信号与系统教案第4章-02
信号与系统 第4章 信号的复频域分析
由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
当σ 0 0 时, 收敛边界落于 s 右半平面
当σ 0 0时, 收敛边界落于 s左半平面
当σ 0 0时, 收敛边界位于虚轴
at f ( t ) e u( t )(a 0)的LT 例2：求
1 F ( s) ( a ) s a
4 信号的复频域分析 举例说明收敛域的概念： 例3：求 at e u (t )(a 0) f (t ) t a 的LT e u ( t )( 0)
f ( t )e s t dt F ( s ), R
是振幅密度
4 信号的复频域分析
4.1.1 拉普拉斯变换
2．拉普拉斯正变换
信号在复S域中展开式中，有：
F( s )
f ( t )e st dt Re[ s ] R
s j 具有频率的量纲，称为复频率。
4.1.1 拉普拉斯变换
3．拉氏反变换
信号在复S域中展开式中，有： 1 + s t st f (t ) [ f ( t ) e dt ] ds e Re[ s ] R 2 j -j 清楚表明了信号的组成成份和组成方式，称此式为
Inverse Laplace
4.1.1 拉普拉斯变换
4. 收敛域
使
f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t
0r
dt
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；
信号与系统教案
信号与系统教案一、引言信号与系统是电子工程及通信工程等专业的重要课程之一。
本教案旨在帮助学生全面了解信号与系统的基本概念和理论，并培养其分析和设计信号与系统的能力。
本教案适用于大学本科阶段的信号与系统课程。
二、教学目标1. 理解信号与系统的基本概念和特性；2. 掌握信号与系统的数学表示和分析方法；3. 学习信号与系统的线性时不变性质和傅里叶变换等重要理论；4. 培养学生分析和设计信号与系统的能力。
三、教学内容本教学按照以下章节安排：1. 信号的基本概念1.1 信号的定义与分类1.2 连续信号和离散信号1.3 周期信号和非周期信号2. 系统的基本概念2.1 系统的定义与分类2.2 线性系统和非线性系统2.3 时变系统和时不变系统3. 时域分析3.1 连续信号的时域描述3.2 离散信号的时域描述3.3 系统的时域描述4. 频域分析4.1 连续信号的频域描述4.2 离散信号的频域描述4.3 线性时不变系统的频域描述5. 傅里叶变换5.1 连续时间傅里叶变换5.2 离散时间傅里叶变换5.3 傅里叶变换的性质和应用6. 课程总结与回顾四、教学方法1. 理论讲授：通过课堂讲解和演示，系统介绍信号与系统的基本概念和理论。
2. 实例分析：结合实际案例，解析信号与系统在实际应用中的作用和意义。
3. 实验实践：利用仿真软件或实验设备，进行信号与系统方面的实际操作和实验验证，加深学生对理论知识的理解和掌握程度。
五、教学评价1. 平时成绩：包括课堂出勤、课堂参与、作业完成情况等。
2. 课程设计与报告：学生根据指导要求，完成一份信号与系统相关课题的设计和报告。
3. 期末考试：考察学生对信号与系统的整体掌握情况，包括理论知识和实践应用。
六、教材及参考资料1. 主教材：《信号与系统导论》2. 参考资料：2.1 《信号与系统分析》2.2 《信号与系统原理》2.3 信号与系统相关期刊论文七、教学进度安排本教案按照每周4学时的教学进度计划，共计15周。
《信号与系统教案》课件
《信号与系统教案》课件第一章：信号与系统概述1.1 信号的概念与分类定义：信号是自变量为时间（或空间）的函数，用以描述物理现象、信息传输等。
分类：模拟信号、数字信号、离散信号、连续信号等。
1.2 系统的概念与分类定义：系统是由信号输入与输出之间关系构成的一个实体。
分类：线性系统、非线性系统、时不变系统、时变系统等。
1.3 信号与系统的处理方法信号处理：滤波、采样、量化、编码等。
系统处理：稳定性分析、频率响应分析、时域分析等。
第二章：连续信号及其运算2.1 连续信号的基本运算叠加原理、时移原理、微分、积分等。
2.2 连续信号的傅里叶级数傅里叶级数的概念与性质。
连续信号的傅里叶级数展开。
2.3 连续信号的傅里叶变换傅里叶变换的概念与性质。
连续信号的傅里叶变换公式。
第三章：离散信号及其运算3.1 离散信号的基本运算叠加原理、时移原理、差分、求和等。
3.2 离散信号的傅里叶变换离散信号的傅里叶变换的概念与性质。
离散信号的傅里叶变换公式。
3.3 离散信号的Z变换Z变换的概念与性质。
离散信号的Z变换公式。
第四章：数字信号处理概述4.1 数字信号处理的基本概念数字信号处理的定义、特点与应用。
4.2 数字信号处理的基本算法滤波器设计、快速傅里叶变换（FFT）等。
4.3 数字信号处理硬件实现数字信号处理器（DSP）、Field-Programmable Gate Array（FPGA）等。
第五章：线性时不变系统的时域分析5.1 线性时不变系统的定义与性质线性时不变系统的数学描述。
线性时不变系统的特点。
5.2 系统的零状态响应与零输入响应零状态响应的定义与求解。
零输入响应的定义与求解。
5.3 系统的稳定性分析系统稳定性的定义与判定方法。
常见系统的稳定性分析。
第六章：频率响应分析6.1 频率响应的概念系统频率响应的定义。
频率响应的性质和特点。
6.2 频率响应的求取直接法、间接法求取频率响应。
频率响应的幅频特性和相频特性。
《信号与系统教案》课件
《信号与系统教案》PPT课件第一章：信号与系统概述1.1 信号的概念与分类定义：信号是自变量为时间（或空间）的函数，用于描述物理量或信息。
分类：模拟信号、数字信号、离散信号、连续信号等。
1.2 系统的概念与分类定义：系统是由输入信号、系统本身和输出信号三部分组成的。
分类：线性系统、非线性系统、时不变系统、时变系统等。
第二章：信号的运算与处理2.1 信号的运算加法、减法、乘法、除法等基本运算。
叠加原理与分配律。
2.2 信号的处理滤波器、放大器、采样与量化等。
第三章：线性时不变系统的性质3.1 齐次性定义：若系统对于任意输入信号f(t)，其输出信号y(t)都满足y(t)=af(t)，则称系统为齐次系统。
3.2 叠加性定义：若系统对于两个输入信号f1(t)和f2(t)的输出信号y1(t)和y2(t)满足y1(t)+y2(t)=a(f1(t)+f2(t))，则称系统为叠加系统。
3.3 时不变性定义：若系统对于任意输入信号f(t)，其输出信号y(t-t0)与输入信号f(t-t0)的输出信号y(t)相同，则称系统为时不变系统。
第四章：傅里叶级数与傅里叶变换4.1 傅里叶级数定义：将周期信号分解为正弦、余弦信号的和。
傅里叶级数的展开与系数计算。
4.2 傅里叶变换定义：将信号从时域转换到频域。
傅里叶变换的性质与计算方法。
第五章：拉普拉斯变换与Z变换5.1 拉普拉斯变换定义：将信号从时域转换到复频域。
拉普拉斯变换的性质与计算方法。
5.2 Z变换定义：将信号从时域转换到离散域。
Z变换的性质与计算方法。
第六章：信号与系统的时域分析6.1 系统的时域响应定义：系统对输入信号的响应称为系统的时域响应。
系统的时域响应的计算方法。
6.2 系统的稳定性定义：系统在长时间内能否收敛到一个稳定状态。
判断系统稳定性的方法。
第七章：信号与系统的频域分析7.1 傅里叶变换的应用频谱分析：分析信号的频率成分。
滤波器设计：设计线性时不变系统的滤波器。
信号与系统教案第4章
一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变
化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信 号的频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、
相位随频率的变化关系，即 将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平
面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
2. 正交函数集：
若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集，
当这些函数在区间(t1，t2)内满足
t2 t1 i
(t)
j* (t) d t
Ki
0,
0,
i j i j
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
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信号与系统 电子教案
数—— 称为f(t)的傅里叶级数
f (t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn sin(nt)
n1
系数an , bn称为傅里叶系数
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(nt) d t
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
1
T
T 0
f
2 (t)dt
( A0 )2 2
1 n1 2
An2
| Fn
n
|2
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。 n≥0时， |Fn| = An/2。
信号与系统教案
1、信号与系统的概念， 2、信号的分类；周期信号与非周期信号， 确定信号 与随机信号，连续信号与离散信号， 3、典型信号： 实指数信号， 正弦信号、复指数信号、 抽样信号。 4、信号的基本运算：信号的移位，反折、尺度、微 分积分相加相乘。 作业、讨论题、思考题： 1、如何对信号进行分类，各类信号的本质区别是什么？ 2、信号与系统为什么是不可分割的整体？ 3、信号 cos(10t ) cos(30t ) 的周期是多少？ 4、粗略绘出[u (t ) u (t T )] sin(
教 和 输出描述到状态空间描述，以通信和控制工程作为主要应用背 学 要 景，注重实例分析。通过本课程的学习，使学生牢固掌握信号 目 求 与系统的时域、变换域分析的基本原理和基本方法，理解傅里 的
叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的数学概念、物理概念与工程 概念，掌握利用信号与系统的基本理论与方法分析和解决实际 问题的基本方法，为进一步学习后续课程打下坚实的基础。
1、零输入响应定义为：没有外加激励信号的作用，只有起始状态 板书教学， 所产生的响应。 举例题 2、零状态响应定义为：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统 的外加激励信号所产生的响应。 3、冲激响应定义为：系统在单位冲激信号的激励下产生零状态响 应。 4、阶跃响应定义为：系统在单位阶跃信号的激励下产生零状态响 应。 5、换路定理： uc (0) uc (0),il (0) il (0)
授课题目（教学章、节或主题） ：
2.6 卷积 2.7 卷积的性质
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次） ： 掌握：卷积运算和卷积的性质
教学重点及难点： 卷积的运算方法、卷积的性质 教 学 基 本 内 容 方法及手段
1、 f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d 2、卷积运算满足交换律、分配律、结合律。 3、卷积运算的微分和积分 4、 f (t ) * (t ) f (t )
信号与系统基础-第4章
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。
信号与系统 王明泉 课件第4章
+∞
傅里叶逆变换
x( t ) e
−σ t
1 ∞ = X (σ + jω) ejωt dω 2π ∫−∞
以 两边同乘 eσ t
1 ∞ (σ + jω)t x( t ) = ∫−∞ X (σ + jω) e dω 2π
令 s = σ + jω ; d s = jdω 拉普拉斯逆变换
ω: ∫ ⇒s : ∫
L[ ax1(t) + bx2 (t)] = aX1(s) + bX2 (s)
−2 t 例4.2.1 求 x(t ) = (1 − e )u (t ) 拉普拉斯变换
L [ x(t ) ] = L u (t ) − e −2t u (t ) = L [u (t ) ] − L e −2t u (t ) 1 1 = − s s+2
信号与系统
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
11 /85
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛性
根据定义：选择适当的σ才使得x(t)的拉氏变换存在。 由于x(t)e-σt的傅里叶变换就是拉氏变换，当σ> σ0区域内 的任意一点时，若x(t)e-σt绝对可积，则拉氏变换的收敛 域就是σ> σ0，而σ= σ0这条垂线就是收敛域的边界，称 为收敛轴。
jω0t
(σ > 0) (σ > 0)
信号与系统
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
17 /85
正弦信号
ω0 1 1 1 L[sinω0tu(t)] = − = 2 2 j s − jω0 s + jω0 s +ω02
1 1 1 s L[ cosω0tu(t)] = + = 2 2 s − jω0 s + jω0 s +ω02
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f (t) e
dt
f (t ) e
j ( 0 ) t
dt
For example 1 Ans:
第4-16页
= F[ j(ω-ω0)]
end
f(t) = ej3t ←→ F(jω) = ? 1 ←→ 2πδ(ω) ej3t ×1←→ 2πδ(ω-3)
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Ans:
1 (t ) ( ) j 1 (t ) 2( ) jt 1 (t ) 2( ) j(t )
1 1 (t ) ( ) 2 j 2t
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信号与系统 电子教案
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t
if 1,e
2 1 2
2 2 e 1 t2 1 e 1 t2
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信号与系统 电子教案
sin t ←→ F(jω) = ? Sa(t ) t g (t ) Sa( )
2
g 2(t ) 2Sa( )
4.5
傅里叶变换的性质
f(t) 1 -1
0
1
‖
f 1( t ) 1
0
t
t
2
-g
1 -1
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(t)
0
1
t
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信号与系统 电子教案
4.5
傅里叶变换的性质
二、奇偶性(Parity)
If f(t) is real function, then
F ( j ) f (t ) e
1 f (t ) e 2
j 0 t
1 e 2
j 0 t
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信号与系统 电子教案
1 j0t 1 j0t f (t ) cos(0t ) f (t )[ e e ] 2 2
1 1 f (t ) cos(0t ) F [j( 0 )] F [j( 0 )] 2 2
信号与系统 电子教案 For example 2 f(t) = cosω0t ←→ F(jω) = ?
4.5
傅里叶变换的性质
Ans:
F(jω) = π[δ(ω-ω0)+ δ(ω+ω0)] For example 3 Given that f(t) ←→ F(jω) The modulated signal f(t) cosω0t ←→ ?
4.5
傅里叶变换的性质
f(t) 2 1
S a (3 ) e
j5
-1
0
2
4
6
8 t
‖
2 f1 ( t ) 1
0
g2(t - 5) ←→
∴ F(jω) =
2 S a ( ) e
j5
2
4
6
8 t
[ 6 S a ( 3 ) 2 S a ( )] e
j5
2 1
0
f2 ( t ) +
信号与系统 电子教案 For example 1
4.5
傅里叶变换的性质
Given that f (t)←→F( jω), find f (at – b) ←→ ?
Ans:
or
f (t – b)←→ e -jωb F( jω) f (at – b) ←→
f (at) ←→
1 e |a|
j
b a
j t
d t f (t ) cos( t ) d t j f (t ) sin( t ) d t
= R(ω) + jX(ω)
| F ( j ) | R ( ) X ( )
2 2
X ( ) ( ) arctan R( )
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信号与系统 电子教案 For example
1 f(t ) F(j ) ? 2 1 t
Ans : e
a t
2 2 2
2 2 sgn(t ) 2 sgn( ) 2 sgn( ) j jt 1 j sgn( ) t 1 t j 2 '( ) j sgn( ) t
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So that (1) R(ω)= R(–ω) , X(ω) = – X (–ω) |F(jω)| = |F(– jω)| , (ω) = – (–ω) (2) If f(t) = f(-t) ,then X(ω) = 0, F(jω) = R(ω) If f(t) = -f(-t) ,then R(ω) = 0, F(jω) = jX(ω) (3) f(-t) F(-jω)=F*(jω)
1 j0t 1 j0t f (t ) sin(0t ) f (t )[ e e ] 2j 2j
j j j0t j0t f (t ) e f (t ) e 2 2
j j f (t ) sin(0t ) F [j( 0 )] F [j( 0 )] 2 2
信号与系统 电子教案
4.5
傅里叶变换的性质
4.5
傅里叶变换的性质
一、线性(Linear Property)
If f1(t) ←→F1(jω)， f2(t) ←→F2(jω) then [a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) + b F2(jω) ]
[ a f 1 ( t ) b f 2 ( t )] e
t
using scaling property with a = -1,
1 2 e ( ) jt 1
so that,
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1 2e ( ) jt 1
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4.5
傅里叶变换的性质
For example
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1 1 f (t ) cos(0t ) F [j( 0 )] F [j( 0 )] 2 2
For example
( 0 ) ( 0 ) g (t ) cos(0t ) Sa[ ] Sa[ ] 2 2 2 2
2
4
6
8 t
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4.5
傅里叶变换的性质
六、频移性质(Frequency Shifting Property)
If f (t) ←→F(jω) then
e
e
j 0 t
j 0t
f (t ) F [j( 0 )]
j t
where “ω0” is real constant. Proof:
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意义：
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4.5
傅里叶变换的性质
For example
1 f(t) = ←→ F(jω) = ? jt 1
1 1 t e (t ) Ans: e (t ) j 1 j 1 1 2 e ( ) Using symmetry, jt 1
F j a
1 F j |a| a
j b b f (at – b) = f a ( t ) 1 e a F j a |a| a
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信号与系统 电子教案 For example F(jω) = ? Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) ←→ 6
j t
dt
a f1(t ) e
j t
dt
b f2(t ) e
j t
dt
= [a F1(jω) + b F2(jω) ]
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信号与系统 电子教案 For example F(jω) = ? Ans: f (t) = f1(t) – g2(t) f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω) g2(t) ←→ 2Sa(ω) ∴ F(jω) = 2πδ(ω) - 2Sa(ω)
2Sa(t ) 2g 2( )
Sa(t ) g 2( )
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1 ←→ F(jω) = ? f (t ) t t
'(t ) j
'
jt 2 '( ) 2 '( )
t j 2 ( )