2019-2020学年高中数学《三角函数、平面向量、解三角形》练习题1 必修4.doc

合集下载

(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且3CD =，3a b =，则c 的值为（）A ．72B ．473C ．3D ．232．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，3c =，则S =（） A ．3 B ．36C ．16D ．3 3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin 3sin 2B A B A A -++=，且7c =，3C π=，则a =（）A ．1B ．221C ．1或221D ．21 4．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若13,3,60a b A ===︒，则边c =（） A ．1 B ．2C ．4D ．65．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,43,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒6．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．D ．7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ，若sin sin CA=22b a -=，则cos C 等于（）A ．12B ．13C ．14D ．158．在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,且0AD AC ⋅=,sin 3BAC ∠=,AB =BD =, 则cos C ( )A ．63B ．3C ．3D ．139．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin cos 0b A B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb +的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．210．已知锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22sin sin sin sin B A A C -=⋅，3c =，则a 的取值范围是（）A ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,2C ．()1,3D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =，1a cc a+=+，则B = （） A ．56π B ．6π C ．3π D ．2π 12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，且8a c +=，则AC 边上中线长的最小值是（）A ．2B ．4C ．D ．二、填空题13．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，OA =B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.14．已知ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且222sin 2a b c c B a a+--=，则B =___________.15．在△ABC 中，∠ABC 为直角，点M 在线段BA 上，满足BM ＝2MA ＝2，记∠ACM ＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC 是唯一确定的，则BC ＝_____．16．锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()12cos c a B =+，则ba的取值范围是______． 17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin C B =，则cos A =________.18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22212b c a -=，则tan B =________.19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 的最大角的大小是________.20．某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A 、B 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点D 、C 、E ，从D 点测得67.5ADC ∠=，从点C 测得45ACD ∠=，75BCE ∠=，从点E 测得60BEC ∠=，并测得23DC =，2CE =（单位：千米），测得A 、B 两点的距离为___________千米.三、解答题21．已知在△ABC 3sin （A +B ）＝1+2sin 22C ．（1）求角C 的大小；（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．22．在①π2=+A C ，②5415cos -=c a A ，③ABC 的面积3S =这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，且______，______，求c ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．23．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知)cos cos A c a C =.（1）求c b；（2）若cos 2c A b =，且ABC 的面积为4，求a . 24．在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判ABC 断的形状.25．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.()cos cos sin A c B b C a A +=; ②2cos 2b cC a-=③tan tan tan tan A B C B C ++=.已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ， . （1）求A ;（2）若2,a b c =+=ABC 的面积.26．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 内角A ，B ，C 2sin 0b A -=. （1）求角B ；（2）若b =，5a c +=，求ABC 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==，由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2．D解析：D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+，利用面积公式和和差角公式求出角C ，用余弦定理求出ab ，求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+，所以22cos cos cos ab C b C bc B =+，所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以13cos ,sin 2C C ==.由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===，得13ab =，所以1sin 212S ab C ==故选：D 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．3．C解析：C 【分析】由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，可得结果．【详解】∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC 为直角三角形，且2A π=．∵c =3C π=，∴sin3a ==②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =，由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-，即()()22173232a a a a =+-⋅⋅，解得1a =．综上可得，a =1故选：C ．【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，考查学生分类讨论思想，属于中档题．4．C解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）．考点：余弦定理，正弦定理．5．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin a b B A B =⇒=,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.6．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案．【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．A解析：A 【分析】由已知利用正弦定理可得c =，结合已知22b a -=，可求得2b a =，进而根据余弦定理可求cos C 的值．【详解】sinsin CA=∴由正弦定理可得：ca=c =，又22b a -=，2223b a a ∴-=，可得2b a =，222222431cos 2222a b c a a a C ab a a +-+-∴===⨯，故选：A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．A解析：A 【分析】求出90BAC BAD ∠=∠+︒，代入利用诱导公式化简sin BAC ∠，求出cos BAD ∠的值，根据余弦定理求出AD 的长度，再由正弦定理求出BC 的长度，求得sin C ，再利用同角三角函数基本关系式即可计算求得结果【详解】0AD AC ⋅=，可得AD AC ⊥90DAC ∴∠=︒，90BAC BAD DAC BAD ∠=∠+∠=∠+︒()sin sin 90cos 3BAC BAD BAD ∴∠=∠+︒=∠=在ABC 中，AB =BD =根据余弦定理可得22222cos 1883BD AB AD AB AD BAD AD AD =+-∠=+-=解得3AD =或5AD =当5AD =时，AD AB >，不成立，故设去当3AD =时，在ABD 中，由正弦定理可得:sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又cos BAD ∠=，可得1sin 3BAD ∠=，则sin ABsin BAD ADB BD ∠∠==ADB DAC C ∠=∠+∠，90DAC ∠=︒cosC =故选A 【点睛】本题是一道关于三角函数的题目，熟练运用余弦定理，正弦定理以及诱导公式是解题的关键，注意解题过程中的计算，不要计算出错，本题有一定综合性9．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值．【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ．【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．10．D解析：D 【分析】由正弦定理可得三边的关系，再由余弦定理可得312cos a B=+，结合三角形为锐角三角形可得a 的取值范围. 【详解】∵22sin sin sin sin B A A C -=⋅， ∴由正弦定理可得22b a ac -=，∵由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2222cos a c ac B a ac +-=+，又3c =，∴可得312cos a B=+，∵锐角ABC 中，若B 是最大角，则B 必须大于 3π，所以,3B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题.11．B解析：B 【分析】根据正弦定理，边角互化可得2b ac =，再根据2221a c a c b c a ac+-+-=，利用余弦定理求角.【详解】∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac=，∴2221a c a c b c a ac+-+-==∴cos B =，又()0,πB ∈∴6B π=．故选:B ．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.12．C解析：C 【分析】根据等差中项的性质，结合正弦定理化简可得3B π=，设AC 中点为D ，再利用平面向量的线性运算可得1||||2BD BA BC =+，再平方利用基本不等式求解即可. 【详解】cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，2cos cos cos b B a C c A ∴=+，根据正弦定理有2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，2sin cos sin B B B ∴=，又sin 0B ≠，1cos 2B ∴=，可得3B π=，设AC 中点为D ，则AC 边上中线长为1||||2BD BA BC =+，平方可得()()2222221112()444BD BA BC BA BC c a ac a c ac ⎡⎤=++⋅=++=+-⎣⎦ 2221()3()()124416a c a c a c ⎡⎤+≥+-=+=⎢⎥⎣⎦，当且仅当4a c ==时取等号，故2BD 的最小值为12，即AC 边上中线长的最小值为故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理边角互化的运用，同时也考查了利用基本不等式求最值的问题，同时在处理三角形中线的时候可以用平面向量表示从而简化计算，属于中档题.二、填空题13．【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积解析：【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解．【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC θ=⋅⋅︒=OAB 的面积11sin 122OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ=13(sin )60)2θθθ=-=-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为：【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14．(或)【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化整理已知条件最后变形为求角的值【详解】根据余弦定理可知所以原式变形为根据正弦定理边角互化可知又因为则原式变形整理为即因为所以（或）故答案为（或）【点睛】方解析：135︒(或34π) 【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化，整理已知条件，最后变形为tan 1B =-，求角B 的值. 【详解】根据余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，所以原式222sin 2a b c c B a a+--=，变形为cos sin b C c B a -=，根据正弦定理边角互化，可知sin cos sin sin sin B C C B A -=，又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，则原式变形整理为sin cos B B -=, 即tan 1B =-，因为()0,180B ∈，所以135B =（或34π）故答案为135（或34π）【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．15．【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出的值再利用两角差的正切公式求得从而求出的值【详解】解：设则为锐角∴∴依题意若对于给定的是唯一的确定的可得解得即的值为故答案为：【点睛】本题主要考查直角三角【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出tan ACB ∠、tan NCB ∠的值，再利用两角差的正切公式求得tan tan()ACB MCB θ=∠-∠，从而求出BC 的值．【详解】解：设BC x =，ACM θ∠=，则θ为锐角，∴3tan ACB x ∠=，2tan MCB x∠=， ∴tan tan()ACB MCB θ=∠-∠232132661x x x x x x x x -===+++，依题意，若对于给定的ACM ∠，ABC ∆是唯一的确定的，可得6x x=，解得6x =BC 6，6．【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，属于中档题．16．【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角的关系由为锐角三角形得到角的范围进而利用二倍角公式得出的取值范围【详解】由已知得即为锐角三角形故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用考查两角和与差的正弦解析：23)，【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角A ，B 的关系，由ABC 为锐角三角形得到角A 的范围，进而利用二倍角公式得出ba的取值范围．【详解】由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+得sin()sin B A A -=B A A ∴-=，即2B A =ABC 为锐角三角形 2,322B AC A B A ππππ∴=<=--=-<23,cos ()64A A ππ∴<<∴∈ sin 2sin cos 2cos (2,3)sin sin b B A A A a A A∴===∈故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，属于中档题．17．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，∴=c ，根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，又222a b =，故可联立方程：222222cos 2c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A =.故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．3【分析】由题意结合余弦定理得进而可得再由余弦定理即可求得利用平方关系求得进而求得【详解】由余弦定理可得即又所以所以所以所以所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用考查了同角三角函数解析：3 【分析】由题意结合余弦定理得c =，进而可得a =，再由余弦定理即可求得cos B =，利用平方关系求得sin B =，进而求得sin tan 3cos B B B ==. 【详解】4A π=，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即222b a c -=-，又22212b a c -=，所以2212c c =-，所以3c =， 222222145299a b c b b b =-=-=，所以a =，所以22222258cos 233b b ba cb B ac +-+-===，所以sin B ==，所以sin tan 3cos BB B==，故答案为：3. 【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用，考查了同角三角函数关系式，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.19．【分析】根据设根据大角对大边确定角C 是最大角再利用余弦定理求解【详解】因为所以设所以角C 是最大角因为所以则的最大角是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：23π 【分析】根据sin :sin :sin 3:5:7A B C =，设()3,5,7,0a t b t c t t ===>，根据大角对大边，确定角C 是最大角，再利用余弦定理求解. 【详解】因为sin :sin :sin 3:5:7A B C =，所以设()3,5,7,0a t b t c t t ===>，所以角C 是最大角2221cos 22a b c C ab +-==-，因为()0,C π∈，所以23C π=，则ABC 的最大角是23π. 故答案为：23π 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】在中分析边角关系可得在中由正弦定理可求得的值然后在中利用余弦定理可求得的长【详解】在中则在中则由正弦定理得可得在中由余弦定理得因此（千米）故答案为：【点睛】本题考查距离的测量问题考查了利用正解析：3【分析】在ACD △中，分析边角关系可得AC CD ==BCE 中，由正弦定理可求得BC 的值，然后在ABC 中，利用余弦定理可求得AB 的长. 【详解】在ACD △中，45ACD ∠=，67.5ADC ∠=，CD =67.5CAD ∴∠=，则AC CD ==在BCE 中，60BEC ∠=，75BCE ∠=，CE 45CBE ∠=，由正弦定理得sin 45sin 60CE BC=，可得2sin 60sin 45CE BC ===在ABC 中，AC =BC =，18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=，由余弦定理得2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=，因此，3AB =（千米）. 故答案为：3. 【点睛】本题考查距离的测量问题，考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）3π；（2）【分析】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin （C +6π）＝1，再根据角的范围可得解；（2）利用正弦定理求出AB ，求出AIB ∠，设出ABI ∠，将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值可得解. 【详解】（1）∵（A +B ）＝1+2sin 22C，且A +B +C ＝π， ∴C ＝1+1﹣cos C ＝2﹣cos C C +cos C ＝2，∴sin （C +6π）＝1．∵C ∈（0，π），∴C +6π∈（6π，76π），∴C +6π＝2π，即C ＝3π．（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，sin ABACB∠＝sin 3AB π＝2×2＝4，∴AB ＝23， ∵∠ACB ＝3π，∴∠ABC +∠BAC ＝23π，∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI +∠BAI ＝3π，∴∠AIB ＝23π，设∠ABI ＝θ，则∠BAI ＝3π﹣θ，且0＜θ＜3π，在△ABI 中，由正弦定理得，sin()3BIπθ-＝sin AI θ＝sin ABAIB ∠＝232sin3π＝4， ∴BI ＝4sin （3π﹣θ），AI ＝4sin θ， ∴△ABI 的周长为3+4sin （3π﹣θ）+4sin θ＝33θ﹣12sin θ）+4sin θ ＝33θ+2sin θ＝4sin （θ+3π）3 ∵0＜θ＜3π，∴3π＜θ+3π＜23π，∴当θ+3π＝2π，即6πθ=时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为3，故△ABI 的周长的最大值为3．【点睛】关键点点睛：将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值是解题关键.22．答案见解析. 【分析】选条件①②．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，3sin 5B =，再结合π2=+A C ，得π22B C =-，故3cos25C =，进而得sin C =最后利用正弦定理求解．选条件①③．结合已知由面积公式得sin 2a C =，结合π2=+A C ，得π22B C =-，故由正弦定理得sin 3cos sin cos2b A Ca B C==，所以3sin24cos2C C =，再根据π0π2A C <=+<02πC <<，进一步结合同角三角函数关系得3cos25C =，利用二倍角公式得sin C =最后由正弦定理得sin sin b Cc B=选条件②③．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，再根据面积公式得10ac =，由余弦定理得2225a c +=，联立方程解得c =c =．【详解】解：方案一：选条件①②．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=，由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=．因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以5cos sin 4sin B A A =．因为sin 0A >，所以cos 45B =，3sin 5B ==．因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-，所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以21cos21sin 25C C -==．因为()0,πC ∈，所以sin C =，在ABC中，由正弦定理得3sin 53sin 5b Cc B===方案二：选条件①③．因为1sin 32S ab C ==，3b =，所以sin 2a C =．因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-．在ABC 中，由正弦定理得π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B CC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3sin cos 2cos2C CC=，即3sin24cos2C C =．因为π0π,20π,A C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩所以π02C <<，02πC <<，所以sin20C >，所以cos20C >．又22sin 2cos 21C C +=，所以3cos25C =，所以21cos21sin 25C C -==，所以sin C = 在ABC中，由正弦定理得3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b Cb C b Cc BC C ====⎛⎫- ⎪⎝⎭．方案三：选条件②③．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=，由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=，因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以5cos sin 4sin B A A =．因为sin 0A >，所以cos 45B =，3sin 5B ==．因为1sin 32S ac B ==，所以10ac =．（ⅰ）在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2225a c +=．（ⅱ）由（ⅰ）（ⅱ）解得c =c =．【点睛】试题把设定的方程与三角形内含的方程（三角形的正、余弦定理，三角形内角和定理等）建立联系，从而求得三角形的部分定量关系，体现了理性思维、数学探索等学科素养，考查逻辑思维能力、运算求解能力，是中档题.本题如果选取②5415cos -=c a A ，则需根据3b =将问题转化为545cos c a b A -=，再结合边角互化求解.23．（1）3；（2）【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可求得结果；（2）根据三角形的面积公式以及余弦定理可求得结果. 【详解】（1）因为)cos cos A c a C =，cos sin sin cos C A C A C -=，()sin cos sin cos sin C C A A C A C =+=+，而()sin sin A C B +=b =，故3c b =.（2）由（1）知cos 6A =，则sin 6A =，又ABC 的面积为21sin 244bc A c ==，则3c =，b =由余弦定理得2222cos 2792327a b c bc A =+-=+-⨯=，解得a =. 【点睛】关键点点睛：利用正余弦定理以及三角形的面积公式求解是解题关键. 24．（1）120︒；（2）等腰钝角三角形. 【分析】（1）根据2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，利用正弦定理转化为222b c a bc +-=-，再利用余弦定理求解.（2）根据（1）利用两角差的正弦公式和辅助角公式转化为sin sin B C +=()sin 601B +=求解.【详解】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，所以22(2)(2)a b c b c b c =+++，即222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，因为()0,A π∈，所以120A =.（2）由（1）知()sin sin sin sin 60B C B B +=+-，()1cos sin sin 60122B B B =+=+=，因为()0,60B ∈，所以6090B +=，解得30,30B C ==，所以ABC 是等腰三角形.【点睛】方法点睛：有关三角形形状的判断方法：灵活运用正、余弦定理实现边角转化，合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式辅助角公式等，通过边或角进行判断．25．（1）3A π=；（2 【分析】第（1）小问：方案①中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得3A π=；方案②首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得3A π=；方案③利用两角和的正切公式将tan tan tan A B C ++化成tan tan()(1tan tan )A B C B C ++⋅-，再利用tan()tan B C A +=-对式子进行化简得到3A π=；第（2）小问：由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==可以得到关于,b c的关系式，再结合b c +=2bc =，最后求得三角形的面积即可.【详解】()1方案①()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=()2sin sin A C B A +=，2sin sin A A A =又()0,A π∈，所以sin 0A ≠，所以tan A = 所以3A π=方案②：由已知正弦定理得()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin C A B C A C C A C A C C=-=+-=+-所以2cos sin sin 0,A C C -=即2cos sin sin ,A C C =又()0,C π∈，所以sin 0,C ≠ 所以1cos 2A =所以3A π=方案③：因为tan tan tan tan A B C B C ++=所以tan tan tan tan tan tan()(1tan tan )A B C B C A B C B C ++==++⋅- ()tan tan 1tan tan tan tan tan A A B C A B C =--=tan tan tan tan B C A B C =又()0A B C π∈,,,，所以tan 0,tan 0B C ≠≠，所以1tan ,2A A ==所以3A π=()2由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==，得224b c bc =+- 即()243b c bc +=+，又因为b c +=所以2bc =所以1sin 22ABC S bc A == 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.26．（1）3B π=；（2）2. 【分析】（12sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=求解.（2）根据b =5a c +=，由余弦定理得到6ac =，代入三角形的面积公式求解. 【详解】（1）∵2sin 0b A -=， ∴2sin sin 0A B A -=，∵sin 0A ≠，∴sin 2B =， ∵B 为锐角， ∴3B π=.（2）由余弦定理得2222cos3=+-b a c ac π，整理得2()37a c ac +-=，∵5a c +=，∴6ac =，∴ABC 的面积1sin 2S ac B ==. 【点睛】方法点睛：三角形面积问题的求解方法：（1）灵活运用正、余弦定理实现边角转化；（2）合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．。

“平面向量、三角函数、解三角形、数列”跟踪训练

平平面面向向量量㊁㊁三三角角函函数数㊁㊁解解三三角角形形㊁㊁数数列列跟跟踪踪训训练练ʏ河南省商丘市实验中学马春林一、选择题1.已知角θ的终边在直线y=-22x 上,则8s i n2θ-1c o sθ等于()㊂A.6B.6或12C.-6或12D.-6或-122.已知әA B C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2b c o s C,b-ac-a= s i n A+s i n Cs i n B,则әA B C是()㊂A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知等比数列{a n}中,a2=3,a5=81,b n=l o g3a n,数列{b n}的前n项和为T n,则T8=()㊂A.36B.28C.45D.324.已知在әA B C中,3s i n A,3,4c o s B 成等差数列,3c o s A+4s i n B=l o g66,则角C 的大小为()㊂A.5π6B.π2C.π6D.π6或5π65.已知向量a=(c o s2α,s i nα),b=(1, 2s i nα-1),αɪπ2,π,若a㊃b=25,则t a nα+π4的值为()㊂A.23B.13C.27D.176.已知α,β为锐角,且3c o sα(s i nβ+1) =2s i nα-12c o sα,c o s5π2-α-c o sα-3π=6s i nπ-βs i nπ2+α,则s i nβs i nα等于()A.3105B.2109C.109D.1067.在әA B C中,点P满足B Pң=3P Cң,过点P的直线与A B,A C所在的直线分别交于点M,N,若A Mң=λA Bң,A Nң=μA Cң(λ> 0,μ>0),则λ+μ的最小值为()㊂A.22+1B.32+1C.32D.528.已知G是әA B C的重心,A Gң=λ㊃A Bң+μA Cң(λ,μɪR),若øA=120ʎ,A Bң㊃A Cң=-2,则|A Gң|的最小值是()㊂A.33B.22C.23D.349.已知әA B C是边长为2的等边三角形,且A Eң=E Bң,A Dң=2D Cң,则B Dң㊃C Eң= ()㊂A.-3B.-2C.-1D.310.定义一种运算:a⊗b=a,aɤb,b,a>b,令f(x)=(c o s2x+s i n x)⊗54,且xɪ0,π2,则函数y=f x-π2+34的最大值是()㊂A.54B.74C.2D.311.已知әA B C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且s i n2(B+C)=s i n2B+ s i n2C+s i n B s i n C,a=6,则当әA B C的面积最大时,әA B C的周长L等于()㊂A.6+23B.26+3C.6+22D6+23212.已知函数f(x)=s i n(ωx+φ)ω>0,|φ|ɤπ2,x=-π4为f(x)的零点, x=π4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在π18,5π36内单调,则ω的最大值为()㊂A.11B.9C.7D.513.若M是边长为2的正六边形A B C-D E F内及边界上一动点,则A Bң㊃A Mң的最大值与最小值之差为()㊂A.2B.4C.6D.814.已知f(x)=2s i n2ωx+π3-1(ω>0),给出下列结论:①若f(x1)=1,f(x2)=-1,且|x1-x2|m i n=π,则ω=1;②存在ωɪ(0,2),使得f(x)的图像向左平移π6个单位长度后得到的图像关于y轴对称;③若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点,则ω的取值范围为4124,4724;④若f(x)在-π6,π4上单调递增,则ω的取值范围为0,23㊂其中,所有正确结论的编号是()㊂A.①②B.②③C.①③D.②④二㊁填空题15.已知向量a=(1,3),向量b为单位向量,且a㊃b=1,则2b-a与2b的夹角为㊂16.设数列{a n}是首项为1的正项数列,且(n+1)a2n+1-n a2n+a n+1a n=0(n=1,2, 3, ),则数列{a n}的通项公式是㊂17.已知数列a n c o s nπ3的前n项和为S n,S2017=5710,S2018=4030,若数列{a n}为等差数列,则S2019=㊂18.若s i n3θ-c o s3θ>c o s5θ-s i n5θ7,且θɪ(0,2π),则θ的取值范围是㊂19.已知S n为数列{a n}的前n项和,a1 =a2=1,平面内三个不共线的向量O Aң,O Bң, O Cң,满足O Cң=(a n-1+a n+1)O Aң+(1-a n)㊃O Bң,nȡ2,nɪN*,若A,B,C在同一条直线上,则S2018=㊂20.已知数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+1n,若对于任意的nɪN*,a n<λ2+2λ恒成立,则实数λ的取值范围是㊂21.已知首项为正数的等比数列{a n}的公比为q,曲线C n:a n x2+a n+1y2=1,则下列叙述正确的为㊂①q=1,C n为圆;②q=-1,C n的离心率为2;③q>1,C n的离心率为1-1q;④q<0,C n为共渐近线的双曲线㊂22.在әA B C中,A C=6,B C=7,c o s A =15,O是әA B C的内心,若O Pң=x O Aң+ y O Bң,其中0ɤxɤ1,0ɤyɤ1,则动点P的轨迹所覆盖的面积为㊂23.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n>0,2S n=a2n+a n,若不等式2S n+9ȡ(-1)n k a n对任意的nɪN*恒成立,则k的取值范围是㊂24.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S7<0,S8>0,则a5a4的取值范围是㊂三㊁解答题25.设递增数列{a n}满足a1=1,a1,a2, a5成等比数列,且对任意的nɪN*,函数f(x)=a n+2-a n+1-(a n-a n+1)c o s x-a n s i n x满足f(π)=0㊂(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}的前n项和为S n,b n= 1S n,数列{b n}的前n项和为T n,证明:T n<2㊂26.在平面直角坐标系x O y中,已知点A-12,0,B32,0,锐角α的终边与单位圆O交于点P㊂(1)当A Pң㊃B Pң=-14时,求α的值㊂(2)试问:在x轴上是否存在定点M,使得|A Pң|=12|M Pң|恒成立若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由㊂27.在әA B C中,a,b,c分别为内角A,B ,C 的对边,且2s i n A c o s C =2s i n B -s i n C ㊂(1)求A 的大小;(2)在锐角әA B C 中,若a =3,求b +c 的取值范围㊂28.已知函数f (x )的图像是由函数g (x )=c o s x 的图像经如下变换得到:先将g (x )图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得的图像向右平移π2个单位长度㊂(1)求函数f (x )的解析式,并求其图像的对称轴方程㊂(2)已知关于x 的方程f (x )+g (x )=m 在[0,2π)内有两个不同的解α,β㊂①求实数m 的取值范围;②请用含m 的式子表示c o s (α-β)㊂29.已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=11,且a 2,a 5,a 6成等比数列㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n|,求S n ㊂30.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,2S n n =a n +1-13n 2-n -23,n ɪN *㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:对一切正整数n ,有1a 1+1a 2++1a n<74㊂31.某地区森林原有木材存量为a ,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ,设a n 为n 年后该地区森林木材的存量㊂(1)求a n 的表达式㊂(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量应不少于79a ,如果b =1972a ,那么该地区今后会发生水土流失吗若会,需要经过多少年?(参考数据:l g 2ʈ0.3)32.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-94,且4S n +1=3S n -9㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{b n }满足3b n +(n -4)a n =0,记{b n }的前n 项和为T n ,若T n ɤλb n 对任意的n ɪN *恒成立,求λ的取值范围㊂33.已知向量m =(s i n x ,1),n =3A c o s x ,A 2c o s 2x(A >0),函数f (x )=m ㊃n 的最大值为6㊂(1)求A 的值,以及函数图像的对称轴方程和对称中心;(2)将函数y =f (x )的图像向左平移π12个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图像,求y =g (x )在0,5π24上的值域㊂参考答案:一㊁选择题1.B2.A3.B4.C5.D6.B7.B8.C9.B 10.C 11.C 12.B 13.D 14.D 二㊁填空题15.π3 16.a n =1n 17.666 18.π4,5π419.2 20.(-ɕ,-3]ɣ[1,+ɕ) 21.①③④ 22.106323.[-7,7.25] 24.(-ɕ,-1)三㊁解答题25.(1)因为f (x )=a n +2-a n +1-(a n -a n +1)c o s x -a n s i n x ,所以f (π)=a n +2-a n +1+a n -a n +1=0,即2a n +1=a n +a n +2,故{a n }是以1为首项的等差数列㊂设数列{a n }的公差为d ,则d >0㊂因为a 1,a 2,a 5成等比数列,所以a 22=a 1a 5,即(a 1+d )2=a 1(a 1+4d ),又a 1=1,解得d =2,所以a n =2n -1㊂(2)由(1)可得S n =(a 1+a n )n 2=n 2,所以b n =1n2,因此T 1=b 1=1<2㊂又因为当n ȡ4时,1n 2<1n (n -1)=1n -1-1n ,所以T n =b 1+b 2+b 3+ +b n =112+122+132+ +1n 2<112+11ˑ2+12ˑ3+ +1n n -1 =1+1-12+ +1n -1-1n =2-1n<2㊂综上所述,T n <2㊂26.(1)由题意知P (c o s α,s i n α),则A P ң=c o s α+12,s i n α ,B P ң=c o s α-32,s i n α㊂所以A P ң㊃B Pң=c o s α+12㊃c o s α-32+s i n 2α=c o s 2α-c o s α-34+s i n 2α=14-c o s α=-14,即c o s α=12㊂又因为α为锐角,所以α=π3㊂(2)存在㊂设M (m ,0),则M P ң=(c o s α-m ,s i n α)㊂所以|A P ң|2=c o s α+122+s i n 2α=1+c o s α+14=c o s α+54;|M P ң|2=(c o s α-m )2+s i n 2α=1-2m c o s α+m 2㊂因为|A P ң|=12|M P ң|,所以c o s α+54=14(1-2m c o s α+m 2),即1+m 2c o s α+1-m 24=0对任意的αɪ0,π2 恒成立,所以1+m 2=0,1-m24=0,解得m =-2,即点M 的横坐标为-2㊂27.(1)在әA B C 中,因为B =π-A +C,所以2s i n A c o s C =2s i n B -s i n C =2s i n A c o s C +2c o s A s i n C -s i n C ⇒2c o s A s i n C =s i n C ㊂又因为s i n C ʂ0,所以c o s A =12,故A =π3㊂(2)在锐角әA B C 中,a =3,由(1)知A =π3,B +C =2π3㊂由正弦定理得a s i n A =332=2,b +c =2s i n B +2s i n C =2s i n B +2s i n B +π3=3s i n B +3c o s B =23s i n B +π6 ㊂因为B ɪ0,π2 ,C =2π3-B ɪ0,π2,所以B ɪπ6,π2 ,B +π6ɪπ3,2π3 ,s i n B +π6 ɪ32,1,所以b +c =23㊃s i n B +π6 ɪ(3,23]㊂28.(1)将g (x )=c o s x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y =2c o s x 的图像,再将y =2c o s x 的图像向右平移π2个单位长度后得到y =2c o s x -π2的图像,故f (x )=2s i n x ㊂所以函数f (x )=2s i n x 图像的对称轴方程为x =k π+π2,k ɪZ ㊂(2)①f (x )+g (x )=2s i n x +c o s x =5s i n (x +φ),其中s i n φ=15,c o s φ=25㊂依题意,s i n (x +φ)=m5在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当m5<1时成立,故m 的取值范围是(-5,5)㊂②因为α,β是方程5s i n (x +φ)=m 在区间[0,2π)内的两个不同的解,所以s i n (α+φ)=m5,s i n (β+φ)=m5㊂当1<m <5时,α+β=2π2-φ,即α-β=π-2(β+φ);当-5<m <1时,α+β=23π2-φ ,即α-β=3π-2(β+φ)㊂所以c o s (α-β)=-c o s 2(β+φ)=2s i n 2(β+φ)-1=2m 52-1=2m 2-55㊂29.(1)设{a n }的公差为d (d ʂ0),由题意得a 25=a 2a 6,即(a 1+4d )2=(a 1+d )㊃(a 1+5d ),化简得2a 1d +11d 2=0,又因为a 1=11,所以d =-2或d =0(舍去),所以a n =-2n +13㊂(2)由(1)知,当n ɤ6时,a n >0;当n ȡ7时,a n <0㊂当n ɤ6时,S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=a 1+a 2+a 3+ +a n =n a 1+n (n -1)2=12n -n 2;当n ȡ7时,S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=a 1+a 2+a 3+ +a 6-(a 7+a 8+ +a n )=2S 6-S n =72-(12n -n 2)=n 2-12n +72㊂综上可得,S n =12n -n 2,n ɤ6,n 2-12n +72,n ȡ7㊂30.(1)因为2S n n =a n +1-13n 2-n -23,n ɪN *,所以2S n =n a n +1-13n 3-n 2-23n =n a n +1-n (n +1)(n +2)3㊂所以当n ȡ2时,2S n -1=(n -1)a n -(n -1)n (n +1)3㊂故2a n =2S n -2S n -1=n a n +1-(n -1)㊃a n -n (n +1)⇒a n +1n +1-a nn=1㊂所以数列a nn是首项为a 11=1,公差为1的等差数列,故a nn=1+1ˑ(n -1)=n ,所以a n =n 2(n ȡ2)㊂当n =1时,上式显然成立㊂综上可得,a n =n 2(n ɪN *)㊂(2)由(1)知,a n =n 2(n ɪN *)㊂当n =1时,1a 1=1<74,即原不等式成立㊂当n =2时,1a 1+1a 2=1+14<74,即原不等式也成立㊂当n ȡ3时,因为n 2>(n -1)(n +1),所以1n2<1(n -1)(n +1)=121n -1-1n +1㊂所以1a 1+1a 2+ +1a n=112+122+ +1n2<1+11ˑ3+12ˑ4+ +1(n -2)n +1(n -1)(n +1)=1+1211-13 +1212-14 + +121n -2-1n+121n -1-1n +1 =1+121-13+12- 14+ +1n -2-1n +1n -1-1n +1 =1+121+12-1n -1n +1=74+12㊃-1n -1n +1 <74㊂所以当n ȡ3时,原不等式成立㊂综上可得,对一切正整数n ,有1a 1+1a 2++1a n<74㊂31.(1)设第一年森林的木材存量为a 1,第n 年后森林的木材存量为a n ,所以a 1=a 1+14-b =54a -b ,a 2=54a 1-b =54 2a -54+1b ,a 3=54a 2-b =54 3a -54 2+54+1 b , ,a n=54 na -54 n -1+54 n -2+ +1b =54 na -454 n-1b ,n ɪN *㊂(2)依题意可知,当b =1972a 时,由a n <79a ,得54n a -454n-1ˑ1972a <79a ,化简得54 n>5,所以n >l g 5l g 5-2l g 2=1-l g 21-3l g 2ʈ7㊂故该地区今后会发生水土流失,需要经过8年㊂32.(1)当n =1时,4(a 1+a 2)=3a 1-9,又a 1=-94,故4a 2=-a 1-9=94-9=-274⇒a 2=-2716㊂当n ȡ2时,由4S n +1=3S n -9,得4S n =3S n -1-9,所以4S n +1-4S n =4a n +1=3a n ,得a 2=34a 1=-2716ʂ0,所以a n ʂ0,故a n +1a n=34㊂又因为a 2a 1=34,所以{a n }是首项为-94,公比为34的等比数列㊂所以a n =-94㊃34n -1=-3㊃34n㊂(2)由3b n +n -4 a n =0,得b n =-n -43a n =(n -4)34n㊂所以T n =(-3)ˑ34+(-2)ˑ342+(-1)ˑ343+0ˑ344+ +(n -4)ˑ34n㊂所以34T n =(-3)ˑ342+(-2)ˑ34 3+(-1)ˑ34 4+0ˑ34 5+ +(n -4)34 n +1㊂所以14T n =T n -34T n =(-3)ˑ34+342+343+344+ +34n-(n -4)34n +1=-94+9161-34 n -11-34-(n -4)34n +1=-n34n +1㊂所以T n=-4n34n +1㊂由T n ɤλb n 恒成立,得-4n 34n +1ɤλ(n -4)34n恒成立,即λ(n -4)+3n ȡ0恒成立㊂当n =4时,不等式恒成立;当n <4时,λɤ-3n n -4=-3-12n -4,得λɤ1;当n >4时,λȡ-3n n -4=-3-12n -4,得λȡ-3㊂综上可得,-3ɤλɤ1㊂所以λ的取值范围是[-3,1]㊂33.(1)因为m =(s i n x ,1),n =3A c o s x ,A 2c o s 2x(A >0),所以f (x )=m ㊃n =3A s i n x c o s x +A 2c o s 2x =A s i n 2x +π6㊂由函数f (x )=m ㊃n 的最大值为6⇒A =6㊂由2x +π6=π2+k π,k ɪZ ⇒x =π6+k π2,k ɪZ ,即对称轴方程为x =π6+k π2,k ɪZ ㊂当2x +π6=k π时,y =0,即对称中心为-π12+k π2,0,k ɪZ ㊂(2)由(1)知函数f (x )=6s i n 2x +π6㊂将函数y =f (x )的图像向左平移π12个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标保持不变,得到g (x )=6s i n 4x +π3㊂因为x ɪ0,5π24,所以4x +π3ɪπ3,7π6 ,所以s i n 4x +π3 ɪ-12,1 ,所以g (x )ɪ[-3,6]㊂所以g (x )的值域为[-3,6]㊂(责任编辑王福华)。

2019届高考数学总复习分类试卷三角函数、解三角形、平面向量

2019届高考数学总复习分类试卷三角函数、解三角形、平面向量(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知sin(88°+θ)=23,则cos(178°+θ)=()A.23B.-23C.√53D.-√532.设P是△ABC所在平面内的一点,且CP⃗⃗⃗⃗ =2PA⃗⃗⃗⃗ ,则△PAB与△PBC的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.343.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=23,则b=( ) A.14 B.6 C.√14 D.√64.函数f(x)=cos(x+π4)-cos(x-π4)是( )A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数5.函数y=2sin(π6-2x)(x∈[-π,0])的单调递增区间是( )A.[-π,-5π6] B.[-π3,0] C.[-2π3,-π6] D.[-π3,-π6]6.已知函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,π2]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为( )A.{13,23,1} B.{16,13} C.{13,23} D.{16,23}7.若把函数y=sin(ωx-π6)的图象向左平移π3个单位,所得到的图象与函数y=cos ωx的图象重合,则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.128.在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,CM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗ =( )A.-113B.-43C.43D.1139.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC的面积是( )A.3B.9√32C.3√32D.3√310.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C 等于( )A.34B.43C.-43D.-3411.已知△ABC是边长为1的等边三角形,则(AB⃗⃗⃗⃗⃗ -2BC⃗⃗⃗⃗ )·(3BC⃗⃗⃗⃗ +4CA⃗⃗⃗⃗ )=( )A.-132B.-112C.-6-√32D.-6+√3212.将函数f(x)=2sin(ωx-π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[0,π4]上为增函数,则ω的最大值为( )A.1B.2C.3D.41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.若单位向量e1,e2的夹角为π3,向量a=e1+λe2(λ∈R),且|a|=√32,则λ=.14.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4√3S=(a+b)2-c2,则角C的大小为.15.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(π24)= .16.在平面四边形ABCD中,若AB=1,BC=2,∠B=60°,∠C=45°,∠D=120°,则AD= .三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=√3sin 2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(其中0<ω<1),若点(-π6,1)是函数f(x)图象的一个对称中心.(1)求f(x)的解析式,并求距y轴最近的一条对称轴的方程;(2)先列表,再作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)·cos(x+π4)+sin 2x+a的最大值为1.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,若方程g(x)=m在x∈[0,π2]上有解,求实数m的取值范围.19.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+1a=4cos C,b=1.(1)若A=90°,求△ABC的面积;(2)若△ABC的面积为√32,求a,c.20.(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2asin A=(2sin B-√3sinC)b+(2sin C-√3sin B)c.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=2√3,求△ABC的面积.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos(2x+2π3)+√3sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)设△ABC的三个内角分别是A,B,C,若f(C2)=-12,且AC=1,BC=3,求sin A的值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2√3sin xcos x-3sin 2x-cos 2x+2. (1)当x ∈[0,π2]时,求f(x)的值域;(2)若△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足ba =√3,sin(2A+C)sinA=2+2cos(A+C),求f(B)的值.三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1.B ∵sin(88°+θ)=23,∴cos(178°+θ)=cos(90°+88°+θ)=-sin(88°+θ)=-23.2.B ∵CP ⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,又△PAB 边PA 上的高与△PBC 边PC 上的高相等,∴S △PAB S△PBC=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12. 3.D 在△ABC 中,由asinA =bsinB,可得bsin A=asin B,又bsin A=3csin B,所以a=3c,又a=3,故c=1.由b 2=a 2+c 2-2accos B,cos B=23,可得b=√6.故选D.4.D f(x)=cos (x +π4)-cos (x -π4)=-√2sin x,所以函数f(x)是周期为2π的奇函数. 5.C 因为y=2sin (π6-2x)=-2sin (2x -π6),所以函数y=2sin (π6-2x)的单调递增区间就是函数y=sin (2x -π6)的单调递减区间.由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z ),解得π3+kπ≤x ≤5π6+kπ(k∈Z ),即函数y=2sin (π6-2x)的单调递增区间为[π3+kπ,5π6+kπ](k ∈Z ),又x ∈[-π,0],所以k=-1,故函数y=2sin (π6-2x)(x ∈[-π,0])的单调递增区间为[-2π3,-π6].6.A 由题意知{π2ω≥π2,3ωπ=kπ,k ∈Z,即{0<ω≤1,ω=k 3,k ∈Z,则ω=13或ω=23或ω=1.7.A 把函数y=sin (ωx -π6)的图象向左平移π3个单位得函数y=sin [ω(x +π3)-π6]=sin [ωx +(π3ω-π6)]的图象,由题意,得π3ω-π6=2kπ+π2(k ∈Z ),所以ω=6k+2(k∈Z ),所以ω的一个可能取值是2,故选A.8.C 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13×32-23×22+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13+13×3×2cos π3=43,故选C. 9.C c 2=(a-b)2+6,即c 2=a 2+b 2-2ab+6①.∵C=π3,∴由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab②,由①和②得ab=6,∴S △ABC =12absin C=12×6×√32=3√32,故选C.10.C 由2S=(a+b)2-c 2得2×12absin C=a 2+b 2-c 2+2ab,得absin C=2abcos C+2ab,sin C-2cos C=2,∴sin 2C+4cos 2C-4sin Ccos C=4, ∴tan 2C -4tanC+4tan 2C+1=4,∴tan C=-43或0(舍去),故选C.11.B (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -8BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°-6|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°-8|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°=3×1×1×(-12)-6×12+4×1×1×(-12)-8×1×1×(-12)=-32-6-2+4=-112,故选B. 12.B 将函数f(x)=2sin (ωx -π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得g(x)=2sin ω(x +π3ω)-π3=2sin (ωx +π3-π3)=2sin ωx 的图象,当x ∈[0,π4]时,ωx∈[0,ωπ4],要使y=g(x)在[0,π4]上为增函数,需满足ωπ4≤π2,即ω≤2,故ω的最大值为2.二、填空题 13.答案 -12解析由题意可得e 1·e 2=12,|a |2=(e 1+λe 2)2=1+2λ×12+λ2=34,化简得λ2+λ+14=0,解得λ=-12. 14.答案π3解析由4√3S=a 2+b 2-c 2+2ab 可得,2√3absin C=2abcos C+2ab,即√3sin C-cos C =2sin (C -π6)=1,sin (C -π6)=12,由题意知0<C<π,∴-π6<C-π6<56π,∴C -π6=π6,解得C=π3. 15.答案 √3解析由题图可知:T=2(3π8-π8)=π2, ∴ω=2,∴2×π8+φ=kπ+π2,k ∈Z ,又|φ|<π2, ∴φ=π4.又f(0)=1,∴Atan π4=1, 得A=1,∴f(x)=tan (2x +π4),∴f (π24)=tan (π12+π4)=tan π3=√3. 16.答案√6-√22解析连接AC.在△ABC 中,AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC ·cos 60°=3,所以AC=√3,又AC 2+BA 2=4=BC 2,所以△ABC 是直角三角形,且∠BAC=90°.在四边形ABCD 中,∠BAD=360°-(60°+45°+120°)=135°,因此∠CAD=∠BAD-∠BAC=45°,所以∠ACD=180°-∠CAD-∠D=15°.在△ACD 中,由ADsin ∠ACD =ACsin ∠D,即ADsin15°=√3sin120°,得AD=√3sin15°sin120°=√3×(√6-√2)4×√3=√6-√22. 三、解答题17.解析 (1)f(x)=√3sin 2ωx+(cos 2ωx -sin 2ωx)(cos 2ωx+sin 2ωx)+1=√3sin 2ωx+cos 2ωx+1 =2sin (2ωx +π6)+1.∵点(-π6,1)是函数f(x)图象的一个对称中心,∴-ωπ3+π6=kπ,k∈Z ,∴ω=-3k+12,k ∈Z . ∵0<ω<1,∴ω=12,∴f(x)=2sin (x +π6)+1.由x+π6=kπ+π2,k ∈Z ,得x=kπ+π3,k ∈Z ,令k=0,得距y 轴最近的一条对称轴方程为x=π3.(2)由(1)知, f(x)=2sin (x +π6)+1,当x ∈[-π,π]时,列表如下:x+π6-5π6-π2π2π 7π6 x-π -2π3 -π6π3 5π6 π f(x) 0 -1 13 1则函数f(x)在区间[-π,π]上的图象如图所示.18.解析 (1)f(x)=√3sin (2x +π2)+sin 2x+a=√3cos 2x+sin 2x+a=2sin (2x +π3)+a,由题意知2+a=1,解得a=-1. 由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z , 解得-5π12+kπ≤x ≤π12+kπ,k∈Z ,∴函数f(x)的单调递增区间是[-5π12+kπ,π12+kπ],k ∈Z .(2)∵将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,∴g(x)=f (x +π6)=2sin [2(x +π6)+π3]-1=2sin (2x +2π3)-1,当x ∈[0,π2]时,2x+2π3∈[2π3,5π3],当2x+2π3=2π3时,sin (2x +2π3)=√32,g(x)取最大值√3-1; 当2x+2π3=3π2时,sin (2x +2π3)=-1,g(x)取最小值-3.∴-3≤m ≤√3-1. 19.解析 (1)∵b=1, ∴a+1a =4cos C=4×a 2+b 2-c 22ab=2(a 2+1−c 2)a,∴2c 2=a 2+1.又A=90°,∴a 2=b 2+c 2=c 2+1, ∴2c 2=a 2+1=c 2+2,解得c=√2, ∴S △ABC =12bcsin A=12bc=12×1×√2=√22.(2)∵S △ABC =12absin C=12asin C=√32, ∴sin C=√3a ,∵a+1a=4cos C,∴[14(a +1a)]2+(√3a)2=1, 化简得(a 2-7)2=0,∴a=√7, ∴cos C=2√77. 由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab ·cos C =7+1-2×√7×1×2√77=4,从而c=2.20.解析 (1)由已知及正弦定理可得2a 2=(2b-√3c)b+(2c-√3b)c,整理得b 2+c 2-a 2=√3bc,所以cos A =√32. 又A ∈(0,π),故A=π6. (2)由a sinA=b sinB ,a=2,b=2√3,A=π6, 得sin B=√32. 又B ∈(0,5π6),故B=π3或2π3. 若B=π3,则C=π2,于是S △ABC =12ab=2√3; 若B=2π3,则C=π6,于是S △ABC =12absin C=√3. 21.解析 (1)f(x)=2cos (2x +2π3)+√3sin 2x=-cos 2x,∴函数f(x)的最小正周期T=π,函数f(x)的最大值为1. (2)由(1)知f(x)=-cos 2x, ∴f (C2)=-cos C=-12,可得cos C=12. ∵C∈(0,π),∴sin C=√32. 由余弦定理可得,AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C=1+9-2×1×3×12=7, ∴AB=√7.第 11 页共 11 页 ∴由正弦定理可得,sin A=BC ·sinC AB =3×√32√7=3√2114. 22.解析 (1)f(x)=2√3sin xcos x-3sin 2x-cos 2x+2 =√3sin 2x-2sin 2x+1=√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6).∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6], ∴sin (2x +π6)∈[-12,1],∴f(x)在x ∈[0,π2]上的值域是[-1,2]. (2)由题意可知sin[A+(A+C)]=2sin A+2sin Acos(A+C),即sin Acos(A+C)+cos Asin(A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C), 化简可得sin C=2sin A,由正弦定理可得c=2a,∵b=√3a,∴cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-3a 22a ·2a =12, ∵0<B<π,∴B=π3.∴f(B)=2sin (2×π3+π6)=1.。

高考数学(理)二轮专题练习：三角函数、解三角形、平面向量(含答案)

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与 θ终边同样 (α的终边在 θ终边所在的射线上 )? α＝ θ＋ 2k π(k ∈ Z )，注意：相等的角的终边必定同样，终边同样的角不必定相等．随意角的三角函数的定义：设α是随意一个角， P(x ， y)是 α的终边上的随意一点 (异于原点 ) ，它与原点的距离是 r ＝ x 2＋y 2>0，那么 sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ y(x ≠ 0)，三角函数值只与角r r x 的大小相关，而与终边上点P 的地点没关．[问题 1] 已知角 α的终边经过点 P(3，－ 4)，则 sin α＋ cos α的值为 ________．答案－152．同角三角函数的基本关系式及引诱公式 (1) 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1.sin α (2) 商数关系： tan α＝.cos α(3) 引诱公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－ απ－ απ＋ α2π－ απ－ α2sin －sin α sin α －sin α － sin α cos α cos cos α － cos α－ cos αcos αsin α9π 7π [问题 2] cos ＋ tan －＋ sin 21 π的值为 ___________________________ ．46答案22－333．三角函数的图象与性质 (1) 五点法作图；π(2) 对称轴： y ＝sin x ， x ＝ k π＋ 2， k ∈Z ；y ＝ cos x ， x ＝ k π，k ∈ Z ；π k π 对称中心： y ＝ sin x ，( k π，0) ，k ∈ Z ；y ＝ cos x ， k π＋， 0 ，k ∈ Z ； y ＝tan x ，，0 ，k ∈ Z .22(3) 单一区间：y ＝ sin x 的增区间： π π－＋2k π，＋ 2k π ( k ∈Z )，2 2 π 3π＋ 2k π，＋ 2k π(k ∈ Z )；减区间： 22y ＝ cos x 的增区间： [－ π＋ 2k π，2k π] (k ∈ Z )，减区间： [2k π， π＋ 2k π] k(∈ Z )；π πy ＝ tan x 的增区间：－＋ k π，＋ k π (k ∈ Z )．22(4) 周期性与奇偶性：y ＝ sin x 的最小正周期为 2π，为奇函数； y ＝ cos x 的最小正周期为 2π，为偶函数； y ＝ tan x 的最小正周期为 π，为奇函数．易错警告：求 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的单一区间时，简单出现以下错误：(1) 不注意 ω的符号，把单一性弄反，或把区间左右的值弄反；(2) 忘记写＋ 2k π，或＋ k π等，忘记写 k ∈ Z ；π (3) 书写单一区间时，错把弧度和角度混在一同．如[0,90 ]°应写为0，2 .[问题 3]函数 y ＝ sin － 2x ＋ π的递减区间是 ________．3π 5 答案k π－ 12， k π＋ 12π(k ∈ Z )4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式令α＝βsin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β――→sin 2α＝2sin αcos α.令 α＝βcos(α±β)＝ cos αcos β?sin αsin β――→ cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝ 2cos 2α－ 1＝ 1－2sin 2α.tan(α±β)＝ tan α±tan β1?tan .αtan β21＋ cos 2α21－ cos 2α2tan αcos α＝2， sin α＝， tan 2α＝2 .21－ tan α在三角的恒等变形中，注意常有的拆角、拼角技巧，如：α＝ (α＋ β)－β， 2α＝ (α＋ β)＋ (α－β)，1α＝ 2[( α＋ β)＋ (α－ β)] ．π π π πα＋＝ (α＋ β)－ β－， α＝ α＋－ .44443π3 π 12 π[问题 4] 已知 α，β∈ 4 ，π， sin( α＋ β)＝－ 5， sin β－ 4 ＝13，则 cos α＋4 ＝ ________.答案－ 56655．解三角形(1) 正弦定理： a ＝ b ＝ c＝ 2R( R 为三角形外接圆的半径 )．注意： ①正弦定理的一些变 sin A sinB sin C式： (ⅰ )a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶sin C ；(ⅱ )sin A ＝ a ，sin B ＝ b ，sin C ＝ c；(ⅲ )a ＝ 2Rsin A ，2R 2R 2Rb ＝ 2Rsin B ，c ＝ 2Rsin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要联合详细状况进行弃取．在△ABC 中 A>B? sin A>sin B.222(2) 余弦定理： a 2＝ b 2＋c 2－2bccos A ，cos A ＝ b ＋ c － a 等，常采用余弦定理判定三角形的形状．2bc[问题 5]在△ ABC 中， a ＝ 3， b ＝ 2， A ＝ 60°，则 B ＝ ________.答案45°6．向量的平行与垂直设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，且 b ≠0，则 a ∥ b ? b ＝ λa ? x 1y 2－x 2y 1＝ 0.a ⊥b (a ≠ 0)? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.0 当作与随意愿量平行，特别在书写时要注意，不然有质的不一样．[问题 6]以下四个命题：①若 |a |＝0，则 a ＝ 0；②若 |a |＝ |b |，则 a ＝ b 或 a ＝－ b ；③若 a ∥b ，则 |a |＝ |b |；④若 a ＝ 0，则－ a ＝ 0.此中正确命题是 ________．答案 ④7．向量的数目积 |a |2＝ a 2＝ a ·a ，a ·b ＝ |a||b |cos θ＝ x 1x 2＋ y 1 y 2，cos θ＝ a ·b ＝x 1x 2 ＋y 1 y 2 ，|a||b |x 12＋ y 12 x 22＋ y 22a ·b ＝ x 1x 2＋ y1y 2a 在b 上的投影＝ |a |cos 〈 a ， b 〉＝ |b|x 22＋ y 22 .注意：〈a ， b 〉为锐角 ? a ·b >0 且 a 、 b 不一样向；〈 a ， b 〉为直角 ? a ·b ＝ 0 且 a 、 b ≠0；〈 a ， b 〉为钝角 ? a ·b <0 且 a 、 b 不反向．易错警告：投影不是 “影 ”，投影是一个实数，能够是正数、负数或零．[问题 7]已知 |a |＝ 3， |b |＝ 5，且 a ·b ＝ 12，则向量 a 在向量 b 上的投影为 ________．12答案58．当 a ·b ＝ 0 时，不必定获得 a ⊥ b ，当 a ⊥ b 时， a ·b ＝ 0；a ·b ＝ c ·b ，不可以获得 a ＝c ，消去律不建立； ( a ·b )c 与 a ( b ·c )不必定相等， (a ·b )c 与 c 平行，而 a ( b ·c )与 a 平行．[问题 8]以下各命题：①若 a ·b ＝ 0，则 a 、b 中起码有一个为＝ c ；③对随意愿量 a 、 b 、 c ，有 (a ·b ) c ≠a (b ·c )；④对任一直量0；②若 a ≠0， a ·b ＝a ·c ，则22a ，有 a ＝ |a | .此中正确命题是b________．答案④9．几个向量常用结论：→ → →① PA ＋ PB ＋ PC ＝ 0? P 为 △ ABC 的重心；→→ → → →→② PA ·PB ＝PB ·PC ＝ PC ·PA? P 为 △ABC 的垂心；→→ABAC③向量 λ( → ＋ → ) ( λ≠ 0)所在直线过 △ ABC 的心里；|AB| |AC|→ → →④ |PA|＝ |PB|＝ |PC|? P 为 △ ABC 的外心．易错点 1 图象变换方向或变换量掌握禁止致误例 1 要获得 y ＝ sin(－ 3x)的图象，需将 y ＝ 22(cos 3x －sin 3x)的图象向 ______平移 ______ 个单位 (写出此中的一种特例即可 )．错解右π π或右1242π 找准失分点 y ＝ 2 (cos 3x － sin 3x)＝ sin 4－ 3x＝ sin － 3 x － π .12π题目要求是由 y ＝ sin － 3x ＋ 4 → y ＝ sin(－ 3x)．ππ右移平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了．412正解y ＝2π－ 3x2 (cos 3x －sin 3x)＝sin 4π＝ sin － 3 x － 12 ，ππ 2要由 y ＝ sin － 3 x － 12 获得 y ＝ sin( －3x)只要对 x 加上 12即可，因此是对 y＝2 (cos 3x － sin 3x)π 向左平移 12个单位．答案左π12易错点 2忽略隐含条件的发掘致误例 2ππ已知 cos α＝ 1， sin(α＋ β)＝ 5 3， 0< α< ， 0<β<，求 cos β.71422错解由ππ0<α<， 0<β< ，得 0<α＋β<π，2 211则 cos(α＋β)＝ ± .141 π4 3由 cos α＝ 7，0< α<2，得 sin α＝ 7.71 1 故 cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]＝ cos(α＋β)cos α＋sin( α＋ β)·sin α＝或 .98 2找准失分点由 0<α＋ β<π，且 sin( α＋ β)＝ 5 33，14<2 π 2π 1 1∴ 0<α＋ β< 或<α＋ β<π，又 cos α＝ < ，337 2π π 2π 11∴ <α< ，即 α＋ β∈，π， ∴ cos(α＋ β)＝－14.323正解π 1 <cosπ 1，∵ 0< α< 且 cos α＝＝273 2π π π∴ <α< ，又 0<β< ，322π< 3，∴ <α＋ β<π，又 sin( α＋ β)＝5 3314 22π∴ 3 <α＋ β<π. ∴ cos(α＋ β)＝－1－ sin 2α＋ β ＝－1114，24 3sin α＝ 1－ cos α＝ 7 .∴ cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]1＝ cos(α＋ β)cos α＋ sin( α＋ β)sin α＝2.易错点 3 忽略向量共线致误例 3已知 a ＝(2,1) ， b ＝ (λ， 1)， λ∈ R ，a 与 b 的夹角为 θ.若 θ为锐角，则 λ的取值范围是__________．错解∵ cos θ＝a ·b＝2λ＋ 1.2|a| |b ·| 5· λ＋ 1因 θ为锐角，有 cos θ>0 ，2λ＋ 1∴2 >0? 2λ＋ 1>0，5· λ＋ 1得 λ>－1， λ的取值范围是－1，＋∞ .22找准失分点 θ为锐角，故 0<cos θ<1，错解中没有清除 cos θ＝ 1 即共线且同向的状况．正解由 θ为锐角，有 0<cos θ<1.又 ∵ cos θ＝ a ·b ＝ 2λ＋ 1 ，|a| |b ·| 25· λ＋ 1∴ 0<2λ＋ 12≠1，5· λ＋ 12λ＋1>0 ，λ>－ 1，∴2＋ 1 ，解得22λ＋ 1≠5· λλ≠ 2.∴ λ的取值范围是 λ|λ>－ 12且 λ≠2.1答案λ|λ>－且λ≠21． (2014 ·纲领全国 )已知角 α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ()4 3 A. 5B. 534C ．－ 5D ．－5答案 D分析由于角 α的终边经过点x 4 (－4,3)，所以 x ＝－ 4， y ＝ 3， r ＝ 5，所以 cos α＝＝－ .r52． (2014 ·纲领全国 )设 a ＝sin 33 ，°b ＝ cos 55 ，°c ＝ tan 35 ，°则 ( )A ．a>b>cB ． b>c>aC ． c>b>aD ． c>a>b答案 C分析∵ a ＝ sin 33 ，°b ＝ cos 55 °＝ sin 35 ，°c ＝ tan 35 °＝sin 35 °cos 35 ，°又 0<cos 35 °<1， ∴ c>b>a.4π3．已知 sin θ＋ cos θ＝ 3 (0< θ< 4)，则 sin θ－ cos θ的值为 ()2 2 1 1A. 3B ．－ 3C.3 D ．－ 3答案B分析∵ sin θ＋ cos θ＝ 4， ∴ (sin θ＋ cos θ)2＝ 1＋ sin 2θ＝ 16， ∴ sin 2θ＝ 7，3 9 9π 又 0<θ< ， ∴ sin θ<cos θ.4∴ sin θ－ cos θ＝－θ－ cos θ 22＝－ 1－ sin 2θ＝－ 3 .4．已知 a ， b 是单位向量， a ·b ＝ 0，若向量 c 知足 |c － a － b |＝ 1，则 |c |的取值范围是( )A ．[ 2－1， 2＋1]B ．[ 2－1， 2＋2]C．[1，2＋ 1]D．[1，2＋2]答案A分析∵ a·b＝0，且a， b 是单位向量，∴ |a|＝ |b|＝ 1.又∵ |c－a－b|2＝c2－ 2c·(a＋b)＋ 2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋ 1.∵ |a|＝ |b|＝ 1 且a·b＝ 0，∴|a＋b|＝2，∴c2＋1＝2 2|c|cosθ(θ是 c 与 a＋ b 的夹角)．又－ 1≤cos θ≤1，∴ 0<c2＋ 1≤2 2|c|，∴c2－2 2|c|＋1≤0，∴2－ 1≤|c|≤ 2＋ 1.5.函数 f(x)＝ Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如下图，那么f(0) 等于 ()A ．－1B．－ 1 2C．－3D．－ 3 2答案B分析由题图可知，函数的最大值为2，所以 A＝ 2.又由于函数经过点ππ， 2 ，则 2sin2×＋φ＝ 2，33ππ即 2×＋φ＝＋ 2kπ， k∈Z，32π得φ＝－＋2kπ，k∈ Z.6f(0) ＝ 2sin φ＝ 2sin π－＋ 2kπ＝－ 1. 66．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对边的长分别为a，b， c，若 a2＋ b2＝ 2c2，则 cos C 的最小值为 ()3211A. 2B. 2C.2D．－2答案Ca2＋ b2－ c2c2分析∵ cos C＝2ab＝2ab，又∵ a2＋ b2≥2ab，∴2ab≤2c2.11∴ cos C≥ .∴ cos C 的最小值为 .22→ →π7． (2014 ·山东 )在△ ABC 中，已知 AB·AC＝ tan A，当 A＝6时，△ ABC 的面积为 ________．1 答案6π分析已知 A ＝ 6，→ → π π 由题意得 |AB||AC|cos＝ tan，66→ →2|AB||AC|＝ 3，所以 △ABC 的面积1 → → π 12 1 1S ＝ |AB||AC |sin＝××＝.26 2 3 2 68． (2014 ·江苏 )已知函数 y ＝ cos x 与 y ＝ sin(2x ＋ φ)(0 ≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为点，则 φ的值是 ________．答案π6分析由题意，得π π sin 2×＋ φ ＝cos，33由于π0≤φ<π，所以 φ＝ .6π π9．已知函数 f(x)＝Asin( ω＋ φ)，x ∈ R (此中 A>0，ω>0，－ 2<φ<2)，其部分图象如下图．若横坐标分别为－1,1,5 的三点 M ，N ， P 都在函数 f(x)的图象上，记∠ MNP ＝ θ，则 cos 2θ的值是 ________ ．π3的交答案－725分析由图可知， A ＝ 1， f(x)的最小正周期 T ＝ 8，2ππ所以 T ＝ ω ＝ 8，即 ω＝ .4πππ又 f(1) ＝sin( ＋ φ)＝ 1，且－ <φ< ，4 2 2 π π 3π所以－ <φ＋ < ，4 4 4 π π π即 φ＋＝，所以 φ＝ .424π所以 f(x)＝sin(x ＋ 1)．4由于 f(－ 1)＝ 0， f(1) ＝ 1， f(5)＝－ 1，所以 M(－ 1,0)，N(1,1)， P(5，－ 1)．→ → → →所以 NM ＝ (－ 2，－ 1)，NP ＝ (4，－ 2)， NM ·NP ＝－ 6，→ →5，|NM |＝ 5， |NP|＝ 2→ →则 cos ∠ MNP ＝NM·NP＝－ 3， →→ 5|NM| ·|NP|3即 cos θ＝－ 5.于是 cos 2θ＝ 2cos2θ－ 1＝－ 257.π23， x ∈ R . 10． (2014 天·津 )已知函数 f(x)＝ cos x ·sin(x ＋ 3)－ 3cos x ＋ 4 (1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在闭区间 [－ π π， 4 ]上的最大值和最小值．41sin x ＋3 23 解 (1)由已知，有 f(x)＝cos x ·(2cos x)－3cos x ＋421 3 23＝ sin x ·cos x －2cos x ＋421 3 (1＋ cos 2x)＋ 3＝ sin 2x －4441 3 cos 2x＝ sin 2x －441π＝ sin(2x － )．23所以 f(x)的最小正周期T ＝ 2π＝ π.2(2) 由于 f(x)在区间 [－ π π[－ π π，－ ] 上是减函数，在区间12 ， ] 上是增函数， 4 124 π 1 π 1 ， f( π 1 f(－ ) ＝－， f(－ 12)＝－ 2 )＝，4 4 4 4所以，函数 f(x)在闭区间 π π1 ，最小值为－ 1 [－， ] 上的最大值为 4.4 42。

高一数学三角函数与平面向量测试卷及答案

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．角α的终边上有一点P （a ，−2a ）（a ＞0），则sin α等于（）A 、−55B 、−552C 、55D 、5522．下列函数中，周期是π的偶函数是（）A 、y ＝2−sin 2xB 、y ＝|sinx|＋|cosx|C 、y ＝cos 22x−sin 22xD 、y ＝sin|x|3．已知角α是第二象限角，且|cos 2α|＝−cos 2α，则角2α是（）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角4．（1＋tan18°）（1＋tan27°）的值是（）A 、3B 、1＋2C 、2D 、2（tan18°＋tan27°）5．设a ＝22（sin17°＋cos17°），b ＝2cos 213°−1，c ＝23，则（）A 、c ＜a ＜bB 、b ＜c ＜aC 、a ＜b ＜cD 、b ＜a ＜c6．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是（弧度）（）A 、1B 、4C 、πD 、1或47．已知cos(x −6π)＝−33，则cosx ＋cos(x −3π)＝（）A 、−332 B 、±332 C 、−1 D 、±18．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则 •（＋）等于（）A 、−94B 、−34C 、34D 、949．设＝(−3，m)，＝(4，3)，若与的夹角是钝角，则实数m 的取值范围是（）A 、m ≠4且m ≠−49B 、m ＜4且m ≠−49C 、m ＞4D 、m ＜410．已知函数y ＝Asin （ωx ＋φ）＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π，直线x ＝6π是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（） A 、y ＝4sin （2x ＋6π） B 、y ＝2sin （2x ＋6π）＋2 C 、y ＝−2sin （x ＋3π）＋2 D 、y ＝2sin （x ＋3π）＋2 11．如图，一直线EF 截平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 于E ，F ，且交其对角线于K ，其中＝31，＝21，＝λ，则λ的值为（） A 、51 B 、41 C 、31 D 、2112．给出下列四个命题，其中错误的命题有（）个．（1）将函数y ＝sin(2x ＋3π)的图象向右平移3π个单位，得到函数y ＝sin2x 的图象；（2）函数y ＝sin2x ＋cos2x 在x ∈[0，2π]上的单调递增区间是[0，8π]；（3）设A 、B 、C ∈(0，2π)且sinA −sinC ＝sinB ，cosA ＋cosC ＝cosB ，则B −A 等于−3π；（4）方程sin 2x ＋2sinx ＋a ＝0有解，则a 的取值范围是[−3，1]．（5）在同一坐标系中，函数y ＝sinx 与函数y ＝2x 的图象有三个交点． A 、3 B 、2 C 、1 D 、0二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f （x ）＝1tan -x ＋21x -的定义域为_______________．14．若＝（2，−2），则与垂直的单位向量的坐标为_____________．15．若动直线x ＝a 与函数f （x ）＝sin （x ＋6π）＋sin （x −6π）和g （x ）＝cosx 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为_____________．16．已知O 是△ABC 的外心，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，若＝λ1＋λ2，则λ1＋λ2的值为_______________．三．解答题：本大题共6小题，共70分．17．已知f(α)＝)3tan()2cos()23sin()cos()23cos()5sin(παπαπααππααπ-⋅+⋅-+⋅+⋅-（1）化简f （α）（2）若α是第三象限角，且cos(23π−α)＝51，求f （α）的值．18．已知函数f （x ）＝−3sin 2ωx ＋2sin ωx •cos ωx ＋3cos 2ωx ，其中ω＞0，且f （x ）的最小正周期为π．（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）利用五点法作出f （x ）在[−6π，65π]上的图象．19．已知平面上三个向量，，，其中＝(1， 2)，（1）若||＝25，且∥，求的坐标；（2）若||＝25，且(＋2)⊥(2−)，求与夹角的余弦值．20．现有四分之一圆形的纸板（如图），∠AOB ＝90°，圆半径为1，要裁剪成四边形OAPB ，且满足AP ∥OB ，，∠POA ＝θ，记此四边形的面积为f （θ），求f （θ）的最大值．21．已知向量＝（1，1），向量与向量夹角为43π，且•＝−1，（1）求向量；（2）若向量与向量q ＝（1，0）的夹角为2π，向量p ＝（cosA ，2cos 22C ），其中A 、C 为△ABC 的内角，且B 3π=，试求|＋p |的取值范围．22．设α∈(0，2π)，函数f （x ）的定义域为[0，1]且f （0）＝0，f （1）＝1当x ≥y 时有f （2y x +）＝f （x ）sin α＋（1−sin α）f （y ）．（1）求f （21），f （41）；（2）求α的值；（3）求函数g （x ）＝sin （α−2x ）的单调区间．答案：1-5 BACCA 6-10 DCABB 11-12 AC 13.]1,4[π 14.)22,22(或)22,22(-- 15.2 16.613 17.（1）αcos （2）562-18.（1）Z k k k ∈+-],12,125[ππππ （2）19.（1）)4,2(或)4,2(--（2）155 20.43 21.（1）)1,0(-或)0,1(-（2）)25,22[ 22.（1）21，41（2）6π （3）Z k k k ∈++],65,3[ππππ。

高一数学三角函数与平面向量练习及答案

一、选择题1．下列说法正确的是（）A 、小于90°的角是锐角B 、钝角是第二象限的角C 、第二象限的角大于第一象限的角D 、若角α与角β的终边相同，则α＝k π＋β，k ∈Z2．已知角θ以坐标系中O x 为始边，终边与单位圆交于点(53，54)，则tan θ的值为（） A 、34 B 、43 C 、−34 D 、−43 3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且＝2，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（）A 、31 B 、21 C 、32 D 、43 4．已知：sin α＋cos α＝51，其中α∈(2π，π)，则tan2α＝（）A 、−724B 、−34C 、247D 、724 5．函数y ＝tan(4πx −2π)的部分图象如图所示，则(＋)• AB ＝（）A 、4B 、6C 、1D 、26．将函数f(x)＝2sin(2x ＋3π)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数g （x ）的图象，在g （x ）图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（）A 、x ＝−24πB 、x ＝4π C 、x ＝245π D 、x ＝12π 7．函数f （x ）＝Asin （ωx ＋φ），（A ＞0，ω＞0），若f （x ）在区间[0，2π]是单调函数，且f （−π）＝f （0）＝−f （2π），则ω的值为（） A 、21 B 、1 C 、2或31 D 、32或2 8．设G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＋b ＋33c ＝0，则角A ＝（）A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°二、填空题 9．已知平面向量＝（2，x ），＝（3，x ＋1），若∥，则x ＝________．10．已知＝（−2，−1），＝（λ，1），若和的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．11．设，为向量，若＋与的夹角为3π，＋与的夹角为4π，则||b ＝_________．三、解答题： 12．已知f(x)＝)2cos()sin()23sin()cos()2cos(x x x x x -----+ππππ （Ⅰ）化简f （x ）；（Ⅱ）若x 是第三象限角，且tanx ＝2，求f （x ）的值．13．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(−1，2)．（Ⅰ）求(a −2b )•( a ＋b )；（Ⅱ）若向量(＋k )与(2−)垂直，求k 的值．14．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)， (ω＞0，A ＞0，φ∈(0，2π))．的部分图象如图所示，其中点P 是图象的一个最高点．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）已知α∈(2π，π)且sin α＝135，求f(2α)．15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，且满足cos2A −cos2B ＝2cos(6π−A)cos(6π＋A)（1）求角B 的值；（2）若b ＝3且b ≤a ，求a −21c 的取值范围．16．已知△ABC 中，∠C ＝2π．设∠CBA ＝θ，BC ＝a ，它的内接正方形DEFG 的一边EF在斜边AB 上，D 、G 分别在AC 、BC 上．假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ．用a ，θ表示△ABC 的面积S 和正方形DEFG 的面积T ；设f(θ)＝ST ，试求f （θ）的最大值P ，并判断此时△ABC 的形状．1-4BABD 5-8BADD9.2 1021->λ且2≠λ 11.36 12.（1）x cos（2）55- 13.（1）1-（2）322- 14.（1）)32sin(2)(π+=x x f（2）133125- 15.（1）3π或32π （2）)3,23[ 16.（1）)2,0(,tan 22πθθ∈=a S )2,0(,)cos sin 1(sin 222πθθθθ∈+=a T （2）94，等腰直角三角形。

2019—2020学年度第二学期高一数学三角函数章节测试题(含答案)

2019—2020学年度第二学期高一数学三角函数章节测试题本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求）1.下列转化结果错误的是()A. 60°化成弧度是π3B. −103π化成度是−600°C. −150°化成弧度是−76π D. π12化成度是15°2.设角α的终边与单位圆相交于点P(−35,45)，则sinα−cosα的值是()A. −75B. −15C. 15D. 753.已知点P(cosθ,tanθ)在第二象限，则角θ的终边在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.与角终边相同的角是()A. 2π3B. π6C. 5π3D. 5π65.已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于()A. 48B. 24C. 12D. 66.下列说法中正确的是()A. 第一象限角一定是正角B. 终边与始边均相同的角一定相等C. −834°是第四象限角D. 钝角一定是第二象限角7.sin1·cos3·tan4的值()A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在8.若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为()A.x=kπ2−π6(k∈Z) B. x=kπ2+π6(k∈Z)C. x=kπ2−π12(k∈Z) D. x=kπ2+π12(k∈Z)9.已知sin(π4+α)=23，则cos(π4−α)的值等于()A.−23B. 23C. √53D. ±√5310. 设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论错误的是( )A. f(x)的一个周期为−2πB. y =f(x)的图象关于直线x =8π3对称C. f(x +π)的一个零点为x =π6D. f(x)在(π2,π)单调递减11. 已知角α的终边经过点P(−5,−12)，则sin(3π2+α)的值等于( )A. −513B. −1213C. 513D. 121312. 将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移个φ(φ>0)单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12纵坐标不变，所得图象关于直线x =π4对称，则φ的最小值为( ) A. 18π B. 14πC. 38πD. 12π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 如图所示，为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．14. sin(−1740°)=______．15. 若角α终边上有一点P(−4,a)，且sinα⋅cosα=√34，则a 的值为______ ．16. f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共70分） 17. （10分）已知f(α)=sin(α−π2)cos(3π2−α)tan(π+α)cos(π2+α)sin(2π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)．(1)（6分）化简f(α)；(2)（4分）若α=−31π3，求f(α)的值．18. （18分）已知函数f(x)=Asin(wx +φ)+B(A >0,w >0,|φ|<π2)的部分图象如图所示：(1)（5分）求f(x)的解析式；(2)（4分）求f(x)的单调区间和对称中心坐标；(3)（9分）将f(x)的图象向左平移π6个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y =g(x)在x ∈[0,7π6]上的最大值和最小值．19.已知函数f(x)=sin(2x+π6)．(1)（10分）请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象；(2)（8分）求f(x)在区间[ π12, π2 ]上的最大值和最小值；(3)（8分）写出f(x)的单调递增区间．20.设函数．(1)（5分）求f(x)的最小正周期；(2)（5分）求f(x)的单调递增区间；(3)（6分）当x∈[0,2π]时，求f(x)的最大值和最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查角度制与弧度制的互化，直接利用角度与弧度的互化，求解即可．【解答】解：对于A，60°=60°×π180=π3，故A正确，对于B，，故B正确，对于C，−150°=−150°×π180=−56π，故C错误，对于D，π12=112×180°=15°，故D正确．故选C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角函数的定义，属于基础题．由题意可得sinα，cosα的值，然后代入sinα−cosα计算得答案．【解答】解：由题意，sinα=45，cosα=−35，则sinα−cosα=45+35=75，故选D．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．由题意利用三角函数在各个象限中的符号，判断角θ的终边所在的象限．【解答】解：∵已知点P(cosθ,tanθ)在第二象限，∴cosθ<0，tanθ>0，则角θ的终边在第三象限，故选C．4.【答案】C【解析】解：与角终边相同的角是：2kπ−π3，，当k=1时，与角−π3终边相同的角是5π3．故选：C．利用终边相同的角相差2π的整数倍，判断选项即可．本题考查终边相同角的表示，属于基础题．【解析】【分析】本题主要考查了弧长公式，扇形的面积公式的应用，属于基础题．由已知先求弧长，利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】解：因为扇形的弧长l =3×4=12，则面积S =12×12×4=24，故选：B ． 6.【答案】D【解析】【分析】本题考查任意角的概念，是基础题．直接利用象限角、轴线角、钝角和终边相等角的概念逐一核对四个选项得答案．【解答】解：第一象限的角不一定是正角，例如−330°是第一象限角，故A 不正确， 0°，360°角的终边与始边均相同，但不相等，故B 不正确， −834°=−720°−114°是第三象限角，故C 不正确，钝角的范围是(90°,180°)，是第二象限角，故D 正确．故选D ． 7.【答案】A【解析】【分析】本题考查象限角的三角函数值的符号，根据条件直接判断即可，属于基础题．【解答】解：因为1为第一象限角，所以sin1>0 因为3为第二象限角，所以，因为4为第三象限的角，所以．所以．故选A ．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)图象的变换规律的应用及正弦函数的图象性质，属于基础题．由函数图象变换法则得出平移后的函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解即可．【解答】解：将函数y =2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y =2sin[2(x +π12)]=2sin(2x +π)的图象，令2x+π6=kπ+π2(k∈Z)，得：x=kπ2+π6(k∈Z)，即平移后的图象的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z)．故选B．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题．利用诱导公式，即可得结论．【解答】解：∵sin(π4+α)=23，．故选B．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础．根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：对于A，函数的周期为2kπ，k∈Z，当k=−1时，周期T=−2π，故A正确；对于B，当x=8π3时，cos(x+π3)=cos(8π3+π3)=cosπ=−1为最小值，此时y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称，故B正确；对于C，因为f(x+π)=cos(x+π+π3)=−cos(x+π3)，且，则f(x+π)的一个零点为x=π6，故C正确；对于D，当π2<x<π时，5π6<x+π3<4π3，此时函数f(x)有增有减，不是单调函数，故D错误．故选D．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义及诱导公式，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得sin(3π2+α)的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P(−5,−12)，，则sin(3π2+α)=−cosα=−(−513)=513．故选C．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得图象关于直线x=π4对称，即可得结论．【解答】解：函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ，可得y=2sin(2x−2φ+π4)，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，周期变小，则g(x)=2sin(4x−2φ+π4)，此时g(x)图象关于直线x=π4对称，即x=π4时，函数g(x)取得最大值或最小值∴π−2φ+π4=kπ+π2，k∈Z．∵φ>0，∴当k=0时，可得φ的最小值为3π8．故选：C．13.【答案】10√3【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的定义，根据三角函数可以把问题转化为方程问题来解决，属于基础题．利用AB表示出BC，BD.让BD减去BC等于20即可求得AB长．【解答】解：设AB=ℎm，则BC=√33ℎ，BD=√3ℎ，则√3ℎ−√33ℎ=20，∴ℎ=10√3m，14.【答案】√32【解析】解：原式=−sin1740°=−sin(5×360°−60°)=sin60°=√32，故答案为：√32．原式先利用奇函数的性质化简，将角度变形后利用诱导公式计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．15.【答案】−4√3或−4√33【解析】解：因为角α终边上有一点P(−4,a)，所以sinα=√16+a2，cosα=√16+a2，又sinα⋅cosα=√34，所以−4a16+a2=√34，解得a=−4√3或a=−4√33，故答案为：−4√3或−4√33．利用任意角的三角函数的定义，得到sinα，cosα，代入等式解之．本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．16.【答案】f(x)=2sin(2x+π6)【解析】【分析】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由图像过点求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由f(x)=Asin(ωx+φ)及A>0可得A=2，1 4⋅2πω=5π12−π6，∴ω=2．由函数图像过点可得，k∈Z，由可得φ=π6，∴f(x)=2sin(2x+π6).故答案为f(x)=2sin(2x+π6)．17.【答案】解：(1)f(α)=−cosα(−sinα)tanα(−sinα)−sinα(−tanα)sinα=−cosα．(2)因为−31π=−5×2π−π，∴f(−31π3)=−cos(−31π3)=−cos(−5×2π−π3)=−cos π3=−12，即f(α)=−12．【解析】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查了学生的分析以及计算能力，属于基础题．(1)由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果；(2)由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得f(α)的值．18.【答案】解：(1)由图象可知{A +B =1−A +B =−3,解得{A =2B =−1, 又由于T2=7π12−π12⇒T =π，所以w =2πT =2，由，，又|φ|<π2，所以φ=π3，所以f(x)=2sin(2x +π3)−1； (2)由(1)知，f(x)=2sin(2x +π3)−1，令，得，所以f(x)的单调递增区间为，令，得，所以f(x)的单调递减区间为，令，得，所以f(x)的对称中心的坐标为；(3)由已知的图象变换过程可得：g(x)=2sin(x +2π)，因为0≤x≤7π6，所以2π3≤x+2π3≤11π6，所以当x+2π3=3π2，得x=5π6时，g(x)取得最小值g(5π6)=−2，当x+2π3=2π3时，即x=0时，g(x)取得最大值g(0)=√3．【解析】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)+B的部分图象确定其解析式，函数y= Asin(ωx+φ)+B的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题．(1)由图象可求A，B的值，求得周期T，利用周期公式可求ω，由可求φ，即可得解f(x)的解析式；(2)令，得，可求f(x)的单调递增区间，令，得，可求f(x)的对称中心的坐标；(3)由已知的图象变换过程可得：g(x)=2sin(x+2π3)，由0≤x≤7π6，利用正弦函数的性质可求在x∈[0,7π6]上的最大值和最小值．19.【答案】解：(Ⅰ)画出函数f(x)在[−π12,11π12]上的图象．列表如下，π描点作图，(Ⅱ)f(x)=sin(2x+π6)，因为π12≤x≤π2，所以π3≤2x+π6≤7π6，当2x+π6=π2，即x=π6时，sin(2x+π6)取得最大值为1，即f(x)的最大值等于1；当2x+π6=7π6，即x=π2时，sin(2x+π6)取得最小值为−12，即f(x)的最小值等于−12；所以f(x)在区间[π12,π2]上的最大值为1，最小值为−12；(Ⅲ)令，(k∈Z)，解得：，(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)．【解析】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了五点法作图，属于基础题．(Ⅰ)利用列表、描点、连线法画出f(x)在一个周期上的图象；(Ⅱ)利用正弦函数的性质求出f(x)在x∈[π12,π2]上的最大、最小值；(Ⅲ)利用正弦函数的性质写出f(x)的单调递增区间．20.【答案】解：(1)∵函数，故它的最小正周期为2π12=4π；(2)令2kπ−π≤x2−π3≤2kπ，k∈Z，求得4kπ−4π3≤x≤4kπ+2π3，k∈Z，故函数的增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3]，k∈Z；(3)当x∈[0,2π]时，x2−π3∈[−π3,2π3]，∴cos(x2−π3)∈[−12,1]，故当x2−π3=2π3时，函数f(x)取得最小值为−1，当x2−π3=0时，函数f(x)取得最大值2．【解析】本题主要考查诱导公式、余弦函数的周期性、余弦函数的单调性以及定义域和值域，属于基础题．(1)由函数的解析式利用诱导公式、余弦函数的周期性，求得f(x)的周期．(2)利用余弦函数的单调性，求得f(x)的单调递增区间．(3)利用余弦函数的定义域和值域，求得当x∈[0,2π]时，函数f(x)的最大值和最小值．。

三角函数的概念专题练习题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

三角函数的概念专项练习题一、选择题1、(多选)若角α的终边经过点P (x ，－3)且sin α＝－31010，则x 的值为( ) A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D. 32、已知点P(－3，y)为角β终边上一点，且sinβ＝1313，则y 的值为( ) A ．±12 B.12 C ．－12 D ．±2答案：B5、在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形6、 (多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是( ) A ．sin 2α>0 B ．cos 2α>0C ．cos α2>0 D ．tan α2>07、若角α的终边在直线y ＝3x 上，sinα<0，且P(m ，n)是角α终边上一点，|OP|＝10(O 为坐标原点)，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－48、若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角9、 (多选)下列选项中，符号为负的是( )A ．sin(－100°)B ．cos(－220°)C ．tan 10D ．cos π10、已知点P (sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限11、已知sin α＝513，cos α＝－1213，则角α的终边与单位圆的交点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫513，－1213B.⎝⎛⎭⎫－513，1213C.⎝⎛⎭⎫1213，－513D.⎝⎛⎭⎫－1213，51312、(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13、点A (x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－3314、代数式sin(－330°)cos 390°的值为( ) A ．－34 B.34 C ．－32 D.1415、若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x,2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．2 3 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 316、(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是( )A ．cos(－280°)<0B ．sin 500°>0C ．tan ⎝⎛⎭⎫－7π8>0D ．tan 53π12>017、已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角18、函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( )A ．{x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π2≤x ≤k π＋π，k ∈Z D ．{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}二、填空20、已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)，则tan α＝.21、已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝.22、若－300°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为．23、已知角α终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－32，y ，则cos α＝，sin α＝.24、点P (tan 2 020°，cos 2 020°)位于第象限．25、已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是．26、求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．.三、解答题27、角θ的终边落在直线y ＝2x 上，求sin θ，cos θ的值．28、求下列函数的定义域：（1）y =)lg(cos x ；（2）y =lgsin2x +29x -．29、求函数y =1cos 3cos 22-+-x x +lg （36－x 2）的定义域．30、求函数y =x sin +lg （2cos x －1）的定义域．31、在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.32、求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域．33、利用单位圆，求适合下列条件的0到2π的角的集合．求(1)sinα≥12；(2)cosα＜22.34、设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．35、求满足sin α>的角α的取值范围；（2）求满足sin cos αα>的角α的取值范围。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019-2020学年高中数学《三角函数、平面向量、解三角形》练习题1
必修4
时间：120分钟满分：150分
姓名班级学号
一、选择题(每小题5分，共50分)
1.化简cos15cos45cos75sin45︒︒-︒︒的值为（） A. 12-
C .12
D. 2.设向量,a b 满足:1||=a , 2||=b , ()0a a b ⋅+=, 则a 与b 的夹角是（）
A ． 30
B ． 60
C ． 90
D ．
120 3.已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ，且5
4cos -=α，则m 的值为（） A 21 B 21- C 23- D 2
3 4.设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ
=+-+∈，则函数()f x 是（） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为2π的奇函数
D ．最小正周期为2
π的偶函数 5.已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（）
A ．(5,10)--
B ．(4,8)--
C ．(3,6)--
D ．(2,4)--
6.已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4
πα-等于（） A.17
- B.7- C.71 D .7 7.函数2tan
2tan 12x
y x =-的最小正周期为（） A ．π B ．2π C ．4π D ．2
π 8.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 49
（） 9.要得到函数sin 2cos 2y x x =-的图象，只要将函数sin 2cos 2y x x =+的图象沿x 轴（）
A .向右平移
4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移2π个单位 D.向左平移2
π个单位 10.已知α为锐角，且4cos(),65
π
α+=则cos α的值为. （）
D
二、填空题(每小题5分，共25分)
11.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC BD ===则(3,5)--
12.设(2,4),(1,1)a b ==，若()b a m b ⊥+⋅，则实数m = 3-
13.
已知点1),(cos ,sin )A B θθ-，其中[]0,θπ∈，则AB 的最大值为________.3
14.
若函数())cos()(0)f x x x φφφπ=+-+<<为奇函数，则φ=________
6π 15.在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+B
C A C ，则=+2
2
2c b a ．3 三、解答题(共75分)
16.
53(
)42
ππθ<<
17.
已知函数22()cos cos sin 2222x x x x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值；
（2）若0)(=x f ，求sin cos()sin sin()2
x x x x +++-ππ的值．解：（1
）22π()cos (cos sin )cos 2sin()22226
x x x x f x x x x =--=-=- …………2分
当ππ2π+,62x k k -=∈Z ，即2π2π+,3
x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值为2. …………6分
（2）令()0f x =
时，得tan 3x =
. …………8分
sin cos()
sin cos tan 1 2.sin cos tan 1
sin sin()2x x x x x x x x x x ππ++--===+++- …………12分
18. 如图2，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距
12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船
甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求sin α的值．
解：（1）依题意，120BAC ∠=，12AB =，10220AC =⨯=，
BCA α∠=．………………………2分
在△ABC 中，由余弦定理，得
2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ ……………………4分
22
122021220cos120784=+-⨯⨯⨯=．
解得28BC =． ………………………………………………………6分所以渔船甲的速度为
142
BC =海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．…………………………………7分（2）方法1：在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠=，28BC =，
BCA α∠=，由正弦定理，得sin sin120
AB BC α=．………………………………………………………9分
即12sin1202sin 2814
AB BC α===．答：sin α
12分
方法2：在△ABC 中，因为12AB =，20AC =，28BC =，BCA α∠=，
由余弦定理，得222c o s 2A C B C A B A C B C
α+-=⨯．…………………………………………………………9分
即22220281213cos 2202814
α+-==⨯⨯．
因为α为锐角，所以sin α===14．
答：sin α．…………………………………………………………………………12分
19.已知向量1(sin ,1),(3cos ,)2
=-=-a x b x ,函数()()2f x a b a =+⋅-.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期T ;
(Ⅱ)已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐角,4a c ==,且()1f A =,求,A b 和ABC ∆的面积S
解: (Ⅰ) 2()()22f x a b a a a b =+⋅-=+⋅-
21sin 1cos 22
x x x =+++-…………………………………………2分
1cos 212222x x -=+-12cos 222
x x =-sin(2)6x π=-…………………4分因为2ω=,所以22T ππ=
=…………………………………………6分 (Ⅱ) ()sin(2)16f A A π=-= 因为5(0,),2(,)2666A A π
π
ππ∈-∈-，所以262A ππ-
=，3A π= ……………8分则2222cos a b c bc A =+-，所以211216242
b b =+-⨯⨯，即2440b b -+= 则2b =…………………………………………10分从而11sin 24sin 602322
S bc A ==⨯⨯⨯=12分 20.已知函数3cos 22sin 3)(2++=x x x f
（1）当)2
,0(π
∈x 时，求函数)(x f 的值域；（2）若528)(=x f ，且)125,6(ππ∈x ，求sin(4)3x π+的值．
解：（1）由已知.4)6
2sin(242cos 2sin 33cos 22sin 3)(2++=++=++=π
x x x x x x f …2分当)2,0(π∈x 时，712(,),sin(2)(,1]66662x x ππππ+∈+∈- ……………………4分故函数)(x f 的值域是（3，6] ………………………………………………………6分
（2）由528)(=
x f ，得5284)62sin(2=++πx ，即54)62sin(=+πx ………………8分因为125,6(ππ∈x ），所以53)62cos(-=+πx ………………………………………10分故24sin(4)2sin(2)cos(2)36625
x x x πππ+=++=- ……………………………………12分
21. 在ABC ∆中，
sin sin sin sin()sin sin A B A C A B A B --=++. (Ⅰ)求角B ；4π
(Ⅱ)若3sin 5A =
，求cos C 的值.。