平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
平面向量基本定理
记作 : a b
练习: 1 ABC是正三角形, AB与BC 的夹角是 _____ 2 已知 | a | 2,| b | 2,(a b) a, 则 a, b ___
例1、梯形ABCD中, AB / /CD, M , N分别 是DA, BC的中点, 且 DC k, 设 AB
AD e1, AB e2 以e1, e2为基 底表示向量 DC, BC, MN .
e
,e
来表示吗？
12
一、平面向量基本定理：
如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数
使
a 1 e1 2 e2
1
, 2
,
我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底.
特别地 当a 0,即1e1+2e2 =0 1=2 =0
(e1 e2 )
思考：
在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序 实数（坐标）表示。那么，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
设i1, j2分别与x轴、y轴方向相同的单位向量
a xi y j (x, y)
i (1,0) j (0,1)
y
ja
j
O
i
i
x
例3、写出图中向量a、 b、 c、 d 的 坐标
在向量加法的平行四边形法则中, a e e , a 可看
1
2
作是 e , e 的合成 ; 反过来, 也可看成是 a 的分解 .
1
2
e
aee
1
2
1
e 2
问题：1) 是不是每一个向量都可分解成两个不共线
的向量之和？这样的分解是否唯一？
2)
向量基本定理证明
向量基本定理证明一、向量基本定理内容1. 平面向量基本定理- 如果e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ_1，λ_2，使a = λ_1e_1+λ_2e_2。
其中{e_1,e_2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
2. 空间向量基本定理- 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p = xa+yb + zc。
{a,b,c}叫做空间的一个基底。
二、平面向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量。
- 过向量a的起点O作平行于e_1，e_2的直线，与e_1，e_2所在的直线分别交于A，B两点。
- 因为e_1≠0，设→OA=λ_1e_1，同理设→OB=λ_2e_2。
- 根据向量加法的平行四边形法则，a=→OA+→OB=λ_1e_1+λ_2e_2。
2. 唯一性证明- 假设a=λ_1e_1+λ_2e_2=μ_1e_1+μ_2e_2，其中λ_1,λ_2,μ_1,μ_2∈ R。
- 则(λ_1 - μ_1)e_1+(λ_2-μ_2)e_2 = 0。
- 因为e_1，e_2不共线，所以λ_1-μ_1 = 0且λ_2-μ_2 = 0，即λ_1=μ_1，λ_2=μ_2。
三、空间向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设a，b，c是不共面的三个向量，p是空间任一向量。
- 把向量a，b，c，p的起点都移到同一点O。
- 过点P作直线PP_1平行于c，且与平面OAB交于点P_1。
- 在平面OAB内，过点P_1作直线P_1P_2平行于b，交OA于点P_2。
- 过点P_2作直线P_2P_3平行于a，交OB于点P_3。
- 设→OP_3=x a，→P_3P_2=y b，→P_2P_1=z c。
- 由向量加法的三角形法则可得p=→OP=→OP_3+→P_3P_2+→P_2P_1=xa + yb+zc。
平面向量的基本定理及坐标表示 课件
d
a AB (4,5) (2,2) (2,3)
yj
a (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作
j
x a (x, y)
O
x叫做 a 在x轴上的坐标，
i xi
y叫做 a 在y轴上的坐标，
正交单位
基底
(1)向量
i ,
j
方向 与
(x,y)叫做向量的坐标表示.
x 轴y轴同向,且 i 1,0 j 0,1
i j 1, i 与j垂直
a （2）对于给定向量 ,必有一对实数（x,y）与它对应；
思考？ 在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
平面向量的正角分解及坐标表示.
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力
为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力
为F2，这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
物理背景:
F1
向量的
G
F2
正交分解
三.平面向量的正角分解及坐标表示.
y
a xi +y j
一、平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的 一组基底 .
说明： 1、把不共线的非零向量 e1,e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.
两个非零向量 a，b
B
b
AOB 叫做向量
O aA
a 和 b 的夹角．注意:同起点
夹角的范围：(0 180 ) B
a
ObB
0
a
平面向量的基本定理及坐标运算
一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。
(完整版)平面向量基本定理
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
C C'
1200
60
A
B
1. 平面向量基本定理 2.平面向量基本定理的应用 3.向量的夹角与垂直 4.转化思想方法及其应用
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
向量的正交分解
ur uur
一一、般地数,乘实数的定与义向量：a 的积是一个向量,记作:a
它的长度和方向规定如下:
(1)| ar (2)当
当 (3)当
||
0
0 0
时时时|| a,,r,或|;aaa的的方方0向向时与与, aaa
的方向相同; 的方向相同;
0
二(((213))、)第结第数一合二乘分 律分的配:配律律运::算(律((ar：ar )b)rar) (ara)rararbr
（2）定理中向量a 是任一向量，实数1与唯2 一.
（3）1e1 叫2 e做2 向量 关于a 基底 的e分1 , 解e2 式. (4)基底给定时,分解形式唯一.
典
基底的概念
例 【例1】若向量a，b不共线，且c 2a b,d 3a 2b,试判断
精 向量c 与d 能否作为基底.
反 (2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y＝________.
馈
3.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起， 若A→D＝xA→B＋yA→C，则 x＝_______，y＝______.
知识点二、向r 量的r 夹u角uur 与r垂直: B
两个非零向量 a 和 b ,作OA a ， b
D.A→B，D→A
巩 2.若点o是平行四边形ABCD 的中心，AB 4e1 ,BC 6e2 ,
平面向量的基本定理
DM C
A
N
B
解析：设AB = e1,AD = e2,则有：
DC
=
1
2 AB
=
12e1
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC
= e2
- e1+
1 2
e1=
-
1 2
e1
+
e2
MN = DN-DM
DM C
2=0（1=0），使得: a = 1e1 + 2e2 .
例1、已知向量e1、e2，求作 2.5e1 3e2.
C
B
e2
A e1 2.5e1
3e2
·O
例2、如图所示，平行四边形ABCD
的两条对角线相交于点M，且AB
a ，AD b，用a、b表示MCA、MB、MC、
MD.
D
C
M
A
e1 A
·O
B
例3、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别
平面向量基本定理
1、向量加法的平行四边 形法则
2、共线向量的基本定理
设e1、e2是同一平面内的两个 不共线向量，a是这一平面内
的任意向量，我们研究a与e1 、e2之间的关系.
e1
a
e2
OC = OM + ON =1OA + 2OB
即 a = 1e1+ 2e2 .
e1 a
e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
解： A、B、D三点共线
AB与BD共线,则存在实数
平面向量基本定理及坐标表示知识点
平面向量基本定理及坐标表示知识点一、平面向量基本定理。
1. 定理内容。
- 如果B e_1,B e_2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量B a，有且只有一对实数λ_1,λ_2，使B a=λ_1B e_1+λ_2B e_2。
其中B e_1,B e_2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2. 基底的要求。
- 不共线：这是基底的重要条件。
若两个向量共线，则不能作为基底来表示平面内的所有向量。
例如，在平面内，如果B e_1与B e_2共线，那么对于与B e_1不共线的向量B a，就无法用B e_1和B e_2的线性组合来表示。
3. 唯一性。
- 对于给定的基底B e_1,B e_2和向量B a，实数对λ_1,λ_2是唯一确定的。
这可以通过反证法来证明，如果存在两组不同的实数对(λ_1,λ_2)和(μ_1,μ_2)使得B a=λ_1B e_1+λ_2B e_2=μ_1B e_1+μ_2B e_2，那么(λ_1-μ_1)B e_1+(λ_2-μ_2)B e_2=B0，由于B e_1,B e_2不共线，所以λ_1=μ_1且λ_2=μ_2。
二、平面向量的坐标表示。
1. 向量的坐标定义。
- 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量B i,B j 作为基底。
对于平面内的一个向量B a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y，使得B a=x B i+y B j，我们把有序数对(x,y)叫做向量B a的坐标，记作B a=(x,y)。
2. 坐标运算。
- 加法运算：若B a=(x_1,y_1)，B b=(x_2,y_2)，则B a+B b=(x_1+x_2,y_1+y_2)。
- 减法运算：若B a=(x_1,y_1)，B b=(x_2,y_2)，则B a-B b=(x_1-x_2,y_1-y_2)。
- 数乘运算：若B a=(x,y)，λ∈ R，则λB a=(λ x,λ y)。
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作法： 1、任取一点O作OA = -2.5 e1 OB = 3 e2 2、以OA,OB为邻边作 OACB 3、OC为所求
A
-2.5 e1
o
例2. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交 于M，设 AB a ， AD b ，试用基底{a，b} 表示 MA, MB任意两点，O是l外一点， 求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使 OP 关于基底{ OA, OB }的分解式为
a1e1+a2e2=xe1+ye2, (x－a1)e1+(y－a2)e2=0
N
A
e2 O e1
M
我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内 所有向量的一组基底，记为{e1，e2}， a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的
分解式。
例1 已知：向量 e1 ，e2
e1 e2
求作：向量 -2.5 e1 + 3e2
由此可知,对直线l上任意一点P,一定存在唯一的实数t 满足向量等式(1);反之,对每一个实数t,在直线l上都有 唯一的一个点P与之对应.向量等式(1)叫做直线l的向量 参数方程式,其中实数t叫做参变数,简称参数. 1 令t= 2 , 点M是AB的中点，则
1 OM (OA OB ) 2
特征： OA 与OB 的系数之和是1 用途： 判断点P在直线AB上，即是判定 三点共线的依据。
2.已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
DC,BC的中点且 AM c, AN d ，用 c, d 表示 AB, AD . 解：设 AB a, AD b
A
4 2 1 a d c c b a 3 3 2 b 4 c 2 d d a 1 b 3 3 2
教学目标
要求学生掌握平面向量的基本定理，能用 两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分 解为两个向量，了解平面基本定理的证明。
教学重点
平面向量基本定理，应用向量基本定理解 决问题。
教学难点
对平面向 量基本定理的理解，应用定理解 决平面几何问题
知识链接
1、实数与向量的积 2、两个向量的和（差）的求法
三角形法则
平行四边形法则
3、两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数λ ，使得 b =λ a
如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，
试用e1、e2表示向量
AB, CD, EF , GH
D H E B
e2 A e1 F
C
AB 2e1 3e2
EF 4e1 - 4e2
B
N
D M C
3、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b 试用 a , b 表示AG A F
B G D
E
C
4、在正六边形ABCDEF中，AC = a , AD = b用 a , b 表示向量AB、BC、 CD、DE、EF、FA。
E O D
F
C B
A
课堂小结:
1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性 ３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那 么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一 对实数a1、a2，使 a a1e1 a2e2 说明：① e1、e2是两个不共线的向量； ② a是平面内的任一向量； ③ a1，a2实数，唯一确定.
探究:
e1 e2
o A B N M C
OM与OA共线
OM = λ1OA = λ1e1
达标练习:
1、给出下面三种说法： （1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底； （2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底； （3）零向量不可作为基底的向量 其中正确的说法是( B ) A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2)
CD e1 4e2
GH 2e1 5e2
设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量， 该平面内给定的向量a能用e1、e2来线性表示。
问题：（1）任何向量a是否都可以用含有e1、
e2的式子来表示呢？ （2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示
是否唯一？请说明理由.
平面向量基本定理
OP (1 t )OA tOB.
P
(1)
并且，满足该式的点P 一定在l上
B A
O
根据平面向量基本定理，同一平面内任一 向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已 知可得
OP OA AP OA t AB
OA t (OB OA)
(1 t )OA tOB
设点P满足等式 OP ， （ 1-t） OA t OB 则 AP t AB ，即P在l上
同理ON= λ2OB = λ2 e2
∴a = λ1e1 + λ2 e2
证明∵ OA OM ON ∴ 存 在 实 数 a1 ， a2 使 OM a1e1 , ON a2e2 . 于 是
a a1e1 a2e2 . （存在性）
唯一性： 设存在实数 x,y 使 a xe1 ye2 ，只要证 a1 x 且 a2 y
课后作业:
P99 练习B 2、3