平面向量基本定理及共线向里之应用(精)
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示 .注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0）2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与u A uu B r共线uuur的单位向量是u A u B ur ）；| AB|4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r、b r叫做平行向量，记作：a r∥b r，规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有r0）；④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r.举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B uru D u C u r，则ABCD是平行四边形 .（4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur.（5）若a r b r，b r c r，则a r c r.（6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示，如 a r ，b r ， c r 等；3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同 的两个单位向量 i r , r j 为基底，则平面内的任一向量 a r 可表示为 a r xi r y r j （x, y ） ，称 （ x, y ）为向量 a r 的坐标， a r （x, y ）叫做向量 a r 的坐标表示 .结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同.三、平面向量的基本定理定理 设e r 1,e r 2同一平面内的一组基底向量， a r 是该平面内任一向量， 则存在唯一实数对 （ 1, 2），使 a r 1e r 1 2e r 2.1）定理核心： a rλ1e r 1 λ2er 2；（2）从左向右看，是对向量 a r的分解，且表达式唯一；反之，是对向量 a r的合成 .（3）向量的正交分解：当 e r 1,e r 2时，就说 a r λ1r e 1 λ2r e 2为对向量 a r的正交分 解．举例 3 (1)若 a r(1,1)， b r(1, 1)， c r( 1,2) ，则 c r. 结果：1r 3 r a b.22(2)下列向量组中， 能作为平面内所有向量基底的是 B A. e r 1(0,0) ， e r 2(1, 2) B. r e 1( 1,2) ， e r 2(5,7) C. r e 1(3,5) ， e r 2(6,10)（1）模：| a r | | | |a r |；（2）方向：当 0时， a r 的方向与 a r 的方向相同，当D. e r 1(2, 3) ， 1, 3 ,24（3）已知u A u D ur ,u B u E ur分别是 可用向量 a r,b r表示为 . （4）已知 △ABC 中，点 值是 . 结果： 0 四、实数与向量的积 实数 与向量 a r 的积是 下： △ABC 的边 BC ，AC 上的中线 ,且 u A u D ura r4r a2果 结上 边B u u r Bu u u u ru u ru u u u r C u 的u u r u u 个向量，记作 a r ，它的长度和方向规定如方向与a r的方向相反，当0时，a r r0，注意：a r 0.五、平面向量的数量积1. 两个向量的夹角：对于非零向量a r，b r，）称为向量a r，b r的夹角. uuur r作OAa r，u ru u把r bAOB (0当 0时， a r ， b r 同向；当 时， a r ， b r 反向；当 2时，a r ，b r 垂直. 2. 平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a r ， b r ，它们的夹角为 ， 我们把数量 | a r || b r | cos 叫做 a r 与b r 的数量积（或内积或点积） ，记作： a r b r ， 即 a r b r |a r | |b r |cos .规定：零向量与任一向量的数量积是 0. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量 举例 4（1）△ ABC 中，| u A uu B r| 3 ，|u A uu C r| 4 ，|u B u C ur| 5 ，则 9.uuur uuur AB BC果：结果：2）已知a r1,21，b r0, 12，c ra rkb r，d ra rb r，c r与d r的夹角为 4，则k1. 3）已知 |a r| 2，|b r| 5， a rb r3，则 |a rb r| ___ . 结果： 23. 4）已知 ra, rb 是两个非零向量，且| a r| |b r| |a rb r|，则a r与a rb r的夹角为 30o . 结果： 3.向量b r 在向量 a r上的投影： |b r | cos ，它是一个实数，但不一定大于 0. 举例 5 已知|a r| 3，|b r| 5，且 a rb r12 ，则向量 a r在向量 b r上的投影为 ___ . 结果： 152.54. a r b r 的几何意义 ：数量积 a r b r 等于a r 的模|a r |与b r 在a r 上的投影的积 .5. 向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a r ， （ 1） a r b a r b 0 ； （2）当 a r 、 b 同向时， a r b |a r | |b|，特别地， a r b r |a r | | b r |是a r 、 b r同向的充要分条件 ； 当a r 、 b r 反向时， a r b r |a r | |b r |，a r b r |a r | 件； 当 为锐角时， a r b r 0，且 a r 、b r 不同向， 充分条件 ； 当 为钝角时， a r b r 0 ，且 a r 、 b r 不反向； 充分条件 .（3）非零向量 a r ， b r 夹角b r ，其夹角为 ，则：a r 2|b r |是a r 、 b r 反向的充要分条 ab ab 的计算公式： cos 0 是 为锐角的 必要不 0 是 为钝角的 必要不 | a r a ||b b r | ；④ a r b r |a r ||b r | . 举例 6 取值范1）已知 a r（ ,2 ） ， b r（3 ,2） ，如果 a r与b r的夹角为锐角，则 的 3或 0且 3；(2)已知△OFQ 的面积为 S ，且u O u F ur u F u Q ur 1，若12 S 23，则u O u F ur， u F u Q ur夹角的 取值范围是 _____ . 结果： 4, 3；43①用 k 表示 a rb r；②求 a rb r的最小值，并求此时 a r与b r的夹角 的大小. 结果：① a rb r k 4k 1(k 0) ；②最小值为 12， 60o. 六、向量的运算1. 几何运算 (1)向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则 . r 运算形式：若 u A uu B r a r ， u B uu C r b r ，则向量u A uu C r 叫做 a r与b 的和，即 r r uuur uuur uuur a b AB BC AC ；作图：略 . 注：平行四边形法则只适用于不共线的向量 .(2)向量的减法 运算法则：三角形法则 . 运算形式：若 u A uu B r a r ， u A u C ur b r ，则 a r b r u A u B ur u A uu C r C uu A ur ，即由减向量的终 点指向被减向量的终点 .作图：略 .注：减向量与被减向量的起点相同 .举例 7( 1)化简：①u A u B uru B u C urC uuD ur；② u A uu B ru A u D uru D uu C ur；③uuur uuur uuur uuur uuur uuur r (AB CD) (AC BD) . 结果：① AD ；② CB ；③ 0；(2)若正方形 ABCD 的边长为 1，u A u B ura r，u B u C urb r，u A u C ur rc ，则 |a rb rc r|.结果： 2 2 ；(3)若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足 O uu B urO uu C ur u O u B urO uu C ur2u O u A ur，则△ABC 的 形状为 . 结果：直角三角形；( 4)若 D 为 △ ABC 的边 BC 的中点， △ ABC 所在平面内有一点 P ，满足 u P u A ur u B u P urC uu P ur r0，设 || u u PAu u DuP ur r || ，则 的值为 . 结果：2；(5)若点O 是 △ABC 的外心，且 u O u A ur u O uu B r u C uu O r r0 ，则△ABC 的内角 C 为 . 结果： 120o.2. 坐标运算 ：设 a r (x 1,y 1) ，b (x 2,y 2) ，则(1)向量的加减法运算 ：a r b (x 1 x 2,y 1 y 2)，a r b (x 1 x 2,y 1 y 2) . 举例 8 (1)已知3)已知 a r(cos x,sin x) ， rb (cos y,sin y) ，且满足 |k ra b | 3|a rkb|其中 k 0 )点A(2,3) ，B(5,4) ，C(7,10) ，若u A uu P r u A uu B ru A uu C r( R) ，则当 ______ 时，点P在第一、三象限的角平分线上 . 结果：21；(2)已知 A(2,3) ， B(1,4) ，且21 u A u B ur (sin x,cos y)， x, y ( 2,2)，则 x y . 结 果： 6 或2；(3)已知作用在点 A(1,1)的三个力 F 1(3,4) ，F 2(2, 5) ， F 3(3,1) ，则合力 F u r u Fur 1u F ur 2 u F ur 3的终点坐标是 . 结果： (9,1) .(2)实数与向量的积 ： a r (x 1,y 1) ( x 1, y 1).(3)若 A(x 1, y 1) ， B(x 2, y 2) ，则 u A u B ur (x 2 x 1,y 2 y 1) ，即一个向量的坐标等 于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 .举例 9 设A(2,3) ， B( 1,5) ，且 u A uu C r 13u A u B ur， u A u D ur 3u A u B ur，则 C,D 的坐标分别是3举例 10 已知向量 a r(sin x,cos x ) ， b (sin x ,sin x) ， c r( 1,0) .(1)若 x 3，求向量 a r、 c r的夹角；3(2)若x [38 , 4]，函数 f(x) a rb r的最大值为 12，求 的值.结果：(1)150o；8 4 22) 21或 2 1.5)向量的模 ： a r2 |a r |2 x 2 y 2 |a r | x 2 y 2 . 举例 11 已知 a r ,b r 均为单位向量，它们的夹角为 . 结果： 13 .位向量，则 P 点斜坐标为 (x,y) .1)若点 P 的斜坐标为 (2, 2) ，求 P 到 O 的距离 |PO| ；2)求以O 为圆心， 1为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程.结果：( 1) 2；(2) x 2y 2xy 1 0 . 七、向量的运算律 1. 交换律： a r 2. 结合律： a r 3. 分配律： ( r b rr arr a)r b rr a r a rr a r c )r br b r( r b r b( r ar ) r b r r a(r r 举例 13 给出下列命题：ar (b c r ) a r b a r c r a r (b c r ) (a r b) c r结果： (1,131),( 7,9).4)平面向量数量积yxx r b60o，那么 |a r3b r|6)两点间的距离 ：若 A(x 1, y 1) ， B(x 2,y 2)，则|AB| (x 2 x 1)2 (y 2 y 1)2 . 举例 12 如图，在平面斜坐标系 于斜坐标系 的斜坐标是这样定义的：若 u O u P urxe r 1方向的单 xOy 中， xOy 60o，平y 面上任一点 P关ye r 2，其中 e r 1,e r 2分别为60o与 x 轴、④ 若a rb r0，则 a r0r或b r r0；⑤若 a r b r c rb r则a r c r；⑥ |a r |2 a r 2；⑦ ar a r2bb a r ； ⑧ (a rb r )2 a r 2 b r 2；⑨ (a rb r )2 a r 22a rb rb r 2. 其中正确的是 . 结果：①⑥⑨ . 说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个 向量等式， 可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数， 两边同时取模， 两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一 个向量，切记两向量不能相除 ( 相约) ； (2)向量的“乘法”不满足结合律，即 八、向量平行 (共线) 的充要条件 a r //b a r b (a r b)2 (|a r ||b|)2 举例 14 (1) 若向量 a r (x,1) ， 相同. 结果： 2. ( 2)已知 a r (1,1) ，b (4,x) ，u r果：4. uuur uuur (3)设 PA ( k,12) ， PB (4,5) ， 果： 2 或 11. 九、向量垂直的充要条件0. (4,x) ，当 x x 1 y 2 y 1 x 2r br br rrb ar r 2b ， uu urPC r v ar (b c r) (a rb) c r，为什么？ 时， a r 与b r共线且方向 2a r b ，且 u r //v r，则 x(10, k) ， 则k时， A,B,C 共线 . y 1 y 2 0.|AB AC AB AC特别地 uuur uuuruuur uuur .|AB | |AC | |AB | | AC |举例 15 (1)已知 u O u A ur( 1,2) ，O uu B ur(3,m) ， (2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 B 的坐标是 .结果： (1,3) 或( 3，－1))； (3)已知 n r(a,b)向量 n rm r，且|n r| |m r| ，则m r的坐标是 ( b,a) . 十、线段的定比分点1. 定义：设点 P 是直线 P 1P 2上异于 P 1、 P 2的任意一点，若存在一个实 数 ，使 u P u 1P ur u P u P ur 2 ，则实数 叫做点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比 ， P 点叫 做有向线段 u P u 1u P ur 2的以定比为 的定比分点 . 2. 的符号与分点 P 的位置之间的关系 (1) P 内分线段 P 1P 2 ，即点P 在线段 P 1P 2上 0； (2) P 外分线段 u P u 1u P u 2r 时，①点 P 在线段 P 1P 2的延长线上 P 在线段 P 1P 2的反向延长线上 1 0.x 1x 2 uuuruuur uuur 若OA OB ，则 m. 结果： OAB ， B 90 ，则点 32； 结果： (b, a)或1，②点比为 1.举例 16 若点 P 分u A u B ur所成的比为 43，则 A 分u B u P ur所成的比为 .结果： 73.33. 线段的定比分点坐标公式 ：设 P 1(x 1, y 1) ， P 2( x 2, y 2) ，点P(x, y)分有向线段 u P u 1u P u 2r 所成的比为 ，则定比分x 1 x 21 y 1 y 2x 1时，就得到线段 P 1P 2的中点坐标公式y说明：(1) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标 . (2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和 终点，并根据这些点确定对应的定比举例 17 (1)若 M( 3, 2) ，N(6, 1)，且 结果： ( 6, 37) ；3(2)已知 A(a,0) ， B(3,2 a)，直线 y 1ax 与线段 AB 交于M ，且u A u M uur 2u M uu B ur，则 a r. 结果：２或 4 .十一、平移公式如果点 P(x,y)按向量 a r (h,k) 平移至 P(x,y) ，则 x x h,；曲线 f(x,y) 0按 y y k.向量 a r (h,k) 平移得曲线 f(x h,y k) 0.说明：( 1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？( 2) 向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例 18 (1)按向量 a r 把(2, 3)平移到(1, 2) ，则按向量 a r把点( 7,2)平 移到点 ________ . 结果： ( 8,3) ；(2)函数 y sin 2x 的图象按向量 a r平移后，所得函数的解析式是点坐标公式为特别地，当1).x 1 x 2 , 2 y 1 y 2 .2 在使用定比分点的坐标公式时， 应明确 (x,y) ，(x 1,y 1)、(x 2,y 2)13uM uuN ur，则点 P 的坐标为 uuu ury cos2x 1 ，则a r _________ . 结果：( ,1) .4 十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：|a r| |b r| |a r b r| |a r| |b r|.(1)右边等号成立条件： (2)左边等号成立条件： (3)当 a r 、b r 不共线 |a r | 3. 三角形重心公式在 △ABC 中，若 A(x 1, y 1) ， B(x 2,y 2) ， C(x 3,y 3) ，则其重 心的 坐标为举例 19 若△ABC 的三边的中点分别为 心的坐标为 . 结果： 32,34.335. 三角形“三心”的向量表示G 为△ ABC 的重心，特别地 u P uu A r u P u Bur u P u C ur 0r G为△ ABC 的重心 .uuur uuur uuur uuur uuur uuur(2)PA PB PB PC PC PA P 为△ ABC 的垂心 .uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur( 3 ) |AB|PC |BC|PA |CA|PB 0 P 为 △ ABC 的 内 心 ； 向 量 uuur uuur uu A u B ur uu A u C ur ( 0)所在直线过 △ ABC 的内心. |AB | | AC |6.点 P 分有向线段 u P 1uu P ur 2所成的比 向量形式设点 P 分有向线段 P 1P 2所成的比为 ，若 M 为平面内的任一点，则 uuuur uuuur uuuur uuuur u M uu P r MP 1MP 2，特别地 P 为有向线段 u P u 1u P ur 2的中点 u M uu P r MP 1MP 2. 127. 向 量 u P u A ur ,u P u B ur ,u P u C ur 中三终 点 A,B,C 共线 存 在实数 , ，使得 uuuruuur uuur PA PB PC 且1．举例 20 平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) ，B( 1,3)， 若点 C满足 OC 1OA 2OB ,其中 1, 2R 且 1 21, 则点 C 的轨迹是 . 结 果：直线 AB .a r 、b 同向或a r 、b a r 、b r 反向或r rr rrG(x 1 x 2 x 3 3y 1y 2y 3 ) 3)A(2,1) 、B( 3,4)、C( 1, 1)，则 △ ABC 的重 uuur 1 uuur uuur uuur1) PG (PA PB PC)r。
平面向量的三点共线定理及其应用技巧
思路探寻在解答平面向量问题时，经常要用到平面向量的运算法则、定理、几何意义、公式等.对于多点在同一直线上的问题，可以利用平面向量的三点共线定理进行求解.如图1，O 为直线外一点，在△OPA 中， AP =OP - OA ,设 OP =λ OA +μ OB ,则AP =λ OA +μ OB - OA =μ OB+(λ-1) OA =m ( OB - OA )，而在△OBA 中， AB = OB -OA ，即 AB =mAP ，所以A 、B 、P 三点共线.在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是对于平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x 、y ，使得 OP =x OA +yOB 且x +y =1.这就是平面向量的三点共线定理.该定理常用于判断三点是否共线，证明几个点是否在同一条直线上，求某个向量的表达式，求参数的值等.下面结合实例探讨一下如何运用平面向量三点共线定理解题.例1.已知O 为锐角三角形ABC 的外心，AB =3,AC =6，若 AO =x AB +yAC ，且3x +10y =5，求三角形ABC 的面积.解：由3x +10y =5，得3x 5+2y =1.由题意可得AO =x AB +y AC =3x 5(53 AB )+2y (12AC ),如图2，在直线AB ，AC 上取两点D ,E ，使得 AD =53 AB ， AE =12 AC ，则 AO =3x 5 AD +2y AE ，又3x 5+2y =1，所以O ,D ,E 三点共线.因为O 为△ABC 的外心，且|| AE =|| EC ，则DE ⊥AC ，又|| AD =5，||AE =3，可得sin ∠BAC =45，故S △ABC =12×|| AB ×||AC ×sin ∠BAC=12×3×6×45=365.根据向量式的特点以及3x +10y =5联想到要三点共线定理，于是在直线AB 、AC 上取两点D 、E ，证明 AO =3x 5AD +2y AE ，即可根据三点共线定理证明O ,D ,E 三点共线，从而根据三角形外心的性质和面积公式求得问题的答案.例2.如图3所示，在△ABO 中，OC =14 OA ， OD =12OB ，AD 与BC 相交于点M .设 OA =a ，OB =b ，试用 a 和 b 来表示向量 OM .解：设 OM =ma +nb ，则 AM = OM - OA =m a +n b - a =(m -1)a +nb ，AD = OD - OA =12 OB - OA =-a +12b ，因为A ,M ,D 三点共线，所以存在实数t ，使得 AM =tAD ，即(m -1)a →+n b →=t (-a →+12b →)，所以ìíîïïm -1=-t ,n =t 2,消去t 得m +2n =1，又因为CM = OM - OC =(m -14)a →+n b →， CB = OB - OC =-14a →+b →，且B ,M ,C 三点共线，所以存在实数t 1，使得 CM =t 1CB ，即(m -14)a →+n b →=t 1（-14a →+b →），所以ìíîïïm -14=-14t 1n =t 1，消去t 1得4m +n =1，由上述两式得m =17，n =37，故 OM =17 a +37b .解答本题需抓住A ,M ,D 三点共线和B ,M ,C 三点共线这两个关键点，再将 OA 和OB 作为基底表示出其他向量，利用待定系数法来求参数的值.向量共线定理是平面向量中的一个重要定理.合理运用三点共线定理，往往能起到化繁为简的功效，使问题快速得解.同学们要重视三点共线定理，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）图1图2图348Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
(完整版)平面向量基本定理
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
C C'
1200
60
A
B
1. 平面向量基本定理 2.平面向量基本定理的应用 3.向量的夹角与垂直 4.转化思想方法及其应用
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
向量的正交分解
ur uur
一一、般地数,乘实数的定与义向量：a 的积是一个向量,记作:a
它的长度和方向规定如下:
(1)| ar (2)当
当 (3)当
||
0
0 0
时时时|| a,,r,或|;aaa的的方方0向向时与与, aaa
的方向相同; 的方向相同;
0
二(((213))、)第结第数一合二乘分 律分的配:配律律运::算(律((ar：ar )b)rar) (ara)rararbr
（2）定理中向量a 是任一向量，实数1与唯2 一.
（3）1e1 叫2 e做2 向量 关于a 基底 的e分1 , 解e2 式. (4)基底给定时,分解形式唯一.
典
基底的概念
例 【例1】若向量a，b不共线，且c 2a b,d 3a 2b,试判断
精 向量c 与d 能否作为基底.
反 (2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y＝________.
馈
3.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起， 若A→D＝xA→B＋yA→C，则 x＝_______，y＝______.
知识点二、向r 量的r 夹u角uur 与r垂直: B
两个非零向量 a 和 b ,作OA a ， b
D.A→B，D→A
巩 2.若点o是平行四边形ABCD 的中心，AB 4e1 ,BC 6e2 ,
051平面向量基本定理及共线向量定理
三．课后作业
1．(2015·课标全国Ⅱ，理)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
2．已知向量 ， ， ，其中 、 不共线，若 ，则 =， =．
3.已知： 点C在 内,且 则 ．
1）若向量 与 相等的条件是 且
2）若向量 ，则
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa；
2．典型例题
考向一 平面向量基本定理
1.下列各组中的 与 能否作基底：（1） ， ； （2） ， ；
2.如图所示，| |＝| |＝1，| |＝ ，∠AOB＝60°， ⊥ ，设 ＝x ＋y ，求实数x，y的值．
8.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ＝m ， ＝n ，则m＋n的值为________．
9.在△ABC中， ＝ ，P是直线BN上的一点．若 ＝m ＋ ，则实数m的值为()
A．－4 B．－1C．1 D．4
10.已知 点 在 上， . 则向量 等于()A． B． C． D．
11.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的值为()
A. B．－ C．1 D．－1
12.在三棱柱 中，侧面 底面 ， ，且侧面 为菱形.
证明： 平面 ；
若 ， ，直线 与底面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
平面向量基本定理和共线定理
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．
平面向量基本定理及共线向里之应用(精)
平面向量的概念与其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注平行向量方向一样或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向一样或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向一样的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘XX数λ与向量a的积(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；[例3]在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， 则实数x 的取值X 围是( )．A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C．(－1,0) D ．(0,1)[例4]若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC的形状为________．[例5]在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ， 试用a ，b 表示AG →.[课堂巩固]1．如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ的面积之比为( )A ．15B ．45C ． 14 D ．13A3．如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+=.3、向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.3、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m 的值是多少？4、在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求y x +4的最小值。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳一、平面向量的基本概念1、向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
物理学中又叫做矢量。
2、向量的表示（1）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（2）字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a、b、c 等来表示向量，手写时可写成带箭头的小写字母。
3、向量的模向量的大小叫做向量的模，记作或。
4、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作。
零向量的方向是任意的。
5、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
6、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
规定：零向量与任意向量平行。
7、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
8、相反向量长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。
二、平面向量的线性运算1、向量的加法（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点 A，作，，则向量叫做与的和，记作，即。
（2）平行四边形法则：已知两个不共线的向量、，作，，以、为邻边作平行四边形 ABCD，则对角线上的向量就是与的和。
（3）运算性质：交换律；结合律。
2、向量的减法（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点 O，作，，则向量叫做与的差，记作，即。
（2）几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。
3、向量的数乘（1）定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。
（2）运算律：结合律；分配律，。
三、平面向量的基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。
2、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数 x、y，使得，则有序数对叫做向量的坐标，记作，其中 x 叫做在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标。
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平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念
名称定义备注
平行向
量方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向
量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向
量
长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向
量
长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量
运算
定义法则(或几何意义)运算律
加法求两个向量
和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法求a与b的相反向量－
b的和的运算叫做a与
b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘数λ与
向量a的积
的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向
相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方
向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
P
C
A
B
Q 【例4】若点O 是△ABC 所在平面的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →
|，则△ABC 的形 状为________．
【例5】在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →
＝b ， 试用a ，b 表示AG →
.
【课堂巩固】
1． 如图，设P 、Q 为△ABC 的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋1
4
AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( )
A ．1
5 B ．
45 C ． 14 D ．13
3．如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若
AM AB BC λμ=+，则λμ+= .
3、向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R ),则
λ
μ
=_________.
3、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m 的值是多少？
A
B
C
H
•M
b
c
a
4、在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →， AN →＝yAC →
， 求y x +4的最小值。
5、如图，已知2,1,4,OA OB OC OA OB ===与的夹角为1200，OA OC 与的夹角为300，用,OA OB OC 表示.
6、在平面上,12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+.若1
2
OP <
,则OA 的取值围是 （ ）
A ．50,2⎛⎤
⎥ ⎝⎦ B ．57,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ C ．5,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ D ．7,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
7．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB + 的最小值为____________
8．O 是平面上一定点,,,A B C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足(),[0,),||||
AB AC OP OA AB AC λλ=++∈+∞
则P 的轨迹一定通过△ABC 的 A ．外心
B ．心
C ．重心
D ．垂心
B
C
A
O
G
C
O
B
A
9．如右图，平面的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边 界)．设OP →＝mOP 1→＋nOP 2→
，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( ) A ．m >0，n >0 B ．m >0，n <0 C ．m <0，n >0 D ．m <0，n <0
8．如图， O 是△ABC 外任一点，若1
()
3OG OA OB OC =++，求证：G 是△ABC 重心
9．已知：如图，点L 、M 、N 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且BL BC ＝l ，CM CA ＝m ，AN
AB ＝n ， 若AL
→＋BM →＋CN →＝0.求证：l ＝m ＝n .
10、在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的点．且
1BF a FC a =-，1DE b
EC b
=
-，若 AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．
E
D
A
11、如图所示，OM AB ∥，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值围是 ；当12
x =-时，y 的取值围是 ．
O
B
M
A
P
12、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD xAB y AC =+， 则x = ， y = ．
13．已知点P 在△ABC 所在的平面，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的 比值为________．
14.如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝1
4AC ＋λAB (λ∈ R )，则AD 的长为________．
15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________.
16、如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE ＝m AB ，AF ＝ n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N . (1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ； (2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．
60︒
45︒
E
D
B
C
A
【课后思考】
1.如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE(包括边界)的动点．设AP＝αAB＋βAF(α，β∈R)，则α＋β的取值围是________．
2．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，
（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求的取值围。