平面向量共线问题

平面向量共线问题的探讨
摘要：平面向量的平行与垂直是高中数学新课程向量部分的重要内容，本文旨在对平面向量平行（即共线）相关定理进行推广，得到两个更加具有一般性的结论，并举例说明它们的应用，使问题的解决更简捷。

关键词：平面向量、共线定理、推广、应用。

平面向量的共线，这部分内容比较重要，在各种考试中也频频出现，教材上就两个向量共线已给出两个定理：
（1） 向量()≠与向量共线⇔存在唯一实数λ，使得a b λ=成
立。

（2） 向量()11,y x a =与向量()22,y x b =，则∥⇔01221=-y x y x
在此基础之上，笔者对向量共线问题，再做进一步探讨及推广，若有不当之处，请各位老师指正。

对于定理（2）给出的结论，向量，b 的基底是单位正交向量：，j ，下面我们给出的结论中，涉及到的基底不一定是单位正交向量：i ，，而是任意一组基底：1e 与2e ，它更具有一般性。

推论1：若1e ，2e 是不共线的两个向量，2111e y e x a +=，2212e y e x +=，与b 共线 ⇔01221=-y x y x 证明：与b 共线，当且仅当=λ， ⇔2111e y e x +()
2212e y e x +=λ ⇔2111e y e x +2212e y e x λλ+=
由平面向量基本定理得：⎩⎨⎧==2121y y x x λλ ①2y ⨯-②2x ⨯消去λ得：01221=-y x y x ① ②
所以，a 与b 共线⇔01221=-y x y x 。

上述结论还可以进一步推广为：
推论2：对于任意向量1e ，2e ，若2111e y e x +=，2212e y e x +=，那么与共线 ⇔1e ∥2e 或01221=-y x y x
证明：分两种情况： 1e 与2e 平行和1e 与2e 不平行
（1）1e 与2e 平行时，结论成立。

（2）1e 与2e 不平行时,a 与共线，当且仅当a =b λ， 有：2111e y e x +()
2212e y e x +=λ 即：2111e y e x +2212e y e x λλ+=
由平面向量基本定理得：⎩⎨⎧==2121y y x x λλ ①2y ⨯-②2x ⨯消去λ得：01221=-y x y x
即：当且仅当01221=-y x y x 时，与b 共线
综合（1）（2）知：与b 共线⇔1e ∥2e 或01221=-y x y x
上述两个结论，尤其第二个，对向量共线的问题阐述得比较完备。

在高考、模拟考、联考等一系列考试中，常出现向量共线的问题，下面是两个结论针对一些考题的应用，所有例题都给出多种解法，其中“另解”应用了上述结论，多种解法进行对比后，我们可以看出应用上述结论可以使问题的解决更简捷，从而节省时间。

例1.（2009重庆卷文）已知向量)1,1(=a ，),2(x b = 若b a +与24-平行，则实数x 的值是 （ ）
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
解法1：因为)1,1(=a ，),2(x b = ，所以)1,3(+=+x b a ，① ②
)24,6(24-=-x a b 由于b a +与a b 24-平行，得
6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =，选D 。

解法2： 因为b a +与a b 24-平行，则存在常数λ，使
)24(a b b a -=+λ，即：)14()12(-=+λλ，根据向量共线的条件知，向量与共线，故2x =，选D 。

另解：因为b a +与24-平行，即b a +与42+-平行，但
01)2(41≠⨯--⨯，所以根据已知结论得：∥，所以有，
0121=⋅-⋅x ，即得2x =，选D 。

例2.已知)2,1(=，)2,3(-=，当k 为何值时，向量k +与b a 3-平
行？平行时它们是同向还是反向？ 解：∵)2,1(=，)2,3(-=。

∴)22,3(+-=+k k k ，)4,10(3-=-b a ∵k +与3-平行
∴0)22(10)3(4=+⋅--⋅-k k 解得3
1-=k . 此时()
k 33
131-⋅-=+-=+ ∴当3
1-=k 时，向量k +与b a 3-平行，并且反向． 另解：∵)2,1(=a 与)2,3(-=b 不平行，且向量b a k +与3-平行。

∴013=--k ，即3
1-=k
此时()k 33
131-⋅-=+-=+ ∴当3
1-=k 时，向量k +与b a 3-平行，并且反向．
例 3.设两个非零向量1e 和2e 不共线，如果21e e AB +=，2132e e BC -=，212e k e CD -=，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 解：=+=()()2121212332e e e e e e -=-++，
∵A 、C 、D 三点共线，∴与共线，从而存在实数λ使得CD AC λ=，即：()
2121223e k e e e -=-λ， 得⎩
⎨⎧-=-=k λλ223，解得23=λ，34=k . 另解：2123e e BC AB AC -=+=
由A 、C 、D 三点共线，知2123e e AC -=与212e k e CD -=共线。

所以，
0)2(2)(3=-⨯--k ，故3
4=k
例4.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t ，()+3
1三向量的终点在同一条直线上？ 解：设a OA =，b t OB =，()
+=31， ∴b a OA OC AC 3
132+-=-=，t -=-= 要使A 、B 、C 三点共线，只需λ=.
即: 3
132+-a b t λλ-=.
∴有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-t λλ3
132 ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧==2132t λ。

∴当2
1=t 时，三向量终点在同一直线上. 另解：令=，t =，()+=31。

要使，b t ，()
b a +31三向量的终点在同一条直线上，只需A 、B 、C 三点在同一条直线上.
∵b a OA OC AC 3
132+-=-=，b t a OA OB AB +-=-=。

∴0)1(3132=-⨯--t ，即2
1=t ∴当2
1=t 时，，b t ，()
+31三向量终点在同一直线上.
例5.已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点，PQ 过△ABO 的重心G ，且a OA =,b OB =,a m OP =,11证明：因为M 是AB 边的中点 所以()
+=21 又因为G 是△ABO 的重心，
所以()b a OM OG +==3132. 由P 、G 、Q 三点共线，得PG ∥GQ ，
所以，有且只有一个实数λ，使λ=.
而()
m m 313131+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+=-=，
()b n a b a b n OG OQ GQ ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+-=+-=-=313131， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b n a b a m 313
13131λ. 又因为、不共线，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-313
13131n m λλ， 消去λ，整理得n m mn +=3，故311=+n
m . 另证：∵G 是△ABO 的重心，所以()
b a OG +=31. 又∵a OA =,b OB =,m =,n = ∴b a m OG OP GP 3131-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-= b n a OG OQ GQ ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+-=-=3131 由P 、G 、Q 三点共线，得GP ∥ ，所以，0913131=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-n m 去括号，整理得：mn n m 3=+
等式两边同时除以mn 得：311=+n
m 结语：从以上5个例题可以看出灵活应用定理及推论的重要性，一方面可使学生对向量共线理解得更深刻，另一方面可使向量共线问题得到快捷的解答，以增强学生思维的灵活性。