共线向量与平面向量基本定理
平面向量共线向量定理
平面向量共线向量定理1. 什么是共线向量？说到平面向量，咱们先得搞明白什么是共线向量。
共线向量，简单来说，就是一群向量，它们的方向一致，就像一群小鸟齐齐飞向同一个方向。
想象一下，如果你和朋友们都朝同一个地方走，那你们就是共线的。
这样的向量在数学上可不是随便说说，它们有着特别的关系，甚至可以通过一些简单的计算来证明。
1.1 向量的定义向量其实就像一条有方向的箭，箭头指的地方就是它的方向，而箭的长度就是它的大小。
想象一下，如果你在操场上朝一个方向跑，跑的快慢、方向都可以用向量来表示。
平面向量则是在二维平面上的向量，咱们日常生活中的位置、速度等都可以用平面向量来描述。
1.2 向量的加法与数乘现在，咱们再聊聊向量的加法和数乘。
就像把两根同样的手指放在一起，你的总长度就变大了。
向量加法也是如此，把两个向量的起点连起来，最后的箭头指向的地方就是它们的和。
而数乘，就像你把这根手指伸长了几倍，方向不变，但大小却变大了。
这些操作在数学上是基础，但实际上它们的用途可多了去了。
2. 共线向量的性质接下来，咱们得看看共线向量的性质。
首先，共线向量的方向是一致的，换句话说，它们的方向角是相同的。
如果你把两根共线向量放在一起，你会发现它们可以重合，仿佛它们就是亲兄弟。
其次，任何一个共线向量都可以表示成其他向量的倍数，听起来有点复杂，其实就像是你把一道菜用不同的调料做成的风味，但本质上还是那道菜。
2.1 数学表达说到数学表达，咱们可以用公式来理解这一点。
如果有两个向量 ( vec{a ) 和( vec{b )，它们是共线的，那就意味着存在一个非零的实数 ( k )，使得 ( vec{a = k cdot vec{b )。
简单来说，就是你可以通过某种方式把一个向量变成另一个向量，这就叫共线。
2.2 生活中的例子在生活中，我们也能找到共线向量的例子。
比如说，两个车沿着同一条道路行驶，不管它们的速度多快或慢，只要方向一致，它们就可以看作是共线向量。
18.向量共线定理和向量基本定理
向量共线定理和向量基本定理知识点归纳:1. 向量共线定理(两个向量之间的关系)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b a λ=.变形形式:已知直线l 上三点,,A B P ,O 为直线l 外任一点,有且只有一个实数λ,使得()1OP OA OB λλ=-+.2. 平面向量基本定理(平面内三个向量之间的关系) 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+. 考点1 向量共线定理题型 1 判断向量共线、三点共线、两直线平行例1 如图,已知3AD AB =,3DE BC =,试判断AC 与AE 是否共线?例2已知向量,a b ，且2AB a b =+,56BC a b =-+,72CD a b =-则一定共线的三点是： .A ,,A B D .B ,,A B C .C ,,B C DAD.D ,,A C D例3 根据下列条件,分别判断四边形ABCD 的形状 ⑴AD BC = ⑵13AD BC =⑶AD BC =,且AB AD=题型2 向量共线定理的应用 例 4 ⑴已知点C在线段AB上,且52AC CB =,则AC =AB ,BC = AB⑵设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值.⑶已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+，且A B C ，， 三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于 .A 100 .B 101 .C 200 .D 201考点3 平面向量基本定理题型 在几何图形中,用基底表示其他向量 例5 如图,ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a =,AD b =,用,a b 为基底表示,,,MA MB MC MDBC例6 D 是ABC △的边AB 上的中点，则向量CD =.A 12BC BA -+ .B 12BC BA -- .C 12BC BA - .D 12BC BA+例7如图，平面内有三个向量OA OB OC ，，，其中OA 与OB 的夹角为1200，OA与OC的夹角为300，且1OA OB ==，23OC =．若OC OA OBλμ=+(),R λμ∈，则λμ+的值为练习:1. 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e2. 在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件AB CD AOBCABC DC 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3. 已知：2121212CD ,B C ),(3e e e e e e AB +=-=+=，则下列关系一定成立的是（ ）A 、A ，B ，C 三点共线 B 、A ，B ，D 三点共线C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线4. 如图，已知,,3AB a AC b BD DC ===，用,a b 表示AD ，则AD =（ ）A ．34a b + B ．1344a b + C ．1144a b + D ．3144a b +5. 在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c6. 在ABC△中，已知D是AB边上一点，若2AD DB=，13CD CA CB λ=+则λ= .A 23 .B 13 .C 13- .D 23-7. D 、E 、F 分别是△ABC 的BC 、CA 、AB 上的中点，且a BC =，b CA =，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）①b a AD --=21 ②b a BE 21+=③b a CF 2121+-= ④0=++CF BE ADA 、1B 、2C 、3D 、48. 设12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则实数λ=9. 在平行四边形ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN = （用,a b 表示）10. 如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+= .设12,e e 是不共线的向量，124e e -与12ke e +共线，则实数k 的值是 若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA → =3a ，CB → =2b ，求ABDEA BCH•MCD → ，CE → ．已知a +b=213e e +，a -b=212e e -，用1e 、2e 表示a =。
向量基本定理
B
向量的夹角 两个非零向量 则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ，作 OA a, OB b，
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b
b B
O
a
0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向 量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案：
1 DC e1 ; 2
A
N
解：取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中，正确的有： （ 2、3 ）
空间向量基本定理
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果 向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那 么我们就说向量 平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量 思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线， 则向量 与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数 对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分 新疆 王新敞 奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量 证明：
（1） EG // AC
选择性必修一第一章空间向量与立体几何知识梳理
第一章空间向量与立体几何知识梳理㈠、空间向量与平面向量类比 x 三点共线定理：若A,B,C OC xOA =+122122x y 2a x =+a =——————————。
cos x θ=cos x θ=、㈡、空间向量解决立体几何问题1. 空间向量解决立体几何的平行垂直问题 ⑴平行①两直线12,l l 的方向向量分别为12,u u ，则1l ∥2l ⇔———————；②直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则l ∥α⇔———————；③平面α，β的法向量分别为n ，m ，则α∥β⇔———————。
⑵垂直①两直线12,l l 的方向向量分别为12,u u ，则1l ⊥2l ⇔———————；②直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则l ⊥α⇔———————。
；③平面α，β的法向量分别为n ，m ，则α⊥β⇔———————。
2.空间向量求角、距离。
⑴求距离 ①点P 到直线l 的距离d =———————，其中向量a PA =,点A 为直线l 上任一点，u 为直线l 的单位方向向量。
②点P 到平面α的距离d =———————，其中向量a PA =,点A 为平面α内任一点，向量n 平面α的法向量。
⑵求角 ①异面直线所成的角θ 0,2π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦异面直线所成的角θ与两直线方向向量所成的角———————，故12cos cos ,u u θ=<>，其中12,u u 为两直线的方向向量。
②直线l 与平面α所成的角0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦直线l 与平面α所成的角θ与方向向量u 与法向量n 所成的角———————，故sin cos ,u n θ=<>。
③二面角[]0,θπ∈二面角θ与两半平面的法向量,n m 所成的角———————，。
平面向量中的定理
平面向量中重要定理总结（非常经典）1、共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .2、三点共线的证明方法若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．3、平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4、奔驰定理：已知O 是ABC ∆内一点，则0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC推论：已知O 是ABC ∆内一点，若=⋅+⋅+⋅z y x ，则z y x S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆5、极化恒等式定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. 即：)|||(|2|AD ||AB |2222BO AO +=+ 设.,b AD a AB == 则,,b a DB b a AC -=+= 极化恒等式：[]22)()(41b a b a b a --+=⋅，即：=⋅6、三点共线定理：已知OB y OA x OC +=，且1=+y x ，则C B A ,,三点共线 OABC向量等和线： 平面内一组基底，及任意向量，21λλ+=，若点P 在直线AB 上或在与AB 平行的直线上，则k =+21λλ(||OC k =反之也成立,我们把直线AB 以及与AB 平行的直线称为基底系数等和线7、三角形各“心”的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点，重心将中线长度分成2∶1；垂心：三角形的三条高线的交点，垂线与对应边垂直；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)，内心到三角形三边的距离相等；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．三角形各“心”的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)．(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0.注意：向量λ((AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．。
051平面向量基本定理及共线向量定理
三．课后作业
1．(2015·课标全国Ⅱ，理)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
2．已知向量 ， ， ，其中 、 不共线，若 ，则 =， =．
3.已知： 点C在 内,且 则 ．
1）若向量 与 相等的条件是 且
2）若向量 ，则
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa；
2．典型例题
考向一 平面向量基本定理
1.下列各组中的 与 能否作基底：（1） ， ； （2） ， ；
2.如图所示，| |＝| |＝1，| |＝ ，∠AOB＝60°， ⊥ ，设 ＝x ＋y ，求实数x，y的值．
8.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ＝m ， ＝n ，则m＋n的值为________．
9.在△ABC中， ＝ ，P是直线BN上的一点．若 ＝m ＋ ，则实数m的值为()
A．－4 B．－1C．1 D．4
10.已知 点 在 上， . 则向量 等于()A． B． C． D．
11.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的值为()
A. B．－ C．1 D．－1
12.在三棱柱 中，侧面 底面 ， ，且侧面 为菱形.
证明： 平面 ；
若 ， ，直线 与底面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
平面向量基本定理和共线定理
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．
平面向量的共点与共线定理
平面向量的共点与共线定理平面向量是数学中重要的概念，它们可以描述平面上的位移、力等物理量。
在研究平面向量时，共点与共线定理是一个重要的概念，本文将详细介绍平面向量的共点与共线定理及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，平面向量通常由有序实数对(a, b)表示，其中a为向量在x轴上的分量，b为向量在y轴上的分量。
平面向量可以用箭头（或有向线段）表示，箭头从向量起点指向终点，长度表示向量的大小，方向表示向量的方向。
二、平面向量的共点与共线1. 共点向量若有两个或多个向量的起点都相同，则这些向量称为共点向量。
2. 共线向量若有两个或多个向量都能够通过平移将它们重合在同一直线上，则这些向量称为共线向量。
共线向量除了在同一直线上的位置相同外，其大小和方向都可以不同。
三、平面向量的共点定理如果三个平面向量a, b, c共点，则存在实数λ, μ，使得a = λb + μc。
即，一个向量可以用其他两个向量的线性组合表示。
四、平面向量的共线定理1. 三个向量共线的充分必要条件给定三个平面向量a, b, c，它们共线的充分必要条件是存在实数λ, μ，使得a = λb + μc。
2. 两个向量共线的判定方法给定两个非零向量a和b，它们共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a = λb。
五、平面向量的应用平面向量的共点与共线定理在许多问题中有广泛的应用。
下面以几个例子来说明其应用。
例1：证明三角形的垂心、重心和外心共线。
解析：设O为三角形的外心，M为三角形的中心，D为三角形的垂心。
连接OM、OD。
根据共点与共线定理，只需证明OM和OD共线即可。
例2：证明四边形的对角线的交点与中点共线。
解析：设ABCD为四边形，连接AC和BD，并设交点为E。
根据共点与共线定理，只需证明AE和DE共线即可。
例3：证明四边形的对角线和中线共点。
解析：设ABCD为四边形，连接AC和BD，并设交点为E。
根据共点与共线定理，只需证明AC和BD的中点与交点E共线即可。
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§5-2共线向量与平面向量基本定理
2018年1月1日
1.实数与向量的积
设#»a 是一个非零向量，则2#»a 表示与#»a 方向相同且长度为#»a 的2倍的向量，12
#»a 表示与#»a
方向相同且长度为#»a 的12的向量.类似地，−3#»a 表示与#»a
方向相反且长度为#»a 的3倍的向量，−23#»a 表示与#»a 方向相反且长度为#»a 的23倍的向
量（如图5-2-1）.
一般地，实数λ与向量#»a 的积是一个向量，记作λ#»a ，它的长度
与方向规定如下：
（1） λ#»a = λ #»a ；
（2）当λ>0时，λ#»a 的方向与#»a
的方向相同；当λ<0时，λ#»a 的方向与#»a 的方向相反；当λ=0时，λ#»a =#»0.
#»a #»12#»−3#»23
#»图5-2-1
2.运算律
（1）对数因子的交换律：λµ#»a =µλ#»a
；（2）对数因子的结合律：λ(µ#»a )=(λµ)#»a
；（3）向量对数因子的分配律：(λ+µ)#»a =λ#»a +µ#»a
；（4）数因子对向量的分配律：λ(#»a +#»b )=λ#»a +λ#»b .
3.共线定理
定理向量#»b 与非零向量#»a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得#»b =λ#»a
.4.平面向量基本定理
物理中的力既有大小，又有方向，因此力是向量.
我们知道，力可以进行合成和分解.一个力可以分解为两个不共线的力.一般地，一个向量也可以分解
为两个不共线的向量的和（如图5-2-2）.
图5-2-2
平面向量基本定理
如果#»e 1
、#»e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量#»a ，有且只有一对实数λ1
、λ2，使#»a λ1#»e 1+λ2#»e 2.【例1】如图5-2-3，ABCD 的两条对角线交于点M ，且# »AB =#
»a ，# »AD =#»b ，用#»a 、#»b 表示# »MA 、# »MB 、# »
MC 和#
»MD .A
C 图5-2-3
变式1
如图5-2-4，
，ABCD 的两条对角线交于点M ，且# »MA =#
»a ，# »MB =#»b ，用#»a 、#»b 表示# »AB 、# »AC 、# »
AD .
A
C
图5-2-4
【例2】如图5-2-5，# »
OA、
# »
OB不共线，
# »
AP=t
# »
AB(t∈R)，用
# »
OA、
# »
OB表示
# »
OP.
O
图5-2-5
变式2
（1）（2015课标I理7）设D为△ABC所在平面内一点，# »
BC=3
# »
CD，则（）
（A）# »
AD=−
1
3
# »
AB+
4
3
# »
AC（B）
# »
AD=
1
3
# »
AB−
4
3
# »
AC
（C）# »
AD=
4
3
# »
AB+
1
3
# »
AC（D）
# »
AD=
4
3
# »
AB−
1
3
# »
AC
（2）（2013四川理12）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，# »
AB+
# »
AD=λ
# »
AO，
则λ=.
（3）（2013江苏10）设D，E分别是△ABC的边AB，BC，上的点AD=1
2
AB，BE=
2
3
BC..若
# »
DE=λ1# »
AB+λ2
# »
AC（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为.
【例3】（2014全国新课标I 文6）设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则# »EB +# »F C =（）
（A ）# »BC （B ）12# »AD （C ）# »AD （D ）12
# »BC 变式3（2010湖北理5）已知△ABC 和点M 满足# »MA +# »MB +# »MC =#»
0.若存在实数m 使得# »AB +# »AC =m # »
AM 成立，则m =（）
（A ）5
（B ）4
（C ）3
（D ）2
【例4】P 为△ABC 内一点，且满足# »P A +2# »P B +3# »P C =#»
0，则△ABC 的面积与△AP C 面积之比
是
（
）
（A ）2:1
（B ）3:1
（C ）4:1
（D ）5:2
变式4
已知O 为△ABC 内一点，若# »OA +# »OC =−3# »
OB ，则△AOB 与△AOC 的面积的比值为
（）
（A ）1
3（B ）23（C ）1
（D ）43
天
【例5】△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC的三等分点（靠近点A），BF交CE于点G，若
# »
AG=x
# »
AE+y
# »
AF，则x+y等于（）（A）
2
5
（B）
3
5
（C）
4
5
（D）
7
5
B C
图5-2-5
变式5
（1）（2008广东理8）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若
# »
AC=
#»a，# »
BD=
#»
b，则
# »
AF=（）（A）
1
4
#»a+1
2
#»
b（B）
2
3
#»a+1
3
#»
b（C）
1
2
#»a+1
4
#»
b（D）
1
3
#»a+2
3
#»
b
（2）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB的延长线，AC于不同两点M，N.若
# »
AB=m
# »
AM，
# »
AC=n
# »
AN，则m+n的值为.
B C
A
O
M
N
图5-2-5（3）如图5-2-6在△ABC中，点M为AB的中点，且
# »
AN=
1
2
# »
NC，BN与CM相交于点E，设# »
AB=
#»a，# »
AC=
#»
b，则
# »
AE=（用
#»a、#»b表示）.
图5-2-6。