浙江省台州市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
2021年浙江省台州市中心中学高三数学理模拟试题含解析
2021年浙江省台州市中心中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若，则=( )A．14 B．16 C．18 D．20参考答案：D如下图所示，设，则.由抛物线的定义知，.易知，所以.选D.2. 已知向量，满足|+|=||=||，则向量与+夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．0 D．1参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得，即，再由已知||=||，可得向量与+夹角为，夹角的余弦值为．【解答】解：由|+|=||=||，得：，即，解得：，∵||=||，且，∴向量与+夹角为，夹角的余弦值为．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题．3. 已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上一点，，则的最小值为（）A．B． C．4 D．参考答案：D设椭圆的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以4. 设抛物线的准线为，点在抛物线上，且在第一象限内，若圆与相切，在轴上截得的线段长为6，则圆的标准方程为（）A．B．C. D．参考答案：C5. 各项均不为零的等差数列中，若,则（）A． B．C． D．参考答案：D试题分析：由题设可得,解之得,故,应选D.考点：等差数列的通项及性质的运用.6. 已知，，，四点均在以点为球心的球面上，且，，.若球在球内且与平面相切，则球直径的最大值为（）A．1 B．2 C．4D．8参考答案：D7. 函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，1] B．（﹣1，0）∪（0，1] C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）参考答案：B考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．分析：由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．解：要使原函数有意义，则，解得：﹣1＜x≤1，且x≠0．∴函数f（x）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，1]．故选：B．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．8. 执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框中应填入的条件是（）A. B. C. D.参考答案：B略9. 已知l1，l2分别是函数图像上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A．(0,1) B．(0,2) C. (0,+∞) D．(1,+∞)参考答案：A由题意得．设，由导数的几何意义可得切线的斜率分别为，由条件可得，所以，故．又切线的方程为，切线的方程为，即，在两切线方程中，分别令可得切线与y轴的交点分别为，故．由，可得点．∴（由于，故等号不成立）．∴的面积的取值范围是．选A ．D 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，满足约束条件，则的取值范围为．参考答案：12. 如图，AB 为的直径，C 为上一点,AP 和过C 的切线互相垂直，垂足为P ，过B 的切线交过C 的切线于T ，PB 交于Q ，若AB=4，则.参考答案： 313. 若复数满足，其中i 是虚数单位，则复数的共轭复数为________.参考答案：解：，则，所以复数的共轭复数为14. 若的方差为3，则的方差为 ．参考答案： 27 略15. 已知x >0，y >0，且，若x ＋2y ≥m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围________.参考答案：[－4,2] 【分析】由，可得展开，利用基本不等式可求得最小值，不等式等价于，据此求出的取值范围即可.【详解】由，可得，而恒成立，所以恒成立，即恒成立，解得， 故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质，以及一元二次不等式的解法的运用，属于中档题.16. 已知实数满足，下列五个关系式：①②③④⑤，其中不可能成立的关系式为 。
2021届浙江省新高考测评第三模拟考试数学试题(解析版)
可得 ，
解得 ，所以椭圆 的长轴长为4．
故答案为： .
12．在生物学研究过程中，常用高倍显微镜观察生物体细胞．已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细胞图片，如图所示，为了方便研究，现在利用甲、乙等四种不同的试剂对 、 、 、 、 、 这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞不能用同种试剂染色，且甲试剂不能对 细胞染色，则共有______种不同的染色方法（用数字作答）．
则 ， ，
因为 ，
所以 ， ，
故选：B．
9．已知数列 满足 ， ，则 （）
A． B． C．35D．
【答案】A
【分析】对递推公式进行变形得 ，应用该递推关系可以得到该数列的周期，利用周期性进行求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因此 ，同理 ， ， ，则 ，因此 ， ， ， ，其中 ，则 ，则 故选：A
2021届浙江省新高考测评第三模拟考试数学试题
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求解集合 ，再求集合的混合运算.
【详解】由题可得 ，则 ，因此 .
故选：B．
2．已知复数 满足 ，则复数 （其中 为虚数单位）的模为（）
A． B． C．1D．2
【答案】C
【点睛】关键点睛：求解本题的关键是对 的化简，进而得到数列 的周期为4，从而得到 即可求得结果．
10．已知定义在 上的函数 满足：①对任意的 ， ， ；②当 时， ；③ ．若对于任意的两个正实数 ， ，不等式 恒成立，则实数 的最小值是（）
A． B． C． D．
【答案】C
浙江省台州市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
浙江省台州市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．7【答案】B 【解析】 【分析】在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得3a ，再由等差数列通项公式求得公差. 【详解】在等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()155********a a S a a +===⇒=则3123272a a d d d =+=+=⇒= 故选：B 【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题. 2．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-【答案】D 【解析】 【分析】由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2故选：D ． 【点睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．3．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2nn a =C ．21nn S =- D ．121n n S -=-【答案】C【解析】 【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =，由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q =或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯=，()1122112n n nS ⨯-==--.故选C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为nq .4．已知向量()()1,3,2a m b ==-v v ，，且()a b b +⊥vv v ，则m=( )A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出a b +rr 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥rr r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝1． 故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?k …C ．5?k …D ．5?k <【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序框图运行分析即得解. 【详解】2111,0;2,0226k S k S ====+=+； 21113,6334k S ==+=+；21134,44410k S ==+=+.所以①处应填写“3?k …” 故选：B 【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4C ．14±D ．14【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．7．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交【答案】D 【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．选D ．8．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞【答案】D 【解析】 【分析】先化简{}{}|216|4xB x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B 求解.【详解】因为{}{}|216|4xB x x x =<=<，又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ， 所以4a <. 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．20201i i=-（ ）A ．2B ．C ．1D ．14【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方和除法法则将复数20201i i-化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.【详解】()5052020450511i i===，()()20201111111122i i i i i i i +===+---+，因此，20201i i ==-故选：A. 【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 10．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为21()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为113b -≤,进而得出结论. 【详解】由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,所以X 的方差()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++ ()2a c a c =--++ ()2211ab b =--++- 21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12ba -=时,()D X 取最大值1b -, 又()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-成立, 所以113b -≤,解得23b ≥,故选:D. 【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.11．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C 【解析】 【分析】以,BA BC u u u r u u u r为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r,211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r22111362BC BC BA BA =-⋅-u u ur u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.12．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） AB．CD【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得2ABF ∆的边长为4a ，然后在12AF F ∆中应用余弦定理得,a c 的等式，从而求得离心率． 【详解】由题意122AF AF a -=，212BF BF a -=，又22AF BF AB ==， ∴114AF BF AB a -==，∴12BF a =， 在12AF F ∆中2221212122cos60F F AF AF AF AF =+-︒，即22214(6)(4)2642c a a a a =+-⨯⨯⨯228a =，∴． 故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A 到两焦点距离用a 表示，然后用余弦定理建立关系式．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三数学第三次模拟考试 理(含解析)
2021年高三数学第三次模拟考试理（含解析）【试卷综析】本卷为高三模拟训练卷，注重基础知识考查与基本技能训练，重点考查考纲要求的知识与能力，覆盖全面，难度适中，全面的考查了学生的综合能力，对常用方法，解题技巧，解题思路全面考查，对数量关系，空间形式，数形结合，类比，推广，特殊化等都有涉及，注重通性通法，.完全符合高考题型和难度，试题的题型比例配置与高考要求一致，侧重于知识交汇点的考查是一份优质的考前训练卷第I卷（选择题共5 0分）一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合M ={x|x2 -x<0}，N={x||x|<2}，则A．M N= B．MN'=R C． MN=M D．MN=M【知识点】集合的概念；交集、并集的概念.【答案解析】D解析：解：由题可知，所以【思路点拨】分别求出两个集合的取值范围，求交集与并集后找到正确选项. 2．复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是A．（3,3）B．（-l,3）C．（3,-1）D．（2,4）【知识点】复数概念；复数分母实数化；复平面内的点.【答案解析】B解析：解：,所以z在复平面内对应的点的坐标是【思路点拨】对复数进行分母实数化化简可得实部与虚部，即可求出对应点的坐标.3．下列函数中，既是偶函数又在区间（1，2）上单调递增的是A．y=log2 |x| B．y=cos 2x C．y= D．y=lo【知识点】函数的奇偶性；函数的单调性.【答案解析】A解析：解：由题可知C、D为奇函数，排除C、D，再根据余弦函数的图像可知在上不单调，所以排除B，在上递减，在上递增，函数为偶函数，且在上单调递增，所以A正确.【思路点拨】分别对函数的奇偶性进行验证，对单调区间时行分析即可得到正确选项. 4．如图，程序框图所进行的求和运算是A．B．C．D．【知识点】程序框图.【答案解析】A解析：解：由程序框图可知第一次运行，第二次运行，按执行过程可知程序为.【思路点拨】可按程序框图进行运算，累计各次结果即可求出.5．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为A．B．C．D．【知识点】三视图；圆柱的体积公式；长方体的体积公式.【答案解析】C解析：解：由题意可知几何体的体积为圆柱体积加长方体体积再减去的与长方体等高的圆柱的体积，【思路点拨】作出与三视图对应的几何体，按分割法求出各部分的体积.6．函数f（x）=sin（）（其中．（>0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin的图象，则只要将f（x）的图象A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【知识点】y=Asin（ωx+φ）的图象变换;识图与运算能力.【答案解析】A解析：解：由图知，17122 41234T T Tππππππωω=-=∴===∴=又又A=1，∴，g （x ）=sin2x ，∵()sin 2sin 2663f x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴为了得到g （x ）=sin2x 的图象，则只要将的图象向右平移个单位长度．【思路点拨】由，可求得其周期T ，继而可求得ω，再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换及可求得答案.7．下列四个图中，函数y=的图象可能是【知识点】函数的图象变换及函数性质；排除法、特殊值法；定义域、值域、单调性、奇偶性以及特殊点的函数值.【答案解析】C 解析：解：∵是奇函数，向左平移一个单位得∴ 图象关于（-1，0）中心对称，故排除A 、D ，当x ＜-2时，y ＜0恒成立，排除B ．故选：C【思路点拨】．根据的图象由奇函数左移一个单位而得，结合对称性特点判断.8．两名学生参加考试，随机变量x 代表通过的学生数，其分布列为那么这两人通过考试的概率最小值为A ．B ．C ．D ．【知识点】概率；相互独立事件；分布列.【答案解析】B 解析：解：设第一个学生通过的概率为，第二个学生为，所以所以通过概率最小值为【思路点拨】按题意可设出两人分别通过的概率，知只有一人通过的概率，两人都通过的概率，根据关系式可求出两人分别通过的概率.9．设△ABC 中，AD 为内角A 的平分线，交BC 边于点D ，，∠BAC=60o ，则·=A ．B ．C ．D ．【知识点】角平分线定理；向量的计算；余弦定理.【答案解析】C 解析：解：由图可知向量的关系，根据角平分线定理可得，根据余弦定理可知，所以()23321555AD BC AB BC BC AB BC BC AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+=⋅-+ ⎪⎝⎭22121932cos609555AB AC AB =⋅-+=⨯⨯︒-+=- j 2DBCA【思路点拨】可根据角平分线定理和余弦定理，可求出的模等向量，再通过向量的计算法则对向量进行转化.10．定义在R 上的函数f （x ）满足：f (x)+(x)>l ，f (0)=4，则不等式e x f(x)>e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )A ．B ．C ．D ．【知识点】导数；函数的单调性与导数；解不等式.【答案解析】A 解析：解：由题意可知不等式为，设()()()()()()()310x x x x x x g x e f x e g x e f x e f x e e f x f x '''=--∴=+-=+->⎡⎤⎣⎦所以函数在定义域上单调递增，又因为，所以的解集为【思路点拨】把不等式转化成函数问题，利用函数的导数判断函数的单调性，根据函数性质可求出解集.第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图所示，由图可知，这一批电子元件中使用寿命在100～300 h 的电子元件的数量与使用寿命在300～600 h 的电子元件的数量的比是。
2021届浙江省台州市临海市、绍兴市新昌县高三下学期5月模拟考试数学试题解析
2021届浙江省台州市临海市、绍兴市新昌县高三下学期5月模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2320,|0log 1A x x x B x x =-<=<<，则A B =（ ）A ．{|03}x x <<B ．{|13}x x <<C ．{|02}x x <<D ．{|12}x x <<答案：D先解出集合A 、B ，再求AB .解：{}{}220=|02A x x x x x =-<<<，{}{}3|0log 1|13B x x x x =<<=<<所以A B ={|12}x x <<.故选：D2．若实数,x y 满足约束条件10,220,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7答案：B画出不等式组表示的区域，由2z x y =+可得122zy x =-+，然后结合图形可得答案. 解：不等式组表示的区域如下：由2z x y =+可得122z y x =-+， 所以当直线2z x y =+过点14,33A ⎛⎫⎪⎝⎭时纵截距最大，即z 最大，最大值为3 故选：B3．已知椭圆221(1)x y m m +=>2，则双曲线221x y m -=的离心率是（ ）A ．32B 23C ．62D ．32答案：C由椭圆的离心率为22求出m ，再求双曲线的离心率. 解：因为椭圆221(1)x y m m +=>的离心率为22， 即122c m e a m-===1m ，解得：2m =. 所以双曲线221x y m -=为2212x y -=，离心率为1362c m e a m +===故选：C【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：（1）直接求出a 、b 、c ，计算离心率；（2）根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．4．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．103B ．143C ．10D ．14答案：B本题首先可结合三视图绘出原图，然后根据棱台的体积公式即可得出结果. 解：如图，结合三视图绘出原图：则该四棱台的体积114214433V ， 故选：B. 5．函数22lg x xf xx 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D本题首先可根据()()f x f x -=得出函数()f x 是偶函数，B 错误，然后通过()20f >得出A 错误，最后通过()10f =判断出C 错误，即可得出结果. 解：因为22lg x xf xx ，22lg xxf x x f x ，0x ≠，所以函数()f x 是偶函数，B 错误， 令2x =，则22222lg 20f ，A 错误， 令1x =，则11122lg10f ，C 错误，故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查函数的图像的判断，可通过函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性以及特殊值等方式来判断，考查数形结合思想，是中档题. 6．设,a b 是实数，则a b >是“2a ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：Aa b >0a b >≥，然后可得2a ab >，反过来不成立，可取2,1a b =-=-验证. a b >0a b >≥，然后可得()0a a b ->，即2a ab > 当2,1a b =-=-时，满足2a ab >a b >所以>是“2a ab >”的充分不必要条件 故选：A 7．已知数列{}{},n n a b ，满足()*11111,6,2,22N n n n n n a b a a b b a n ++====-∈.若k k a b =，k的值是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7答案：C根据12n n a a +=可知数列{}n a 为等比数列，将1=2n n a -代入122n n n b b a +=-后将其变形可知数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可解得1(7)2n n n b -=-；将1=2n n a -，1(7)2n n n b -=-代入k k a b =即可解出答案.解：因为111=221,n n n na a a a a ++⇒==. 所以数列{}n a 为以1为首项，2为公比的等比数列. 所以1=2n n a -.11111=2=11222222222n n n n n n n n n n n n n b b b b b b a b +++++=--⇒-⇒-=-，132b =, 所以数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以3为首项，12-为公差的等差数列. 所以11=3(1)()22(7)2n n n n n b n b -=-+--⇒. 11(7)22716k k k k a b k k k --=⇒-⇒-=⇒==.故选：C.【点睛】本题考查一阶线性递推公式的通项公式.属于难题.掌握常见的一阶线性递推公式的变形是解本题的关键.11()11n n n n q qa pa q a p a p p ++=+⇔+=+--. 8．已知正实数,a b 满足22a b +=，则22121a ba b +++的最小值是（ ） A ．94B ．73C ．174D ．133答案：A根据已知等式把代数式22121a b a b +++进行变形为142(1)a b ++，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.解：221212(1)2(1)21222111a b b b b a a b a b a b a b ++-+++=++=+++-+++，因为22a b +=，所以22121214112(1)a b a b a b a b ++=+=++++， 因为22a b +=，所以2(1)4a b ++=，因此11411412(1)44[][2(1)][][5]42(1)42(1)42(1)b a a b a b a b a b +⨯⋅+=⋅++⋅+=+++++，因为,a b 是正实数，所以12(1)419[5][542(1)44b a a b +++≥+=+，（当且仅当2(1)42(1)b a a b +=+时取等号，即1a b =+时取等号，即41,33a b ==时取等号）， 故选：A9．已知圆22: 1O x y +=上存在点P ，直线: 40l kx y -+=上存在点Q ，使得6PQO π∠=，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[B ．(,)-∞⋃+∞ C．[D ．(,[2,)-∞+∞答案：B由题意，当直线 PQ 与圆相切时，PQO ∠最大，此时2OQ ，然后可得圆心到直线的距离小于或者等于2，即可解出不等式.解：由题意可得，当直线 PQ 与圆相切时，PQO ∠最大，此时2sin 30OPOQ ==︒所以要使圆22: 1O x y +=上存在点P ，直线: 40l kx y -+=上存在点Q ，使得6PQO π∠=成立 则有221d k=≤+，解得(,3][3,)k ∈-∞-+∞故选：B10．已知关于x 的不等式()2ln 0x ax b x ++⋅≥在()0,∞+上恒成立（其中a 、b R ∈），则（ ）A ．当2a =-时，存在b 满足题意B ．当0a =时，不存在b 满足题意C ．当1b =时，存在a 满足题意D ．当2b =时，不存在a 满足题意答案：D本题首先可根据题意得出函数2y x ax b =++满足有一零点为1x =、当01x <<时0y ≤、当1x >时0y ≥，然后对四个选项依次进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.解：因为关于x 的不等式()2ln 0x ax b x ++⋅≥在()0,∞+上恒成立，所以必需要满足210x x ax b >⎧⎨++≥⎩、2010x x ax b <<⎧⎨++≤⎩， 即对于函数2y x ax b =++，必有一零点为1x =且零点左右函数值符号不同， 即当01x <<时，0y ≤；当1x >时，0y ≥，A 项：2a =-，22y x x b =-+，令1x =，2012b ，1b =，此时221y xx =-+，不满足零点左右函数值符号不同，A 错误；B 项：0a =，2y x b =+，令1x =，201b ，1b =-，此时21y x =-，存在b 满足题意，B 错误；C 项：1b =，21y x ax =++，令1x =，2011a ，2a =-，此时221y xx =-+，不满足零点左右函数值符号不同，C 错误；D 项：2b =，22y x ax =++，令1x =，2012a ，3a =-，此时232y x x =-+，不满足当01x <<时0y ≤且当1x >时，0y ≥， 即不存在a 满足题意，D 正确， 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立的相关问题的求法，主要考查二次函数性质以及对数函数性质，能否根据题意将不等式转化为函数2y x ax b =++满足有一零点为1x =、当01x <<时0y ≤、当1x >时0y ≥是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题.二、填空题11．在平面四边形ABCD 中，,AM MC AB BD CB BD =⋅=⋅.若||,||AB m CB n ==，则CA DM ⋅=___________.答案：221122n m - 先利用AB BD CB BD ⋅=⋅，得到BD AC ⊥，利用AM MC =，得到M 为AC 中点，把CA DM⋅转化为221122BC AB -即可求解.解：因为AB BD CB BD ⋅=⋅，所以()=0BD AB CB - 即()=0BD BC BA -，所以=0BD AC ,所以BD AC ⊥.因为AM MC =，所以M 为AC 中点，所以12DM AM AD AC BC =-=-, 所以12C AC C B A D C M A ⎛⎫⋅=-⋅⎪-⎝⎭21=2AC AC BC -+ 21=cos 2AC AC BC ACB -+⨯∠在△ACB 中，由余弦定理得：222cos =2AC BC AB ACB AC BC+-∠⨯所以21=cos 2C B AC AC BC AC A DM ∠⋅-+⨯ 22221=22AC BC AB AC AC BC AC BC+--+⨯⨯⨯ 22221111=2222AC AC BC AB -++-2211=22BC AB - 221122n m =- 故答案为：221122n m -【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行运算. 12．当11,,22x k k k ⎡⎫∈-+∈⎪⎢⎣⎭Z 时，()f x k =.若函数()()1g x xf x mx =--没有零点，则正实数m 的取值范围是___________.答案：481,,235⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭将问题转化为函数()f x 与1()h x m x=+图象的交点问题，结合图象得出正实数m 的取值范围. 解：当0x =时，(0)10g =-≠当0x ≠时，()10xf x mx --=可化为1()f x m x=+作出函数()f x 与1()h x m x=+的图象由图可知当0x <时，要使得函数()()1g x xf x mx =--没有零点 必须满足1102h ⎛⎫-≤-< ⎪⎝⎭，解得12m ≤< 当0x >时，要使得函数()()1g x xf x mx =--没有零点 必须满足3122h ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭或者5232h ⎛⎫≤<⎪⎝⎭，解得1433m ≤<或81355m ≤< 综上，481,,235m ⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭故答案为：481,,235⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将问题转化为函数图象的交点问题，结合数形结合的思想方法解决问题.13．如图，在矩形ABCD 中，2,4,AB BC E ==是边AD 的中点，将ABE △沿直线BE 折成A BE ∠'，使得二面角A BE C '--的平面角为锐角，点F 在线段AB '上运动(包括端点)，当直线CF 与平面A BE '所成角最大时，FBE 在底面ABCD 内的射影面积为___________.答案：3如图，设二面角A BE C '--的平面角'A HO θ∠=，则由已知条件可得'2128cos 12AC θ=-<，所以'BAC ∠为钝角，所以'CF CA ≥，即直线CF 与平面A BE '所成角最大时，点F 与点'A 重合，然后求出直线CF 与平面A BE '所成角的正弦值，利用基本不等式求出其最大值，即可得cos θ=FBE 在底面ABCD 内的射影面积 解：解：如图所示，取BC 的中点M ，连接AM 交BE 于H ，连接'A H ，则由题意可知',BE HM BE A H ⊥⊥，则'A HM ∠是二面角A BE C '--的平面角，因为''A B A E =，所以'A 在平面BCE 上的投影在HM 上，记为O 设二面角A BE C '--的平面角'A HO θ∠=，则'222,,(3cos )(1cos )AO HO OC θθθθ===-+-，所以'2222(3cos )(1cos )+2sin AC θθθ=-+-，即'2128cos 12AC θ=-<，所以'BAC ∠为钝角，所以'CF CA ≥，即直线CF 与平面A BE '所成角最大时，点F 与点'A 重合，因为在矩形ABCD 中，2,4,AB BC E ==是边AD 的中点，所以,ABE CDE 均为等腰直角三角形，CE BE ==所以90CEB ∠=︒,即CE BE ⊥，所以C 到平面A BE '的距离为sin d CE θθ=⋅=， 所以此时直线CF 与平面A BE '所成角的正弦值为'sin d CA α=== 令32cos t θ=-，则sin α==，当且仅当5t t =，即t =32cos θ-=cos θ=所以FBE 在底面ABCD 内的射影面积为1cos 2232FBESθ⋅=⨯⨯=故答案为：35-【点睛】关键点点睛：此题考查线面角、面面角的有关计算，考查数形结合思想，解题的关键是正确的找出二面角A BE C '--的平面角'A HO θ∠=，然后由已知条件可得'2128cos 12AC θ=-<，所以'BAC∠为钝角，所以'CF CA ≥，即直线CF 与平面A BE '所成角最大时，点F 与点'A 重合，然后求出直线CF 与平面A BE '所成角的正弦值，利用基本不等式求出其最大值，即可得35cos θ-=FBE 在底面ABCD 内的射影面积，属于较难题 三、双空题14．若1z i =+(i 是虚数单位)，则||z =___________，2z z+=___________. 2 2根据复数的知识计算出答案即可.解：因为1z i =+，所以||112z =+2211121z i i i z i+=++=++-=+ 2 215．若二项式13nx x ⎛- ⎝的展开式的各项系数之和为64，则n =___________，含3x 项的系数为___________. 答案：6 729由条件可得264n =，解出n ，然后可求出3x 项的系数.解：因为二项式13nx x ⎛- ⎝的展开式的各项系数之和为64所以264n=，6n =，所以二项式为61x ⎛- ⎝ 所以含3x 项的系数为()6663729C -=故答案为：6；72916．已知函数()sin (cos )(0)f x x x x ωωωω=⋅>的最小正周期为π，则ω=___________，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围是___________.答案：1 ⎡-⎢⎣⎦先将()f x 化为正弦型，然后由条件可求出ω，然后可求出当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围.解：21()sin (cos )sin cos sin 222f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=⋅==sin 232x πω⎛⎫=+-⎪⎝⎭ 因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，所以1ω=所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦所以()f x ⎡∈⎢⎣⎦故答案为：1；2⎡-⎢⎣⎦17．某一射击游戏规则为：一共射击3次，若未击中得0分；第一次击中得1分；若前次未击中，则接下去这次击中得1分；若出现连续击中情况，则后一次得分为前一次得分加1分.某选手每次射击击中的概率为12，记其参加游戏的总得分为ξ，则(2)P ξ==___________，()E ξ=___________.答案：18 178由第一次击中，第二次没击中，第三次击中得出(2)P ξ=，得出ξ可能的值以及相应概率，进而得出()E ξ.解：当2ξ=时，说明第一次击中，第二次没击中，第三次击中 即11112)2822(P ξ⨯⨯===ξ可能的值为0,1,2,3,60ξ=时，说明一次都没击中，()111102228P ξ==⨯⨯=1ξ=时，说明只击中一次，()131********P C ξ==⨯⨯= 2ξ=时，说明第一次击中，第二次没击中，第三次击中，()111122228P ξ==⨯⨯=3ξ=时，说明前2次击中最后一次未击中或第一次未击中，其余两次击中，()111111322222822P ξ==⨯⨯+⨯⨯=6ξ=时，说明三次都击中，()111162228P ξ==⨯⨯=11117()0123688888832E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：18；178【点睛】方法点睛：（1）理解随机变量X 的意义，写出X 的所有可能取值 （2）求X 取每个值的概率 （3）写出X 的分布列 （4）由均值的定义求()E X 四、解答题18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1cos ,sin 2cos 3A CB ==. （1）求sin B 的值； （2）若2c =，求a 的值.答案：（1）63；（2）433. （1）首先求出sin A ，然后由()sin sin sin cos cos sin 2cos C A B A B A B B =+=+=得到sin 2cos B B =，然后结合平方关系可得答案；（2）首先求出sin C ，然后利用正弦定理求解即可. 解：（1）因为1cos 3A =，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin 3A =因为()sin sin sin cos cos sin 2cos C A B A B A B B =+=+=所以221cos sin 2cos 3B B B +=，即12sin cos 3B B =，即sin 2cos B B = 因为22sin cos 1B B +=，所以可解得63sin ,cos 33B B ==（2）因为6sin 2cos C B ==，2c =，sin sin a c A C = 所以222sin 433sin 6c Aa C⋅===19．如图，在三棱锥P ABC -中，M 是PC 的中点，M 在平面ABC 的射影恰是ABC 的重心O ，且AB AC BC AP ===.（1）证明：AM BC ⊥；（2）求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）33. （1）首先证明BC ⊥平面ADM ，进而得到结论；（2）利用等体积法求出h ，进一步求出AM ，从而求出答案. 解：（1）连接AO 并延长与BC 相交于D 点，∵AB AC BC ==，且O 为ABC 的重心 所以AD BC ⊥又∵M 在平面ABC 的射影恰是ABC 的重心O ∴MO BC ⊥又∵AD ⊂平面ADM ,MO ⊂平面ADM ,AD 交MO 于点O , 所以BC ⊥平面ADM ，又因为AM ⊂平面ADM 所以AM BC ⊥；（2）设AB AC BC AP a ==== ∵,AM BC AM PC ⊥⊥又∵BC ⊂平面PBC ,PC ⊂平面PBC ,BC 交PC 于点C ∴AM ⊥平面PBC ∴AM ⊥MD在△AMD 中，2MO DO AO =⋅ 因为O 为ABC 的重心 ∴133DO AD ==，2333AO AD ==∴6MO =,在△MOD 中，12MD a =∴PB a =∴M PBA A PBM A BMC M ABC V V V V ----=== ∴1133PBA ABC h S MO S ⋅=⋅△△ ∴h MO=6a =在△MOA 中，222AM AO MO =+ ∴=AM a ∴直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值为:h AM ==. 【点睛】求线面角的常见思路方法：1. 直接作出线面角求解；2. 用等体积法求；3. 坐标向量法. 20．已知数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列.数列{}n b 的首项()*111,3n n b b b n +==∈N.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记()()()1111n n n n n a b c b b +-=++，求证：1211231n nn c c c +++⋯+>-+. 答案：（1）2n a n =，13n n b -=（2）见解析（1）先由等差数列的性质得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而由n S 与n a 的关系得出n a ，再由等比数列的定义得出{}n b 的通项公式； （2）由111123131n n n c n -⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，结合不等式的性质以及裂项相消求和法证明即可.解：（1）11211S a ==，1(1)111n S S n n n ∴=+-⨯=+，即2n S n n =+ 当1n =时，12a S ==当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦ 经检验1a 符合n a ，2n a n ∴=()*13n n b b n +=∈N ，n b 是以1为首项，3为公比的等比数列即11133n n n b --=⋅=（2）()()()()()1111(21)3113131n n n n n n n n a b n c b b --+--==++++ 1111(21)31111123313123131n n n n n nn n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎪⋅++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 当1n =时，118c =当2n ≥时，1111111231313131n n n n n c n --⎛⎫⎛⎫=-->- ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1211111111184101028313n n n c c c -+⎛⎫++⋯+>+-+-++- ⎪+⎝⎭111318431831n n =+-=-++ 1113,313128n nn +><++ 123111831231n n n n c c c +∴++⋯+>->-++即1211231n nn c c c +++⋯+>-+ 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法（1）公式法：①等差数列的前n 项和公式，()11(1)22n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；（2）分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.（4）倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. （5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.21．如图，已知点P 是抛物线21:2(0)C y px p =>上的动点，过点P 作圆222:(2)1C x y -+=的切线,PA PB (,A B 是切点)分别与抛物线1C 交于点,C D .当P 是坐标原点O 时，||43CD =.（1）求抛物线1C 的方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标.答案：（1）22y x =；（2）(6,23)或(6,23)-或()00，． （1）当P 是坐标原点O 时，设切线的方程为y kx =，即0kxy ，切线与圆相切即圆心到切线的距离为1，根据点到直线的距离公式可求得直线的斜率，再由已知求得点C 的坐标，代入可求得抛物线的方程．（2）根据圆的切线的性质得PA PB =， PC PD =，点P 为原点时，由对称性可得PCD 为等边三角形，由此可得P 点坐标．解：（1）当P 是坐标原点O 时，设切线的方程为y kx =，即0kxy ，切线与圆相切即圆心到切线的距离为1，所以1d ==，解得3k =±，即切线方程为3y x =±，当P 是坐标原点O 时，CD x ⊥轴，又||CD =C D y y ==-c y =代入3y x =得6C x =， 即抛物线21:2(0)C y px p =>过点C ，代入解得1p =，所以抛物线的方程为22y x =；（2）P A 与PB 是P 与圆2C 的两条切线，A ，B 为切点，所以PA PB =，而//CD AB ，则PC PD =要成立，而点P 为原点时，切线P A 与PB 关于x 轴对称，即PC 与PD 关于x 轴对称，而抛物线与圆都是关于x 轴对称，故此时必定满足//CD AB ，而P A交抛物线于点C ，PB交抛物线于点(6,D -， 而CD 在直线 6.x =上，即也与圆2C 相切，此时PCD 为等边三角形，因此P为与(6,-，同样//CD AB ，如点P 不在这三个点上，由PC ＝PD 知，PCD 关于2PC 对称，难以满足CD 都在抛物线上，故P点坐标为或(6,-或()00，． 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的性质和圆的性质，关键在于根据抛物线和圆的对称性得出PCD 为等边三角形，问题得以解决．22．已知函数2()e (1)2,()1x a af x x ag x bx x x=+++--=++，其中,a b ∈∈R R .( 2.718281828e =为自然对数的底数)（1）求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若4a ≥时，()()f x g x ≥在(0,)+∞上恒成立.当b 取得最大值时，求12b M a+=的最小值. 答案：（1）0x y -=，（2）112（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）令()()()h x f x g x =-，则(0)0h =，则由题意可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以'()0h x ≥，而'(0)0h =，则"(0)0h ≥，212a a b ++≤，则可得2max 12a ab ++=，从而得21225125(1)22b a a M a a a a+++===++，令25()1(4)a a a a ϕ=++≥，然后利用导数求出其最小值即可解：解：（1）由()(1)21x aa f x e x a x =+++--+，得'21()(1)(1)a x a f x e a x x --=+++， 所以01'2(0)(10)11(10)a a f e a a a --=++=+-=+， 因为0(0)(10)2112010a a f e a a a =+++--=++--=+， 所以()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，即0x y -=，（2）2()()(1)21x a a f x g x e x a bx x x-=+++----+， 令()()()h x f x g x =-，则(0)0h =，所以'()0h x ≥'12()(1)21(1)x a a h x e a x bx x -=++---+，'012(0)(10)10(10)a a h e a -=++--=+， 所以"(0)0h ≥，"222()(1)(1)2(1)x a a h x e a a x b x -=+-++-+， 所以"02222(0)(1)(10)2120(10)a a h e a ab a a b -=+-++-=++-≥+， 所以212a a b ++≤，所以2max 12a ab ++=， 所以21225125(1)22b a a M a a a a+++===++， 令25()1(4)a a a a ϕ=++≥，则'225()1a aϕ=-，当45a ≤<时，'()0a ϕ<，当5a >时，'()0a ϕ>，所以()a ϕ在[4,5)上单调递减，在(5,)+∞上单调递增， 所以min 25()(5)51115a ϕϕ==++=，此时112M =， 综上，12b M a +=的最小值为112 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决恒成立问题，解题的关键是由题意求出212a a b ++≤，从而得21225125(1)22b a a M a a a a +++===++，令25()1(4)a a a a ϕ=++≥，然后利用导数求出其最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题。
浙江省台州市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析
浙江省台州市2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ）A ．20B ．18C ．16D ．14【答案】A【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得34a a +即可.【详解】 设等差数列{}n a 的公差为d .由51077,0a a a =⎧⎨+=⎩得11147,960a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,解得115,2a d =⎧⎨=-⎩.所以341252155(2)20a a a d +=+=⨯+⨯-=.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.2．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2 CD【答案】A【解析】【分析】 由122PF PF =及双曲线定义得1PF 和2PF（用a 表示），然后由余弦定理得出,a c 的齐次等式后可得离心率．【详解】 由题意∵122PF PF =，∴由双曲线定义得122PF PF a -=，从而得14PFa =，22PF a =， 在12PF F ∆中，由余弦定理得222(2)(4)(2)242cos60c a a a a =+-⨯⨯︒，化简得==c e a故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用a 表示出P 到两焦点的距离，再由余弦定理得3．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n +=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ）A ．917B ．817C ．1735D ．935【答案】A【解析】【分析】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()P AB P B A P A =计算即可. 【详解】 设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上 的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535P AB ⨯==⨯，则所求的概率为 ()9(/)()17P AB P B A P A ==. 故选：A.【点睛】 本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.4．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=；28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=；38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=；48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=；58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=；68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=；78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=；88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=；98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.5．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ）A ．B ．18C ．1-D ．19-【答案】D【解析】【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【详解】由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m=，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 311m -⋅=-，整理得2，解得，所以点1,0满足条件，其到圆心2,3C -的距离为d ==()2119=-故选D.【点睛】 本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.6．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．16 【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可.【详解】 ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4Aπ=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc+=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 7．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】根据[x]的定义先作出函数f （x ）的图象，利用函数与方程的关系转化为f （x ）与g （x ）=ax 有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．【详解】当01x ≤＜时，[]0x =，当12x ≤＜时，[]1x =，当23x ≤＜时，[]2x =，当34x ≤＜时，[]3x =，若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则等价为()=f x ax 有且仅有3个根，即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，作出函数()f x 和()g x 的图象如图，当a=1时，()g x x =与()f x 有无数多个交点， 当直线()g x 经过点21A （，）时，即()221g a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点， 当直线()g x 经过点()32B ，时，即()332g a ==23a =，时，()f x 与()g x 有三个交点， 要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间， 即1223a ≤＜， 故选：A ．【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 8．ABC ∆中，BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ） A．B． C．6D ．2 【答案】D【解析】【分析】在ABD ∆中，由正弦定理得sin 10B =；进而得cos cos 45ADC B π⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭，在ADC ∆中，由余弦定理可得AC .【详解】 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin 4AD BD B π=，得sin B =，又BD AD >，所以B为锐角，所以cos B =cos cos 45ADC B π⎛⎫∴∠=+= ⎪⎝⎭， 在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos 4AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=，2AC ∴=.故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.9．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939U B ．2(0,]9 C ．28(0,][,1]99U D ．(0,1]【答案】A【解析】【分析】 根据y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)， 得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点， ∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤， 又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k=0时，解2839ω≤≤， 当k=-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939U . 故答案为：A.【点睛】本题考查函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.10．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =u u u v u u u v ，则该双曲线的离心率为（ ） A．4 B． CD【答案】B【解析】先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±b ax 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =u u u r u u u r ，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】 双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，∴k l 222ab a b =-， ∴直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ）， 与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abc a b=+， ∵2AF FB =u u u r u u u r ， ∴222abc a b =+2•2223abc a b -，∴a =，∴c ＝2b ，∴e c a ==． 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =u u u v u u u v ，则DE DF ⋅u u u v u u u v 的取值范围是（ ）A ．11[,]216-B ．1(,]16-∞C ．1[,0]2- D ．(,0]-∞【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出直线:1)AB y x =+，:1)AC y x =-设出点(1)),(,1))E m m F n n +-，通过||2||AE CF =u u u r u u u r ，找出m 与n 的关系．通过数量积的坐标表示，将DE DF ⋅u u u r u u u r 表示成m 与n 的关系式，消元，转化成m 或n 的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为DE DF ⋅u u u r u u u r的取值范围．以D 为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建系，设(1,0),(1,0)A B C -，则直线:1)AB y x =+ ，:1)AC y x =-设点(1)),(,1))E m m F n n +-，10,01m n -≤<<≤所以(),(1,1))AE m CF n n ==--u u u r u u u r由||2||AE CF =u u u r u u u r得224(1)m n =- ，即2(1)m n =- ， 所以22713(1)(1)4734()816DE DF mn m n n n n ⋅=-+-=-+-=--+u u u r u u u r ， 由12(1)0m n -≤=-<及01n <≤，解得112n ≤<，由二次函数2714()816y n =--+的图像知，11[,]216y ∈-，所以DE DF ⋅u u u r u u u r 的取值范围是11[,]216-．故选A ． 【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ）A ．[)1,+∞B ．[)0,+∞C ．(],0-∞D ．(],1-∞ 【答案】A【解析】【分析】构造函数()()1g x f x =-，通过分析()g x 的单调性和对称性，求得不等式()(32)2f x f x +-≤的解集.【详解】构造函数()()()11111x x g x f x e x e --=-=-+-，()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到()()11x x h x g x e x e =+=-+， ()h x 的定义域为R ，且()()1x x h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 图像关于()1,0对称.不等式()(32)2f x f x +-≤等价于()()13210f x f x -+--≤，等价于()()320g x g x +-≤，注意到()10g =，结合()g x 图像关于()1,0对称和()g x 单调递增可知3221x x x +-≤⇒≥.所以不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是[)1,+∞.故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省台州市2021届新高考数学三模试卷含解析
浙江省台州市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16 【答案】C【解析】【分析】根据含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，计算可得；【详解】解：集合{2,0,1,9}含有4个元素，则集合{2,0,1,9}的真子集有42115-=（个），故选：C【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，属于基础题．2．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】【分析】由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.【详解】设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，因为2()34g x x x '=-，所以()0g x '=，0x ∴=或43x =， 因为403x << 时，()0g x '<， 43x >或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：当0a …时，()()f x g x >至多一个整数根；当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)(4)(4)f g f g >⎧⎨⎩…， 3232ln 4323ln 5424a a ⎧>-⨯∴⎨-⨯⎩…， 所以9322ln 2ln 5a <…. 故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.3．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．4711B ．4712C ．4713D ．4715【答案】B【解析】【分析】 计算出3a 的值，推导出()3n n a a n N*+=∈，再由202036731=⨯+，结合数列的周期性可求得数列{}na 的前2020项和.【详解】由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，31284a a a ∴==， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=，202036731=⨯+Q ，因此，()1220201231673673714712a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++=⨯+=. 故选：B. 【点睛】本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B ．213C ．926D 313【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒所以13DF AB =. 所以所求概率为24=1313DEF ABC S S ∆∆=.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．5．已知ABC V 是边长为3的正三角形，若13BD BC =u u u r u u u r ，则AD BC ⋅=uuu r uu u r A ．32-B ．152 C ．32 D ．152- 【答案】A【解析】【分析】【详解】 由13BD BC =u u u r u u u r 可得13AD AB BD AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为ABC V 是边长为3的正三角形，所以221113()33cos12033332AD BC AB BC BC AB BC BC ⋅=+⋅=⋅+=⨯︒+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选A ． 6．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan 21tan 2αα-=+（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 【答案】B【解析】【分析】结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【详解】由22sin 2cos 1sin cos 1αααα-=⎧⎨+=⎩，以及3(,)2παπ∈，解得34sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan 2αα-=+222sin 21cos sin cos cos sin 12cos sin 2222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin 2222222221cos 2αααααααααααααααααα-⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+311sin 524cos 5αα+-===--.【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.7．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( )AB ．2C ．1 D【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【详解】因为(1)1i z i +⋅=-, 所以()()()211111i i z i i i i --===-++⋅-,由复数模的定义知,1z ==. 故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ）A ．()()0.63(3)log 132f ff -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<- C ．()()0.632log 13(3)f f f <-<- D ．()()0.632(3)log 13f f f <-<-【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．9．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =I ð( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4-【答案】B【解析】【分析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()ðA B I 即可.【详解】由2340x x -->得4x >或1x <-，()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4ðA =-,又{}13B x x =-≤≤，[]R ()1,3A B ∴=-I ð.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.10．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是() A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =.在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图所示）.当1x >时，()ln f x x =.由ln y x =得1y x '=.设过原点的直线y ax =与函数y x ln =的图象切于点00(,ln )A x x ， 则有000ln 1x ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得01x e a e =⎧⎪⎨=⎪⎩. 所以当直线y ax =与函数y x ln =的图象切时1a e=. 又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e=. 结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.选D. 点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.11．设复数z 满足12z z z +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+B ．221y x =+C ．221x y =-D ．221y x =- 【答案】B【解析】【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-， ∵12z z z +=+，1x =+，解得221y x =+.故选：B.【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.12．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数 【答案】C【解析】【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.【详解】由[]x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误；选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误；选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确；选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)0,1,1,2,2,3L L 上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.故选：C【点睛】本题考查对题干[]x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省台州市2021届新高考数学最后模拟卷含解析
浙江省台州市2021届新高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．30【答案】C 【解析】 【分析】由5(12)(1)x x ++=5(1)x +52(1)x x ++知，展开式中2x 项有两项，一项是5(1)x +中的2x 项，另一项是2x与5(1)x +中含x 的项乘积构成. 【详解】由已知，5(12)(1)x x ++=5(1)x +52(1)x x ++，因为5(1)x +展开式的通项为5r rC x ，所以展开式中2x 的系数为2155220C C +=. 故选：C. 【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题. 2．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路 D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D 【解析】 【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.3．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x yx x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-， 当4x x=，即2x =时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ） A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y +=D ．2214525x y +=【答案】B 【解析】由题意可得c=25，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 5．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =.在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图所示）.当1x >时，()ln f x x =.由ln y x =得1y x'=. 设过原点的直线y ax =与函数y x ln =的图象切于点00(,ln )A x x ，则有000ln 1x ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得01x e a e =⎧⎪⎨=⎪⎩. 所以当直线y ax =与函数y x ln =的图象切时1a e=. 又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =. 结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.6．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ） A ．54B ．5C 5D 5 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案． 【详解】由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，2=，解得2m =，此时双曲线221:128x y C -=，则曲线1C 的离心率为c e a ===C ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ） A ．5 B ．3 C ．－12 D ．－13【答案】B 【解析】 【分析】由题得15a d +=-，1434162a d ⨯+=-，解得17a =-，2d =，计算可得6a . 【详解】25a =-Q ，416S =-，15a d ∴+=-，1434162a d ⨯+=-，解得17a =-，2d =， 6153a a d ∴=+=.故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，考查了学生运算求解能力. 8．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+ B ．32i +C ．32i --D ．32i -【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得,13i23iz =+,求解即可. 【详解】因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 3932i 23i (23i)(23i)49z -+====+++-+. 故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.9．已知向量(a =r ，b r是单位向量，若a b -=r r ，则,a b =r r （ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】 【分析】设(,)b x y =r，根据题意求出,x y 的值，代入向量夹角公式，即可得答案；【详解】设(,)b x y =r ，∴(1)a b x y -=-r r， Q b r是单位向量，∴221x y +=,Q a b -=r r，∴22(1))3x y -+=，联立方程解得：1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,0,x y =⎧⎨=⎩当1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，13122cos ,212a b -+<>==⨯r r ；∴,3a b π<>=r r 当1,0,x y =⎧⎨=⎩时，11cos ,212a b <>==⨯r r ；∴,3a b π<>=r r 综上所述：,3a b π<>=r r .故选：C. 【点睛】本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意b r的两种情况.10．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ）A ．4510 B ．4510-C ．32-D ．3210-【答案】D 【解析】 【分析】 由1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值. 【详解】 ∵1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()1210lg lg1010lg 12L I I -=-=+，∴lg 1210LI =-， 当160L =时，1160lg 121261010L I =-=-=-，∴6110I -=， 当275L =时，2275lg 1212 4.51010L I =-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴36 1.5124.5210101010I I ----===， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.11．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．100 B ．210C ．380D ．400【答案】B 【解析】 【分析】设{}n a 公差为d ，由已知可得3a ，进而求出{}n a 的通项公式，即可求解. 【详解】设{}n a 公差为d ，27a =，415a =，2433211,42a a a d a a +∴===-=, 1010(339)41,2102n a n S ⨯+∴=-∴==.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和，属于基础题.12．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )发芽所需天数 1 2 3 4 5 6 7 8≥种子数 4 3 3 5 2 2 1 0A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】C【解析】【分析】根据表中数据，即可容易求得中位数.【详解】由图表可知，种子发芽天数的中位数为343.5 2+=，故选：C.【点睛】本题考查中位数的计算，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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浙江省台州市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值．【详解】 ∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩， ∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ．【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题. 2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113B ．4C ．133D ．5【答案】B【解析】【分析】 还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可.【详解】如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体 12121242222422222423232=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2或3D ．2或3 【答案】D【解析】【分析】设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF F ∠=和抛物线性质得出257PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．【详解】过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m =，2PF n =，则121125cos 7m MF PN PF PF PF F ===∠=，P Q 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527m m a -=，得7m a =，5n a ∴=， 又122F F c =，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2225494257272a c a a c+-=⨯⨯， 整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，1e >Q ，解得2e =或3e =.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题． 4．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．14【答案】A【解析】【分析】基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数4520n =⨯=，其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，∴其和等于11的概率41205p ==． 故选：A ．【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．5．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤【答案】C【解析】 根据命题的否定，可以写出p ⌝：21,2nn n ∀>≤，所以选C. 6．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图.故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.7．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 【答案】B【解析】【分析】设贫困户总数为a ，利用表中数据可得脱贫率000000002409521090P =⨯⨯+⨯⨯，进而可求解.设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a a P a⨯⨯+⨯⨯==， 所以000094477035=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的4735倍. 故选：B【点睛】本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.8．若函数()2x f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】【分析】 由()2x f x e mx =-是偶函数，则只需()2x f x e mx =-在()0,x ∈+∞上有且只有两个零点即可. 【详解】解：显然()2x f x e mx =-是偶函数 所以只需()0,x ∈+∞时，()22x x f e x e mx mx ==--有且只有2个零点即可 令20x e mx -=，则2xe m x = 令()2xe g x x =，()()32x e x g x x-'= ()()()0,2,0,x g x g x '∈<递减，且()0,x g x +→→+∞()()()2,+,0,x g x g x '∈∞>递增，且(),x g x →+∞→+∞()()224e g x g ≥= ()0,x ∈+∞时，()22x xf e x e mx mx ==--有且只有2个零点， 只需24e m > 故选：B考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.9．已知直线l 20y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB V 与OMN V 的面积相等，给出下列直线1l 0y +-=20y +-=，③20x -+=0y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．①②④ 【答案】D【解析】【分析】求出圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==，得出120AOB ∠=︒，根据条件得出O 到直线1l 的距离1d '=或.【详解】解：由已知可得：圆O ：224x y +=的圆心为（0,0），半径为2，则圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==， ∴120AOB ∠=︒，而1//l l ，OAB V 与OMN V 的面积相等，∴120MON ∠=︒或60︒，即O 到直线1l 的距离1d '=或根据点到直线距离可知，①②④满足条件.故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.10．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的性质，逐个判断即可求出．【详解】①因为()()f x f x π=+，所以π是()f x 的一个周期，①正确；②因为()2f π=，5242f π⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调递增，②错误； ③因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，又π是()f x 的一个周期，所以可以只考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域．当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]cos 0,1t x =∈， 22()cos cos 2cos cos22cos cos 121f x x x x x x x t t =+=+=+-=+-221y t t =+-在[]0,1上单调递增，所以[]()1,2f x ∈-，()f x 的值域为[]1,2-，③错误；综上，正确的个数只有一个，故选B ．【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用．11．i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i +=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．15【答案】B【解析】 17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ． 12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥1|||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．y =【答案】D【解析】【分析】根据2F G OG ⊥，先确定出2,GF GO 1|||OG GF =转化为,,a b c 的关系式，化简后可得到b a的值，即可求渐近线方程. 【详解】如图所示：因为2F G OG ⊥，所以22222,1bc a GF b OG c b a b a ===-=+， 又因为16OG GF =，所以16OG GF =u u u r u u u r ，所以2216OG GF F F =+u u u r u u u r u u u u r ， 所以222216OG GF F F =+u u u r u u u r u u u u r ，所以()222216422cos 180a b c b c GF F =++⨯⨯︒-∠，所以2226422b a b c b c c ⎛⎫=++⨯⨯- ⎪⎝⎭，所以222,2b b a a ==， 所以渐近线方程为2y x =±.故选：D.【点睛】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。