2016-2017年九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程课件
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二次函数与一元二次方程(第1课时)PPT课件
(1) h和t的关系式是什么？
解 :1 .h 5 t24t.0
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交
流. ①图象法
②解方程 -5t2+40t=0
议一议 二次函数与一元二次方程
画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(1)2.个,1个,0个程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验 证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x
轴下方的条件是（ D ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
小结 拓展 我思考，我进步
一个关系：二次函数图象与一元二次
我 方程根的关系:
们
函数
方程
的 收
y=ax2+bx+c(a≠0)
9
想一想 二次函数与一元二次方程
思考在本节一开始的小球上抛问题中,
何时小球离地面的高度是60m?你是如 何知道的? 能否达到80米？100米呢？
结论3 当y取定值时，二次函数可转
化为一元二次方程。
解 :1 .h 5 t24t.0
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交
流. ①图象法
②解方程 -5t2+40t=0
议一议 二次函数与一元二次方程
画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(1)2.个,1个,0个程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验 证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x
轴下方的条件是（ D ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
小结 拓展 我思考，我进步
一个关系：二次函数图象与一元二次
我 方程根的关系:
们
函数
方程
的 收
y=ax2+bx+c(a≠0)
9
想一想 二次函数与一元二次方程
思考在本节一开始的小球上抛问题中,
何时小球离地面的高度是60m?你是如 何知道的? 能否达到80米？100米呢？
结论3 当y取定值时，二次函数可转
化为一元二次方程。
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》这一节的内容，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是一元二次方程的求解方法和应用，通过引导学生利用二次函数的性质来解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。
教材中首先介绍了二次函数与一元二次方程的关系，引导学生理解二次函数的图像与一元二次方程的解的关系。
接着，教材通过具体的例子，讲解了一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
最后，教材又通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的求解方法和应用，可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生利用已学的二次函数知识，来理解和掌握一元二次方程的知识。
三. 说教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，理解一元二次方程的解的性质。
2.让学生掌握一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
3.培养学生利用二次函数和一元二次方程解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。
2.教学难点：引导学生理解一元二次方程的根的判别式，以及如何应用一元二次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、引导法、讨论法等教学方法，通过多媒体课件、教学实物等教学手段，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次函数的图像和性质，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系。
2.讲解：讲解一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
3.应用：通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。
九年级数学二次函数与一元二次方程公开课课件
方程有两不相
函数与x轴有一个交点 根
方程有两相等
函数与x轴没有交点 方程没有根
方程的根的情况是由什么决定的？
判别式b2－4ac的符号
结论：
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能 给我们什么样的结论？
（1）b2－4ac＞0 点
函数与x轴有两个交
（2）b2－4ac＝0 点
函数与x轴有一个交
（3）b2－4ac＜0 函数与x轴没有交点
有两个交点
b2-4ac = 0
有两个相等的实数根
有一个交点
b2-4ac < 0
没有实数根
没有交点
跟踪练习一
1 . 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是（-2，0）、（3，0）。
2.抛物线y=x2-4x+4与轴有 一 个交点，坐标是 （2，0） 。
友情提示：二次函数有哪几种表达形式？
例2 ：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（2,0）
并经过点M（0,2），求抛物线的解析式？
思考： 你能用什么方法做呢? 哪个方法更好?
y
解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－2）
x
因为 点M( 0,2 )在抛物线上
o
所以：a(0+1)(0-2)=2 得 ： a=-1
5.若函数 y mx2 6x 1图象与x 轴是只有一个公共点,求m
的值解.：∵ 图象与x 轴是只有一个公共点 则△=0
即 36-4m=0 ∴ m=9
想一想 议一议
若一元二次方程ax 2+bx+c=0两个根为x 1 , x2 则一 元二次方程可化为 (x-x1)(x-x2)=0 若二次函数y=ax 2+bx+c的图象和x轴交点坐标(X1 ,0) (方X法2 称,0为),则二二次次函函数数的的交表点达式式。可表示为Y=a(x-x1)(x-x2)这种表示
二次函数与一元二次方程ppt课件
垂直于直线x=2于点E.
在Rt△AQF中,
AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,
BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,
∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2).
数学
返回目录
(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
一个交点的横坐标为1,则另一个交点的横坐标为
A.-1
B.-2
C.2
D.3
D(
)
数学
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2.抛物线y=x2+4x+5-m与x轴有两个不同的交点,则m的取值
范
(
围
)
A.m<-1
B.0<m≤1
C.m<1
D.m>1
D
是
数学
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3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x
∴两个交点之间的距离为1-(-3)=4,故选C.
答案:C
数学
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▶▶ 对应练习
1.抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为 ( B
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
)
数学
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2.已知二次函数y=(m-1)x2+3x-1与x轴有交点,则m的取值范
D
围是
(
)
5
A.m>4
5
C.m>- 且m≠1
A,B,∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),
在Rt△AQF中,
AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,
BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,
∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2).
数学
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(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
一个交点的横坐标为1,则另一个交点的横坐标为
A.-1
B.-2
C.2
D.3
D(
)
数学
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2.抛物线y=x2+4x+5-m与x轴有两个不同的交点,则m的取值
范
(
围
)
A.m<-1
B.0<m≤1
C.m<1
D.m>1
D
是
数学
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3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x
∴两个交点之间的距离为1-(-3)=4,故选C.
答案:C
数学
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▶▶ 对应练习
1.抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为 ( B
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
)
数学
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2.已知二次函数y=(m-1)x2+3x-1与x轴有交点,则m的取值范
D
围是
(
)
5
A.m>4
5
C.m>- 且m≠1
A,B,∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),
九年级数学《用函数观点看一元二次方程》课件
A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 D．－1＜x＜3
C．x＜－1或x＞3
3.二次函数的图象 y kx2 6x 3
的取值范围是【 】
与轴有交点，则
A. k 3 B k 3且k 0 C k 3 D k 3且k 0
4.下列命题：
①若 a b c ，0
②若 b a c
③若b 2a 3c
x
交
二
轴次
的函
交数 点与
点
两个交点 一个交点 没有交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解
1、二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点横坐 标是（ A ） A：2和-3 B：-2和3 C：2和3 D：-2和3
2、已知实数s、t，且满足s2+s-2006=0， t2+t-2006=0，那么二次函数y=x2+x-2006的 图象大致是（ B ）
y x2 6x 9
y x2 x 1
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?
2.2个根,2个相等的根, 无实数根.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
1.二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图4所示，则下列
说法不正确的是（ ）
A b2 4ac 0 B a 0
C c0
D
b 0 2a
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
九年级数学下册：二次函数与一元二次方程课件2(共9张PPT)
方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.
第六页，共9页。
一元二次方程的图象解法
(1)用描点法作二次函数y=-2x2+4x+1的图象； (2)观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴 的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一 个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2 和2.2.
的交点的横坐标；
由图象可知,它Leabharlann 有两个交点,其横坐标一个在-5 与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(如何更准确估计近似值？) (4) 借助计算器确定方程x2+2x-10=3的方程的 近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
第四页，共9页。
创新解法
一元二次方程的图象解法
(1) 原方程可变形为x2+2x-13=0；
(2) 用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点 的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-
5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和 2.7.
(4) 借助计算器确定方程x2+2x-10=3的近似根 为:x1≈-4.7,x2≈2.7.;
(3）确定方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
第七页，共9页。
归纳小结、说一说
既可以用求根公式求
二次方程的根，也可
以通过画二次函数图
象来估计一元二次方
程的根
第八页，共9页。
作业布置：
习题2.8 1题
第九页，共9页。
第六页，共9页。
一元二次方程的图象解法
(1)用描点法作二次函数y=-2x2+4x+1的图象； (2)观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴 的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一 个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2 和2.2.
的交点的横坐标；
由图象可知,它Leabharlann 有两个交点,其横坐标一个在-5 与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(如何更准确估计近似值？) (4) 借助计算器确定方程x2+2x-10=3的方程的 近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
第四页，共9页。
创新解法
一元二次方程的图象解法
(1) 原方程可变形为x2+2x-13=0；
(2) 用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点 的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-
5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和 2.7.
(4) 借助计算器确定方程x2+2x-10=3的近似根 为:x1≈-4.7,x2≈2.7.;
(3）确定方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
第七页，共9页。
归纳小结、说一说
既可以用求根公式求
二次方程的根，也可
以通过画二次函数图
象来估计一元二次方
程的根
第八页，共9页。
作业布置：
习题2.8 1题
第九页，共9页。
数学九年级下28《二次函数与一元二次方程》课件PPT(共16张PPT)
的图
象是的3、是与1（下x列轴函D）的数交的点图．象有中（，5与个，0x，）轴没其有坐公标共点
(A)yx22 (B)yx2 x
(C)yx26x9 (D)yx2x2
第九页，共15页。
4、已知二次函数(hánshù)y=x2-4x+k+2与x 轴有公共点，求k的取值范围.
第十页，共15页。
?
例1. 已知二次函数 yx2kxk-2
和X轴的正半轴相交于A，B两点，和y轴相交于点C ∠ABC= ∠ACO
y 根据(gēnjù)一元二次方程
二次函数(hánshù)与一元二次方程
的根的情况，
判断二次函数
4
图象与x轴的位置关系。
3 （-5，0）、（1，0）
y
4
3
2 2 8《二次函数与一元二次方程》课件ppt
的图像(tú xiànɡ)与X轴交于A，B两点，与y轴交于C点，线段OA与OB的长的积等于6
能推广到一般的一元二次方程和二次函数吗？
第七页，共15页。
联想发散
当a>0时，方程ax2+bx+c=0的根 与函数y=ax2+bx+c的图象(tú xiànɡ)之间的关系
△=b2-4ac
△>0
△=0
△<0
ax2+bx+c=0 （a>0）
b b2 4ac
x1,2
2a
x1
x2
b 2a
方程(fāngchéng)无实
3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ） ax2+bx+c=0（a>0）
问题：一元二次方程的根与图象(tú xiànɡ)和x轴交点坐标有什么关系 ？
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所以通过图象求得的一元二次方程的根，一般是近似的，且有
时需要用计算器来估算方程的近似解.
【例2】（2014佛山）利用二次函数的图象估计一元二次方程
x2-2x-1=0的近似根.(精确到0.1)
解析 根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交 点的横坐标就是相应的方程的解. 解 ∵二次函数y=x2-2x-1中a=1＞0，
∴抛物线开口方向向上，对称轴x=-b2a=1. 如图X2-5-2：
x2-2x-1=0的近似根x1=-0.4，x2=2.4.
举一反三
1. 小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图X2-5-
3所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个
近似根（精确到0.1）为 A. 4.4 B. 3.4 C. 2.4 D. 1.4 （ D ）
第二章
5
二次函数
二次函数与一元二次方程
课前预习
1. （2015苏州）若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过 点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解
为
A. x1=0，x2=4 B. x1=1，x2=5 C. x1=1，x2=-5 D. x1=-1，x2=5
（ D ）
2. 已知二次函数y=x2+2x-10，小明利用计算器列出了下表：
新知2
用图象法求一元二次方程的根
用图象法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的一 般步骤： (1)作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象. (2)观察图象，确定抛物线与x轴的公共点的横坐标. (3)所确定的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的解. 注意：通过图象法求解时由于作图或观察可能存在误差，
那么方程x2+2x-10=0的一个近似根是 A. -4.1 B. -4.2 C. -4.3
（ D. -4.4
）
3． 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，那么一 元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是___________________． 有两个不相等的实数根 4． 二次函数y=x2-3x的图象与x轴的交点坐标为 ________________． (0，0)，(3，0)
点，
∴一元二次方程 ∴1-4× 解得c＜ 为x1，x2， ∵两交点间的距离为2，∴x1-x2=2. 又由题意，得x1+x2=-2. 解得x1=0，x2=-2. ∴ =x1·x2=0，即c的值为0.
x2+x+c=0的Δ =b2-4ac＞0.
c＞0.
.
（2）设抛物线y=
x2+x+c与x轴的两交点的横坐标分别
2.
根据下面表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，
b，c为常数）的一个解的范围是
（ C ）
A． 3＜x＜3.23 C． 3.24＜x＜3.25
B． 3.23＜x＜3.24 D． 3.25＜x＜3.26
举一反三
1. 二次函数y=mx2+x-2m（m是非0常数）的图象与x轴的交
点个数为
A. 0个 B. 1个
（ C） D. 1个或2个
C. 2个
2. 已知抛物线y=x2+bx+c的顶点在第三象限，则关于x的一 元二次方程x2+bx+c=0根的情况是 A. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 （ A ）
（1）求c的取值范围；
（2）抛物线y=
值.
解析 （1）根据抛物线y=
交点，可知一元二次方程y=
而可求出c的取值范围.
x2+x+c=0的Δ =b2-4ac＞0，进
（2）根据两交点间的距离为2，得到x1-x2=2，由题意又 可知x1+x2=-2，由此列式即可求出c的值.
解
（1）∵抛物线y=
x2+x+c与x轴有两个不同的交
bx+c当y=0时的特殊情形，所以一元二次方程与二次函数有着
必然联系. 因此，在研究一元二次方程时，应注意借助二次函 数求解；在研究二次函数时，也应考虑借助一元二次方程求解.
【例1】已知抛物线y=
x2+x+c与x轴有两个不同的交点. x2+x+c与x轴两交点的距离为2，求c的 x2+x+c与x轴有两个不同的
名师导学
新知1
二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋ c＝0的关系
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当y=0时，就是一元二
次方程ax2+bx+c=0. 因此，当抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二 次方程ax2+bx+c=0的根. 其关系如下表：
注意：由于一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+
B. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
3. 如图X2-5-1，已知关于x的二次函数y=x2+mx的图象经过
原点O，并且与x轴交于点A，对称轴为直线x=1. （ 2， 0） ； -2 ，点A的坐标为___________ （1）常数m=______ （2）若关于x的一元二次方程x2+mx=n（n为常数）有两个不 相等的实数根，求n的取值范围. 解：（1）-2 （2，0） （2）∵一元二次方程x2-2x=n有 两个不相等的实数根， ∴Δ =4+4n＞0. 解得n＞-1.