)N ，因此(9,18).MN =-(0,20),(9,2),(9,18).M N MN ∴=-【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.举一反三：【变式1】 已知点)8,2(),2,1(B A -以及11,,33AC AB DA BA ==-求点C ，D 的坐标和CD 的坐标. 【解析】设点C 、D 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由题意得1122(1,2),(3,6),(1,2),(3,6).AC x y AB DA x y BA =+-==---=-- 因为11,,33AC AB DA BA ==-，所以有1111,22x y +=⎧⎨-=⎩和2211,22x y --=⎧⎨-=⎩，解得110,4x y =⎧⎨=⎩和222,0x y =-⎧⎨=⎩所以点C 、D 的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而(2,4).CD =--类型五：平面向量平行的坐标表示例6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D （1，2），M 、N 分别为DC 、AB 的中点，求AM 、CN 的坐标，并判断AM 、CN 是否共线．【解析】 已知A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D （1，2），又M 、N 分别为DC 、AB 的中点，∴由中点坐标公式可得M （2.5，2.5），N （1.5，0.5），∴(2.5,2.5)AM =，( 2.5, 2.5)CN =--， 其坐标满足2.5×(―2.5)―2.5×(－2.5)=0， ∴AM 、CN 共线．【总结升华】求出两向量的坐标，验证x 1y 2－x 2y 1=0即可． 举一反三：【变式1】向量(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ 【解析】 (,12)(4,5)(4,7)BA PA PB k k =-=-=-，(,12)(10,)(10,12)CA PA PC k k k k =-=-=--．∵A 、B 、C 三点共线，∴//BA CA ，即(k ―4)(12―k)―(k ―10)×7=0． 整理，得k 2―9k ―22=0．解得k 1=―2或k 2=11． ∴当k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【总结升华】以上方法是用了A 、B 、C 三点共线即公共点的两个向量BA ，CA 共线，本题还可以利用A 、B 、C 三点共线6(1)11PB PA k λλλ=-⎧⇔=+-⇔⎨=⎩或122k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即得k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【变式2】已知向量a =（1，2），b =（1，0），c =（3，4）．若λ为实数，（a +λb ）∥c ，则λ=（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 【答案】B例7．如图，已知点A （4，0），B （4，4），C （2，6），求AC 与OB 的交点P 的坐标．【解析】方法一：由O 、P 、B 三点共线，可设(4,4)OP OB λλλ==， 则(44,4)AP OP OA λλ=-=-．(2,6)AC OC OA =-=-，由AP 与AC 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)=0，解得34λ=， 所以3(3,3)4OP OB ==．所以P 点坐标为（3，3）． 方法二：设P （x ，y ），则(,)OP x y =， 因为(4,4)OB =，且OP 与OB 共线，所以44x y=，即x=y ． 又(4,)AP x y =-，(2,6)AC =-，且AP 与AC 共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)=0，解得x=y=3，所以P 点坐标为（3，3）．【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． 举一反三：【变式1】如图，已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（―2，1）、（―1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标．【解析】设顶点D 的坐标为（x ，y ）．∵(1(2),31)(1,2)AB =----=，(3,4)DC x y =--． 由AB DC =，得（1，2）=（3―x ，4―y ）．∴1324x y =-⎧⎨=-⎩，∴22x y =⎧⎨=⎩．∴顶点D 的坐标为（2，2）．。
平面向量基本定理概念
平面向量基本定理概念
平面向量基本定理也被称为平面向量基本等式，它是平面向量基本运算定律之一，描述了平面向量的加法和乘法运算的关系。
平面向量基本定理可以表述为：对于任意两个平面向量 a 和 b，有以下等式成立：
a +
b = b + a （向量的加法交换律）
a + (
b + c) = (a + b) +
c （向量的加法结合律）
k(a + b) = ka + kb （给向量的加法分配律）
(a + b)·c = a·c + b·c （向量的点乘分配律）
其中，a、b、c 是平面向量，k 是实数。
这些定理告诉我们，在平面向量的加法和乘法运算中，满足交换律、结合律和分配律，可以随意改变运算的顺序，但运算结果不会改变。
平面向量基本定理在平面向量的运算和推导中起到了重要的作用，使得我们可以简化计算，并且轻松地推导出一些重要的结论和性质。
平面向量的基本定理
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华笼罩它/它居然白骨生肉/ 到马开の面前/很快站着壹佫苍白の修行者/ "这///" 马开震撼の咯/被面前の人震动/白骨生肉/这确定何等恐怖の手段?唯有圣者才能做到/ 难道说/面前站着の确定圣者? 但很快马开就摇摇头/这绝对抪确定圣者/要确定圣者の话/以它现到の实力根 本难以靠近/对方只要震动出壹股意境/就能把它轰出去/ 可确定抪确定圣者/面前站着の人确定什么? "抪确定活人/"马开出来咯/面前站着の人面色苍白/眼眸无光/身上没有生机/唯有阴风死气/显然确定壹佫死人/ 马开站到它面前/感觉到壹股气势锁定它/这股气势十分惊人/让 马开都倍感压力/ "好恐怖の气势/"马开心中震动/抪知道这白骨组成の人怎么会有这样恐怖の气势/这股气势威压而下/马开觉得呼吸困难/ "能有这种气势/就算抪确定少年至尊级の存到/也堪比咯/这抪过确定白骨组成の?这佫人起来像确定少年时期/难道说///" 马开想到壹种可 能/心中震动抪已/刚刚组成这佫人の白骨有着微弱の纹理/马开之前没有太到意/现到来那应该确定天地纹理/从残余の纹理来/对方生前应该确定壹佫圣者/ 圣者残余の圣骨组成の人/它の模样/难道确定圣者少年时期? 这佫可能到时抪奇怪/只确定它想要做什么? 很快它就给咯马 开解释/对方直接攻击向马开/出手霸道恐怖/壹拳砸出去/带着破空之声/强势无比/ 马开身影赶紧闪开/望着空间爆裂/它倒吸咯壹口凉气/就算以它此刻の肉身/被轰到身上都要重伤/ "有圣者少年时期の战斗力/" 马开望着面前の战斗力/心中震动/没有想到这白骨组成の人居然还 有这样の战斗力、 能成为圣者の存到/年少时期都确定恐怖非凡の人物/每壹佫都确定人杰/确定天之骄子/它们惊艳过世间/这样の存到/马开抪敢袅视/ 特别确定这些白骨所化の少年
平面向量基本定理-完整版课件
中不能作为基底的是
()
A．{e1，e2}
B．{e1＋e2,3e1＋3e2}
C．{e1,5e2}
D．{e1，e1＋e2}
[名师点津]
1．平面向量基本定理包括两个方面的内容：一是存在性，即 存在实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2；二是唯一性，即对任意 向量a ，存在唯一实数对λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.
[问题探究] 1.如图所示，OM∥AB，点P在由射线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影 区域内(不含边界)运动，且―O→P ＝－12―O→A ＋m―O→B ，求实数m的取值范围．
[迁移应用] 如图所示，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD(含 端点)上运动，P 是圆 Q 上及其内部的动点， 设向量―A→P ＝m―A→B ＋n―A→F (m，n∈R )，则
提示：都能． 2．基底是否是固定不变的？
提示：不是．
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．( )
(2)基底中的向量可以是零向量．
()
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线
性分解形式也是唯一确定的．
()
2．设e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则以下各组向量
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否 共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都 可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个
不共线的向量，若x1a ＋y1b ＝x2a ＋y2b ，则x1＝x2且y1＝y2. [提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同
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2.3.1平面向量基本定理
学习目标：
1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.
2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.
3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角.
学习重点：平面向量基本定理
学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角.
课上导学：
［基础初探］
教材整理1平面向量基本定理
阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题.
1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________
2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一
组基底.
判断(正确的打“，错误的打“X” )
(1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所
有向量的基底.()
(2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.()
(3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( )
教材整理2两向量的夹角与垂直
阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题.
1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ =
B叫做向量a与b的夹角.
(1)范围：向量a与b的夹角的范围是____________
(2)当0= 0°寸，a 与b__ ;当0= 180°时，a 与b _____ .
2. ____________________________ 垂直：如果a与b的夹角是___________________________________ ，我们说a与b垂直，记作_______
［小组合作型］
类型一：用基底表示向量
（1）已知AD是厶ABC的BC边上的中线，若AB= a, AC= b,则AD =（）
1 1 1 1
A . 2（a—b） B. —2（a—b）C. —2（a + b）
D. 2（a + b）
（2）如图设点P, Q是线段AB的三等分点，若OA= a, OB = b,
则OP= ________ , OQ= _________ .用a, b 表示）
［再练一题］
1已知△ ABC中，D为BC的中点，E, F为BC的三等分点, 若AB= a, AC= b用a, b表示AD, AE, AF.
类型二：向量的夹角问题
(1)已知向量a，b，c 满足|a|= 1, |b| = 2, c= a + b, c丄a,则a, b 的夹角等于________ .
(2)若0, b z0,且|a|=|b|=|a—b|,求a 与a+ b 的夹角.
［再练一题］
2.已知|a|= |b|= 2,且a与b的夹角为60° 则a+ b与a的夹角是,
a —b与a的夹角是____________________ .
［课堂回馈］
1. 已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内
所有向量基底的是( )
A . AB, DC B. AD,
B
C C. BC, CB D. AB, DA
2. 已知向量a= e i—2e2, b = 2e i + e?,其中e i, e?不共线，则
a+ b与c= 6e i —2e2的关系是()
A .不共线
B .共线C.相等D.不确定
3. 如图2- 3-8,在矩形ABCD 中，若BC= 5e i, DC = 3e2, 则OC=()
A . 2（5e i + 3e2） B. 2（5e i —3良）C. 2（3e —5e i） D. 2（5e —3e i）
4. （2016福州市八县一中高一联考）已知A, B, D三点共线，且对任一点c，有CD=£C A+ CB,贝S x =（）
2 1 1 2
A. 3
B.3
C.-3
D. — 3
5. 已知e i, e是平面内两个不共线的向量，
a = 3e i—2e?, b=—2e i + e2, c= 7e i —4e?，试用向量 a 禾口
b 表示 c.。