人教版A版2019版一轮创新思维文数练习：第二章第八节函数与方程

课时规范练 A 组 基础对点练1．(2018·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－2，－1)D ．(－1,0)解析：∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.答案：D2．(2018·贵阳模拟)函数f (x )＝lg x －sin x 在(0，＋∞)上的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：函数f (x )＝lg x －sin x 的零点个数，即函数y ＝lg x 的图象和函数y ＝sin x 的图象的交点个数，如图所示．显然，函数y ＝lg x 的图象和函数y ＝sin x 的图象的交点个数为3，故选C.答案：C3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ， 令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0， 得x 1＝3，x 2＝1.当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x . 令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0， 得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7＞0(舍)，∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D. 答案：D4．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：令y 1＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＝(x －b )[2x －(a ＋c )]，y 2＝－(x －c )(x －a )，由a <b <c 作出函数y 1，y 2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，即函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．答案：A5．(2018·德州模拟)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．18解析：由F (x )＝0得f (x )＝|lg x |分别作f (x )与y ＝|lg x |的图象，如图，所以有10个零点，故选B. 答案：B6．(2018·宁夏育才中学第四次月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．[－1,0)解析：当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x＋a ＝0有一个根即可，即e x＝－a .当x ≤0时，e x∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D. 答案：D7．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1，故选A. 答案：A8．已知函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，则m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38，18B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－38，18C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－38，18 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－18，38 解析：当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)＜0或②⎩⎪⎨⎪⎧f －＝0，－2＜14m ＜0或③⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，0＜14m＜2.解①得－18＜m ＜0或0＜m ＜38；解②得m ∈∅，解③得m ＝38.综上可知－18＜m ≤38，故选D.答案：D9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,3) B ． (0,3) C ．(0,2)D ．(0,1)解析：画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1，故选D.10．(2018·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3,5] B ．[4,6] C ．(3,5)D ．(4,6)解析：∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图象如图所示：∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点， ∴y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上有三个交点， 作出函数y ＝log a x 的图象，如图， ∴⎩⎪⎨⎪⎧log a 3＜1log a 5＞1a ＞1，解得3＜a ＜5.故选C.答案：C11．(2018·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.答案：C12．(2018·郑州质量预测)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当－1≤x ＜0时，f (x )＝－log 12(－x )，则方程f (x )－12＝0在(0,6)内的所有根之和为A ．8B ．10C ．12D ．16解析：∵奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )，即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴f (x )是周期函数，其周期T ＝4.又当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－log 12(－x )，故f (x )在(0,6)上的函数图象如图所示．由图可知方程f (x )－12＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12，故选C.答案：C13．(2018·聊城模拟)若方程|3x－1|＝k 有两个解，则实数k 的取值范围是________． 解析：曲线y ＝|3x－1|与直线y ＝k 的图象如图所示，由图象可知，如果y ＝|3x－1|与直线y ＝k 有两个公共点，则实数k 应满足0＜k ＜1. 答案：(0,1)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]． 答案：(0,1]15．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．解析：当x ＞0时，令ln x －x 2＋2x ＝0，得ln x ＝x 2－2x ，作y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 图象，显然有两个交点． 当x ≤0时，令4x ＋1＝0， ∴x ＝－14.综上共有3个零点． 答案：316．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≥0，x 2＋ax ＋a ，x ＜0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，当x ≥0时，函数f (x )有一个零点，从而a ＝2x≥1，当x ＜0时，函数f (x )有两个零点，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＞0－a ＜0a ＞0即a ＞4.综上知a ＞4. 答案：(4，＋∞)B 组 能力提升练1．函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1≤x <1，lg x ，x ≥1的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：作出函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1≤x <1，lg x ，x ≥1的图象，如图所示．由图象可知，所求函数的零点个数是2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：分别画出函数f (x )，g (x )的草图，可知有2个交点．故选A.答案：A3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋－x －1，1－x ≤0，－x－1， 1－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2， x ≥1，－x －1， x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C. 答案：C4．(2018·洛阳统考)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x－|ln x |的两个零点，则( ) A.1e＜x 1x 2＜1 B ．1＜x 1x 2＜e C ．1＜x 1x 2＜10D ．e ＜x 1x 2＜10解析：在同一直角坐标系中画出函数y ＝e －x与y ＝|ln x |的图象(图略)，结合图象不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e－1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0)，于是有e －1＜x 1x 2＜e 0，即1e＜x 1x 2＜1，故选A.5．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )＜0＜f (b )B ．f (b )＜0＜g (a )C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0解析：∵f (x )＝e x＋x －2， ∴f ′(x )＝e x＋1＞0， 则f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝e 0－2＜0，f (1)＝e －1＞0， 又f (a )＝0，∴0＜a ＜1. ∵g (x )＝ln x ＋x 2－3， ∴g ′(x )＝1x＋2x .当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0， 得g (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0，g (2)＝ln 2＋1＞0，且g (b )＝0，∴1＜b ＜2，即a ＜b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f b ＞f a ＝0，ga ＜gb ＝0.故选A.答案：A6．(2018·郑州质量预测)对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3]解析：函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3的图象过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a2－a ＋3≤0，解得a ≥2或a ≤－6(舍去)，易知g (0)≥0，即a ≤3，此时2≤a ≤3，满足题意．7．设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＜33，则这样的零点有( ) A ．61个 B ．63个 C ．65个D ．67个解析：依题意，由f (x 0)＝sin πx 0＝0得，πx 0＝k π，k ∈Z ，即x 0＝k ，k ∈Z.当k 是奇数时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝－1，|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |－1＜33，|k |＜34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝1，|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |＋1＜33，|k |＜32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65(个)，选C. 答案：C8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x <11x ＋1－1，－1<x <0，设函数g (x )＝f (x )－4mx －m ，其中m ≠0.若函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥14或m ＝－1B ．m ≥14C ．m ≥15或m ＝－1D ．m ≥15解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， 0≤x ＜1，1x ＋1－1， －1＜x ＜0.作函数y ＝f (x )的图象，如图所示．函数g (x )零点的个数⇔函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝4mx ＋m 交点的个数． 当直线y ＝4mx ＋m 过点(1,1)时，m ＝15；当直线y ＝4mx ＋m 与曲线y ＝1x ＋1－1(－1＜x ＜0)相切时，可求得m ＝－1. 根据图象可知，当m ≥15或m ＝－1时，函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点．9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象，如图，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)有2个零点．故选C.答案：C10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1＋e e 2D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋e e 2解析：依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x有两个不等的正根．记g (x )＝ln xx，则g ′(x )＝1－ln x x2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e，当0<x <1时，g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1－ln xx2a 1x 0－1＝ln xx，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在坐标平面内画出直线y ＝ax －1(该直线过点(0，－1)、斜率为a )与函数g (x )的大致图象，结合图象可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)，选B. 答案：B11．已知f ′(x )为函数f (x )的导函数，且f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，g (x )＝f (x )－12x 2＋x ，若方程g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a －x －x ＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪{1}B ．(－∞，－1]C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：∵f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，∴f (0)＝f ′(1)e －1，f ′(x )＝x －f (0)＋f ′(1)ex －1，∴f ′(1)＝1－f ′(1)e －1＋f ′(1)e1－1，∴f ′(1)＝e ，∴f (0)＝f ′(1)e －1＝1，∴f (x )＝12x 2－x ＋e x ，∴g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝12x 2－x＋e x－12x 2＋x ＝e x，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a －x －x ＝0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a －x ＝x ＝g (ln x )，∴x 2a －x ＝ln x ，∴x 2a ＝x ＋ln x ．当a >0时，只有y ＝x 2a (x >0)和y ＝x ＋ln x 的图象相切时，满足题意，作出图象如图所示，由图象可知，a ＝1，当a <0时，显然满足题意，∴a ＝1或a <0，故选A. 答案：A12．已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数．当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧54sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x x⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋x ，若关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ∈R)有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54B ．[0,1]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54C ．(0,1]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，54∪{0} 解析：作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧54sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x x⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋x 的大致图象如图所示，又函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数，且关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ∈R)有且仅有6个不同的实数根，等价于f (x )＝65和f (x )＝a (a ∈R)有且仅有6个不同的实数根．由图可知方程f (x )＝65有4个不同的实数根，所以必须且只需方程f (x )＝a (a ∈R)有且仅有2个不同的实数根，由图可知0<a ≤1或a ＝54.故选C.答案：C13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．解析：若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则方程2a ＝|x －a |－1只有一解，即方程|x －a |＝2a ＋1只有一解，故2a ＋1＝0，所以a ＝－12.答案：－1214．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10. 答案：1015．(2018·广州综合测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________．解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0得，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1，作出y ＝f (x )，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1的图象，由图象可知共有2个交点，故函数的零点个数为2.答案：216．(2018·沈阳教学质量监测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1xx ＜，若方程f (x )＝ax＋1恰有一个解，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，当直线y ＝ax ＋1过点B (2,2)时，a ＝12，满足方程有两个解；当直线y ＝ax＋1与f (x )＝2x －1(x ≥2)的图象相切时，a ＝－1＋52，满足方程有两个解；当直线y＝ax ＋1过点A (1,2)时，a ＝1，满足方程恰有一个解．故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1。