九级数学上册小专题六二次函数的实际应用讲义
人教版初中数学同步讲义九年级上册第04讲 二次函数的实际应用与综合(解析版)
又∵28≤x＜80， ∴当 x＝40 时，y 有最大值，最大值为 2000 平方米； （3）由题意得，S 矩形 EAGH＝AG•AE＝ （100﹣ x）
x＝﹣
x2+25x，S 矩形 DEFC＝DC•DE＝（100
﹣ x）• x＝﹣ x2+50x，
设安装成本为 w 元，则 w＝40（﹣ x2+25x）+20（﹣ x2+50x）＝﹣25x2+2000x，
最大 元
D．36 或 37 元
【解答】解：设销售单价上涨 x 元，月销售利润为 y 元．
∵每件商品售价不能高于 40 元，
∴0≤x≤10，
依题意得：
y＝（30﹣20+x）（240﹣10x）
＝（10+x）（240﹣10x） ＝﹣10x2+140x+2400 ＝﹣10（x﹣7）2+2890，
A．y＝5×3﹣3x﹣5x
B．y＝（5﹣x）（3﹣x）
C．y＝3x+5x
D．y＝（5﹣x）（3﹣x）+5x2
【解答】解：设挡板的宽度为 xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为 ycm2，根据题意可得：
y＝（5﹣x）（3﹣x），
故选：B．
【即学即练 2】
4．某家禽养殖场，用总长为 200m 的围栏靠墙（墙长为 65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形 EAGH
500 千克；销售单价每涨 2 元，月销售量就减少 10 千克．设每千克涨 x 元，月销售利润为 y 元，则 y 与
x 的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x+40）（ 10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（ x﹣50）]
九年级数学专题复习课件-二次函数在实际生活中的应用 (共20张PPT)
售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购 空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
解：设空调的采购数量为 x 台，则冰箱的采购数量为(20 －x)台． 11 x≥ （20－x）， 9 (1)根据题意可得 －20x＋1 500≥1 200， 解得 11≤x≤15，因为 x 为整数，所以 x 可取的值为 11， 12，13，14，15，所以该商家共有 5 种进货方案．
解：设售价为每瓶 x 元时，日均毛利润为 y 元，由题意， 得 y＝ (x－ 9)(1 360－80x) ＝－ 80x2＋2 080x－ 12 240(10≤ x≤14)． b 2 080 － ＝－ ＝13，在 10≤x≤14 的范围内，当 x 2a 2×（－ 80） ＝ 13 时． y 最大值 ＝－ 80× 132＋2 080×13－ 12 240＝1 280(元)． 答：售价定为每瓶 13 元时，所得日均毛利润最大，最大日 均毛利润为 1 280 元．
(2)设总利润为W(元)，则
W＝(1 760－y1)x1＋(1 700－y2)x2＝1 760x－(－20x＋1
500)x＋1 700(20－x)－[－a10(20－x)＋1 300](20－x)＝1 760x－(－20x＋1 500)x＋1 700(20－x)－(10x＋1 100)(20－ x)＝30x2－540x＋12 000＝30(x－9)2＋9 570，
解得x1＝24，x2＝4.
∵x＝24不满足0≤x≤20，不合题意，舍去， ∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．
数学人教版九年级上册二次函数的实际应用专题复习教案
二次函数的实际应用专题复习教案盛康中心学校司念钦学习目标：1、能够正确根据题意确定二次函数关系式，运用二次函数性质解决实际问题.2、通过利用递进式问题串，让学生经历不同题型的分析解决过程，进一步培养学生分析解决问题的能力.3、通过把实际问题转化为数学问题的过程，形成初步的数学建模思想.教学重点：让学生掌握把生活信息转化为数学问题的方法，正确建立二次函数关系式，并用二次函数的性质解决实际问题.教学难点：培养学生从实际问题中抽象出数学问题，并运用数学知识加以解决，最后再回到实际问题的能力.教学过程：一、创设情境请同学们欣赏图片，进而发现生活中的抛物线，欣赏图片想象导弹发射出去的运行轨迹，跟学生聊聊中韩关系激发学习热情引入新课。
二、诊断练习归纳方法1，一种卡车的刹车距离y（m）与滑行时间x（s）之间函数关系式是y=﹣x2+10x 该型卡车采取刹车后滑行_____m才能停下来，此时卡车滑行时间为______秒.引导分析：整理二次函数有关的性质.把y=﹣x2+10x化为y=a(x-h)2+ k形式为__________，开口______，顶点______，对称轴______，当x =___时y有最___值____；当x ___时y随x _______，当x ___时y随x _______.2，一种信号枪从地面垂直向上发出一枚信号弹，信号弹的高度h(米)与它运动时间t（秒）的函数关系式是h=-5t2+10t+55,那么信号弹运动中的最大高度为（）米。
.反思归纳：求刹车距离及信号弹最大高度就是求___________,先把二次函数一般式化为______________式，再根据________________解决实际问题.3，为了丰富野战官兵的业余生活，野战军某部在临时场地装备篮球投篮篮筐，篮筐P距离地面x轴为3m，以篮筐P所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，篮球投出后呈抛物线y= -x2+bx+c先向上至最高点然后落下，士兵投球位置为B（球出手高度忽略不计），则最高点距地面_____m，此时距离y轴为_____m。
【名校课堂九级数学上册小专题六二次函数的实际应用(新版)新人教版-课件
二次函数的实际应用类型1 建立二次函数模型解决几何图形面积问题设长方形的长(或宽)为自变量，从而表示出另一边长，然后将面积表示为长(或宽)的二次函数，最后利用二次函数的性质解题．1．现有一块矩形场地，如图所示，长为40 m，宽为30 m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？2．(安徽中考)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？3．(莆田中考)如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB＝4米，∠ABC＝60°.设AE＝x米(0＜x＜4)，矩形的面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式；(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草，已知红色花草的价格为20元/平方米，黄色花草的价格为40元/平方米．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号)?类型2 建立二次函数模型解决体育运动中的问题从实际问题中抽象出抛物线上点的坐标，从而确定二次函数解析式，然后根据二次函数的性质解决问题．通常球飞行的高度对应函数的纵坐标，球飞行的距离对应函数的横坐标．4．(随州中考)如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t.已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？5．如图，足球场上守门员在O处发出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取43＝7)(3)运动员乙要抢到第二个落点D的足球，他应再向前跑多少米？(取26＝5)参考答案1.(1)由题意知，B场地宽为(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自变量x的取值范围为0＜x＜30.(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1<0，∴当x＝15时，y最大＝225.即当x是15 m时，种植菊花的面积＝20－12x.∴y ＝AB·BC＝32a ·x ＝32(20－12x)x ，即y ＝－34x 2＋30x(0<x<40)． (2)∵y＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300.∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值是300平方米． 3.(1)连接AC ，BD.AC 与EH 交于点M.∵花坛为菱形，∴EH ∥BD ，EF ∥AC.∵∠ABC ＝60°，∴△ABC ，△BEF 是等边三角形．∴EF＝BE ＝AB －AE ＝4－x.在Rt △AEM 中，∠AEM ＝∠ABD＝30°，则EM ＝32x.∴EH ＝2EM ＝3x.又∵EF＝BE ＝4－x ，∴S ＝EH·EF＝3x ·(4－x)，即S ＝－3x 2＋43x.(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜，∴当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低．又∵S＝－3x 2＋43x ＝－3(x －2)2＋43，∴当x ＝2时，S 最大＝4 3.易得S 四边形ABCD ＝8 3.此时四个三角形的面积为83－43＝4 3.∴最低总费用为：20×43＋40×43＝2403(元)．答：当x ＝2时，购买花草所需的总费用最低，最低总费用是2403元．4.(1)将(0，0.5)和(0.8，3.5)代入y ＝at 2＋5t ＋c ，得a ＝－2516，c ＝0.5，∴y ＝－2516t 2＋5t ＋0.5＝－2516(t －85)2＋4.5.∴足球飞行的时间是1.6秒时，足球离地面最高，最大高度是4.5米．(2)当x ＝28时，28＝10t ，∴t ＝2.8.当t ＝2.8时，y ＝－2516×19625＋5×2.8＋0.5＝2.25.∵0＜2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．5.(1)设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y ＝a(x －6)2＋4.由已知：当x ＝0时，y ＝1.即1＝36a＋4，∴a ＝－112.∴表达式为y ＝－112(x －6)2＋4. (2)令y ＝0，－112(x －6)2＋4＝0.∴(x－6)2＝48.解得x 1＝43＋6≈13，x 2＝－43＋6<0(舍去)．∴足球第一次落地点C 距守门员约13米．(3)第二次足球弹出后的距离为CD ，根据题意：CD ＝EF(即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位)，∴2＝－112(x －6)2＋4.解得x 1＝6－26，x 2＝6＋2 6.∴CD ＝||x 1－x 2＝46≈10.∴BD＝13－6＋10＝17(米)．答：他应再向前跑17米．。
九年级上数学：二次函数的应用课件ppt(共30张PPT)
比较顶点式和一般式的优劣
一般式：通用， 一般式：通用，但计算量大 顶点式：简单， 顶点式：简单，但有条件限制
使用顶点式需要多少个条件？ 使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 再加上一个其它点的坐标 对称轴再加上两个其它点的坐标 再加上两个其它点的坐标； 对称轴再加上两个其它点的坐标； 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。 三个条件才能求 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
二次函数的应用
专题三： 专题三： 二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
b 你能说明为什么当x = − 时，函数的最值是 2a 2 4ac − b y= 呢？此时是最大值还是最小值呢？ 4a
求函数y=(m+1)x 2(m+1)x- 的最值。 求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其 为常数且m≠ m≠－ 中m为常数且m≠－1。
A O D
B
C
最值应用题——面积最大 面积最大 最值应用题
•
用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 用一块宽为 m 一个水槽，水槽的横断面为底角120 120º的等 一个水槽，水槽的横断面为底角120 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大， 腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的 侧面AB应该是多长？ AB应该是多长 侧面AB应该是多长？ D A
C
145km
A
D
最值应用题——销售问题 销售问题 最值应用题
某商场销售一批名牌衬衫， 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 元，为了扩大销售，增加 件 每件盈利40元 为了扩大销售， 盈利，尽快减少库存， 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现， 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出 件。 元 商场平均每天可多售出2件 （1）若商场平均每天要盈利 ）若商场平均每天要盈利1200元，每件 元 衬衫应降价多少元？ 衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 ）每件衬衫降价多少元时， 盈利最多？ 盈利最多？
初三数学二次函数的应用教案讲义.doc
学习好资料欢迎下载龙文教育一对一个性化辅导教案学生教师学校年级初三学科数学日期时段次数课题考点分析二次函数的应用二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。
其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。
利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质的纯数学问题；另类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目，教学步骤及教学内容包括的环节：一、作业检查：1、这个环节中评讲上次作业：2、了解学生的信息：教二、课前热身：1、复习上次课的内容：学 2、本次课简单知识点的引入：为本次课的顺利进行打基础，做铺垫三、内容讲解：步（一）知识点一、二次函数的应用骤四、课堂小结。
及五、作业布置。
教学内容教导处签字：日期：年月日一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○ 差课后二、教师评定评价1、学生上次作业评价：○ 好○ 较好2、学生本次上课情况评价：○好○ 较好○ 一般○ 一般○ 差○ 差作业布置学生签字：教师留言教师签字：家长留言家长签字：日期：年月日讲 义：二次函数的应用考点分析 :教学步骤及教学内容包括的环节：一、 作业检查。
二、课前热身：1. 二次函数 y ＝ 2x 2－ 4x ＋ 5 的对称轴方程是 x ＝ ___；当 x ＝ 时， y 有最小值是 .2. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16 米，跨度为 40 米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图） ，则此抛物线的解析式为．3. 某公司的生产利润原来是 a 元，经过连续两年的增长达到了 y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么 y 与 x 的函数关系是（ ）A ． y ＝ x 2＋ aB ． y ＝ a （ x － 1） 2C ． y ＝a （ 1－ x ） 2D ．y ＝ a （ l ＋ x ） 24. 把一段长 1.6 米的铁丝围长方形 ABCD ，设宽为 x ，面积为 y ．则当 y 最大时， x 所取的值是（）A ． 0.5B ． 0.4C ．0.3D ．0.6【二次函数的图像和性质 】1. 二次函数的解析式： （ 1）一般式：；（ 2）顶点式：；（ 3）交点式：.2. 顶点式的几种特殊形式 .⑴， ⑵ ， ⑶，（ 4）.3．二次函数 yax 2 bx c 通过配方可得 y a( xb )2 4ac b 2 ，其抛物线关于直线 x对称，顶） .2a4a点坐标为（，⑴ 当 a0 时，抛物线开口向，有最 （填 “高”或“低”）点 , 当x时， y 有最 （“大”或“小”）值是；⑵ 当 a0 时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点, 当x时， y 有最 （“大”或“小” ）值是．三、内容讲解：知识点一：二次函数的的应用（一）知识梳理1、二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c(a ≠ 0) 的图象和性质、顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x 轴两交点间的距离？2. 各类二次函数顶点位置与a、 b、 c 的关系：( 顶点在 x 轴上、 y 轴上、原点、经过原点)3、求二次函数解析式的方法：4、二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c(a ≠ 0) 的最大 ( 或最小 ) 值？知识点一：求二次函数的解析式（二）典例分析题型 1、求二次函数的解析式例 1. （08 兰州）农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图所示，则需要塑料布（ m2）与半径（ m）的函数关系式是（不考虑塑料埋在土里的部分）．分析：找准相关量之间的关系。
九年级上册二次函数专题讲义
九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
例如，下列函数中哪些是二次函数：①y=3x²；②y=x²-x(1+x)；③y=x²(x²+x)-4；④y=1+x；⑤2xy=x(1-x)。
其中，例1需要判断每个函数的a，b，c值，而例2则是给定函数，需要判断m取何值时，该函数是关于x 的二次函数。
练1和练2则是练判断给定函数是否是关于x的二次函数，需要注意二次项系数a是否为零。
练3是已知点A在函数y=x-1的图像上，需要求出点A的坐标。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax²，它的图象是一条抛物线，有一条对称轴，对称轴和图象有一点交点，这个点叫做抛物线的顶点。
画出函数y=x的图象的步骤如下：首先列出函数对应值表，然后在直角坐标系中描点，最后用光滑的曲线连接各点得到函数的图象。
需要注意的是，抛物线与它的对称轴的交点就是抛物线的顶点。
通过观察比较函数y=x和y=-x的图象，可以得出它们关于y轴对称的结论；通过观察比较函数y=2x和y=-2x的图象，可以得出它们关于x轴对称的结论。
同时，可以发现这四个函数的图象都是抛物线，都有一条对称轴和一个顶点。
因此，结论是函数y=ax²的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0,0)。
当$a>0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；顶点是抛物线上位置最低的点。
当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数值$y=ax^2$取得最小值，最小值是$-\frac{b^2}{4a}$。
当$a<0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；顶点是抛物线上位置最高的点。
第六讲 二次函数的实际应用-2021年新九年级数学(浙教版)(解析版)
第六讲二次函数的实际应用1.4二次函数的应用（1）【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是现实世界一个有效的数学模型．【基础知识】一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.【考点剖析】考点一：二次函数与投篮、掷铅球等实际问题结合例1．1．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m ．已知球门高是2.44m ，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ） A ．10m B ．8mC ．6mD ．5m【答案】A 【解析】建立坐标系，利用二次函数的顶点式求解判断解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y =2(6)a x -+3将（0，0）代入解析式得a ＝112-， ∴抛物线解析式为y =21(6)312x --+， 当x ＝10时，y ＝215(106)3123--+=， ∵53＜2.44，满足题意， 故选：A ．例2．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ） A ．85米 B ．8米 C ．10米 D ．2米【答案】B 【解析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x 轴交点的横坐标，即当y ＝0时，求x 的值即可．解：当y ＝0时，即＝0，解得：x 1＝﹣2（舍去），x 2＝8， 所以小宇此次实心球训练的成绩为8米， 故选：B ．考点二：二次函数与抛物线形建筑问题结合例3．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（）m．A．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【解析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）．故选：B．例4．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为x m，占地面积为y2m，则y关于x的函数表达式为（）A．y＝﹣12x2+26x（2≤x＜52）B．y＝﹣12x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）D．y＝﹣12x2+27x﹣52（2≤x＜52）【答案】A 【解析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．解：y 关于x 的函数表达式为：y 12=（50+2﹣x ）x 12=-x 2+26x （2≤x ＜52）．故选：A ．考点三：二次函数与实际问题的图像相结合问题例5．2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】由题意可知点A 坐标为（-5，0.5），点B 坐标为（0，2.5），点C 坐标为（2.5，0），设排球运动路线的函数表达式为：y=ax 2+bx+c ，将点A 、B 、C 的坐标代入得关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解得a 、b 、c 的值，则函数解析式可得，从而问题得解．解：由题意可知点A 坐标为（-5，0.5），点B 坐标为（0，2.5），点C 坐标为（2.5，0）设排球运动路线的函数解析式为：y=ax 2+bx+c ， ∵排球经过A 、B 、C 三点，220.5(5)52.50 2.5 2.5a b c c a b c ⎧=--+⎪∴=⎨⎪=⨯++⎩， 解得： ，∴排球运动路线的函数解析式为， 故选：A ．例6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（）A．①②B．②③C．①③④D．①②③【答案】A【解析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可．解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，解得：a＝409 -，∴h＝409-（t﹣3）2+40．①∵顶点为（3，40），∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；③令h＝20，则20＝409-（t﹣3）2+40，解得t＝3±322，故③错误；④令t＝2，则h＝409-（2﹣3）2+40＝m，故④错误．综上，正确的有①②．故选：A．例7．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（）A ．水流运行轨迹满足函数y ＝﹣140x 2﹣x +1 B ．水流喷射的最远水平距离是40米C ．喷射出的水流与坡面OA 之间的最大铅直高度是9.1米D ．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌 【答案】D 【解析】A 、设石块运行的函数关系式为y =a （x -20）2+11，用待定系数法求得a 的值即可求得答案；B 、把y =0代入函数y ＝﹣140x 2+x +1即可水流喷射的最远水平距离 C 、当x =20时y =11，减去2即可； D 、向后平移后的解析式为21(27)1140=--+y x ，把x =37代入解析式求得y 的值，再减3后与2.3比较大小即可做出判断．解：A 、设石块运行的函数关系式为y =a （x -20）2+11， 把（0，1）代入解析式得：400a +11=1， 解得：140a =-， ∴解析式为； 故A 不符合题意； B 、当y =0时，21(20)11040--+=x ；解得x =± +20，∴水流喷射的最远水平距离是+20米；故B 不符合题意； C 、当x =20时，y =11， ∴11-2=9∴喷射出的水流与坡面OA 之间的最大铅直高度是9米 故C 不符合题意；D 、向后平移后的解析式为21(27)1140=--+y x ， 当x =37时，y =8.5 8.5-3=5.5＞2.3，∴可以避开对这棵石榴树的喷灌； 故选：D考点四：二次函数与其他实际问题相结合问题例8．如图，一个滑道由滑坡（AB 段）和缓冲带（BC 段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y 1（单位：m ）和滑行的时间t 1（单位：s ）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间 01234滑行距离4.514 28.5 48 滑雪者在缓冲带上滑行的距离y 2（单位：m ），和在缓冲带上滑行时间t 2（单位：s ）满足：y 2=56t 2-2t 22滑雪者从A 出发在缓冲带BC 上停止，一共用了26s ，则滑坡AB 的长度为（ ）A ．374米B ．384米C ．375米D ．385米【答案】B 【解析】由滑行时间为0时，滑行距离为0可得c =0，故设，取两组数据代入，求出解析式，滑雪者在BC 段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时，由此求出滑雪者在BC 段的滑行时间，即可得出在AB 段的滑行时间，最后代入函数解析式求出AB 段的长度即可．由滑行时间为0时，滑行距离为0可得c =0， 设，取两组数据代入可得：， 解得：， ，滑雪者在缓冲带BC 上滑行时间为：2142bt a=-=s ， 滑雪者在滑坡AB 上滑行时间为：26－14=12s ， 令t 1=12，212.512212384y =⨯+⨯=，滑坡AB 的长度为384米． 故选：B ．例9．如图，将长度为1的线段分为,x y 两段，再将长度为x 的线段弯成半圆周ACB ，将长度为y 的线段折成矩形ABDE 三条边，构成闭“曲边形”，则该曲边形面积的最大值为_________________． 【答案】128π+【解析】先表示出半圆的半径，从而得到AE 的长，进而根据圆的面积公式和矩形的面积公式，得到曲边形面积的二次函数表达式，再利用二次函数的性质，即可求解．∵半圆的弧长为x ，（01x <<）， ∴半圆的半径为：， ∴AB=，AE=22122xxy x ππ---=，设该曲边形面积为S ， ∴S= ∙212xx π--+= 22211()2x x πππ--+， ∵＜0，∴当x=141π+时，S 最大值=2210214()2πππ---=128π+．故答案是：128π+．例10．某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM 上有一喷水头A ，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M 的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C ，现将喷水头A 向上移动1.5米至点B （其余条件均不变），若此时水柱最高处D 与A ，C 在同一直线上，则水柱最远落点到中心M 的距离增加了_____米．【答案】 【解析】以地面为x 轴，中心立柱为y 轴建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线的对称轴，即可设该抛物线解析式为2(3)(0)y a x b a =-+<，由该抛物线经过点(9，0)，即可求出该抛物线解析式为，即能求出平移后的解析式为2(3)36 1.5y a x a =--+，即可知D 点坐标．由点A 和点C 坐标利用待定系数法可求出经过点A 、C 的直线的解析式，又由于点D 也在直线上，即可求出a 的值．即求出了平移后的抛物线解析式，最后令y =0，解出x 的值，即能求出移动后水柱最远落点到中心M 的距离增加的量．解：如图，以地面为x 轴，中心立柱为y 轴建立平面直角坐标系．根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）． 由题意可知C 点坐标为(-4，0)．∵喷水头A 喷出的水柱距池中心3米处达到最高， 故该抛物线的对称轴为3x =． ∴设该抛物线解析式为2(3)(0)y a x b a =-+<，又∵水柱最远落点到中心M 的距离为9米， ∴该抛物线又经过点(9，0)． ∴20(93)a b =-+，即36b a =-，∴该抛物线解析式为． 当x =0时，2(03)3627y a a a =--=-故点A 坐标为(0，-27a )．由题意可知将喷水头A 向上移动1.5米至点B ，即将抛物线向上平移1.5． ∴平移后的抛物线为2(3)36 1.5y a x a =--+．∴点D 坐标为(3，36 1.5a -+)．设经过点A 、C 的直线解析式为y kx m =+， ∴，解得．即经过点A 、C 的直线解析式为27274y ax a =--． 又∵该直线经过点D ． ∴2736 1.53274a a a -+=-⨯-． 解得：215a =-． 故平移后的抛物线解析式为，整理得：22(3) 6.315y x =--+． 当0y =时，即22(3) 6.3015x --+=， 解得：126321632122x x +-==，（舍）． ∴移动后最远落点到中心M 的距离为63212+米， ∴移动后水柱最远落点到中心M 的距离增加了63213219622+-=-（米）．故答案为：．【过关检测】一、单选题1．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：)m 与飞行时间t （单位：)s 具有函数关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地的所用时间为( ) A ．3s B ．4sC ．5sD ．6s【答案】B 【解析】根据二次函数的图象与性质解题．解：依题意，令0h =得20205t t =-， 得(205)0t t -=，解得0t =（舍去）或4t =，即小球从飞出到落地所用的时间为4s ， 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．2．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为（ ）A ．0.5米B ．米C ．米D ．0.85米【答案】A 【解析】根据题意建立直角坐标系，点（0，2.5）、（2，2.5）、（0.5，1）都在抛物线上，设抛物线解析式，列方程组，求解析式，根据解析式很容易就可求出抛物线的顶点坐标，纵坐标的绝对值即为绳子的最低点距地面的距离．以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线的函数关系式为：2y ax bx c =++．将（0，2.5）、（2，2.5）、（0.5，1）代入2y ax bx c =++得：， 解得：，∴抛物线的表达式为：224 2.5y x x =-+；∵2224 2.52(1)0.5y x x x =-+=-+， ∴抛物线的顶点坐标为（1，0.5）， ∴绳子的最低点距地面的距离为0.5米． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，本题关键在于正确选择原点建立直角坐标系，正确确定有关点的坐标，求出抛物线解析式．3．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y（m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定【答案】C 分析：（1）将点A (0,2)代入求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意,将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+，得：36a +2.6=2， 解得：160a ，=-∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+；当x =9时, ∴球能过球网， 当x =18时,()21186 2.60.2060y =--+=>，∴球会出界. 故选C.点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围. 4．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解．如图建立坐标系：抛物线的顶点坐标是（1，4）， 设抛物线的解析式是y=a （x-1）2+4， 把（0，3）代入解析式得：a+4=3， 解得：a=-1，则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4， 当y=0时，-（x-1）2+4=0， 解得：x 1=3，x 2=-1（舍去），则水池的最小半径是3米． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键．5．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（ ） A ．22元 B ．24元C ．26元D ．28元【答案】B 【解析】设利润为y ，售价定为每件x 元，根据：利润=每件利润×销售量，列方程求解，然后利用配方法求二次函数取最大值时x 的值即可．设利润为y ，售价定为每件x 元， 由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]， 整理得：y=-10x 2+480x-5400=-10（x-24）2+360， ∵-10＜0， ∴开口向下，故当x=24时，y 有最大值． 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度适中，解答本题的关键是根据题意列出二次函数，要求同学们掌握求二次函数最大值的方法．6．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门，所有围栏的总长（不含门）为27m ，则能建成的饲养室面积最大为（ ）A ．275mB ．C ．248mD ．22252m 【答案】A 【解析】先设矩形饲养室的长为x 米，宽为y 米，再根据总长求出x 与y 的等式关系，然后根据矩形的面积公式列出函数，最后根据二次函数的性质求解即可．设矩形饲养室的长为x 米，宽为y 米，则0,0x y >> 由所有围栏的总长（不含门）可得：32(111)27x y +-++=整理得：3152y x =-由0y >，即31502x ->得：10x <则能建成的饲养室的面积为322(15)2S xy x x ==- 整理得：23(5)75Sx =--+由二次函数的性质可知，在的范围内，当5x =时，S 取得最大值，最大值为75 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，依据题意，正确求出矩形饲养室的长与宽、以及长的取值范围是解题关键． 7．竖直上抛物体离地面的高度()hm 与运动时间()t s 之间的关系可以近似地用公式2005h t v t h =-++表示，其中()0h m 是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20/m s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ） A ．23.5m B ．22.5m C ．21.5m D ．20.5m【答案】C 【解析】将0h =1.5，0v =20代入2005h tv t h =-++，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．解：依题意得：0h =1.5，0v =20，把0h =1.5，0v =20代入2005h t v t h =-++得2520 1.5=-++h t t当()20t 225=-=⨯-时，54202 1.5=21.5=-⨯+⨯+h故小球达到的离地面的最大高度为：21.5m 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题．8．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2y x 2x 3=-++，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】D【解析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确；∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点是（1，4），故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；解方程-x2+2x+3=0，得x1=-1，x2=3，故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．故选D．【点睛】本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键．9．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】D解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C、，假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；故选D．10．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．B．C．D．7米【答案】B【解析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+32，∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+32，∴a=-3 50，∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x2+32，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-），∴-=m（x﹣b）2，∴x1，x2=-，∴MN=4，∴（）|=4∴m=-925，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-92，∴-92=-925（x﹣b）2，∴x1，x2，∴单个小孔的水面宽度=|）-（）|=5故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题11．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围城一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a=30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为__________．【答案】1050平方米【解析】设BC=x米，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．解：设BC=x米，则S=12x(100-x)=12-(x-50)2+1250（0＜x≤30），∵12-<，对称轴为x=50，∴x=a=30时，S的最大值是1050．答：当a=30米时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1050平方米．故答案为：1050平方米．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键． 12．如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A 处恰好弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线2315y x bx =-++的一部分，跳起的演员距点A 所在y 轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A 的水平距离为4米，则人梯BC 的高为__米．【答案】3.4 【解析】根据题意可得抛物线的对称轴为x ＝2.5，可求得b 的值，点B 的横坐标为4，代入后可得出点B 的纵坐标，继而得出人梯高BC 的长度．解：∵跳起的演员距点A 所在y 轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高． ∴抛物线的对称轴为x ＝2.5，∴x ＝﹣32()5b⨯-＝2.5，解得：b ＝3， ∴抛物线为y ＝23315y x x =-++，∵人梯到起跳点A 的水平距离是4， ∴点B 的横坐标为4， 则y B ＝﹣35×42+3×4+1＝3.4，即BC ＝3.4米． 故答案为：3.4． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题关键是根据题意求出二次函数解析式，属于基础题． 13．各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为20cm ，如果在离水面竖直距离为h （单位：cm ）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程s （单位：cm ）与h 的关系式为24(20)s h h =-，则射程s 最大值是_______cm ．（射程是指水流落地点离小孔的水平距离）【答案】20 【解析】将s 2=4h （20-h ）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s 2的最大值，再求s 2的算术平方根即可．解：∵s 2=4h （20-h ）=-4（h -10）2+400，∴当h =10cm 时，s 有最大值20cm ．∴当h 为10cm 时，射程s 有最大值，最大射程是20cm ； 故答案为：20． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 14．如图1，AO ，BC 是两根垂直于地面的立柱，且长度相等．在两根立柱之间悬挂着一根绳子，如图2建立坐标系，绳子形如抛物线21410y x x =-+的图象．因实际需要，在OA 与BC 间用一根高为2.5m 的立柱MN 将绳子撑起，若立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，则点D 到地面的距离为______．【答案】2m ． 【解析】根据起始抛物线，确定点A 的坐标，结合已知确定N 的坐标，从而确定新抛物线的解析式即可求解．∵抛物线解析式为21410y x x =-+， ∴点A 的坐标为（0，4），∵立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，∴新抛物线的顶点坐标的横坐标为2，点N 的坐标为（3，52）， 设抛物线的解析式为y=a 2(2)x k -+，把（0，4），（3，52）分别代入解析式，得， 解得，∴抛物线的解析式为y=21(2)22x -+， ∴抛物线的最小值为2即点D 到地面的距离为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的生活应用，解析式的确定，熟练把生活问题转化为函数问题，灵活确定抛物线的解析式是解题的关键．15．道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点，点B 落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是___________．【答案】0.4 【解析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)，B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)，B(-1,O)， 设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c ∴抛物线的对称轴为x=0，则2ba-＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ． ∴y ＝ax 2－a ． ∵OH ＝2×15×12＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）． ∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96a EF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a ∴1＋0.96a ＝－0.64a ． 解得a ＝58-． ∴y ＝58-x 2＋58． ∴EF ＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25． 故答案为：0.4． 【点睛】。
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二次函数的实际应用
类型1 建立二次函数模型解决几何图形面积问题
设长方形的长(或宽)为自变量，从而表示出另一边长，然后将面积表示为长(或宽)的二次函数，最后利用二次函数的性质解题．
1．现有一块矩形场地，如图所示，长为40 m，宽为30 m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．
(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？
2．(安徽中考)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？
3．(莆田中考)如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB＝4米，∠ABC＝60°.设AE＝x米(0＜x＜4)，矩形的面积为S平方米．
(1)求S与x的函数关系式；
(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草，已知红色花草的价格为20元/平方米，黄色花草的价格为40元/平方米．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号)?
类型2 建立二次函数模型解决体育运动中的问题
从实际问题中抽象出抛物线上点的坐标，从而确定二次函数解析式，然后根据二次函数的性质解决问题．通常球飞行的高度对应函数的纵坐标，球飞行的距离对应函数的横坐标．
4．(随州中考)如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t.已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？
5．如图，足球场上守门员在O处发出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取43＝7)
(3)运动员乙要抢到第二个落点D的足球，他应再向前跑多少米？(取26＝5)
参考答案
1.(1)由题意知，B场地宽为(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自变量x的取值范围为0＜x＜30.
(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1<0，∴当x＝15时，y最大＝225.即当x是15 m时，种植菊花的面积
＝20－12x.∴y ＝AB·BC＝32a ·x ＝32(20－12x)x ，即y ＝－34x 2＋30x(0<x<40)． (2)∵y＝－34x 2＋30x ＝－34
(x －20)2＋300.∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值是300平方米． 3.(1)连接AC ，BD.AC 与EH 交于点M.∵花坛为菱形，∴EH ∥BD ，EF ∥AC.∵∠ABC ＝60°，∴△ABC ，△BEF 是等边三角形．∴EF＝BE ＝AB －AE ＝4－x.在Rt △AEM 中，∠AEM ＝∠ABD＝30°，则EM ＝
32x.∴EH ＝2EM ＝3x.又∵EF＝BE ＝4－x ，∴S ＝EH·EF＝3x ·(4－x)，即S ＝－3x 2＋43x.
(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜，∴当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低．又∵S＝－3x 2＋43x ＝－3
(x －2)2＋43，∴当x ＝2时，S 最大＝4 3.易得S 四边形ABCD ＝8 3.此时四个三角形的面积为83－43＝4 3.∴最低总费用为：20×43＋40×43＝2403(元)．答：当x ＝2时，购买花草所需的总费用最低，最低总费用是2403元．
4.(1)将(0，0.5)和(0.8，3.5)代入y ＝at 2＋5t ＋c ，得a ＝－2516，c ＝0.5，∴y ＝－2516t 2＋5t ＋0.5＝－2516(t －85
)2＋4.5.∴足球飞行的时间是1.6秒时，足球离地面最高，最大高度是4.5米．
(2)当x ＝28时，28＝10t ，∴t ＝2.8.当t ＝2.8时，y ＝－2516×19625
＋5×2.8＋0.5＝2.25.∵0＜2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．
5.(1)设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y ＝a(x －6)2＋4.由已知：当x ＝0时，y ＝1.即1＝36a
＋4，∴a ＝－112.∴表达式为y ＝－112
(x －6)2＋4. (2)令y ＝0，－112
(x －6)2＋4＝0.∴(x－6)2＝48.解得x 1＝43＋6≈13，x 2＝－43＋6<0(舍去)．∴足球第一次落地点C 距守门员约13米．
(3)第二次足球弹出后的距离为CD ，根据题意：CD ＝EF(即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位)，∴2＝－112
(x －6)2
＋4.解得x 1＝6－26，x 2＝6＋2 6.∴CD ＝||x 1－x 2＝46≈10.∴BD＝13－6＋10＝17(米)．答：他应再向前跑17米．。