2014届上海市八校高三联合调研考试理科数学试题(含答案解析)
上海市八校高三数学联合调研考试试题 理(含解析)苏教版
上海市八校2014届高三数学联合调研考试试题 理（含解析）苏教版一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为 ．2.已知函数()x x x f ωω44cos sin -=()0>ω的最小正周期是π，则=ω ．3.向量在向量方向上的投影为 ．【答案】2- 【解析】试题分析：向量投影的定义是，向量a 在向量b 方向上的投影是cos ,a a b <>，它还等于a bb⋅，故所求投影为(3,4)(1,1)(1,1)⋅-==-.考点：向量的数量积与投影.4.已知正数,a b 满足2a b +=，则行列式111111ab++的最小值为 ．5.阅读下边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值范围是 ．考点：程序框图与函数的定义域.6.设αβ、是一元二次方程022=+-m x x 的两个虚根.若||4αβ=，则实数=m ．7.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=．若“a ＝1”是“AB φ≠”的充分条件， 则实数b 的取值范围是 ．8.已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为(0,1)A -，其右焦点到直线0x y -+=的距离为3，则椭圆的方程为 ．9.在△ABC 中，A B C 、、所对边分别为a 、b 、c ．若tan 210tan A cB b++＝，则A = ．10.已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ．若121n n S S +=+，则n a = ．11.某地球仪上北纬30︒纬线长度为12πcm ，该地球仪的表面上北纬30︒东经30︒对应点A 与北纬30︒东经90︒对应点B 之间的球面距离为 cm （精确到0.01）．22258=，,A B 两点间的球面距离即AOB ∠所对的大圆弧长为5arccos 8OA ⋅约等于37.23考点：球面距离．12.已知直线()2+=x k y 与抛物线x y C 8:2=相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若||2||FA FB =，则实数=k ．考点：直线和圆锥曲线相交问题.13.将()22xx af x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称．若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且2m >a 的取值范围为 ．14.已知“,,,,,a b c d e f ”为“1,2,3,4,5,6”的一个全排列．设x 是实数，若“()()0x a x b --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”，则满足条件的排列“,,,,,a b c d e f ”共有__________个．下面我们用列举法列举出各种可能：这样所有的排列数为48281232224⨯+⨯+= 考点：排列、不等式的解等综合问题．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 15.函数()()21212-<+=x x x f 的反函数是 （） (A) 3)y x ≤<． (B) 3)y x >． (C) 3)y x =≤<． (D)3)y x =>．16.直线l 的法向量是(),n a b =. 若0ab <，则直线l 的倾斜角为 ( )(A)arctan b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (B)arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)arctan a b π+ (D)arctanbaπ+17.已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点.若||||AB AC =，则A B A C 的最小值是（ ）(A)0． （B ）14-． （C ）12-． （D ）34-．18.等差数列{}n a 的公差0d ≠，a n ÎR ，前n 项和为n S ，则对正整数m ，下列四个结论中：（1）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，也可能成等比数列； （2）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，但不可能成等比数列； （3）23,,m m m S S S 可能成等比数列，但不可能成等差数列； （4）23,,m m m S S S 不可能成等比数列，也不可能成等差数列； 正确的是（ ）(A)（1）（3）. （B ）（1）（4）. （C ）（2）（3）. （D ）（2）（4）.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB=BC =BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．（2）因为11B C //平面1ABC考点：(1)异面直线所成的角；(2)直线到平面的距离．20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)已知()()x b xx f 24lg2++=，其中b 是常数．（1）若()x f y =是奇函数，求b 的值；（2）求证：()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴．考点：(1)函数的奇偶性；(2)函数的单调性与方程的解．21.（本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA ．（1）试用α表示11H AA ∆的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．22.（本题满分16分；第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM =．试题解析：（1）设2,F M 的坐标分别为0)y因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20y b =±，所以22MF b =在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b = ……2分由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -= ……4分考点： (1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件．23.（本题满分18分；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和．（1）若lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值；（2）是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中？若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）是否存在正实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中？若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，请说明理由．（2）当b 取偶数(2,*)b k k N =∈时，{}n b 中所有项都是{}n a 中的项． …………8分 证: 由题意：b 1,b 2均在数列a n {}中，。
2014年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分)1．(4分)(2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．考点：二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．解答：解：y=1﹣2cos2(2x)=﹣[2cos2(2x)﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为:点评：本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题．2．（4分)（2014•上海）若复数z=1+2i,其中i是虚数单位，则(z+）•=6．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．解答：解:复数z=1+2i，其中i是虚数单位,则（z+)•==（1+2i)（1﹣2i）+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6点评:本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查．3．(4分)（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解:由题意椭圆+=1,故它的右焦点坐标是（2,0），又y2=2px(p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为:x=﹣2点评:本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．（4分）（2014•上海)设f（x)=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]．考点: 分段函数的应用；真题集萃．专题: 分类讨论；函数的性质及应用．分析：可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．解答：解:当a＞2时，f(2)=2≠4,不合题意;当a=2时，f(2)=22=4，符合题意;当a＜2时,f（2）=22=4,符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞,2]．点评：本题考察了分段函数的应用,渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．5．(4分)（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点: 基本不等式．专题: 不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1,∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x=±时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题．6．（4分）(2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos （结果用反三角函数值表示）．考点: 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值,进而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍,∴==3,即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示:则cosθ==,∴θ=arccos,故答案为：arccos点评:本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,是解答的关键．7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ)=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．解答：解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．点评：正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．8．(4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n）,则q=．考点：极限及其运算．专题：等差数列与等比数列．分析:由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．解答：解：∵无穷等比数列{a n｝的公比为q,a1=（a3+a4+…a n）=(﹣a1﹣a1q）=,∴q2+q﹣1=0,解得q=或q=（舍）．故答案为：．点评：本题考查等比数列的公比的求法,是中档题，解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用．9．（4分）（2014•上海）若f（x)=﹣,则满足f(x）＜0的x的取值范围是（0，1）．考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可．解答：解:f（x）=﹣,若满足f（x)＜0,即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0,1）．点评：本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用,考查计算能力．10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,选择的3天恰好为连续3天的概率,须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1,2，3)，（2，3，4），（3，4,5）,（4，5，6)，（5,6，7），（6，7，8），（7，8,9），（8,9，10)，∴选择的3天恰好为连续3天的概率是,故答案为：．点评：本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．（4分）（2014•上海)已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2｝，则a+b=﹣1．考点: 集合的相等．专题: 集合．分析：根据集合相等的条件,得到元素关系，即可得到结论．解答：解:根据集合相等的条件可知,若｛a，b｝=｛a2，b2}，则①或②，由①得,∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合｛1，1}不满足条件．若b=a2,a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a,∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．12．(4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π］上恰有三个解x1,x2，x3,则x1+x2+x3=．考点: 正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．专题: 三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin(x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在［0，2π］上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点,进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．解答：解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在［0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点,令sin(x+)=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0,x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为:点评：本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．（4分）(2014•上海)某游戏的得分为1，2,3,4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4。
2014届上海市八校高三联合调研考试理科数学试题(含答案解析)
2014届高三年级八校联合调研考试试卷数学（理科）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为 ．2. 已知函数()x x x f ωω44cos sin -=()0>ω的最小正周期是π，则=ω ．3. 向量在向量方向上的投影为 ．4. 已知正数,a b 满足2a b +=，则行列式111111ab++的最小值为 ．5. 阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值范围是 ．6. 设αβ、是一元二次方程022=+-m x x 的两个虚根.若||4αβ=，则实数=m ．7. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=．若“a ＝1”是“A B φ≠ ”的充分条件， 则实数b 的取值范围是 ．8. 已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为(0,1)A -，其右焦点到直线0x y -+=的距离为3，则椭圆的方程为 ．9. 在△ABC 中，A B C 、、所对边分别为a 、b 、c ．若tan 210tan A cB b++＝，则A = ． 10. 已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ．若121n n S S +=+，则n a = ． 11. 某地球仪上北纬30︒纬线长度为12πcm ，该地球仪的表面上北纬30︒东经30︒对应点A 与北纬30︒东经90︒对应点B 之间的球面距离为 cm （精确到0.01）． 12. 已知直线()2+=x k y 与抛物线x yC 8:2=相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若||2||FA FB =，则实数=k ．13. 将()22x x af x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称．若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且2m >a 的取值范围为 ．14. 已知“,,,,,a b c d e f ”为“1,2,3,4,5,6”的一个全排列．设x 是实数，若“()()0x a x b --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”，则满足条件的排列“,,,,,a b c d e f ”共有__________个．二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15. 函数()()21212-<+=x x x f 的反函数是 （ ）(A) 3)y x =≤<． (B) 3)y x =>．(C) 3)y x =≤<． (D)3)y x =>．16. 直线l 的法向量是(),n ab =. 若0ab <，则直线l 的倾斜角为 ( ) (A)arctan b a ⎛⎫-⎪⎝⎭ (B)arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭(C)arctan a b π+ (D)arctan b a π+ 17. 已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点.若||||AB AC =，则AB AC 的最小值是（ ）(A)0． （B ）14-． （C ）12-． （D ）34-．18. 等差数列{}n a 的公差0d ≠，a nÎR ，前n 项和为n S ，则对正整数m ，下列四个结论中：（1）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，也可能成等比数列； （2）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，但不可能成等比数列； （3）23,,m m m S S S 可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）23,,m m m S S S 不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是 （ ） (A)（1）（3）. （B ）（1）（4）. （C ）（2）（3）. （D ）（2）（4）.三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19. （本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB =BC =BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．20. (本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)已知()()x b xx f 24lg2++=，其中b 是常数．（1）若()x f y =是奇函数，求b 的值；（2）求证：()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴．21. （本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA ．（1）试用α表示11H AA ∆的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．C22. （本题满分16分；第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b b y x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM = ．23. （本题满分18分；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和．（1）若lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值；（2）是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中？若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）是否存在正实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中？若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，请说明理由．2014届高三年级八校联合调研考试试卷数学（理科）一、 填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB =BC =BB =，求：（1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．解：（1）因为11//B C BC ，所以1ACB ∠（或其补角）是异面直线11B C 与1AC 所成角. ………………1分因为BC ^AB ,BC ^BB 1,所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥. (3)分在1Rt A BC 中,11tan A BACB BC∠==,所以1A CB ∠=………………5分所以异面直线11B C 与1AC 所成角的大小为 ………………6分 （2）因为11B C //平面1A BC所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离 ………………8分 设1B 到平面1A BC 的距离为d ， 因为111B A BC A BB C V V --=，所以11111133A BCB BC S d S A B ∆∆⨯=⨯ ………………10分可得5d = ………………11分直线11B C 与平面1A BC 的距离为5． ………………12分 20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)函数()()x b xx f 24lg2++=，其中b 是常数且R b ∈．（1）若函数()x f y =是奇函数，求b 的值；（2）求证：函数()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴． 解：（1）解法一：设()y f x =定义域为D ,则：因为()x f y =是奇函数，所以对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，…………3分 得1b =. …………5分此时，())lgf x x =，D R =，为奇函数。
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6．若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面夹角的大小为____________（结 果用反三角函数表示）。
7．已知曲线 C 的极坐标方程为 3cos 4sin 1 ，则 C 与极轴的交点到极点的
距离为___________。
8．设无穷等比数列 an 的公比为
q ________。
2014 年高考真题理科数学（解析版） 卷
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷
数学（理科） 一．填空题：共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分。
1．函数 y 1 2 cos2 2x 的最小正周期是______________。
2．若复数
z
1
2i
，其中
i
是虚数单位，则
3．若抛物线 y2 2 px 的焦点与椭圆 x2 y2 1的右焦点重合，则该抛物线的准线方 95
程为_______________。
4．设
f
x
x
x
2
x a
，若
x a
f
2
5．若实数 x, y 满足 xy 1，则 x2 2 y2 的最小值为______________。
z
lim
n
x
1 z
z
______________。
的取值范围是_______________。
a3
a4
的取值范围为________________。
an
，则
Hale Waihona Puke 上海2014 年高考真题理科数学（解析版） 卷
2014上海市数学(理)卷文档版(有答案)-2014年普通高等学校招生统一考试
2014年上海市高考数学试卷（理科）解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2. 若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z +z ⋅=___________.3. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.4. 设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.5. 若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7. 已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .9. 若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.11. 已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += .12. 设常数a 使方程s i n 3c o s x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 .14. 已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（ ）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)817. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解 18. ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（）.(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2]三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面学科网展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .xkb120.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。
2014年上海市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年上海市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）
一、填空题（共14题，满分56分）
1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．
2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=．
3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线
的准线方程．
4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为．
5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．
6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为
（结果用反三角函数值表示）．
7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．
8．（4分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…ａn），则q=．
9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．
11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．
13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为．
14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在
C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．
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上海市八校2014届高三联合调研考试数学(理)试题Word版含解析
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为 ．2.已知函数()x x x f ωω44cos sin -=()0>ω的最小正周期是π，则=ω ．3.向量在向量方向上的投影为 ．【答案】2- 【解析】试题分析：向量投影的定义是，向量a 在向量b 方向上的投影是cos ,a a b <>，它还等于a bb⋅，故所求投影为(3,4)(1,1)(1,1)⋅-==-. 考点：向量的数量积与投影.4.已知正数,a b 满足2a b +=，则行列式111111ab++的最小值为 ．5.阅读下边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值范围是 ．考点：程序框图与函数的定义域.6.设αβ、是一元二次方程022=+-m x x 的两个虚根.若||4αβ=，则实数=m ．7.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=．若“a ＝1”是“A B φ≠ ”的充分条件， 则实数b 的取值范围是 ．8.已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为(0,1)A -，其右焦点到直线0x y -+=的距离为3，则椭圆的方程为 ．9.在△ABC 中，A B C 、、所对边分别为a 、b 、c ．若tan 210tan A cB b++＝，则A = ．10.已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ．若121n n S S +=+，则n a = ．11.某地球仪上北纬30︒纬线长度为12πcm ，该地球仪的表面上北纬30︒东经30︒对应点A 与北纬30︒东经90︒对应点B 之间的球面距离为 cm （精确到0.01）．22258=，,A B 两点间的球面距离即AOB ∠所对的大圆弧长为5arccos 8OA ⋅约等于37.23考点：球面距离．12.已知直线()2+=x k y 与抛物线x y C 8:2=相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若||2||FA FB =，则实数=k ．考点：直线和圆锥曲线相交问题.13.将()22xx af x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称．若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且2m >a 的取值范围为 ．14.已知“,,,,,a b c d e f ”为“1,2,3,4,5,6”的一个全排列．设x 是实数，若“()()0x a x b --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”，则满足条件的排列“,,,,,a b c d e f ”共有__________个．下面我们用列举法列举出各种可能：这样所有的排列数为48281232224⨯+⨯+= 考点：排列、不等式的解等综合问题．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.函数()()21212-<+=x x x f 的反函数是 （） (A) 3)y x ≤<． (B) 3)y x >． (C) 3)y x =≤<． (D)3)y x =>．16.直线l 的法向量是(),n a b =. 若0ab <，则直线l 的倾斜角为( )(A)arctan b a ⎛⎫-⎪⎝⎭ (B)arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭(C)arctan a b π+ (D)arctan b a π+17.已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点.若||||AB AC =，则AB AC 的最小值是（ ）(A)0． （B ）14-． （C ）12-． （D ）34-．18.等差数列{}n a 的公差0d ≠，a n ÎR ，前n 项和为n S ，则对正整数m ，下列四个结论中：（1）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，也可能成等比数列； （2）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，但不可能成等比数列； （3）23,,m m m S S S 可能成等比数列，但不可能成等差数列； （4）23,,m m m S S S 不可能成等比数列，也不可能成等差数列； 正确的是（ ）(A)（1）（3）. （B ）（1）（4）. （C ）（2）（3）. （D ）（2）（4）.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB=BC =BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．（2）因为11B C //平面1ABC考点：(1)异面直线所成的角；(2)直线到平面的距离．20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)已知()()x b xx f 24lg2++=，其中b 是常数．（1）若()x f y =是奇函数，求b 的值；（2）求证：()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴．考点：(1)函数的奇偶性；(2)函数的单调性与方程的解．21.（本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA ．（1）试用α表示11H AA ∆的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．22.（本题满分16分；第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM = ．试题解析：（1）设2,F M 的坐标分别为0)y因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20y b =±，所以22MF b =在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b = ……2分由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -= ……4分考点： (1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件．23.（本题满分18分；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和．（1）若lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值；（2）是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中？若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）是否存在正实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中？若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，请说明理由．（2）当b 取偶数(2,*)b k k N =∈时，{}n b 中所有项都是{}n a 中的项． …………8分 证: 由题意：b 1,b 2均在数列a n {}中，。
数学_2014年某校高考数学八模试卷(理科)(含答案)
2014年某校高考数学八模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 集合A ={0, 2, a}，B ={1, a 2}，若A ∪B ={0, 1, 2, 4, 16}，则a 的值为( ) A 0 B 1 C 2 D 42. 命题“对任意x ∈R ，都有x 2−2x +4≤0”的否定为（ ）A 对任意x ∈R ，都有x 2−2x +4≥0B 对任意x ∈R ，都有x 2−2x +4≤0C 存在x 0∈R ，使得x 02−2x 0+4>0 D 存在x 0∈R ，使x 02−2x 0+4≤0 3. 已知向量a →=(2, 3)，b →=(−1, 2)，若ma →+4b →与a →−2b →共线，则m 的值为（ ） A 12B 2C −12D −24. 对于函数f(x)=sin 2(x +π4)−cos 2(x +π4)，下列选项中正确的是（ ） A f(x)在(π4, π2)上是递增的 B f(x)的图象关于原点对称 C f(x)的最小正周期为2π D f(x)的最大值为25. 如图，若N =5时，则输出的数等于（ ）A 54 B 45 C 65 D 566. 某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位：cm ，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（ ）A 100(3+√5)cm 2B 200(3+√5)cm 2C 300(3+√5)cm 2D 300cm 2 7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ̂=b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A 63.6万元B 65.5万元C 67.7万元D 72.0万元8. 已知等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1>0且q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 9. 已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么任取一个三位数，它是渐升数的概率为（ ） A 1425 B 775 C 760 D 71010. 已知函数f(x)={−x 2+2x ，x ≤0ln(x +1),x >0，若f(x)=ax 有且只有一个实数解，则a 的取值范围是（ ）A [1, 2]B (−∞, 0]C (−∞, 0]∪[1, 2]D (−∞, 2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分.考生注意：请在15.16.17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.11. 设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2为纯虚数，则x =________． 12. 设x ，y 满足{x +y <1y ≤x y ≥0，则z =3x +y 的最大值是________．13. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点是双曲线x 216−y 2m =1的右焦点F ，且双曲线的右顶点A 到点F 的距离为1，则p =________．14. 已知f(x)=xe x ，f 1(x)=f ′(x)，f 2(x)=[f 1(x)]′，⋯，f n+1(x)=[f n (x)]′，n ∈N ∗，经计算f 1(x)=1−x e x，f 2(x)=x−2e x，f 3(x)=3−x e x，⋯，照此规律，则f n (x)=________．【不等式选做题】15. （不等式选做题） 已知x 、y 均为正数，且x +y =1，则√3x +√4y 的最大值为________．【几何证明选做题】16. 如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC =1，∠BCD =30∘，则圆O 的面积为________．【坐标系与参数方程选做题】17. 在极坐标系中，若过点(1, 0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）18. 如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30∘，∠ADB=45∘．（1）求sin∠ABC；（2）求BD的长度．19. 已知{a n}是正数组成的数列，a1＝1，且点(√a n, a n+1)(n∈N∗)在函数y＝x2+1的图象上．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若列数{b n}满足b1＝1，b n+1＝b n+2n a，求证：b n⋅b n+2<b n+12．20. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为10作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50, 60）,[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50, 60）,[90, 100]的数据）．(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；(Ⅱ)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含8的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80, 90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．21. 如图，已知菱形ACSB中，∠ABS=60∘．沿着对角线SA将菱形ACSB折成三棱锥S−ABC，且在三棱锥S−ABC中，∠BAC=90∘，O为BC中点．（1）证明：SO⊥平面ABC；（2）求平面ASC与平面SCB夹角的余弦值．22. 如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=√52|BF|．（1）求椭圆C的离心率；（2）若点M(−1617, 217)在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．23. 已知函数f(x)=e x−x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．(e≈2.71828)．（1）求函数f(x)的解析式；（2）g(x)=f(x)x，x∈(0, +∞)，讨论函数g(x)的单调性与极值；（3）若k∈Z，且f(x)+12(3x2−5x−2k)≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．2014年某校高考数学八模试卷（理科）答案1. D2. C3. D4. B5. D6. A7. B8. A9. B10. C11. 212. 313. 1014. (−1)n(x−n)e x15. √716. π17. 2√318. 解：（1）在△ABC中，由正弦定理，得ABsin∠BCA =ACsin∠ABC，∴ sin∠ABC=ACsin∠BCAAB =9sin30∘5=910．（2）∵ AD // BC，∴ ∠BAD=180∘−∠ABC，sin∠BAD=sin(180∘−∠ABC)=sin∠ABC=910，在△ABD中，由正弦定理，得ABsin∠ADB =BDsin∠BAD，∴ BD =ABsin∠BAD sin∠ADB=5×910√22=9√22．19. 解法一：（1）由已知得a n+1＝a n +1、即a n+1−a n ＝1，又a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，公差为1的等差数列． 故a n ＝1+(n −1)×1＝n ．（2）由(Ⅰ)知：a n ＝n 从而b n+1−b n ＝2n ．b n ＝(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+...+(b 2−b 1)+b 1 ＝2n−1+2n−2+...+2+1=1−2n 1−2=2n −1 ∵ b n ⋅b n+2−b n+12＝(2n −1)(2n+2−1)−(2n+1−1)2 ＝(22n+2−2n −2n+2+1)−(22n+2−2⋅2n+1+1) ＝−2n <0∴ b n ⋅b n+2<b n+12解法二：（1）同解法一． （2）∵ b 2＝1b n ⋅b n+2−b n+12＝(b n+1−2n )(b n+1+2n+1)−b n+12＝2n+1⋅b n+1−2n ⋅b n+1−2n ⋅2n+1 ＝2n (b n+1−2n+1) ＝2n (b n +2n −2n+1) ＝2n (b n −2n ) ＝…＝2n (b 1−2) ＝−2n <0∴ b n ⋅b n+2<b n+1220. （1）由题意可知，样本容量n =80.016×10=50，y =250×10=0.004，x ＝0.1−0.004−0.010−0.016−0.04＝0.030．（2）由题意可知，分数在[80, 90)有5人，分数在[90, 100)有2人，共7人． 抽取的3名同学中得分在[80, 90)的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则 P(ξ=1)=C 51C22C 73=535=17，P(ξ=2)=C 52C21C 73=2035=47，P(ξ=3)=C 53C 73=1035=27．所以，ξ的分布列为所以，Eξ=1×17+2×47+3×27=157．21. （本题满分12分）解：（1）证明：由题设AB =AC =SB =SC =SA ，连结OA ，△ABC 为等腰直角三角形， 所以OA =OB =OC =√22SA ，且AO ⊥BC ，又△SBC 为等腰三角形，故SO ⊥BC ，且SO =√22SA ， 从而OA 2+SO 2=SA 2．所以△SOA 为直角三角形，SO ⊥AO ． 又AO ∩BO =O ．所以SO ⊥平面ABC ．…（2）以O 为坐标原点，射线OB ，OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴， 建立如图的空间直角坐标系O −xyz ．设B(1, 0, 0)，则C(−1, 0, 0)，A(0, 1, 0)，S(0, 0, 1)． SA →=(0,1,−1)，SC →=(−1,0,−1)． 设平面SAC 的法向量n →=(x, y, z)，由{n →⋅SC →=−x −z =0˙，令x =1，得n →=(1, −1, −1)， 由（1）可知AO ⊥平面SCB ，因此取平面SCB 的法向量m →=OA →=(0,1,0)．… 设平面ASC 与平面SCB 的夹角为θ， 则cosθ=|cos <n →，m →>|=|−1√3|=√33． ∴ 平面ASC 与平面SCB 夹角的余弦值为√33．… 22. （本题满分13分） 解：（1）由已知|AB|=√52|BF|， 即√a 2+b 2=√52a ， 4a 2+4b 2=5a 2，4a 2+4(a 2−c 2)=5a 2， ∴ e =ca =√32．… （2）由（1）知a 2=4b 2， ∴ 椭圆C:x 24b 2+y 2b 2=1． 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，由x 124b 2+y 12b 2=1，x 224b 2+y 22b 2=1，得x 12−x 224b 2+y 12−y 22b 2=0，即(x 1+x 2)(x 1−x 2)4b 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，即−3217(x 1−x 2)4+417(y 1−y 2)=0，从而k PQ =y 1−y2x 1−x 2=2，进而直线l 的方程为y −217=2[x −(−1617)]， 即2x −y +2=0．…由{2x −y +2=0x 24b 2+y 2b 2=1⇒x 2+4(2x +2)2−4b 2=0，即17x 2+32x +16−4b 2=0． △=322+16×17(b 2−4)>0⇔b >2√1717.x 1+x 2=−3217，x 1x 2=16−4b 217．∵ OP ⊥OQ ，∴ OP →⋅OQ →=0，即x 1x 2+y 1y 2=0，x 1x 2+(2x 1+2)(2x 2+2)=0，5x 1x 2+4(x 1+x 2)+4=0． 从而5(16−4b 2)17−12817+4=0，解得b =1，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．…23. 解：（1）f(x)=e x −x 2+a ，f ′(x)=e x −2x ．由已知{f(0)=1+a =0f′(0)=1=b ⇒{a =−1b =1，f(x)=e x −x 2−1．…（2）由（1）知，g(x)=f(x)x，x >0，则g′(x)=xf′(x)−f(x)x 2=x(e x −2x)−(e x −x 2−1)x 2=(x−1)(e x −x−1)x 2．令y =e x −x −1，y ′=e x −1>0在x ∈(0, +∞)恒成立，从而y =e x −x −1在(0, +∞)上单调递增，y >e 0−0−1=0． 令g ′(x)>0，得x >1；g ′(x)<0，得0<x <1．∴ g(x)的增区间为(1, +∞)，减区间为(0, 1)．极小值为g(1)=e −2，无极大值．… （3）f(x)+12(3x 2−5x −2k)≥0对任意x ∈R 恒成立，⇔e x +12x 2−52x −1−k ≥0对任意x ∈R 恒成立，⇔k ≤e x +12x 2−52x −1对任意x ∈R 恒成立．…令ℎ(x)=e x +12x 2−52x −1，ℎ′(x)=e x +x −52，易知ℎ′(x)在R 上单调递增， 又ℎ′(0)=−32<0，ℎ′(1)=e −32>0，ℎ′(12)=e 12−2<0，ℎ′(34)=e 34−74>2.5634−74=1.632−74=√512125−74>2−74=14>0，∴ 存在唯一的x0∈(12,34)，使得ℎ′(x0)=0，…且当x∈(−∞, x0)时，ℎ′(x)<0，x∈(x0, +∞)时，ℎ′(x)>0．即ℎ(x)在(−∞, x0)单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，ℎ(x)min=ℎ(x0)=e x0+12x02−52x0−1，又ℎ′(x0)=0，即e x0+x0−52=0，e x0=52−x0．∴ ℎ(x0)=52−x0+12x02−52x0−1=12(x02−7x0+3)，∵ x0∈(12,34)，∴ ℎ(x0)∈(−2732,−18).k≤e x+12x2−52x−1对任意x∈R恒成立，⇔k≤ℎ(x0)，又k∈Z，∴ k max=−1．…。
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且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对
得 5 分，否则一律得零分．
15.
函数
f (x)=
1 2
x2
+ 1(x < -2)的反函数是
（）
(A) y = 2x - 2(1 £ x < 3) ．
(B) y = 2x - 2(x > 3) ．
(C) y = - 2x - 2(1 £ x < 3) ．
(D) y = - 2x - 2(x > 3) ．
16. 直 线
l
的法向量是
r n
=
(
a,
b)
.
若 ab < 0 ， 则 直 线 l 的 倾 斜 角 为
()
(A)
arctan
æ çè
-
b a
ö ÷ø
(B)
arctan
æ çè
-
a b
ö ÷ø
(C) p
p
+
arctan
b a
2014 届高三年级八校联合调研考试试卷
数学（理科）
一、填空题（本题满分 56 分）本大题共有 14 题，要求在答题纸相应题序的空
格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．
1.
在复平面上，复数
3
(2 - i)2
对应的点到原点的距离为
．
2. 已知函数 f (x) = sin 4 wx - cos4 wx (w > 0) 的最小正周期是 π ，则w =
．
3. 向量
在向量
方向上的投影为
．
4.
已知正数
a,
b
满足
a
+
b
=
2
，则行列式
1+
1 a
1
1
1+
1 b
的最小值为
．
5.
阅读右边的程序框图，如果输出的函数值
y
在区间
é êë
1 4
,1úûù
内，则输入
的实数 x 的取值范围是
．
6. 设a、b 是一元二次方程 x 2 - 2x + m = 0 的两个虚根.若| ab |= 4 ，
中：
（1） Sm , S2m - Sm , S3m - S2m 成等差数列，也可能成等比数列；
（2） Sm , S2m - Sm , S3m - S2m 成等差数列，但不可能成等比数列；
（3） Sm , S2m , S3m 可能成等比数列，但不可能成等差数列；
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（4） Sm , S2m , S3m 不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是 （ ）
．
13.
将
f
(x)
=
2x
-
a 2x
的图像向右平移 2 个单位后得曲线 C1 ，将函数
y
=
g(x) 的图像向下
平移
2
个单位后得曲线 C2 ， C1 与 C2 关于 x 轴对称．若 F (x) =
f
(x) a
+
g
(
x)
的最小值
为 m且 m > 2 + 7 ，则实数 a 的取值范围为
．
14. 已 知 “ a,b, c, d, e, f ” 为 “ 1, 2,3, 4, 5, 6 ” 的 一 个 全 排 列 ． 设 x 是 实 数 ， 若
A 与北纬 30° 东经 90° 对应点 B 之间的球面距离为
cm（精确到 0.01）．
12. 已知直线 y = k(x + 2) 与抛物线 C : y 2 = 8x 相交于 A 、 B 两点， F 为抛物线 C 的焦
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uuur uuur
点．若| FA |= 2 | FB | ，则实数 k =
（1）异面直线 B1C1 与 A1C 所成角的大小；
（2）直线 B1C1 到平面 A1BC 的距离．
20. (本题满分 14 分；第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分)
( ) 已知 f (x) = lg 4x2 + b + 2x ，其中 b 是常数．
（1）若 y = f (x)是奇函数，求 b 的值；
．
9.
在△
ABC
中，A、B、C
所对边分别为
a
、b
、c
．若1
+
tan tan
A B
+
2c b
＝0
，则
A
=
．
{ } 10. 已知数列 an 的首项 a1 = 2 ，其前 n 项和为 Sn ．若 Sn+1 = 2Sn + 1，则 an =
．
11. 某地球仪上北纬 30° 纬线长度为12p cm，该地球仪的表面上北纬 30° 东经 30° 对应点
(A)（1）（3）.
（B）（1）（4）.
（C）（2）（3）.
（D）（2）（4）.
三． 解答题：（本题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸
的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
19. （本题满分 12 分；第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分）
在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中, ÐABC = 90° , AB = BC = 1, BB1 = 2 ，求：
A B
A1 B1
H1
H
G1
C
C1
F1
D1 E1 F D
E
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22. （本题满分 16 分；第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
则实数 m =
．
7.
集合
A
=
ì í
x
î
x x
-1 +1
<
0ýü þ
，B
=
{x
x
-
b
<
a}．若“a＝1”是“
AI
B
¹
f
”
的充分条件， 则实数 b 的取值范围是
．
8. 已知椭圆的焦点在 x 轴上，一个顶点为 A(0, -1) ，其右焦点到直线 x - y + 2 2 = 0 的
距离为 3 ，则椭圆的方程为
uuur uuur uuur uuur 17. 已知 A 、 B 、 C 是单位圆上三个互不相同的点.若| AB |=| AC | ，则 ABg AC 的最小值
是（ ）
(A) 0 ．
（B）
-
1 4
．
（C）
-
1 2
．
（D）
-
3 4
．
18. 等差数列{an}的公差 d ¹ 0 ，an Î R ，前 n 项和为 Sn ，则对正整数 m ，下列四个结论
（2）求证： y = f (x)的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于 x 轴．
21. （本题满分 14 分；第（1）小题满分 7 分，第（2）小题满分 7 分 ） 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对
称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设 ÐAA1H1 = a ． （1）试用a 表示 DAA1H1 的面积； （2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时a 的大小．
“ (x - a)(x - b) < 0 ”可推出“ (x - c)(x - d ) < 0 或 (x - e)(x - f ) < 0 ”，则满足条
件的排列“ a,b, c, d, e, f ”共有__________个．
二． 选择题（本题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有