第4讲 因式分解
第4讲 因式分解章末重难点题型(解析版)
第4讲因式分解章末重难点题型【题型通关】【考点1 因式分解的概念】【方法点拨】掌握因式分解：（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.【例1】（鄞州区期中）下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣1＝x（x−1 x）C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xD．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）【分析】直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．【解答】解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是多项式乘法，故此选项错误；B、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；C、x2﹣4+3x＝（x+4）（x﹣1），故此选项错误；D、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了因式分解的意义．正确把握因式分解的定义是解题的关键．【变式1-1】（东台市期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的为（）A．（2x﹣1）（x+3）＝2x2+5x﹣3B．a4+4＝（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）C．﹣6a2b＝﹣2a2•3bD．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B、从左到右的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；C、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．【变式1-2】（高新区校级月考）下列变形属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x﹣1＝x（1−1x）（x≠0）C．x3+2x2+1＝x2（x+2）+1D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．【变式1-3】（淮安区期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A．2x+4y+1＝2（x+2y）+1B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4C．x（x﹣10）＝x2﹣10x D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A不合题意；B、是整式的乘法，故B不合题意；C、是整式的乘法，故C不合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．【考点2 因式分解—提公因式法】【方法点拨】确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；【例2】（碑林区校级月考）多项式：①16x2﹣8x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x分解因式后，结果中含有相同因式的是（）A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③【分析】首先把各个多项式分解因式，即可得出答案．【解答】解：①16x2﹣8x＝8x（2x﹣1）；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4＝（x﹣1﹣2）2＝（x﹣3）2；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2＝[（x+1）2﹣2x]2＝（x2+1）2；④﹣4x2﹣1+4x＝﹣（2x﹣1）2；∴结果中含有相同因式的是①和④；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的方法以及公因式；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【变式2-1】（唐河县期末）如果多项式−15abc+15ab2﹣a2bc的一个因式是−15ab，那么另一个因式是（）A．c﹣b+5ac B．c+b﹣5ac C．c﹣b+15ac D．c+b−15ac【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解，本题提取公因式−15ab．【解答】解：−15abc+15ab2﹣a2bc=−15ab（c﹣b+5ac），故另一个因式为（c﹣b+5ac），故选：A．【点评】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，提取公因式后剩下的因式是用原多项式除以公因式所得的商得到的．【变式2-2】（﹣2）2021+（﹣2）2020的值为（）A．﹣2B．﹣22020C．﹣22019D．﹣24039【分析】直接找出公因式进而提取分解因式即可．【解答】解：（﹣2）2021+（﹣2）2020＝（﹣2）2020×（﹣2+1）＝﹣22020．故选：B ．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【变式2-3】（安居区期末）化简：a +1+a （a +1）+a （a +1）2+…+a （a +1）99＝ ．【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝（a +1）[1+a +a （a +1）+a （a +1）2+…+a （a +1）98]＝（a +1）2[1+a +a （a +1）+a （a +1）2+…+a （a +1）97]＝（a +1）3[1+a +a （a +1）+a （a +1）2+…+a （a +1）96]＝…＝（a +1）100．故答案为：（a +1）100．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．【考点3 因式分解—公式法】【方法点拨】概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．【例3】（乳山市期中）下列各式：①﹣x 2﹣y 2；②−14a 2b 2+1； ③a 2+ab +b 2； ④﹣x 2+2xy ﹣y 2；⑤14−mn +m 2n 2，用公式法分解因式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．【解答】解：①﹣x 2﹣y 2＝﹣（x 2+y 2），因此①不能用公式法分解因式；②−14a 2b 2+1＝1﹣（12ab ）2＝（1+12ab ）（1−12ab ），因此②能用公式法分解因式； ③a 2+ab +b 2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；④﹣x 2+2xy ﹣y 2＝﹣（x 2﹣2xy +y 2）＝﹣（x ﹣y ）2，因此④能用公式法分解因式；⑤14−mn +m 2n 2＝（12−mn ）2，因此⑤能用公式法分解因式； 综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故选：B．【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的结果特征是应用的前提．【变式3-1】（鱼台县期末）已知9x2﹣mxy+16y2能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（）A．12B．±12C．24D．±24【分析】这里首末两项是3和4y个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y乘积的2倍，故：m ＝±24．【解答】解：∵（3x±4y）2＝9x2±24xy+16y2，∴在9x2+mxy+16y2中，m＝±24．故选：D．【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【变式3-2】（厦门期末）运用公式a2+2ab+b2＝（a+b）2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解，公式中的a 可以是（）A．2x2B．4x2C．2x D．4x【分析】直接利用完全平方公式得出答案．【解答】解：∵4x2+4x+1＝（2x）2+2×2x+1＝（2x+1）2，∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：2x．故选：C．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键．【变式3-3】（北碚区期末）若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（）A．﹣25B．﹣15C．15D．20【分析】直接利用完全平方公式分解因式求出答案．【解答】解：4x2+kx+25＝（2x+a）2，当a＝5时，k＝20，当a＝﹣5时，k＝﹣20，故k+a的值可以是：﹣25．故选：A．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．【考点4 因式分解（提公因式与公式法综合）】【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。
2017(学生)八下第4章 因式分解讲义
第1课时 因式分解（1）提公因式法学习目标：1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
2、熟练运用提取公因式法分解因式。
学习重点:理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。
学习难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。
学习过程：因式分解概念：像这样把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，称作因式分解。
对象：多项式 结果：整式的乘积形式因式分解和多项式的乘法的区别:(1)因式分解是将多项式的和差化为几个整式积的形式。
（2）多项式的乘法（计算）是将几个整式积化为几个单项式的和差（多项式）。
（3）因式分解与整式乘法是互逆的两个变形过程。
思考：整式的乘法与因式分解的关系1、因式分解整式的乘法 2、利用整式的乘法检验因式分解的正确性。
辩一辩：判断下列各式是不是因式分解，为什么？⑴ 12x 3y 2=3x 3·4y 2⑵ 5x-5y+5z=5(x-y+z)⑶ax+bxy-xy=ax+xy(b-1) ⑷a 2-b 2=(a-b)·(a+b)说明：1、等式左边是多项式，右边是整式的乘积形式;2、因式分解一般分解到不能再分解为止。
二、 新知 mc mb ma ++=()c b a m ++想学习这样分解因式的方法吗？这种方法就是提取公因式法公因式：多项式mc mb ma ++中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式。
根据多项式和提供的整式，寻找出下面多项式的公因式。
① 3a+3b ② 3a 2-9ab ③ 21x 2y 2+7x 2y3 , a , b 3a 2 , 3ab , 3a 21xy , 7x 2y , 7x 2y2④ -x 3y 2+3xy 2-xy ⑤ x(x-y)2-y(x-y)xy ，-xy , 3xy x(x-y) , y(x-y) , (x-y)寻找公因式的方法：⑴ 取多项式中各项系数的最大公约数作为公因式中的数字因式。
⑵ 各项中的相同字母（或多项式）作为公因式中的字母（或多项式），并取它们的最低次幂。
初中培优竞赛 第4讲 因式分解
7.
(2 、 3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）
若x 3 +3x2 − 3x + k 有一个因式是 x + 1, 求 k 的值 分析：因为x 3 +3x2 − 3x + k有一个因式是x + 1，那么我们分组分解，保证每一个组里都含 有因式x + 1. 详解： x 3 +3x2 − 3x + k = x 3 + x 2 +2x2 + 2x − 5x − 5 + 5 + k = x 2 x + 1 + 2x x + 1 = (x + 1)(x2 + 2x − 5) + (k + 5). 所 以 k = −5. 技巧：原式有一个因式，那么我们保证含有未知数的几组中都含有这个因式，得解.
2 3 n 2
= =
n 2n2 + 3n + 1 2
n(n+1)(2n+1) 2
.因
因为 n， n+l 是连续自然数，必有一个是偶数，所以 N 一定是整数 . (2) 当n = 3k（k 是自然数）时，N 是 3 的倍数；当n = 3k + 1（k 是自然数）时， 2n + 1 = 3(2k + 1)，N 是 3 的倍数；当n = 3k + 2（k 是自然数）时， n + 1 = 3(k + 1)，N 是 3 倍 数. 综上所述，对任何自然数 n ， N 都是 3 的倍数 . 技巧：我们把原式因式分解，再分情况讨论，能很简便解题.
答案：B 技巧：此题我们可以先移项，再通过合并同类项从而因式分解，然后根据题意分析. 易错点：得到结果后，x、y 的结果可以互换，所以答案不能为 A.
中考数学专题复习第4讲因式分解(含详细答案)
第四讲 因式分解 【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ．思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n ∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩， 故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）（ ） （ ）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4． 点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练5．（•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】1．（•临沂）分解因式4x-x 2= ．1．x （4-x ）2．（•滨州）分解因式：5x 2-20= ．2．5（x+2）（x-2）3．（•泰安）分解因式：m 3-4m= ．3．m （m-2）（m+2）4．（•莱芜）分解因式：2m 3-8m= ．4．2m （m+2）（m-2）5．（•东营）分解因式：2a 2-8b 2= ．5．2（a-2b ）（a+2b ）6．（•烟台）分解因式：a 2b-4b 3= ．6．b （a+2b ）（a-2b ）7．（•威海）分解因式：-3x 2+2x-13= ． 7．21(31)3x --8．（•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（） A ．x 2+x+1 B ．x 2+2x-1 C ．x 2-1D ．x 2-6x+9 1．D2．（•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1） 2．C3．（•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是 ．4．x-15．（•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。
数学：人教版八年级上册《因式分解》
7．分解因式：27x2＋18x＋3. 3(3x＋1)2
8．分解因式：4x(x＋y)＋y2. (2x＋y)2
【解析】ax2－ay2＝a(x2－y2)＝a(x＋y)(x－y)．
【答案】C
2．(2010·安徽)下列因式分解错误的是( ) A．x2－y2＝(x＋y)(x－y) B．x2＋6x＋9＝(x＋3)2 C．x2＋xy＝x(x＋y) D．x2＋y2＝(x＋y)2
【解析】D 项中，将等号的右边展开为 x2＋2xy＋y2≠x2＋y2.
第 4 讲 因式分解
考点知识精讲 中考典型精析 举一反三
考点训练
考 点 因式分解 1．因式分解的定义及与整式乘法的关系 (1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算就是因式分解． (2)因式分解与整式乘法是互逆运算．
2．因式分解的常用方法 (1)提公因式法 如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式． 提公因式法用公式可表示为 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其分解步骤为： ①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积． ②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． (2)运用公式法 将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式，这种方法叫做公式法，即 a2－b2＝(a＋ b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
C．－x2＋4y2
D．a2＋ab＋b2
(2)若 x2＋2(m－3)x＋16 是完全平方式，则 m 的值是( )
第4讲 一元二次方程的解法-因式分解法
一元二次方程的解法(四)----因式分解法知识要点梳理:1.分解因式的方法有：提公因式法、利用平方差公式分解因式、利用完全平方公式分解因式、十字相乘法、分组分解法等2.因式分解法解一元二次方程的原理：000==⇔=b a ab 或预习引入：将下列各式分解因式（1）y y 22-（2）942-x （3）2222+-x x（4）862+-x x（5）y y x x 2422--+经典例题例1：用因式分解法解下列方程：(1) t (2t －1)＝3(2t －1)；(2) y 2＋7y ＋6＝0(3)(2x －1)(x －1)＝1．（4）0)34()43(22=---x x例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1； (4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．例3．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ； (2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．经典练习：一．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 *(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题(1)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(2)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．三．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256； (3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0； (5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9； (7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0； (9)2x2－8x＝7(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．拓展练习1．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求y x yx +-的值．2．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．3．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ， 则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗巩固作业：1．分别用三种方法来解以下方程（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0用因式分解法：用配方法：用公式法：用因式分解法：用配方法：用公式法：2．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．3.当x取何值时，能满足下列要求？（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.4.一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．。
初二-第04讲-因式分解(提高)-教案
第04讲因式分解温故知新回忆：因式分解的一般方法：1、提公因式法2、公式法3、十字相乘法智慧乐园课题扩展：因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，也是处理数学问题的重要手段和工具，学习因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法等基本方法外，还要熟悉一些特殊的方法和技巧。
一、巧拆项在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或某几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。
二、巧添项在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可使问题化难为易。
三、巧换元在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，从而使问题化繁为简，迅速获解。
四、展开巧组合若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可展开重新组合，然后再用基本方法分解。
五、巧用主元对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，可以其中一个字母为主元进行变形整理。
知识要点一因式分解1、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
2、因式分解与整式乘法的关系如果把整式乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的因式分解看成一个变形过程，那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。
3、公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
4、确定公因式的方法：确定公因式的一般步骤：（1）如果多项式的第一项系数是负数，应把公因式的符 号取“—”；（2）确定公因式的数字因数：当各项系数都是整数时，取多项式各项系 数的最大公约数为公因式的系数；（3）确定公因式的字母及其指数：取多项式各项都 含有的相同字母（或因式），其指数取最低次。
5、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
近世代数第四章整环里的因式分解
第四章整环里的因式分解§1. 素元、唯一分解本讲中, 总假定为整环, 为的商域.1. 整除定义1 设D为整环, Db,, 如果存在Da∈c∈, 使得则称整除, 记作; 并称是的一个因子, 是的倍元.•整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质.•整除有下列常用的性质:(1) 如果, , 则;(2) 如果, , , 则.2.相伴定义2整环D的一个元叫做D的一个单位，假如是一个有逆元的元。
元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：定理１两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位.例１因为整数环的单位仅有１与-１，故任一非零元有２个相伴元：与a-.例２有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元：定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子.３. 素元定义4 设D为整环，Dp∈，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元.定理２单位ε与素元的乘积也是一个素元.定理３整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是：，这里，都不是单位.推论设，并且有真因子：.则也是的真因子.定义5 我们称一个整环D的元在D中有唯一分解，如果以下条件被满足：(i) (为D的素元)(ii) 若同时有（为的素元）则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.例３给整环.那么有：(1)的单位只有.(2)适合条件的元一定是素元.首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子：那么但不管，是何整数，或４若，则是单位.若，则而为单位.因而是的相伴元.从而只有平凡因子，故是素元.(3)没有唯一分解：我们有(A) ,,故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是２的相伴元，因而给出了４的两种不同分解从而４没有唯一分解. 这说明并不是任意整环中的非零和非单位的元都有唯一分解.$2. 唯一分解环定理１一个唯一分解环有以下性质：若一个素元能够整除，则有整除或.定理２做定整环有如下性质：(i)的每一个非零非单位的元都有一个分解.（为的素元）(ii)的一个素元若能够整除，则有整除或，则一定是一个唯一分解环.定义6 元叫做的公因子，如果.定理３一个唯一分解环的两个元和在里一定有最大公因子.和的两个最大公因子和只能差一个单位因子：（是单位).推论一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子.的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义一个唯一分解环的元称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.$3. 主理想环引理１设是一个主理想环.若在序列里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理２设是一个主理想环，那么的任一素元生成一个最大理想.定理一个主理想环是一个唯一分解环.证：我们证明是一个唯一分解环.设且不是零也不是单位.若不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$４.１的推论，都是的真因子.的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，则一定有一个真因子也没有分解.这样，在没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理１，这是不可能的，所以一定有分解.即满足$４.２定理２中的条件(i).又设的素元能整除的元乘积，那么这就是说在剩余类环里，所代表的类与o所代表的类相同：由引理２，是最大理想，因而由$３.９的定理，是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或从而或，故也满足$４.２定理２的条件(iii).因而是一个唯一分解环.$4. 欧氏环定义一个整环叫做一个欧氏环，如果(i)有一个从的非零元所作成的集合－｛０｝到全体非负整数作成的集合的映射存在；(ii)任意给定的一个非零元，的任何元都可以写成的形式，这里有或例整数环是一个欧氏环.因为：定理１是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数，则任何整数都可写成这里或上面定义中的映射称为欧氏映射.定理１每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环.证明设为欧几里德环的任一理想, 为欧氏映射.(1) 如果, 则.(2) 如果, 令则非空, 且. 设, 使得为中的最小数, 下证.任给, 因为, 所以存在, 使得. 于是, .如果, 则, 与的选取矛盾. 所以, , 则, 于是. 由的任意性可知.又, 所以, 从而.这就证明了, 的任一理想都是主理想, 故为主理想整环.定理２整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理３一个域上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环.$５. 多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环上的一元多项式环.我们称的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.定义的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A)的单位是的仅有的单位.(B)一个本原多项式不会等于零.(C)若本原多项式可约，那么且有（表示的次数）引理1 设，那么是本原多项式的充分且必要条件是和都是本原多项式.设是的商域，那么多项式环是唯一分解环.引理2 的每一个非零多项式都可以写成的形式，这里是的本原多项式.如果也有的性质，那么，（为的单位）引理3 的一个本原多项式在里可约的充分必要条件是在里可约.引理4 的次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有定理如果是唯一分解环，，则也是唯一分解环.$６. 因子分解与多项式的根定义整环的元叫做的多项式的一个根，如果有定理１是的一个根的充分且必要条件是整除定理２的个不同的元都是的根的充分且必要条件是整除推论若的次数为，则在中至多有个根.定义的元叫做的一个重根，如果能被整除，这里是大于1的整数.定义由多项式唯一决定的多项式叫做的导数.导数适合如下计算规则：,定理３的一个根是一个重根的充分且必要条件是整除推论设是唯一分解环.的元是的一个重根的充分且必要条件是：能整除和的最大公因子.。
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类型三 因式分解在解答题中的应用
1 1 1 给出三个多项式： x2＋2x－1， x2＋4x＋1， x2－2x.请选择你最喜欢的两个多项 2 2 2 式进行加法运算，并把结果因式分解．
【点拨】此题为开放性试题，应先进行代数式的运算，再进行分解因式．
1 1 【解答】① x2＋2x－1＋ x2＋4x＋1＝x2＋6x＝x(x＋6)． 2 2 1 1 ② x2＋2x－1＋ x2－2x＝x2－1＝(x＋1)(x－1)． 2 2 1 1 ③ x2＋4x＋1＋ x2－2x＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2. 2 2
)
解析：原式＝2(x2－4x＋4)＝2(x－2)2. 答案：C
4．下列因式分解错误的是( ) 2 2 A．x －y ＝(x＋y)(x－y) B．x2＋6x＋9＝(x＋3)2 C．x2＋xy＝x(x＋y) D．x2＋y2＝(x＋y) 2
解析：注意选的是“错误”的，x2＋y2这个多项式不能进行因式分解． 答案：D
解析： A选项 2x不是原多项式的公因式； B选项提取“－”号，括号里的各项都应该变 号； D选项的变形不属于分解因式． 答案：C
二、填空题 9．分解因式：x2－9＝________.
解析：考查利用平方差公式分解因式． 答案：(x－3)(x＋3) 10．分解因式：x2－x＝________. 解析：考查利用提取公因式法分解因式． 答案：x(x－1) 11．分解因式：ax2－ay2＝________. 解析：考查利用提取公因式法和运用公式法分解因式． 答案：a(x＋y)(x－y) 12．分解因式：x2＋2x＋1＝________. 解析：考查利用完全平方公式分解因式． 答案：(x＋1)2
1．分解因式：a2－3a＝________. 解析：原式＝a(a－3)． 答案：a(a－3) 2．分解因式：x3－xy2＝________. 解析：原式＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)． 答案：x(x＋y)(x－y) x(x y)(x y) 3．分解因式：x3y－2x2y2＋xy3＝________. 解析：原式＝xy(x2－2xy＋y2)＝xy(x－y)2. 答案：xy(x－y) 2
4．(2010·台州)因式分解：x2－16＝________. 解析：考查平方差公式分解因式． 答案：(x＋4)(x－4) 5．(2008·义乌)因式分解：xy2－4x＝________. 解析：注意分解彻底． 答案：x(y＋2)(y－2) 6．(2009·湖州)分解因式：a3－4a＝________. 解析：注意分解彻底． 答案：a(a＋2)(a－2)
一、选择题 1．把多项式ax2－ax－2a分解因式，下列结果正确的是( A．a(x－2)(x＋1) B．a(x＋2)(x－1) C．(ax－2)(ax＋1) D．a(x－1) 2
)
解析：原式＝a(x2－x－2)＝a(x－2)(x＋1)．也可利用因式分解与整式乘法的互逆关系从 被选项展开与ax2－ax－2a对比选择．
解析：平方差公式的特征：两项式、性质符号相反、都是平方项． 答案：C
7．下列式子中是完全平方式的是( A．a2＋ab＋b2 B．a2＋2a＋2 C．a2－2b＋b2 D．a2＋2a＋1
)
解析：完全平方公式的特征：首平方、尾平方、积的2倍夹中央且首平方和尾平方的性 质符号相同．
答案：D
8．下列分解因式正确的是( ) 2 A．2x －xy－x＝2x(x－y－1) B．－xy2＋2xy－3y＝－y(xy－2x－3) C．x(x－y)－y(x－y)＝(x－y) 2 D．x2－x－3＝x(x－1)－3
三、解答题 18．分解因式： (1)x2y－4y; (2)2x2－12x＋18； (3)x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2.
解：(1)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)． (2)原式＝2(x2－6x＋9)＝2(x－3)2. (3)原式＝x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)]＝x(x＋y)(x－y－x－y)＝－2xy(x＋y)． 19．给出三个整式a2，b2和2ab. (1)当a＝3，b＝4时，求a2＋b2＋2ab的值； (2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够 因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程． 解：(1)原式＝(a＋b) 2＝(3＋4)2＝49. (2)答案不唯一，例如： 若选a2、b2，则a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 若选a2、2ab，则a2±2ab＝a(a±2b)．
3．因式分解的一般步骤 (1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公式来分解； (3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
类型一 因式分解在选择题中的应用
(1)把代数式 mx2－6mx＋9m 分解因式，下列结果中正确的是( A．m(x＋3)2 B．m(x＋3)(x－3) C．m(x－4) 2 D．m(x－3)2 1 (2)若 x＝1，y＝ ，则 x2＋4xy＋4y2 的值是( ) 2 3 1 A．2 B．4 C. D. 2 2 (3)把 x2＋3x＋c 分解因式得：x2＋3x＋c＝(x＋1)(x＋2)，则 c 的值为( A．2 B．3 C．－2 D．－3 )
1．分解因式：x2－x＝________. 【解析】原式＝x(x－1)． 【易错警示】分解因式时，当某一项被全部提出后，要用“1”代替． 2．分解因式：－x3＋2x2－x＝________. 【解析】原式＝－(x3－2x2＋x)＝－x(x－1)2.
【易错警示】当首项系数为负数时，应先把“一”提出来，还要注意分解彻底．
9．(2010·嘉兴)因式分解：2mx2－4mx＋2m＝________.
解析：注意提公因式时要提彻底． 答案：2m(x－1)2
知识点
因式分解
1．因式分解的定义及与整式乘法的关系 (1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算就是因式分解． (2)因式分解与整式乘法是互逆运算． 2．因式分解的常用方法 (1)提公因式法 如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式． 提公因式法用公式可表示为 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其分解步骤为： ①确定多项式的公因式： 公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积． ②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． 提公因式法常用的变形：a－b＝－(b－a)，(a－b)n n (b－a) (n为偶数) ＝ n －(b－a) (n为奇数). (2)运用公式法 将乘法公式反过来对某些多项式分解因式， 这种方法叫公式法， a2－b2＝(a＋b)(a－b)， 即 2 2 2 a ±2ab＋b ＝(a±b) .
答案：A
2．把代数式3x3－6x2y＋3xy2分解因式，结果正确的是( A．x(3x＋y)(x－3y) B．3x(x2－2xy＋y2) C．x(3x－y)2 D．3x(x－y) 2 )
解析：原式＝ 3x(x2－ 2xy＋ y2)＝ 3x(x－ y)2. 答案：D
3．把多项式2x2－8x＋8分解因式，结果正确的是( A．(2x－4)2 B．2(x－4)2 C．2(x－2) 2 D．2(x＋2)2
1．把多项式x3－2x2＋x分解因式结果正确的是( A．x(x2－2x) B．x2(x－2) C．x(x＋1)(x＋1) D．x(x－1)2
)
答案：D 2．分解因式：a2－ab＝________. 答案：a(a－b) 3．分解因式：4a2－1＝________. 答案：(2a＋1)(2a－1) 4．分解因式：a2＋4a＋4＝________. 答案：(a＋2)2 5．分解因式：ax2－ay2＝________. 答案：a(x＋y)(x－y)
【点拨】在分解因式时，①要先考虑用提公因式法，若不能再用公式法；②用公式法分 解时一定要先化成标准形式，再用公式分解；③要有整体思想，分解要彻底．
【解答】(1)原式＝a(a－1)． (2)原式＝2a(a2－4)＝2a(a＋2)(a－2)． (3)ax2＋2axy＋ay2＝a(x2＋2xy＋y2)＝a(x＋y)2. (4)原式＝(x＋y)(x＋y－3)．
7．(2008·金华)如果x＋y＝－4.x－y＝8，那么代数式x2－y2的值是________． 解析：考查“分解因式”在求“代数式的值”中的应用． 答案：－32
8．(2009·杭州)在实数范围内因式分解x4－4＝________.
解析：注意分解彻底和题目要求．
答案：(x2＋2)(x＋ 2)(x－ 2)
)
【点拨】(1)题考查分解因式的一般步骤：一提二用三查．mx2－6mx＋9m＝m(x2－6x＋ 9)＝m(x－3)2. (2)题考查利用因式分解求代数式的值． (3)题主要考查因式分解和整式乘法互为逆运算．
【答案】(1)D (2)B (3)A
类型二 因式分解在填空题中的应用
(1)分解因式：a2－a＝________. (2)分解因式：2a3－8a＝________. (3)分解因式：ax2＋2axy＋ay2＝________. (4)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)＝________.
5．把x3－2x2y＋xy2分解因式，结果正确的是( A．x(x＋y)(x－y) B．x(x2－2xy＋y2) C．x(x＋y) 2 D．x(x－y) 2
)
解析：原式＝x(x2－2xy＋y2)＝x(x－y) 2. 答案：D
6．下列多项式中，能用公式法分解因式的是( A．x2－xy B．x2＋xy C．x2－y2 D．x2＋y2 )
16．在实数范围内分解因式：x4－4＝________.
解析：原式＝(x2－2)(x2＋2)＝(x2＋2)(x＋ 2)(x－ 2)，注意此题要求“在实数范围内” 分解．
答案：(x2＋2)(x＋ 2)(x－ 2) 17．若m2－2m＝1，则2m2－4m＋2 011的值是________．
解析：原式＝ 2(m2－ 2m)＋ 2 011＝ 2×1＋ 2 011＝ 2 013，整体代入法． 答案：2 013