95学年度国中数学竞试数学(一)试题
1995年全国初中数学联合竞赛试题及解答
OM 为△CDG 的中位线，所以 OM 1 CG 1 (CE GE) 1 (CE DF)
2
2
2
所以
N
2S△OAB
AB OM
AB
1 (CE 2
DF )
1 2
AB CE
1 2
AB DF
|
S△CAB
S△DAB
|
M
C
O G
F
A
M EB
D
6．设实数 a ， b 满足不等式 || a | (a b) || a | a b || ，则（
第一试
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）
1．已知 a 355 ， b 444 ， c 533 ，则有（ ）
A. a b c
B. c b a
C. c a b
【答】C.
c 53 11 12511 24311 35 11 a 25611 44 11 b ．
N 2S△OAB ，则（
）
A． M N .
B． M N .
C． M N .
D． M ， N 的大小关系不确定.
【答】 B. 分别过点 C、O、D 作 AB 的垂线 CE、OM、DF，垂足分别为 E、M、F，连接 DM 并
延长交 CE 于点 G.. 易证△FMD≌△EMG，则 DF＝GE
2
，n
2
2
n
2
2
，2
1
．
6
A
D
F
C
G
1995年全国初中数学竞赛试题
1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［]A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜bA．1B．2 C．3 D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63πC．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]A．a＞0且b＞0B．a＜0且b＞0C．a＞0且b＜0D．a＜0且b＜0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。
4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．第二试一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。
二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点对称为整点，试在二次函数的图象上找出满足y≤|x|的所有整点（x，y），并说明理由。
三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。
1995年全国初中数学联赛参考答案及详解第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。
选C。
利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。
1995年全国初中数学联赛试题
1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有6个小题，每一个小题都给出了以（A ）、（B ）、（C ）、（D ）为代号的四个答案， 其中只有一个答案是正确的，请将正确的答案用代号填在各小题的括号内。
1．已知553=a ，444=b ，335=c 则有（ ）（A ）c b a << ；（B ） a b c << ； （C ）b a c <<； （D ）b c a << 2．方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ） （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4 3．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）（A ）10≤≤m ； （B ）43≥m ； （C ）143≤<m ； （D ）143≤≤m 4．如果边长顺次为25，39，52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（ ）（A ）62π （B ）63π （C ）64π （D ）65π5．AB 是圆O 的一条弦，CD 是圆O 的直径，且与弦AB 相交，记OAB DAB CAB S N S S M ∆∆∆=-=2.||，则（ ）（A ）N M >； （B ）M=N ； （C ）N M < （D ）M ，N 的大小关系不确定6．设实数a ，b 满足不等式|||||)(|||b a a b a a +-<+-（ ）（A ）0>a 且0>b （B ）0<a 且0>b（C ）0>a 且0<b （D ）0<a 且0<b二、填空题1． 在12，22，33，…，952 这95个数中，十位数字为奇数的数共有________个。
2． 已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。
1995年全国初中数学联赛试题
年全国初中数学联赛试卷第一试一、选择题本题共有个小题，每一个小题都给出了以（）、（）、（）、（）为代号的四个答案， 其中只有一个答案是正确的，请将正确的答案用代号填在各小题的括号内。
．已知553=a ，444=b ，335=c 则有（ ）（）c b a << ；（） a b c << ； （）b a c <<； （）b c a <<．方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）（）； （）； （）； （）．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是（ ）（）10≤≤m ； （）43≥m ； （）143≤<m ； （）143≤≤m ．如果边长顺次为，，和的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（ ）（）π （）π （）π （）π ．是圆的一条弦，是圆的直径，且与弦相交，记OAB DAB CAB S N S S M ∆∆∆=-=2.||，则（ ）（）N M >； （）； （）N M < （），的大小关系不确定 ．设实数， 满足不等式|||||)(|||b a a b a a +-<+-（ ） （）0>a 且0>b （）0<a 且0>b（）0>a 且0<b （）0<a 且0<b二、填空题1． 在，，，…， 这个数中，十位数字为奇数的数共有个。
2． 已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于。
3． 设x 为正实数，则涵数xx x y 12+-=的最小值是。
4． 以线段为直径作一个半圆，圆心为，是半圆周上的点，·，则∠。
第二试一、已知∠∠°，点在上，，过，，三点的圆交于（如图）。
求证：为△的内心。
二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点。
1995数学一答案
所以
dx
0
1
x
f ( x) f ( y)dy
1 2 A . 2
四、(本题共 2 小题，每小题 6 分，满分 12 分) (1) 计算曲面积分
zdS ，其中 为锥面 z x 2 y 2 在柱体 x2 y 2 2x 内的部分.
z 2 z 2 ) ( ) d 2d . x y
0 ) 0 是 F ( x) 在 x 0 处可导的 (3) 设 f ( x) 可导，F ( x) f ( x)(1 sin x ) ， 则 f(
(A) 充分必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (4) 设 u n (1) n ln(1
(B) 充分条件但非必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (C) (B) (D)
1
2
cos
……6 分
五、(本题满分 7 分) 设曲线 L 位于 xoy 平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点记 为 A.已知 MA = OA ，且 L 过点 ( , ) ，求 L 的方程. 解：设点 M 的坐标为 ( x, y ) ，则切线 MA 的方程为 Y y y( X x) . 令 X 0 ，则 Y y xy ' ，故点 A 的坐标为 (0, y xy ') . 由 MA OA ，有 y xy ' ( x 0) ( y y xy ') . 即 2 yy '
0
t
1
(0,0)
2 xydx Q( x, y )dy [12 c( y )]dy t c( y )dy .
0 0
t
……6 分
1995年全国高中数学联赛试题及解答
1995年全国高中数学联赛第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1． 设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13且a 1>0，S n 为其前项之和，则S n 中最大的是( ) (A )S 10 (B )S 11 (C )S 20 (D ) S 212． 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z 1，Z 2，…，Z 20，则复数Z 19951 ，Z 19952 ，…，Z 199520 所对应的不同的点的个数是( )(A )4 (B )5 (C )10 (D )203． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A )1个 (B )2个 (C )50个 (D )100个4． 已知方程|x －2n |=k x (n ∈N *)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )(A )k >0 (B )0<k ≤12n +1(C )12n +1<k ≤12n +1(D )以上都不是5． log sin1cos1，log sin1tan1，log cos1sin1，log cos1tan1的大小关系是 (A ) log sin1cos1< log cos1sin1< log sin1tan1< log cos1tan1 (B ) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1 (C ) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1cos1 (D ) log cos1tan1< log sin1tan1< log sin1cos1< log cos1sin16． 设O 是正三棱锥P —ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与P A ，PB 的延长线分别交于Q ，R ，则和式1PQ +1PR +1PS(A )有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值(C )既有最大值又有最小值，两者不等 (D )是一个与面QPS 无关的常数 二、填空题(每小题9分，共54分)1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且αβ2为实数，则|α|= ．2． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 ．3． 用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是 ． 4． 直角坐标平面上，满足不等式组⎩⎨⎧y ≤3x ，y ≥x3， x +y ≤100的整点个数是 ．5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 ．6． 设M={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x ∈A 时，15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是 ．第二试一、(25分) 给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．二、(25分) 求一切实数p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三个根均为正整数．三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。
1995年全国初级中学数学联赛试题及规范标准答案(修正版)
1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a ＝355，b ＝444，c ＝533，则有［ ］ A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b2． 方程组6323xy yz xz yz +=⎧⎨-=⎩的正整数解的组数是［ ］A ．1B ．2C ．3D ．43．如果方程(x －1)(x 2－2x －m )＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是［ ］A ．0≤m ≤1B ．m ≥34C ． 34＜m ≤1D ． 34≤m ≤14．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ］A ．62πB ．63πC ．64πD ．65π5．设AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的直径，且与弦AB 相交，记M ＝｜S △ABC －S △ABD ｜，N ＝2 S △OAB ，则［ ］A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．M 、N 的大小关系不确定GABCDEF6．设实数a 、b 满足不等式｜｜a ｜－(a ＋b )｜＜｜a －|a ＋b ｜｜，则［ ］ A ．a ＞0且b ＞0 B ．a ＜0且b ＞0 C ．a ＞0且b ＜0 D ．a ＜0且b ＜0二、填空题1．在12，22，32……，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有______个。
2．已知a 是方程2104x x +-=的根，则354321a a a a a -+--的值等于______．3． 设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是______．4．以线段AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆周上的点，且OC 2＝AC ·BC ，则∠CAB ＝______．第二试一、已知∠ACE ＝∠CDE ＝90°，点B 在CE 上，CA ＝CB ＝CD ，经过A 、C 、D 三点的圆交AB 于F （如图）交CB 于G求证：F 为△CDE 的内心二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点为整点，试在二次函数2510109x xy=-+的图像上找出满足y≤|x|的所有整点（x，y），并说明理由。
1995年全国考研数学一真题
1 3 1 (5) 设三阶方阵 A 、 B 满足关系式： A BA 6 A BA ,且 A 0 0
______________.
二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 设有直线 L :
x 3 y 2 z 1 0, 及平面 : 4 x 2 y z 3 0 ,则直线 L 2 x y 10 z 3 0
( )
a23
1 0 0 P2 0 1 0 ,则必有 1 0 1
(A) AP 1P 2 B (C) P 1P 2A B 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.) (B) AP2 P 1 B (D) P2 P 1A B
(1) 设 u f ( x , y , z ), ( x , e , z ) 0, y sin x ,其中 f 、 都具有一阶连续偏导数,且
zdS ,其中 为锥面 z
x 2 y 2 在柱体 x 2 y 2 2x 内的部分.
(2) 将函数 f ( x ) x 1(0 x 2) 展开成周期为 4 的余弦级数.
第 3 页 共 16 页
五、(本题满分 7 分) 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内, L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交,交点记为 A .已 知 MA OA ,且 L 过点
1995 年全国硕士研究生入学统一考试真题卷
数学(一)试题
一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) lim(1 3 x) sin x ______________.
x 0 2
(2)
d 0 x cos t 2 dt ______________. 2 x dx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1頁 共2頁
圖(三)
張進通、許世賢文教基金會九十五學年度雲嘉區國中數學競試 第一試試題
考試時間：90分鐘
一、填充題(每格6分，共72分)
1. 設a ＝220
－1，則a 的所有質因數之和為_____。
2. 箱子中有130顆球，其中有35顆紅球、35顆黃球、35顆綠球，其餘的是黑球或白球。
今任意取出k
顆球，若希望取出的球中一定有26顆以上(含26顆)同色的球，則k 之最小值為_____。
3. 如圖(一)，若AB ＝AC ＝7，BP ＝BQ ＝CP ＝
CQ ＝5，則AP ．AQ 之
值為_____。
4. 已知a ，則正整數a 之值為_____。
5. 若正六邊形的內切圓半徑為r ，外接圓半徑為R ，則r ：R 之比值為_____。
6. 設x ＝10n
－1234，且x 的各個數字總和為162，則正整數n ＝_____。
7. 如圖(二)，O 為圓心，AB 為圓的直徑，CA 與CE 分別切圓於點A 與D ，若AB
＝16，ΔODE 的周長為24，則ΔACE 的周長為_____。
8. 如果有一三位數abc 滿足a ＞b 且c ＞b ，則稱這樣的三位數為凹數，例如805、767皆是凹數，那麼所
有的凹數共有_____個。
9. 圖(三)是正八面體的展開圖，將其黏成一個正八面體，則B 、C 、D 、E 四點中
會和A 點黏在一起的有哪些點？_____。
10. 已知一最簡分數其分母為24，且此分數大於5小於15，則滿足上述條件的最簡分數共有_____個。
【分子與分母互質的分數，稱為最簡分數，例如
92、7
15
均是最簡分數】
11. 設k 是整數，且15x 2＋kx －4可因式分解為(px ＋q)(rx ＋s)，其中p 、q 、r 、s 均為整數。
若所有不同的
k 值共有a 個，k 之最大值為b ，k 之最小值為c ，則a ＋b ＋c ＝_____。
12. 如圖(四)，ABCD 為一矩形，
AB ＝5，BC ＜4，以EF 為摺痕，將矩形摺起來
可使A 與C 兩點重合，若EF ，則BC ＝_____。
圖(二
)
圖(一)
圖
(四)
第2頁 共2頁
L
圖(五)
二、計算與證明題(第1題8分，第2題10分，第3題10分，共28分)
1. 解聯立方程組x y 1
1xy 3x y 31xy −⎧=⎪+⎪
⎨
+⎪=⎪−⎩。
2. 如圖(五)，ABCD 是一正方形，AB 、BC 、CD 、DA
的延長線分別交直線L 於P 、Q 、R 、S 。
已知PR ＝3，
QS ＝4，求正方形ABCD 的邊長。
3. 在ΔABC 中，如圖(六)，若AC ＞AB ，且AD 是∠BAC 的分角線，交BC 於D 點，求證：CD ＞BD 。
以下是甲生的證明過程，但是有出錯，請找出來(3分)，並給予正確的證明(7分)。
B
圖(六)。