平面向量基本定理应用

uuur CD e1 4e2
uuuur GH 2e1 5e2
设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量， 该平面内给定的向量a能用e1、e2来线性表示。
问题：（1）任何向量a是否都可以用含有e1、 e2的式子来表示呢？ （2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示 是否唯一？请说明理由.

1
uuur (OA

uuur OB)
2
特征：
uuur OA
与OuuBur
的系数之和是1
用途：判断点P在直线AB上，即是判定
三点共线的依据。
达标练习:
1、给出下面三种说法： （1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可
作为表示该平面所有向量的基底；
（2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底；
三角形法则 平行四边形法则 3、两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线
有且只有一个实数λ，使得 b =λa
如 试图用，e1、设ee21表、示e2是向同量一平面uAu内Bur,两CuuDu个r, uE不uFur共,Gu线uHuur的向量，
H
E
D B
e2 A e1
G
C F
uuur AB 2e1 3e2 uuur EF 4e1 - 4e2
解 设 A、B 所受的力分别为 f1、f2，10 N 的重力用 f 表示， 则 f1＋f2＝f，以重力的作用点 C 为 f1、f2、f 的始点，作右图，使C→E ＝f1，C→F＝f2，C→G＝f，则∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180° －120°＝60°.
∴|C→E|＝|C→G|·cos 30°＝10× 23＝5 3. |C→F|＝|C→G|·cos 60°＝10×12＝5. 所以，A 处所受的力为 5 3 N，B 处所受的力为 5 N.
题型一 向量在物理中的应用
【例 1】 如图所示，两根绳子把重 1 kg 的物 体 W 吊在水平杆子 AB 上，∠ACW＝150°，∠BCW ＝120°，求 A 和 B 处所受力的大小(绳子的重量忽 略不计，g＝10 N/kg)．
[思路探索] 属于力的合成与分解问题， 即借助向量的平行四边形法则处理．
（3）零向量不可作为基底的向量 其中正确的说法是( B ) A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2)
2.已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
DC,BC的中点且
uuuur AM

r c,
uuur AN

ur d
，用
r ur c, d
表示uAuBur ,
uuur AD
.
解：设
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性
３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
a1e1+a2e2=xe1+ye2, (x－a1)e1+(y－a2)e2=0
N
e2 O e1
A M
我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内 所有向量的一组基底，记为{e1，e2}，
a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的 分解式。
例1 已知：向量 e1 ，e2
求作：向量 -2.5 e1 + 3e2
e1
e2
C
B
作法：
1、任取一点O作OA = -2.5 e1 A -2.5 e1
o
OB = 3 e2
2、以OA,OB为邻边作 OACB
3、OC为所求
例2. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交
于M，N为BM中点。设uAuuBr a ，uAuuDr b，试
用基底{a，b}表示
uuur uuur uuuur uuuur MA, MB, MC, MD
平面向量基本定理
如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那 么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一
对实数a1、a2，使 a a1e1 a2e2
说明：① e1、e2是两个不共线的向量； ② a是平面内的任一向量； ③ a1，a2实数，唯一确定.
探究:
e1
M
C
e2
A
o
BN
OM与OA共线 OM = λ1OA = λ1e1 同理ON= λ2OB = λ2 e2
，
|F2|＝
|G|tan θ，θ∈0，π2. 由此可知，当 θ 从 0 逐渐增大趋向于2π时，
|F1|、|F2|都逐渐增大．
(2)当|F1|≤2|G|时，有co|Gs|θ≤2|G|，∴cos θ≥12， 又 θ∈[0,90°)．∴θ∈[0，3π]．
课堂小结:
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
A
F GE
B
DC
4、在正六边形ABCDEF中，AC = a , AD = b用 a , b 表示向量AB、BC、 CD、DE、EF、FA。
E
D
b
F
O
C
a
A
B
5.设x、y为实数，分别按下列条件， 用xa+yb的形式表示c. (1)若给定a＝(1，0)，b＝(0，1)， c＝(-3，-5)； (2)若给定a＝(5，2)，b＝(-4，3)， c＝(-3，-5).
D
C
b
M
N
A
a
B
例 3. 已知A, B是l上任意两点，O是l外一点，
求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使
uuur OP
关于基底{
uuur uuur OA, OB
}的分解式为
uuur
uuur uuur
OP (1 t)OA tOB.
(1)
P
并且，满足该式的点P
一定在l上
B
O
A
根据平面向量基本定理，同一平面内任一
周至六中数学组
教学目标
要求学生掌握平面向量的基本定理，能用 两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分 解为两个向量，了解平面基本定理的证明。
教学重点
平面向量基本定理，应用向量基本定理解 决问题。
教学难点
对平面向 量基本定理的理解，应用定理解 决平面几何问题
知识链接
1、实数与向量的积 2、两个向量的和（差）的求法
向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已
知可得
uuur uuur uuur uuur uuur OP OA AP OA t AB
uuur uuur uuur OA t(OB OA)
uuur uuur (1 t)OA tOB
uuur
uuur uuur
设点P满足等式 OP （1-t）OA tOB，
5.设x、y为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示c. (1)若给定a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(-3，-5)； (2)若给定a＝(5，2)，b＝(-4，3)，c＝(-3，-5).
【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基 底，i＝(1，0)，j＝(0，1)分别是直角坐标系横、 纵两个方向的单位向量，用i、j表示向量时， xi+yj中的x、y是惟一的，即为向量的(直角)坐标 .两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横 、纵坐标分别相等时，两个向量相等.
解 (1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量O→A＝F1， O→B＝F2，O→C＝－G，则O→A＋O→B＝O→C，
∴四边形 OACB 为平行四边形，如图．
由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝90°，
∴|O→A|＝c|Oo→sCθ| ，|O→B|＝cos θ
∴a = λ1e1 + λ2 e2
证明∵
uuur OA

uuuur OM

uuur ON
（存在性）
uuuur
uuur
∴ 存 在 实 数 a1 ， a2 使 OM a1e1 , ON a2e2 . 于 是
唯一a性 a：1e1 a2e2 .
设存在实数 x,y 使 a xe1 ye2 ，只要证 a1 x 且 a2 y
规律方法
向量在物理学中的应用一般涉及力或 速度的合成与分解，充分借助向量平行四边 形法则把抽象物理问题转化为数学问题．
【变式 1】 如图，在细绳 O 处用水平力 F2 缓慢拉起所受重力为 G 的物体，绳子与铅垂方 向的夹角为 θ，绳子所受到的拉力为 F1，求
(1)|F1|、|F2|随角 θ 的变化而变化的情况； (2)当|F1|≤2|G|时，θ 角的取值范围．
则
uuur AP

t
uuur AB
，即P在l上
由此可知,对直线l上任意一点P,一定存在唯一的实数t 满足向量等式(1);反之,对每一个实数t,在直线l上都有 唯一的一个点P与之对应.向量等式(1)叫做直线l的向量 参数方程式,其中实数t叫做参变数,简称参数.
令t=
1 2
,
点M是AB的中点，则
uuuur OM
uuur AB

r a,
uuur AD

r b
A
D

r c
dur

r b

1
r a
2
r a

1
r b
2

ar br

4 3 4 3
ur d

2
r c
3
r c

2
ur d
3
B
M NC
3、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b 试用 a , b 表示AG