不确定度分析培训--2 不确定度计算中的统计知识
测量不确定度分析与计算
测量不确定度分析与计算在科学研究和工程实践中，测量不确定度是一项重要的概念。
准确测量和评估测量结果的不确定性对于保证数据可靠性和提高实验可重复性至关重要。
因此，测量结果的不确定度分析与计算成为科学家和工程师必备的技能之一。
一、测量不确定度概述测量不确定度是对测量结果的不确定范围的度量。
在实际测量中，各种误差和偏差都会影响测量结果的准确性。
这些误差包括系统误差、随机误差和人为误差。
测量不确定度的目的就是要找出这些误差并对其进行分析和计算，以确定测量值的可靠性。
二、误差来源的识别与分析为了准确评估测量结果的不确定度，首先需要识别误差来源。
例如，在物理实验中，仪器的误差、环境条件的变化、操作员的误差等都可能对测量结果产生影响。
通过对各种误差来源的分析，可以确定误差的大小和性质，从而对测量不确定度进行定量描述。
三、不确定度的类型与计算方法测量不确定度可以分为两种类型：A类不确定度和B类不确定度。
A类不确定度是由重复测量产生的统计分析得出的，可以通过标准偏差等参数进行计算；B类不确定度是通过其他方式得到的，通常需要依靠专家经验和测量技术的了解进行估计。
A类不确定度的计算方法可以使用多次测量结果的标准偏差，或者利用测量数据的重复性特性进行统计分析。
B类不确定度的计算方法则需要根据具体情况进行估计，常见的方法包括使用厂商提供的规格、使用专家给出的估计值以及根据先前的实验数据得出的经验值等。
四、合成不确定度的计算在实际测量中，通常会遇到多个不确定度来源同时存在的情况。
为了全面评估测量结果的不确定度，需要对各个不确定度进行合成计算。
合成不确定度的计算方法有几种，包括不确定度相加法、不确定度平方和法等。
通过合成计算，可以得到测量结果的总体不确定度范围，从而确定测量结果的可靠性。
五、不确定度的报告与传递在科学研究和工程实践中，准确报告测量结果的不确定度是保证数据可靠性的重要环节之一。
在报告中，应明确指出测量结果的不确定度，并提供详细的计算步骤和方法。
不确定度培训
不确定度培训不确定度是测量结果的不精确性度量，描述了测量结果的真实范围可能存在的偏差。
它是每个测量工作者都需要理解和掌握的一个概念。
因此，不确定度培训对于保证测量结果的准确性和可靠性至关重要。
不确定度培训是一种提供有关不确定度的基础知识和实践经验的培训。
该培训内容包括了从不确定度的定义、来源、计算方法到实际测量的具体细节等方面的内容。
同时，培训还可以通过各种模拟、案例和实验来帮助学员加深对不确定度概念的理解和掌握实践经验。
对于各种测量实验，不同的测量器具以及不同的环境因素，都会对测量结果的准确性产生影响。
而这些影响因素的存在，使得对于测量结果进行拟合和调整变得非常关键。
而不确定度培训则可以帮助我们理解和掌握测量结果可能存在的偏差和误差，进而保证我们可以对测量结果进行准确和可靠的分析。
在不确定度培训中，学员主要需学习以下几个方面的知识：1.不确定度的概念：不确定度是测量结果的不精确性度量，描述了测量结果的真实范围可能存在的偏差。
测量中不确定因素包括环境、测量仪器误差、人为误差等。
其计算方式包括了合成不确定度和标准不确定度两种方法。
2.数据分析：数据分析是一个关键的环节，它包括了数据处理、数据可视化、数据拟合和数据调整等。
能够有效地处理和分析测量数据是进行测量结果判断的基础。
3.实验技巧：实验技巧是培训的实际操作，包括了对实验设备的熟练掌握、对测量数据的准确采集、然后在不同条件下进行识别和调整等技巧。
在不确定度培训过程中，还需要注意以下几点：1.建立实验室规范：实验室的规范化和规范化程序对于实验数据的准确性和可靠性具有重要作用。
2.多元化的培训模式：培训模式的多元化有助于学员对不确定度理念的充分理解，其包括包括课堂教学、案例分析以及实战操作和经验交流等多种形式。
3.教师的主导作用：教师口头、行为和实例对学员的拟合和影响很大，因此他们必须具备良好的教学技巧、敏锐的观察能力，以便有效地引导和激发学员的学习兴趣，从而让学员更好地理解和掌握不确定度知识。
测量不确定度评定培训讲演稿-3统计学的基本知识
• 这是测量不确定度B类评定的理论基础
概率
• 测量值x落在(a,b)区间内的概率可以 表示为
Pa x b
• 概率的值在0到1之间
0 p 1
概率分布(probability distribution)
• 一个随机变量取任何给定值或属于某一给定 值集的概率随取值而变化的函数
• 如果随机变量X的所有可能取值为有限个 或可列个，且以各种确定的概率取这些 不同的值，则称随机变量X为离散型随机 变量。
• 如果随机变量的所有可能取值充满为某 范围内的任何数值，且在其取值范围内 的任一区间中取值时，其概率是确定的 ，则称X为连续型随机变量。
概率(probability)
• 概率是一个0和1之间隶属于随机事件的 实数
F (x)= P( X≤ x )
10 F (x) 是一个不减的 函数
20
0 F (x) 1,且
F(x) 1
F () lim F (x) 0;
x
01 2 3
x
F () lim F (x) 1. x
概率密度函数
• 分布函数的导数（当导数存在时）称（连续 随机变量的）概率密度函数，用p(x)表示， p(x)=dF (x)/dx
• 通俗地讲，表示随机现象结果的变量称为随机变 量。常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，它 们的取值用相应的小写字母x，y，z表示。
• 定义：如果某一量(例如测量结果)在一定条件下 ，取某一值或在某一范围内取值是一个随机事件 ，则这样的量称作随机变量。
• 随机变量根据其值的性质不同，可分为 离散型和连续型两种，
• 测量值是随机变量，它们分散在某个区间内 ，概率是测量值在区间内出现的相对频率， 即出现的可能性大小的度量
不确定度分析培训--2 不确定度计算中的统计知识
第二章
不确定度计算中的统计知识
不确定度计算中的自由度
自由度定义：在方差计算中，和的项数减去对和的限制数。
自由度的表示：用ν表示。【JJF1059.1-3.31】
自由度的意义：
在标准偏差的计算中，测量次数越少，s的可靠性越差，测 量次数越多，s的可靠性越好，所以测量次数的多少反映了 s的 可靠程度。 也就是说自由度愈大，标准差愈可信赖。所以，自由度的 大小就直接反映了不确定度的评定质量。
n 1——自由度
s( xk ) ——(测量值xk的)实验标准偏差,表征了观测值xk的变动
性,或更确切地说,表征了它们在平均值 x 周围的分散性
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第二章
不确定度计算中的统计知识
离散型随机变量的概率分布
• 要了解离散型随机变量X的统计规律，就必须知道它的一切可
能值xi及取每种可能值的概率pi
• 如果将离散型随机变量X的一切可能取值xi及其对应的概率pi , 记作 P(X= xi)= pi ，i=1,2,…. • 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布
• 正因为实际上不可能进行
无穷多次测量，因此，测 量中期望值是可望而不可 得的。
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1
2 3
第二章
不确定度计算中的统计知识
• 期望与真值之差即为
系统误差，如果系统
误差可以忽略，则期
望就是被测量的真值
• 期望代表了测量的最
佳估计值，或相对真
1
2 3
值的系统误差大小
量。
如果随机变量的所有可能取值充满为某范围内的任何数值,且
在其取值范围内的任一区间中取值时,其概率是确定的 ,则称X
不确定度分析与计算
不确定度分析与计算
不确定度分析与计算指的是对测量结果的不确定性进行评估和描述的
过程。
在科学研究、工程项目或实验中，测量不可避免地会受到各种因素
的影响，如仪器误差、环境条件的变化、人为误差等。
了解和估计这些因
素对测量结果的影响，从而给出一个合理的测量结果的误差范围，是不确
定度分析与计算的目标。
4.评估不确定度的大小：评估不确定度的过程通常涉及统计方法和类
型A、类型B不确定度的计算。
类型A不确定度通过实验重复测量得到，
基于统计分析方法计算出来；类型B不确定度通过测量方法和测量设备的
特性来评估。
两种类型的不确定度可以使用合成法或扩展不确定度法来计算。
5.表达和传达结果的不确定性：在给出测量结果和不确定度之后，需
要将不确定度以适当的方式传达给用户或读者。
常用的方式有使用标准差、置信区间、误差棒图等。
总而言之，不确定度分析与计算是对测量结果的不确定性进行评估和
描述的过程。
通过合理地估计和计算不确定度，可以提高测量结果的可靠性，并为科学和工程决策提供支持。
不确定度k-2置信区间
不确定度k-2置信区间[不确定度k2置信区间]不确定度是在统计学中用于描述测量结果的误差范围的概念。
在实际应用中，我们经常需要对测量结果进行估计，并希望能够给出一个准确的估计范围。
不确定度k2置信区间是一种常用的统计方法，用于估计测量结果的真实值的可能范围。
在开始探讨不确定度k2置信区间之前，我们首先需要了解一些基本的统计概念。
统计学中常用的估计方法有点估计和区间估计。
点估计是指通过样本数据估计总体参数的一个具体值，而区间估计则是通过样本数据估计总体参数的一个范围。
不确定度k2置信区间是一种区间估计方法，用于估计总体参数的范围。
它的主要思想是利用样本数据计算出一个区间，该区间包含了真实参数值的可能范围，并且有一定的置信水平。
首先，我们需要明确置信水平的概念。
置信水平是指对于一次估计，该估计方法在相同条件下得到的置信区间包含真实参数值的概率。
在统计学中，常用的置信水平有95和99。
95的置信水平意味着在相同条件下，我们有95的把握相信真实参数值在所计算的置信区间内。
不确定度k2置信区间的计算方法基于正态分布的性质。
在进行样本量较大（大于30）的估计时，由中心极限定理我们可以假设变量的分布接近正态分布。
根据正态分布的性质，我们可以通过计算样本均值和标准差得到置信区间。
具体来说，计算不确定度k2置信区间需要以下几个步骤：Step 1: 收集样本数据首先，我们需要收集足够数量的样本数据。
样本数据应该是随机选择的，并且能够代表总体的特征。
Step 2: 计算样本均值和标准差利用收集到的样本数据，我们可以计算样本均值和样本标准差。
样本均值用来估计总体均值，样本标准差用来估计总体标准差。
Step 3: 计算标准误差标准误差是用来估计样本均值与总体均值之间的误差范围的一个指标。
它可以通过样本标准差除以样本量的平方根得到。
Step 4: 计算置信区间根据置信水平和样本量，可以查找正态分布的分位数，得到对应的Z分值。
不确定度培训资料
S =
i
∑ (xi− x)
i =1
n
2
n −1
s 是单次观测值 x 的实验标准（偏）差， / s
m
才是 m 次测量所得算术平均值的 x 实验标准 （偏）差，它是分布的标准（偏）差的估计值。 为易于区别前者用 s(x) 表示，后者用 s ( x ) 表示， 故： s( x) = s( x) / m
i
概率分布情况的估计（参考件）
►矩型（均匀）分布： 1)数据修约导致的不确定度； 2)数字式测量仪器对示值量化（分辨率）导致的不确 定度； 3)测量仪器由于滞后、摩擦效应导致的不确定度； 4)按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导 致的不确定度； 5)用上、下界给出的线膨胀系数； 6)测量仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度； 7)平衡指示器调零不准导致的不确定度。
（Ⅲ）如已知信息表明 X i 之值接近正态分布，并以 0.68的概率落于 ( a + − a − ) / 2 = a 的对称范围之内，按表 u ( xi ) = a 1 -1， k p =，则 。 （Ⅳ）若已知 X i 估计值 xi 分散区间的半宽为 a， 且 xi 落在 a− 至 a+ 范围内的概率p为100%，通过对分 布的估计，可以得出 xi 标准不确定度为：
c N 4 i i i =1 i
4
上式也可用与相对标准不确定度的合成：
[u c ( y ) / y ] v = [ p i u ( x i) / x i] kp ∑ v
eff N i =1 i
4
Байду номын сангаас
4
=
[ u crel ( y )] [ p i u rel ( x i )] ∑ v
关于不确定度的一些常识
关于不确定度的一些常识不确定度评定应当是令很多试验室分析人员最头大的事情之一，本期内容我们引用朱佐刚老师的文章，从生活常识举例向大家介绍什么是不确定度，不确定度有什么意义，怎样评定不确定度，不确定度与误差的区分是什么，读来通俗易懂。
例1：我们常常会被人问到，现在的室内温度是多少？我们通常会回答18℃左右，假如精确一点我们会回答（182）℃。
我们分析一下为什么这么回答。
首先18℃这个值，我们通过收看天气预报或者我们穿着或者所处的季节等因素得出，2℃是我们依据阅历得出的，和分析结果关联的范围。
我们这么回答的目的是什么呢？我们这么回答的目的就是，尽可能精确的给出室内温度的估量值，然后再依据阅历确定和分析结果关联的范围，使估量值结合这个范围以最大的把握性包含室内温度的精确值，或者说真值。
假如现在有一台经过计量检定过的温度计来测量室温，测量结果为：19.8℃，恰好落入我们给出范围内，我们就会说估量的结果很精确，回答的质量较高。
虽然室内温度的真值我们不能准确得到，但是经过计量检定的温度计测量的结果已经足够接近真值，某种程度上可以视为真值。
通过对上面例子的分析，我们其实已经完成了分析化学意义上的不确定度评定。
在这个例子中，室内温度的估量值18℃就相当于分析结果，与分析结果相关联的范围2℃就是不确定度，它用来表征分析结果的离散性。
不确定度的评定就是要得到分析结果的离散性。
分析结果与不确定度结合起来对分析结果的真值作出区间估量。
经过以上分析可以回答本章开头提到的两个问题：（1）什么是不确定度？不确定度就是分析结果的离散性。
（2）评定不确定度有什么意义？分析结果的估量值与不确定度结合起来，对分析结果的真值进行区间估量。
也就是说在肯定的置信概率（把握性）下，确定包含真值的置信区间。
例2：不确定度评定的实际应用的例子从上面的例子也可以看出，要得到合理的不确定度的评定结果，必需使用经过计量检定的器具，假如使用的温度计有较大的系统误差，不确定度的评定结果可能就不能包含真值，这样就失去了不确定度评定的意义。
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式中 为任意小正数
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第二章
不确定度计算中的统计知识
算术平均值
若干个独立同分布的随机变量的平均值以无限接近于
1 的概率接近于其期望 。所以 X 是期望 的最佳估
计值。
即使在同一条件下对同一量进行多组测量,每组的平
均值都不相同,说明算术平均值本身也是随机变量。
由于有限次测量时的算术平均值是其期望的最佳估计
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第二章
不确定度计算中的统计知识
概率分布的特征参数
• 尽管概率分布反映了该随机变量的全貌,但在实际使 用中更关心代表该概率分布的若干数字特征量。 –期望---Expectation
–方差---Variance
–标准偏差---Standard Deviation
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第二章
不确定度计算中的统计知识
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第二章
不确定度计算中的统计知识
离散型随机变量的概率分布
• 要了解离散型随机变量X的统计规律，就必须知道它的一切可
能值xi及取每种可能值的概率pi
• 如果将离散型随机变量X的一切可能取值xi及其对应的概率pi , 记作 P(X= xi)= pi ，i=1,2,…. • 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布
多变量概率分布也称联合分布
–3.一个概率分布可以采用分布函数或概率密度函数的形式
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第二章
不确定度计算中的统计知识
分布函数
对于每个x值给出了随机变量X小于或等于x的概率的一个函数 称分布函数，用F(x)表示 : F (x)= P( X≤ x )
1. F (x) 是一个不减的函数
2.
0 F ( x) 1, 且 F () lim F ( x) 0;
三条测量值分布曲线的精密 度相同，但正确度不同。
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第二章
不确定度计算中的统计知识
方差Variance
对于一个随机变量,仅用数学期望还不足以充分描述其特性。 比如,两组测量数据： 28,29,30,31,32……数学期望30，各个数据在28和32之间波动 10,20,30,40,50……数学期望30，各个数据在10和50之间波动 两组数据具有相同的数学期望为30,但它们具有重要的差别。 第2组数据比第一组数据分散得多。
“随机变量”,即实验结果可用随机变量X来表示。
通俗地讲,表示随机现象结果的变量称为随机变量.常用大写
字母X，Y，Z等表示随机变量,它们的取值用相应的小写字母x
，y，z表示。
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第二章
不确定度计算中的统计知识
随机变量根据其值的性质不同,可分为离散型和连续型两种. 如果随机变量 X 的所有可能取值为有限个或可列个 , 且以各种 确定的概率取这些不同的值 , 则称随机变量 X 为离散型随机变
• 方差说明了随机误差的大小和测量值的分散程度 .但
由于方差的量纲是单位的平方 ,使用不方便,因此引出
了标准偏差这个术语.
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第二章
不确定度计算中的统计知识
标准偏差
• 概率分布或随机变量的标准偏差是方差的正平方根 值，用符号表示
V (X )
• 标准偏差是无穷多次测量的随机误差平方的算术平
均值的正平方根值的极限，
lim
(x
i 1
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n
i
)
2
n
n
第二章
不确定度计算中的统计知识
标准偏差是表明测
得值分散性的参数 ,
1
1 2 3
2
3
小表明测得值比较集中,
大表明测得值比较分
散 . 通常 , 测量的重复性
或复现性是用标准偏差
来表示的。
在区间内出现的相对频率，即出现的可能性大小的度量
在此定义的基础上奠定了测量不确定度A类评定的理论基础。
-5-
第二章
不确定度计算中的统计知识
概率的可信程度的解释
由于测量的不完善或人们对被测量及其影响量的认识不足，
概率是测量值落在某个区间内的可信度大小的度量
在这个定义中，对于那些我们不知道其大小的系统误差，可
n 1——自由度
s( xk ) ——(测量值xk的)实验标准偏差,表征了观测值xk的变动
性,或更确切地说,表征了它们在平均值 x 周围的分散性
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第二章
不确定度计算中的统计知识
实验标准偏差(experimental standard deviation) ------有限次测量时标准偏差的估计值
• 实际工作中不可能测量无穷多次，因此无法得到总体标准偏
差σ。
• 用有限次测量的数据得到标准偏差的估计值称为实验标准偏
差，用符号s表示。
• 现介绍几种常用的实验标准偏差的估计方法 在相同测量条件下,对某被测量X进行有限次独立重复测量,
i 1
– 连续随机变量
E ( X ) xp( x)dx
• 通俗地说：期望值是无穷多次测量的平均值。
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第二章
不确定度计算中的统计知识
• 期望是概率分布曲线与横坐标轴构成面积的重心所
在的横坐标,因此它是决定随机变量分布的位置的量
• 对于单峰、对称的概率分 布来说，期望值在分布曲 线峰顶对应的横坐标
• 正因为实际上不可能进行
无穷多次测量，因此，测 量中期望值是可望而不可 得的。
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1
2 3
第二章
不确定度计算中的统计知识
• 期望与真值之差即为
系统误差，如果系统
误差可以忽略，则期
望就是被测量的真值
• 期望代表了测量的最
佳估计值，或相对真
1
2 3
值的系统误差大小
三条误差分布曲线的正确 度相同，但精密度不同
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第二章
不确定度计算中的统计知识
由于标准偏差 是无穷多次测量时的极限值，所以又称总体 标准偏差。
可见：期望和方差(或标准偏差)是表征概率分布的两个特
征参数。理想情况下，应该以期望为被测量的测量结果，以标
准偏差表示测得值的分散性.
由于期望、方差和标准偏差都是以无穷多次测量的 理想情况定义的 , 因此都是概念性的术语 , 无法由测 量得到 ,2和。
不确定度分析培训教程二
第二章 不确定度计算中的统计知识
Prepared by: fjhuang Oct.15, 2016
第二章
不确定度计算中(例如测量结果)在一定条件下,取某一值或在某
一范围内取值是一个随机事件,则这样的量称作随机变量。 作一次试验,其结果有多种可能.每一种可能结果都可用一个 数来表示,可把这些数看作为某变量 X的取值范围 ,变量X称为
1 n xi n i 1
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第二章
不确定度计算中的统计知识
算术平均值是期望的最佳估计值
• 由大数定理证明, 测量值的算术平均值是其期望的最 佳估计值 • 大数定理：
设x1 , x2 , , xn 为n个独立且同期望 和同方差 2的 随机变量，则当n 时，其算术平均值依概率 收敛于，亦即算术平均值和期望的差异很小是 一必然事件。 lim P | x - | 1
x
1
F(x)
F () lim F ( x) 1.
x
0
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1
2
3
x
第二章
不确定度计算中的统计知识
概率密度函数
分布函数的导数（当导数存在时）称(连续随机变量
的）概率密度函数，用p(x)表示，
p(x)=dF (x)/dx
p(x) dx称“概率元素”
p(x) dx= P( x＜X＜x+ dx )
值.因此,通常用算术平均值作为测量结果的值。
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第二章
不确定度计算中的统计知识
自由度
在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时 , 取值不受限 制的变量个数 . 通常 df=n-k。其中n为样本数量，k为被限制的条 件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个 数。自由度通常用于抽样分布中
量。
如果随机变量的所有可能取值充满为某范围内的任何数值,且
在其取值范围内的任一区间中取值时,其概率是确定的 ,则称X
为连续型随机变量。
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第二章
不确定度计算中的统计知识
概率(probability)
定义: 概率是一个0~1之间隶属于随机事件的实数 -----------GBT 3358.1-2009 统计学词汇及符号 第1部分：
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第二章
不确定度计算中的统计知识
有限次测量时μ和σ的估计值 算术平均值(arithmetic mean) ---------期望的最佳估计值
在相同测量条件下,对某被测量X进行有限次独立重
复测量,得到一系列测量值 x1 , x2 ,..., xn ,算术平均
值为
x1 x2 x n
xn
当以样本的统计量来估计总体的参数时 ,样本中独立或能自由 变化的自变量的个数，称为该统计量的自由度 在估计总体的方差时,使用的是离差平方和.只要n-1个数的离 差平方和确定了 , 方差也就确定了 ; 因为在均值确定后 , 如果知道 了其中n-1个数的值,第n个数的值也就确定了.这里,均值就相当于 一个限制条件,由于加了这个限制条件,估计总体方差的自由度为 n-1.
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第二章
不确定度计算中的统计知识
不确定度计算中的自由度
自由度定义：在方差计算中，和的项数减去对和的限制数。
自由度的表示：用ν表示。【JJF1059.1-3.31】
自由度的意义：