高中数学 第1章 导数及其应用 1_4 导数在实际生活中的应用自我小测 苏教版选修2-21
【高中】2020版高中数学第1章导数及其应用14导数在实际生活中的应用学案苏教版选修22
【关键字】高中1.4 导数在实际生活中的应用学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求成本最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为__________．2．利用导数解决优化问题的实质是____________．3．解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的________过程．类型一面积、容积的最值问题例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．反思与感悟(1)这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了．(2)这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x的不等式(组)求定义域．跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S表示为θ的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．类型二成本最大问题例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)求年成本W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年成本最大，并求出最大值．反思与感悟解决此类有关成本的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立成本的函数关系，常见的基本等量关系有(1)成本＝收入－成本；(2)成本＝每件产品的成本×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的成本最大．类型三费用(用材)最省问题例3 已知A、B两地相距，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________．2．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使成本最大，应生产________千台．3．将一段长的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.4．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售成本表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售成本最大？ 1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f(x)；(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． 2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．提醒：完成作业 1.4答案精析问题导学 知识点 1．优化问题 2．求函数最值 3．数学建模 题型探究例1 解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ，高为2(30－x ) cm ， 所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×(x ＋30－x2)2＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S (cm 2)最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)， 所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)．令V ′>0，得0<x <20；令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒底面边长为20 2 cm ，高为10 2cm ，包装盒的高与底面边长的比值为12.跟踪训练1 解 (1)如图，BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.当θ＝π3时，S 取得最大值，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.例2 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10，当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x ，∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)①当0＜x ＜10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′＞0；当x ∈(9,10)时，W ′＜0.∴当x ＝9时，W 取最大值，且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.②当x ＞10时，W ＝98－⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7 x ≤98－2·1 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知，当x ＝9时，W 取得最大值38.6万元．故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．跟踪训练2 解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 例3 解 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k >0)， 则y 1＝kv 2，当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，得k ＝5. 设全程燃料费为y ，由题意，得 y ＝y 1·200v －8＝1 000v2v －8，∴y ′＝2 000v v －8－1 000v2v －82＝1 000v 2－16 000v v －82.令y ′＝0，得v ＝16，∴当v 0≥16，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省，y min ＝32 000(元)； 当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0， 即y 在(8，v 0]上为减函数， ∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 2v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，v ＝16 km/h 全程燃料费最省， 为32 000元；当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元．跟踪训练3 解 (1)设隔热层厚度为x cm ， 由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 4003x ＋52， 令f ′(x )＝0，即2 4003x ＋52＝6.解得x ＝5，x ＝－253(舍去)，当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5为f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元． 达标检测 1．4 2．6 3.100π4＋π4．解 (1)设商品降价x 元，则多卖的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的获利为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．由已知条件，得24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]． (2)根据(1)，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f ′(x )－＋－故x因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.所以定价为30－12＝18，才能使一个星期的商品销售利润最大．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用课件苏教版选修2-2
1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类 问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准 确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0 时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点 取得最大(小)值．
用料最省、成本(费用)最低问题 位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图1-4-3所示，若
两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最 短．
图1-4-3 【精彩点拨】 可设CD＝x，则CE＝3－x，利用勾股定理得出AC，BC的 长，从而构造出所需电线总长度的函数．
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小
时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝
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x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变
化率的最小值是________．
【解析】 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，
所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值为－1.
1．解决面积、体积最值问题的思路 要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义 域，利用导数求解函数的最值． 2．解决导数在实际应用时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域； (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内 只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意 义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
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高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学业分层测评苏教版选修22
高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学业分层测评苏教版选修22(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．【解析】 因为y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9. 当0<x <9时，y ′>0； 当x >9时，y ′<0.故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值． 【答案】 92．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．【解析】 设半径为r ，则高h ＝27r2，∴S ＝2πr ·h ＋πr 2＝2πr ·27r 2＋πr 2＝54πr＋πr 2.令S ′＝2πr －54πr2＝0，得r ＝3，∴当r ＝3时，用料最省． 【答案】 33．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为________． 【解析】 设直棱柱的底面边长为a ，高为h ， 依题意，34a 2·h ＝V ，∴ah ＝4V3a. 因此表面积S ＝3ah ＋2·34a 2＝43V a ＋32a 2. ∴S ′＝3a －43Va 2，由S ′＝0，得a ＝34V .易知当a ＝34V 时，表面积S 取得最小值． 【答案】34V4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q ，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为______元．(毛利润＝销售收入－进货支出)【解析】 设毛利润为L (p )由题意知：L (p )＝pQ －20Q ＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以，L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．【答案】 23 0005．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)．图144【解析】 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝k ab，其中k (k >0)为比例系数．依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)得b ＝30－a 2＋a.于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a＝k 2＋a30a －a2.(0<a <30)令y ′＝a 2k ＋4ak －60k30a －a22＝0得a ＝6或a ＝－10(舍去)．∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．当a ＝6时，b ＝3，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．6．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为______.【导学号：01580022】【解析】 设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x 米，其他两边的边长均为y 米，则xy ＝512.则所用材料l ＝x ＋2y ＝2y ＋512y(y >0)，求导数，得l ′＝2－512y2.令l ′＝0，解得y ＝16或y ＝－16(舍去)．当0<y <16时，l ′<0；当y >16时，l ′>0.所以y ＝16是函数l ＝2y ＋512y(y >0)的极小值点，也是最小值点．此时，x ＝51216＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省． 【答案】 32米 16米7．如图145，将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，则s 的最小值是________．图145【解析】 设DE ＝x ，则梯形的周长为3－x ， 梯形的面积为12(x ＋1)·32(1－x )＝34(1－x 2)，∴s ＝3－x 2341－x2＝43·x 2－6x ＋91－x 2，x ∈(0,1)， 设h (x )＝x 2－6x ＋91－x 2，h ′(x )＝－6x 2＋20x －61－x22. 令h ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝3(舍)，∴h (x )最小值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝8， ∴s 最小值＝433×8＝3233.【答案】32338．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h 时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.【解析】 设轮船的速度为x km/h 时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3(k ≠0)． 因为6＝k ×103，所以k ＝3500，所以Q ＝3500x 3.所以行驶每千米的费用总和为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x (x >0)．所以y ′＝3250x －96x2.令y ′＝0，解得x ＝20. 因为当x ∈(0,20)时，y ′<0，此时函数单调递减； 当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增， 所以当x ＝20时，y 取得最小值，即此轮船以20 km/h 的速度行驶时，每千米的费用总和最小． 【答案】 20 二、解答题9．如图146，一矩形铁皮的长为8 cm ，宽为5 cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？图146【解】 设小正方形的边长为x cm ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <52，则盒子底面长为(8－2x ) cm ，宽为(5－2x ) cm ， V ＝(8－2x )(5－2x )x ＝4x 3－26x 2＋40x ， V ′＝12x 2－52x ＋40，令V ′＝0，得x ＝1或x ＝103(舍去)，V 极大值＝V (1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，所以V 最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm 时，盒子容积最大．10．(2016·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】 设每次进书x 千册(0<x <150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x 2×40，y ′＝－4 500x2＋20＝20x ＋15x －15x2，令y ′＝0，得x ＝15，列表如下：x (0,15) 15 (15,150) y ′ － 0 ＋ y单调递减极小值单调递增所以当x ＝y x y 进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．能力提升]1．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．【解析】 设广场的长为x 米，则宽为40 000x米，于是其周长为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x(x >0)，所以y ′＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－40 000x2，令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0<x <200时，y ′<0；当x >200时，y ′>0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米．【答案】 8002．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm. 【解析】 设该漏斗的高为x cm ，体积为V cm 3，则底面半径为202－x 2cm ，V ＝13πx (202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x <20)，则V ′＝13π(400－3x 2)．令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0<x <2033时，V ′>0；当2033<x <20时，V ′<0.所以当x ＝2033时，V取得最大值．【答案】20333．现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．为了使全程运输成本最小，轮船行驶速度应为________海里/时．【解析】 设轮船行驶速度为x 海里/时，运输成本为y 元．依题意得y ＝500x(960＋0.6x 2)＝480 000x＋300x ，x ∈(0，35]．则y ′＝300－480 000x2，x ∈(0,35]． 又当0＜x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x＋300x 在(0,35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶． 【答案】 354．如图147，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．图147【解析】 设CD ＝x ，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22 ＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝233时，f (x )取最大值439.【答案】4395．(2016·广州高二检测)如图148所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D 与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？图148【解】设C点距D点x km，则AC＝50－x(km)，所以BC＝BD2＋CD2＝x2＋402(km)．又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30.在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.。
2017-2018版高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用 苏教版选修2-2(1)
跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘 米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位： 万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5 (0≤x≤10)，若 不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；
解答
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大.
解答
命题角度2 费用用材最省问题 例4 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速 为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v0).若船每小时的燃料费 与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12 km/h时，每小时的燃料 费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？
解答
当堂训练
1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为__4_.
解析 设底面边长为x，高为h， 则 V(x)＝x2·h＝256，∴h＝2x526. ∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·2x526＝x2＋4×x256， ∴S′(x)＝2x－4×x22 56. 令S′(x)＝0，解得x＝8，判断知当x＝8时，S(x)取得最小值. ∴h＝28526＝4.
10x8－130x020，x>10. (1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
解答
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的 年利润最大，并求出最大值.
解答
反思与感悟
解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的 函数关系，常见的基本等量关系 (1)利润＝收入－成本. (2)利润＝每件产品的利润×销售件数.
高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的
高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用自我小测 苏教版选修2-21．做一个容积为256 cm 3的方底无盖水箱，要使用料最省，水箱的底面边长为__________．2．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 个单位产品的关系是()21400,0400,280000,400,x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩则总利润最大时，每年生产的产品是__________单位．3．内接于半径为R 的半圆的周长最长的矩形的边长为__________．4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积为最大，则高为__________． 5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k ＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x 〔x ∈(0，0.048)〕，则存款利率为________时，银行可获得最大收益．6．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为__________．7．已知某工厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，则当平均成本最低时，x ＝________件．8．将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆的面积之和最小时，圆的周长为__________cm.9．某生产饮品的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为311x Q x +=+(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为年平均每件成本的150%与平均每件所占广告费的50%之和．(1)试将利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？参考答案1答案：8 解析：设水箱的底面边长为x cm ，容积为256 cm 3，所以水箱的高为2256x， 于是水箱表面积f (x )＝x 2＋4x ·2256x， 即f (x )＝x 2＋1024x ，f ′(x )＝2x －21024x， 令f ′(x )＝0得x ＝8，所以当底面边长为8 cm 时用料最省. 2答案：300 解析：依题意可得：总利润为230020000,0400,260000100,400,x x x P x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩300,0400,100,400.x x P x -≤≤⎧'=⎨->⎩ 令P ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300时总利润最大为25 000元；当x ＞400时，P ′＜0恒成立，易知当x ＝300时，总利润最大.3答案：，R 解析：设矩形垂直于直径的一边长为x，则另一边长为，则l ＝2x＋＜x ＜R )，l ′＝2，令l ′＝0，解得15x R =，25x R =-(舍去). 当0＜x＜5R 时，l ′＞0；当5R ＜x ＜R 时，l ′＜0.所以当x R =R 时，lRR . 4cm 解析：设圆锥的高为x cmcm ， 其体积V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20)(cm 3)， V ′＝13π(400－3x 2)， 令V ′＝0，解得13x =，23x =-(舍去).当0＜x＜3时，V′＞0；x＜20时，V′＜0，所以当x=时，V取最大值.5答案：0.024 解析：由题意，存款量g(x)＝kx(k＞0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048).设银行可获得的收益为y，则y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx，令y′＝0，解得x＝0.024，依题意知y在x＝0.024处取得最大值.故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益.6解析：设底面边长为x，则底面面积为24x，设高为h，则4x2h＝V，于是2Vhx=，这时直棱柱的表面积S(x)＝4x2×2＋3xh＝22xx+.()S'x=-，令S′(x)＝0得x=x=.7答案：1 000 解析：设平均成本为y元，则212500020040x xyx++=＝2500020040xx++(x≥0)，225000140y'x=+，令y′＝0，得x＝1 000或x＝－1 000(舍去).当0≤x＜1 000时，y′＜0，当x＞1 000时，y′＞0，故当x＝1 000时，y取最小值.8答案：100π4π+解析：设圆的周长为x cm，则正方形的周长为(100－x) cm，且0＜x＜100，∴圆的半径为2πxr=(cm)，正方形的边长为254x-(cm)，∴圆与正方形的面积之和为221()254π4x S x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0＜x ＜100)，∴()11252π24x S x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭. 由S ′(x )＝0，得100π4πx =+，此时S (x )取得最小值. 9答案：解：(1)由题意，每年产销Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元，销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%.∴年利润y ＝12(32Q ＋3－x ) ＝13132321x x x +⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭＝298352(1)x x x -+++(x ≥0).∴所求函数关系式为298352(1)x x y x -++=+(x ≥0).当x ＝100时，y ＜0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损.(2)由298352(1)x x y x -++=+(x ≥0)，可得22(298)(1)(9835)2(1)x x x x y'x -++--++=+＝222632(1)x x x --++. 令y ′＝0，则x 2＋2x －63＝0. ∴x ＝－9(舍)或x ＝7.又x ∈(0,7)时，y ′＞0；x ∈(7，＋∞)时，y ′＜0， ∴x ＝7时，y 取得极大值，且y 极大值＝42(万元). 又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴y max ＝y 极大值＝42(万元).∴当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元.。
高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用互动课堂 苏教版选修2-2-苏教版高二
高中数学第1章导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用互动课堂苏教版选修2-2疏导引导本课时的重点和难点是用导数解决实际问题.1.导数在实际生活中有着广泛的应用,如用料最省、利润最大、路程最短等问题一般都可以归结为函数的最值问题,从而可利用导数来研究.(1)导数应用的主要内容之一就是某某际问题的最值,其关键是分清各量间的关系,建立目标函数,在判断函数极值的基础上就可以确定出函数的最值情况.(2)能利用导数求解有关实际问题的最值,学会将实际问题转化为数学问题的方法.(3)通过本单元的学习,学会如何建模,如何利用导数求最值,以提高分析和解决问题的能力.(4)通过本节课的学习,体会数学来源于生活,应用于实践,提高学习数学的兴趣.2.解应用题，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题.就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；其次,利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论;最后再把数学结论返回到实际问题中去.其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系.(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型.(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解.(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定其答案.3.用导数解决优化问题主要指函数类型中求最值的问题，其思路是：4.实际应用问题利用导数求f(x)在(a,b)上的最值时,f′(x)=0在(a,b)的解只有一个,由题意最值确实存在,则使f′(x)=0的解就是最值点.案例1 (2005全国高考Ⅲ)用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如下图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【探究】设容器高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x 3-276x 2+4 320x(0＜x ＜24). 求V(x)的导数，得V′(x)=12x 2-552x+4 320=12(x 2-46x+360) =12(x-10)(x-36).令V′(x)=0，得x 1=10,x 2=36(舍去).当0＜x ＜10时，V′(x)＞0，那么V(x)为增函数； 当10＜x ＜24时，V′(x)＜0，那么V(x)为减函数.因此,在定义域(0，24)内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19 600(cm 3).所以当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm 3.【规律总结】本题主要考查函数的概念，运用导数求函数最值的方法，以及运用数学知识建立简单数学模型并解决实际问题的能力.实际应用问题要根据题目的条件，写出相应关系式，是解决此类问题的关键.案例2 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？【探究】根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C 的位置.解法一：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，如图所示，设C 点距D 点x km ，则∵BD=40，AC=50-x ，∴BC=222240+=+x CD BD ，又设总水管费用为y 元，依题意有y=3a(50-x)+22405+x a (0＜x ＜50). y′=-3a+22405+x ax .令y′=0，得22405+x ax =3a(a≠0).解得x=30.在(0，50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30 (km)处取得最小值，此时，AC=50-x=20 (km).∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. 解法二：设∠BCD=θ，如图所示，则BC=θsin 40，CD=40cotθ(20πθ<<). ∴AC=50-CD=50-40cotθ设总的水管费用为f(θ),依题意，有 f(θ)=3a(50-40cot θ)+5a·θsin 40. =150a+40aθθsin cot 35-.∴f′(θ)=40a θθθθθθ222sin cos 5340sin cos )cos 35(sin 3-=--a ..令f′(θ)=0，得cos θ=53. 根据问题的实际意义，当cosθ=53时，函数取得最小值，此时 sinθ=54,∴cotθ=43,∴AC=50-40cotθ=20 (km),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.案例3 某工地备有直径为R 的圆柱形木料(足够长)，若所需的是横断面为矩形的承重木梁，且已知木梁的承重强度(P)与梁宽及梁高的平方的乘积成正比，问如何截可使截得的木梁的承重强度最大？【探究】设木梁的横断面的宽为x 1,高为y,则x 2+y 2=R 2.由已知，设P=kxy 2(k 为常数)，因此P=kx(R 2-x 2)=kR 2x-kx 3(0＜x ＜R).因为P′=kR 2-3kx 2,令P′=0得x=R 33.由于函数在区间(0，R)内只有一个极值点，因此，当x=R 33,即木梁横断面宽为R 33，高为R 36时，木梁的承重强度最大.【规律总结】解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，选择合适的数学方法求解.对于这类问题，同学们往往忽视了数学语言与普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍. 活学巧用1.某种型号的电器降价x 成(1成为10%)，那么销售数量就增加mx 成(m∈R +).某商店此种电器的定价为每台a 元，则可以出售b 台，若经降价x 成后，此种电器营业额为y 元.试建立y 与x 的函数关系，并求m=45时，每台降价多少成其营业额最大？ 解析：由条件，降低后的营业额为y=a(1-x)b(1+mx)=ab ［-mx 2+(m-1)x+1］，∴当m=45时，y=ab(-45x 2+41x+1). ∴y′=ab (25-x+41).令y′=0，∴x=101,即x=101时，y max =8081ab,即降价0.1成时，营业额最大. 2.某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门更多的关注,据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤+<≤-+--),1210(345663)109(45581)96(4629364381223t t t t t t t t t 求从上午6点到中午12点，通过该路程用时最多的时刻. 解析:按已给出的分段函数求导数. (1)当6≤t＜9时，y′=283t -23-t+36=83-(t+12)(t-8) 令y′=0 得t=-12(舍去)或t=8.当6≤t＜8时，y′＞0;当8＜t ＜9时，y′＜0， ∴t=8时，y 有最大值y max =18.75(分钟). (2)当9≤t≤10时，y=45581+t 是增函数， ∴t=10时，y max =15(分钟)(3)当10＜t≤12时， y=-3(t-11)2+18 ∴t=11时，y max =18(分钟).综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75分钟.3.(广告费与收益)某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(百万元)，可增加的销售额约为-t 2+5t(百万元)(0≤t≤5)(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?(2)现该公司准备共投入300万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为331x -+x 2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大?(注：收益=销售额-投入).解析:(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元),则有f(t)=(-t 2+5t)-t=-t 2+4t=-(t-2)2+4(0＜t≤3) ∴当t=2百万元时，f(t)取得最大值4百万元.即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.(2)设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元),又设由此获得的收益是g(x),则有g(x)=(331x -+x 2+3x)+［-(3-x)2+5(3-x)］-3=331x -+4x+3(0≤x≤3) ∴g′(x)=-x 2+4令g′(x)=0解得x=-2(舍去)若x=2又当0≤x＜2时，g′(x)＞0 当2＜x≤3时，g′(x)＜0故g(x)在［0，2］上是增函数，在［2，3］上是减函数.所以x=2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大.4.将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？解析：设弯成圆的一段铁丝长为x ，则另一段长为100-x ，记正方形与圆的面积之和为S ，则正方形的边长a=4100x -，圆的半径r=π2x. ∴S=π(π2x )2+(4100x -)2(0＜x ＜100).又S′=π2x +2(4100x -)·(4100x-)′=π2x -8100x -. 令S′=0，则x=ππ+4100(cm).由于在(0，100)内，函数S(x)只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x=ππ+4100cm 时，面积之和最小. 5.在某工业品生产过程中，每日次品数y 是日产量x 的函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-).100(),100(101x xx x x该工厂售出一件正品可获利A 元，但生产一件次品就损失3A元.为了获得最大利润，日产量应定为多少？解析：在每天生产的x 件产品中，x-y 是正品数，y 是次品数，每日获利总数为T(x)=A(x-y)-3A y. T′(x)=A (1-34y)′ 令T′(x)=0，得y′=43. ∵y=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)100()100(101x xx x x当x ＞100时，每一件产品都是次品，公司要赔钱，最佳日产量只能在x≤100时求得. 由y′=2)101(101x -=43得x≈89.4∵产品数必须是自然数，∴产品数是89或90件. ∵T(89)≈79.11A,T(90)≈79.09A. ∴每日应生产89件将获得最大利润.6.甲船以20 km/h 的速度向东航行，正午时在其北面82 km 处有乙船以16 km/h 的速度向南航行，问何时两船相距最近？解析：如图，正午过后t h ，乙船到达点A ，甲船到达点B ，此时 AO=82-16t ，OB=20t ，两船的距离d(A,B) =67242624656)20()1682(222+-=+-t t t t .令f(t)=656t 2-2 624t+6 724.则f′(t)=1 312t -2 624=1 312(t-2). 令f′(t)=0，得t=2.t (0，2) 2 (2，+∞)f′(t)-+即是最小值.∴在t=2，也就是正午过后2 h ，甲、乙两船的距离最近.。
高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修2_
1.4 导数在实际生活中的应用的能力.导数在实际生活中的应用导数在实际生活中有着广泛的应用．例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的______问题，从而可用________来解决．预习交流1 做一做：有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为______ m 2.预习交流2做一做：做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为______．预习交流3用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题？预习导引 最值 导数预习交流1：提示：设矩形长为x m ，则宽为(8－x ) m ，矩形面积S ＝x (8－x )(8＞x ＞0)，令S ′＝8－2x ＝0，得x ＝4.此时S 最大＝42＝16(m 2)．预习交流2：提示：设半径为r ，则高h ＝27r 2，∴S ＝2πr ·h ＋πr 2＝2πr ·27r 2＋πr 2＝54πr＋πr 2，令S ′＝2πr －54πr2＝0，得r ＝3，∴当r ＝3时，用料最省．预习交流3：提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．一、面积、体积最大问题如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD =2x ，梯形面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．思路分析：表示面积时，首先要建立适当的平面直角坐标系，借助椭圆的方程，可表示出等腰梯形的高．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解．2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，有利于解决问题．二、费用最省问题如图所示，设铁路AB =50，B ，C 之间距离为10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？思路分析：可从AB 上任取一点M ，设MB =x ，将总费用表示为变量x 的函数，转化为函数的最值求解．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？⎝⎛注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平⎭⎪⎫均购地费用＝购地总费用建筑总面积1．求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不2．在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；3．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域．三、利润最大问题某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？(2)若年销售量关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润是多少？思路分析：根据题意建立目标函数关系式，利用导数求解．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的关系为P ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x 元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤：第一步，分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )．第二步，求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0. 第三步，比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．1．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为______．2．一个箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，x 的值为__________．3．将8分成两个非负数之和，使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小，则这个最小值等于__________．4．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为__________． 5．某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低量x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？答案：活动与探究1：解：(1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ，满足方程222214x y r r+=(y ＞0)，解得y ＝2r 2－x 2(0＜x ＜r )．S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2， 其定义域为{x |0＜x ＜r }．(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2),0＜x ＜r ，则f ′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )．令f ′(x )＝0，得x ＝12r .因为当0＜x ＜12r 时，f ′(x )＞0；当12r ＜x ＜r 时，f ′(x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 是f (x )的最大值．因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ＝332r 2，即梯形面积S 的最大值为332r 2.迁移与应用：解：设容器底面短边的边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x (m)．由题意知x ＞0，x ＋0.5＞0， 且3.2－2x ＞0，∴0＜x ＜1.6.设容器的容积为V m 3，则有V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x (0＜x ＜1.6)．∴V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令V ′＝0，有15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)．∴当x ∈(0,1)时，V ′(x )＞0，V (x )为增函数， x ∈(1,1.6)时，V ′(x )＜0，V (x )为减函数． ∴V 在x ∈(0,1.6)时取极大值V (1)＝1.8，这个极大值就是V 在x ∈(0,1.6)时的最大值，即V max ＝1.8.这时容器的高为1.2 m.∴当高为1.2 m 时，容器的容积最大，最大值为1.8 m 3. 活动与探究2：解：设MB ＝x ，于是AM 上的运费为2(50－x )，MC 上的运费为4102＋x 2，则由A 到C 的总运费为p (x )＝2(50－x )＋4100＋x 2(0≤x ≤50)．p ′(x )＝－2＋4x100＋x 2，令p ′(x )＝0， 解得x 1＝103，x 2＝－103(舍去)．当x ＜103时，p ′(x )＜0；当x ＞103时，p ′(x )＞0，所以当x ＝103时，取得最小值．即在离B 点距离为1033的点M 处筑公路至C 时，货物运费最省．迁移与应用：解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N*),f ′(x )=48－210800x令f ′(x )=0,得x =15或x =－15(舍去)， 当x ＞15时，f ′(x )＞0；当10≤x ＜15时，f ′(x )＜0，因此当x =15时，f (x )取最小值f (15)=2000.故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层. 活动与探究3：解：(1)由题意得：上年度的年利润为(13－10)×5 000＝15 000(万元)； 本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x )； 本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x )； 本年度年销售量为5 000×(1＋0.4x )，因此本年度的年利润为y ＝[13×(1＋0.7x )－10×(1＋x )]×5 000×(1＋0.4x ) ＝(3－0.9x )×5 000×(1＋0.4x )＝－1 800x 2＋1 500x ＋15 000(0＜x ＜1)，由－1 800x 2＋1 500x ＋15 000＞15 000，解得0＜x ＜56.所以当0＜x ＜56时，本年度的年利润比上年度有所增加．(2)本年度的年利润为f (x )＝(3－0.9x )×3 240×⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53＝3 240×(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)，则f ′(x )＝3 240×(2.7x 2－9.6x ＋4.5) ＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫59，1时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数． 所以当x ＝59时，f (x )取极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝20 000万元． 因为f (x )在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．迁移与应用：解：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． 当堂检测1．2πr 2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则R =r cos θ，L =2r sinθ，所以侧面积S =2πr cos θ·2r sin θ=4πr 2sin θcos θ.令S′=4πr 2(cos 2θ－sin 2θ)=0，解得ππ0,42θθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即当π4θ=，也就是R =2r 时，侧面积S 最大，且最大值为2πr 2. 2．40 解析：V (x )＝－12x 3＋30x 2，V ′(x )＝－32x 2＋60x ，令V ′(x )＝0，得x ＝40(x ＝0舍去)，且当0＜x ＜40时V ′(x )＞0；当40＜x ＜60时V ′(x )＜0，故V (x )在x ＝40时取得最大值．3．44 解析：设其中一个数为x ，则另一个数为8－x ，且0≤x ≤8，则y ＝x 3＋(8－x )2＝x 3＋x 2－16x ＋64， y ′＝3x 2＋2x －16＝0，解得x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－83舍去，且当0≤x ≤2时，y ′≤0；当2≤x ≤8时，y ′≥0，故当x ＝2时，y 取最小值44.4．25 解析：设矩形垂直于直径的一边长为x ，则另一边长为225－x 2，于是矩形面积S (x )＝2x ·25－x 2，则S ′(x )＝50－4x 225－x2，令S ′(x )＝0得x ＝522⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－522舍去，因此当x ＝522时面积取最大值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25.5．解：(1)设商品降价x 元时，多卖出的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则由题意，得f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．又由已知条件24＝k ·22，得k ＝6.∴f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]．(2)由(1)，知f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)． 当x故x 又f (0)＝9 072，f (2)＝8 664，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18元，能使一个星期的商品销售利润最大．。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用 导数实际应用中的三类问题素材 苏教版选修22
1.4 导数实际应用中的三类问题导数有着广泛的应用,比如:一.最优化问题例1. 从一块边长为a 的正三角形铁皮的三个角上截去三个同样大小的四边形（如图),然后按虚线把三边折起做成一个无盖的正棱柱形盒子，要截去多大的小四边形方使盒子容积最大？分析: 将四边形分解成两个全等的直角三角形，将盒子高作为自变量，体积作为因变量，建立函数关系，运用导数求解．解: 设盒子的高为x,则盒子的底面边长为(x a 32-),得x<a 183或x ＞a 63. ∴V 在x∈(0,a 183)上为增函数，在(a 183,a 63)上为减函数， ∴V 在x=a 183处取得最大值，此时小四边形面积21083183183a a a S =⋅=. 答：截去三个面积都为21083a 的四边形时，盒子的容积最大. 评析: 解空间几何体有关的最值问题，要熟悉相关几何体的形和数的特征．二.学科间综合问题例2.如图,已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x 2在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．分析:由抛物线y=4-x 2的图象性质可知，矩形是关于y 轴对称的，设矩形的长为2x ，则宽为4-x 2，利用面积公式，运用导数求解．解: 设矩形的长为2x ，则宽为4-x 2,矩形面积S=2x(4-x 2）=8x-2x 3 (0<x<2),∴S '=8-6x 2, 令S '＞0得-332< x <332, ∴S 在(0, 332)上为增函数，在(332，2)上为减函数． ∴当x=332时，矩形面积最大. 答: 当矩形的长、宽分别为334和38时矩形面积最大. 评析: 这是与解析几何有关的问题，本题充分利用了抛物线的图形特征和数量特征．三.方案设计类例3. 有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a ），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b ）.（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V 1；（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V 2＞V 1.(a ) (b )分析: 本例主要考查利用导数研究函数单调性、求最值等基础知识，解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值点.在第(2)问中,有多种设计方案,哪一种容器的容积最大呢?当然,原材料不浪费的情况下,最为优化.解：（1）设切去正方形边长为x ，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x ，高为x ， ∴V 1=（4－2x ）2·x=4（x 3－4x 2+4x ）（0＜x ＜2）.∴V 1′=4（3x 2－8x+4）. 令V 1′=0，得x 1=32，x 2=2（舍去）. 而V 1′=12（x －32）（x －2）， 又当x ＜32时，V 1′＞0；当32＜x ＜2时，V 1′＜0， ∴当x=32时，V 1取最大值27128. （2）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V 2=3×2×1=6，显然V 2＞V 1.故第二种方案符合要求.3 14① ② 1③解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，选择合适的数学方法求解，对于这类问题，学生往往忽视了数学语言与普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．。
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高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用自我
小测 苏教版选修2-2
1．做一个容积为256 cm 3的方底无盖水箱，要使用料最省，水箱的底面边长为
__________．
2．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100
元，已知总收益R 与年产量x 个单位产品的关系是()21400,0400,280000,400,
x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩则总利润最大时，每年生产的产品是__________单位．
3．内接于半径为R 的半圆的周长最长的矩形的边长为__________．
4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积为最大，则高为__________．
5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数
为k (k ＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x 〔x ∈(0，0.048)〕，则存款利率为________时，银行可获得最大收益．
6．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为
__________．
7．已知某工厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋
140
x 2(元)，则当平均成本最低时，x ＝________件．
8．将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与
圆的面积之和最小时，圆的周长为__________cm.
9．某生产饮品的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为311
x Q x +=+(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为年平均每件成本的150%与平均每件所占广告费的50%之和．
(1)试将利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企
业是亏损还是盈利？
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
参考答案
1答案：8 解析：设水箱的底面边长为x cm ，容积为256 cm 3，所以水箱的高为
2256x ， 于是水箱表面积f (x )＝x 2＋4x ·
2256x ， 即f (x )＝x 2＋1024x ，f ′(x )＝2x －21024x
， 令f ′(x )＝0得x ＝8，所以当底面边长为8 cm 时用料最省.
2答案：300 解析：依题意可得： 总利润为2
30020000,0400,260000100,400,x x x P x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩
300,0400,100,400.
x x P x -≤≤⎧'=⎨->⎩ 令P ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300时总利润最大为25 000元；当x ＞400时，P ′
＜0恒成立，易知当x ＝300时，总利润最大.
3
答案：5R
，5
R 解析：设矩形垂直于直径的一边长为x
，则另一边长为，则l ＝2x
＋＜x ＜R )，l ′＝2
， 令l ′＝0
，解得15x R =
，25x R =-(舍去). 当0＜x
R 时，l ′＞0
R ＜x ＜R 时，l ′＜0.
所以当x R =R 时，l
. 4
解析：设圆锥的高为x cm
， 其体积V ＝13
πx (202－x 2)(0＜x ＜20)(cm 3)，
V ′＝13
π(400－3x 2)， 令V ′＝0
，解得1x =
2x =(舍去). 当0＜x
时，V ′＞0；
当3
＜x ＜20时，V ′＜0，
所以当3
x =时，V 取最大值. 5答案：0.024 解析：由题意，存款量g (x )＝kx (k ＞0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )
＝kx 2，x ∈(0,0.048).设银行可获得的收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2.于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024，依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值.故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益.
6
解析：设底面边长为x
，则底面面积为24x ，设高为h
，则4
x 2h ＝V
，于是2V h x
=，这时直棱柱的表面积S (x )
＝4x 2×2＋3xh
＝22x x +.
()S'x =-
，令S ′(x )＝0
得x =
x =. 7答案：1 000 解析：设平均成本为y 元， 则212500020040x x y x ++
=
＝2500020040
x x ++(x ≥0)， 225000140y'x =
+， 令y ′＝0，得x ＝1 000或x ＝－1 000(舍去).
当0≤x ＜1 000时，y ′＜0，
当x ＞1 000时，y ′＞0，
故当x ＝1 000时，y 取最小值.
8答案：100π4π
+ 解析：设圆的周长为x cm ， 则正方形的周长为(100－x ) cm ，且0＜x ＜100， ∴圆的半径为2πx r =(cm)，正方形的边长为254
x -(cm)， ∴圆与正方形的面积之和为
221()254π4x S x x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭(0＜x ＜100)， ∴()11252π24x S x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭
. 由S ′(x )＝0，得100π4π
x =+，此时S (x )取得最小值. 9答案：解：(1)由题意，每年产销Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元，销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%.
∴年利润y ＝12
(32Q ＋3－x ) ＝13132321x x x +⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭
＝298352(1)
x x x -+++(x ≥0). ∴所求函数关系式为298352(1)
x x y x -++=+(x ≥0). 当x ＝100时，y ＜0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损.
(2)由298352(1)
x x y x -++=+(x ≥0)，可得 22
(298)(1)(9835)2(1)x x x x y'x -++--++=+ ＝22
2632(1)x x x --++. 令y ′＝0，则x 2＋2x －63＝0.
∴x＝－9(舍)或x＝7.
又x∈(0,7)时，y′＞0；x∈(7，＋∞)时，y′＜0，
∴x＝7时，y取得极大值，且y极大值＝42(万元).
又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点，
∴y max＝y极大值＝42(万元).
∴当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元.。