非等精度测量方案数据处理方法的探讨

∆B =
Rg 3
(
∆V 2 ∆ ) + ( I )2 V2 / 3 I2/3
(11)
其中 R g = a, I 2 / 3 = 2( I min + I max ) / 3, V2 / 3 = a × I 2 / 3 。这样，合成不确定度按方和根合成为：
∆R g = ∆ A + ∆ B
2
2
(12)
4
(2)
K
RH
V
Rg
其中 ∆ V = f V × % × VM , ∆ I = f I × % × I M , fV 、 f I 和 VM 、I M 分别为电压表、表头的精度等级和量程，V、I 分别为电压表、 表头实测值。由(2)式可知为使测量误差小，在确定实验条件和 被测表头示值都尽可能满偏。
R
图1
伏安法测表头内阻原理图
实测时应注意以下两点：① 选择电压表的精度 f V 尽可能高、量程 VM 尽可能小。 ② 测量时，使电压表和
3
非等精度测量方案与其两种处理方法
3.1 非等精度测量方案 伏安法测表头内阻的测量方案可分为等精度测量和非等精度测量两种。非等精度测量方案的操作方法
* 收稿日期：2007－09－20 44
[2]
化权为：
1 1 1 wi = /∑ 2 = 2 2 2 ∆Rgi ∆Rgi ∆V ∆ 2 I Vi + I i2 I i4
⎧ I i2 ⎪ 2 1 ⎪ ∑ Ii ∑ ∆ 2 ∆ 2V 2 = ⎨ I 2 V ⎪ i + I 4i 2 ⎪ ∑ I i2 Ii Ii ⎩
∆I = 0
(3)
∆V = 0
∆ A = 2Ω ；由(6)式可得 B 类不确定度 ∆ B = 21Ω ；合成不确定度为 ∆R g = ∆ A 2 + ∆ B 2 ≈ 21Ω 。故微安表内
阻的测量结果为：
Rg = Rg ± ∆Rg = （ 2.439 ± 0.021 ） × 103 Ω
Er = ∆R g Rg × 100% = 0.9%
(15) (16)
5
结果与可以看出对于非等精度测量量，采用加 权平均法与直线拟合法两种方法处理得到的 A 类不确定度与 B 类 不确定度完全一致，表明这两种方法的一致性。但这两种方法又 各有其特点，加权平均法物理意义明确，但处理过程烦琐，而直 线拟合法物理意义不是很直观，但处理过程方便，快捷。2)对于 上述同一表头，在相同的实验条件下，若采用等精度测量时，处 理得到的合成不确定度为 17Ω，一般情况下等精度测量与非等精 度测量两种方案相比较而言，等精度测量方案测量精度略高些。 可见非等精度测量量在采用加权平均法与直线拟合法两种方法处 理时， 若忽略 B 类不确定度则合成不确定度只有 2Ω， 误差非常大， 完全不合理。3)从表 1 可以看出，在处理非等精度测量的 B 类不
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非等精度测量方案数据处理方法的探讨
得 2.563Ω)；由(11)式可得 B 类不确定度 ∆ B = 21Ω ；合成不确定度为 ∆Rg = ∆A2 + ∆B 2 ≈ 21 Ω。故微安表内阻 测量结果为：
Rg = Rg ± ∆Rg = （ 2.439 ± 0.021 ） × 103 Ω
Er = ∆R g Rg × 100% = 0.9%
实验数据
200.00
V/mV
150.00
100.00
50.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
I/mA
图2
过原点直线拟合结果
此时 B 类不确定度将为 144.7/ 3 =84Ω， 确定度时， 若不采用加权平均方法， 而用 n 次测量的最大仪器误差， 其合成不确定度将达到 84Ω，与等精度测量相比较显然相差甚远，明显不合理。同理，表头内阻的最佳估计 值也一样，若不采用加权平均也得到不合理的估计结果。 参 考 文 献
非等精度测量方案数据处理方法的探讨
为：改变 R 和 RH， ，使待测表头的示值 I(电压表精度比待测表头的精度高，若不然应选择保持电压表的示值 V)按一定间隔变化，并记录相应示值时的 V 与 I，连续测量 n 次。 3.2 两种处理方法 对于非等精度测量方案的处理方法有加权平均法和拟合直线方程法，当不考虑仪器误差即 B 类不确定度 [2] 时，这两种方法是等价的 。一般情况下当仪表的精度有限时，非等精度测量的 B 类不确度是很大的，是误 差的主要成分。 那么当考虑 B 类不确定度时， 这两种处理方法如何求得 B 类不确定度呢？下面分别加以介绍。 3.2.1 加权平均法处理 对于加权平均法， 设测得在不同电流、 电压示值下的 n 组测量值为 (Vi , I i ) ， 可算得 n 个电阻值 Rgi ， 各个 Rgi 的不确定度为 ∆Rgi = Rg i ( ∆V ) 2 + ( ∆ I ) 2 ，由各次测量电阻的权因子反比于其不确定度的平方 ，可求出其归一 Vi Ii
(13) (14)
表 1 非等精度测量结果与加权平均处理 1 2 40.0 98.00 2 450.0 71.82 5.32 3 60.0 146.50 2 441.7 47.76 11.96 4 80.0 195.25 2 440.6 35.81 21.26 5 90.0 219.50 2 38.9 31.81 26.91 6 100.0 243.50 2 435.0 28.60 33.22
2
伏安法测表头内阻的原理与实验条件的确定
图 1 为伏安法测表头内阻的原理图，其中 Rg 为待测表头，V 为较高精度的电压表。测量时，调节滑线变
阻器 RH 使被测表头的示值 I 为的某一个值，并记录电压表的值 V ，则表头的内阻为： V (1) Rg = I E 由(1)式易得测量误差为：
∆R g Rg ∆ ∆ = ( V )2 + ( I )2 V I
[1]朱鹤年．物理实验研究[M]．北京：清华大学出版社，1994. [2]朱鹤年．基础物理实验教程-物理测量的数据处理与实验设计[M]．北京：高等教育出版社，2003. [3]朱鹤年，张建华，等. 过原点直线拟合的斜率标准偏差与相关系数[J]．大学物理，2002，21(5):30-32. [4]张兆奎，等．大学物理实验[M]．北京：高等教育出版社，2001.
由(3)式可知，权因子正比于电流(或电压)读数的平方，小偏转时不确定度大，权因子小，对结果的贡 献小；而电流表(或电压表)接近满偏时不确度小，权因子最大，对结果的贡献大。故可用待测表头内阻的加 权平均值作为表头内阻的最佳估计值：
Rg = ∑ wi Rgi
i =1
n
(4)
通过类似贝塞尔式的证明 ，可求得加权平均的标准偏差为：
[2]
∆ =
∑ w (R
i
gi
− Rg ) 2
n −1
(5)
可用(5)式作为表头内阻的 A 类不确定度的估计。 [2] 文献 并没有给出表头内阻的 B 类不确定度，实际求解合成不确定度时，若按(5)为作合成不确定度，与 等精度测量方案求得的合成不确定度相比相差太大， 明显不合理。 考虑到实际仪器误差中权因子的分布情况， 见(3)式，笔者提出以 n 次测量中仪器误差的加权平均值的 1
∆a = a (
∆V V
)2 + (
∆I I
)2 = a (
∆V 2 ∆ ) + ( I )2 V1 / 2 I1/ 2
(10)
其中 V1 / 2 、I 1 / 2 为拟合直线 1/2 处的坐标， 故 ∆ a 实质为拟合直线 1/2 处的仪器误差。 若以(10)式求得的 ∆ a / 3 作为直线拟合法的 B 类不确定度，由于测量次数 n 一般有限，求得的结果与按(6)式求得的结果相差较大。 考虑到实际测量次数 n 有限和仪器误差中权因子的分布情况， 笔者提出以拟合直线 2/3 处的仪器误差的 1 / 3 为表头内阻的 B 类不确定度：
47
∆R g = ∆ A + ∆ B
Rg = a =
[3]
∑IV ∑I
i
i i 2 i
拟合直线的斜率的标准偏差 作为表头内阻的 A 类不确定度：
∆ A = Sa =
∑ (V
(n − 1)∑ I i2
− aI i ) 2
(9)
45
第 28 卷 第 4 期 广西物理 GUANAGXI WULI Vol.28 No.4 2007 由于加权平均法和拟合直线方程法两种方法求得的 A 类不确定度是等价的，故这两种方法求得的 B 确不确定 度也近似相等。由 Vi = aI i (i=1，2…n)，得当 n → ∞ 时有 V = aI ，从而：
表头内阻非等精度测量处理实例
已知：微安表量程 Ig=100μA，精度等级 f=1.0 级，内阻范围为 2kΩ < Rg < 3kΩ ，试用“伏安法”非等
精度测量方案测出微安表内阻并给出测量结果。 由已知条件可得待测表头两端最大电压为 300mV ，故可选精度等级为 0.5 级的 C65 型多量程直流电压 由于 C65 型多量程直流电压表量程为 300mV 时， 其内阻为 300Ω， 表作为标准电压表， 取其量程为 U M =300mV， 为了使滑线变阻器的调节特性较好，可选 R=1000Ω，取 E=1V，对上述条件进行六次非等精度的测量，得到 的实验结果见表 1 第二、三行。 4.1 采用加权平均处理 当采用加权平均处理时，处理过程见表 1，由(4)式可求得 Rg ＝2439.4 Ω ； 由(5)式得 A 类不确定度
第 28 卷
第4期
广西物理 GUANAGXI WULI
Vol.28
No.4 2007
非等精度测量方案数据处理方法的探讨
李震春，左卫群，曾卫东
(桂林电子科技大学信息材料科学与工程系，广西 桂林 541004)
摘 要：文本结合伏安法测表头内阻实例来探讨非等精度测量方案的数据处理方法。提出了两种处理非等 精度测量量的B类不确定度的处理方法，实验结果表明：这两种处理方法是合理的。 关键词：非等精度测量；不确定度；加权平均；直线拟合 中图分类号：O4-34 文献标识码：A 文章编号：1003-7551(2007)04-0044-04