泰勒公式
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是微积分中一个非常重要的概念，它可以用来将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式。
这种展开式在数学和物理学中有着广泛的应用，可以用来近似计算函数在某一点的取值，也可以用来推导一些复杂的数学关系。
在本文中，我们将介绍泰勒公式的基本概念，并给出一些常见函数的泰勒展开式，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
泰勒公式的基本形式如下：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]其中，\( f(x) \) 是要展开的函数，\( a \) 是展开点，\( f'(a) \)、\( f''(a) \)、\( f'''(a) \) 分别是函数在点\( a \)处的一阶、二阶、三阶导数。
展开式右侧的无穷级数部分则是函数在点\( a \)处的泰勒展开式。
接下来，我们将给出一些常见函数的泰勒展开式。
1. 指数函数\( e^x \)的泰勒展开式：\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]2. 三角函数\( \sin x \)的泰勒展开式：\[ \sin x = x \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \frac{x^7}{7!} + \cdots \]3. 对数函数\( \ln(1+x) \)的泰勒展开式：\[ \ln(1+x) = x \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \frac{x^4}{4} + \cdots \]4. 余弦函数\( \cos x \)的泰勒展开式：\[ \cos x = 1 \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \frac{x^6}{6!} + \cdots \]以上是一些常见函数在零点处的泰勒展开式，通过这些展开式，我们可以近似计算这些函数在零点附近的取值。
泰勒公式
一、泰勒公式
x − sin x lim x→0 x3
x − f ( x) x − ( x + x3 + x5 ) lim = lim 3 x →0 x →0 x x3
在 3.1 节微分中， 已知
若 f ( x ) 在 x 0 可导，有
(1)
f ( x ) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
(a )
x (4)
= a x (ln a ) 4
a (ln a ) 4 r4 ( x ) = x 4!
ξ
4
(ξ 在 0 与 x 之间)
(2) 注意求哪一点处的泰勒公式．
例如求 e 在 x = 1 处带皮亚诺型余项的 n 阶泰勒公式．
x
e = e⋅e
x
x −1
1 1 2 n n = e 1 + ( x − 1) + ( x − 1) + " + ( x − 1) + o ( x − 1) 2! n!
f
(k )
( x) =
( −1)
k −1
( k − 1)!
k
(1 + x )
f
(k )
(0) = ( −1)
k −1
( k − 1)!
ln(1 + x ) = x −
1 2 1 3 n n −1 1 n x + x − " + ( −1) x + o( x ) n 2 3
( 5)
f ( x ) = (1 + x )µ
或 f ( x) ≈ P( x)
数学分析泰勒公式
数学分析泰勒公式泰勒公式是数学分析中的重要定理之一，它描述了一个函数在特定点附近的局部行为。
泰勒公式的内容非常丰富，有多个版本，包括泰勒级数展开、拉格朗日余项等等。
本文将主要介绍泰勒公式的一般形式及其应用。
泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，在(a,b)内存在一点c，那么对于(a,b)内的任意x，都存在一个介于x和c之间的点ξ，使得f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中f'(c)表示f(x)在点c处的一阶导数，f''(c)表示f(x)在点c处的二阶导数，依此类推，f⁽ⁿ⁾(c)表示f(x)在点c处的n阶导数。
R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是泰勒公式的余项，用于估计f(x)与泰勒级数展开之间的误差。
其具体形式为：R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(x-c)ⁿ⁺¹/(n+1)!*f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)其中ξ位于x和c之间。
泰勒公式的一般形式给出了一个函数在特定点附近的局部近似表示。
当x靠近c的时候，余项R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)往往趋近于0，这意味着f(x)可以很好地由前面几项和来近似表示。
特别地，当n较大时，泰勒公式给出了一个无穷级数展开，称为泰勒级数展开。
泰勒级数展开形式如下：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+...通常将f(x)在c处展开的泰勒级数称为f(x)的泰勒级数展开式，并记作：f(x)=Σf⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!泰勒级数展开具有很好的性质，例如，它可以用于计算函数在特定点的值、求函数在特定点附近的最值、近似求解方程等等。
例如，对于常见的指数函数、三角函数、对数函数等，它们可以通过泰勒级数展开来进行计算和近似。
泰勒展开的公式
泰勒展开的公式摘要：1.泰勒公式的定义2.泰勒公式的用途3.泰勒公式的证明方法4.泰勒公式的实际应用正文：1.泰勒公式的定义泰勒公式，又称泰勒级数，是由英国数学家布鲁克·泰勒在18 世纪初提出的一种数学公式。
泰勒公式可以将一个可微函数在某一点附近的值表示为该点的函数值、导数值和高阶导数值的有限和。
具体来说，设函数f(x) 在点a 附近可微，则泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等分别表示函数f(x) 在点a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n! 表示n 的阶乘，Rn(x) 表示泰勒公式的余项。
2.泰勒公式的用途泰勒公式在数学和实际应用中有着广泛的用途，主要包括以下几点：（1）求函数的近似值：通过泰勒公式，可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。
（2）证明其他数学定理：泰勒公式可以作为证明其他数学定理的工具，例如证明函数的凹凸性、极限等。
（3）数值计算：在数值计算中，泰勒公式可以用于求解微分方程、插值和逼近等问题。
3.泰勒公式的证明方法泰勒公式的证明方法有多种，其中较为常见的是利用洛必达法则进行证明。
具体证明过程较为繁琐，这里不再赘述。
4.泰勒公式的实际应用泰勒公式在实际应用中有很多例子，下面举一个简单的例子来说明。
例如，我们要求函数f(x) = sin(x) 在点x=π/2 附近的值。
首先，我们知道sin(x) 在x=π/2 处的值为1，其次，我们可以求出sin(x) 在x=π/2 处的一阶导数为cos(π/2)=0，二阶导数为-sin(π/2)=-1，以此类推。
泰勒规则公式
泰勒规则公式
泰勒规则公式是i=i*+a（N-N*）-b（U-U*）。
泰勒规则是常用的简单货币政策规则之一，由斯坦福大学的约翰.泰勒于1993年根据美国货币政策的实际经验，而确定的一种短期利率调整的规则。
泰勒认为保持实际短期利率稳定和中性政策立场，当产出缺口为正（负）和通胀缺口超过（低于）目标值时，应提高（降低）名义利率。
美联储决定放弃实行了十余年的以调控货币供应量来调控经济运行的货币政策规则，而以调整实际利率作为对经济实施宏观调控的主要手段。
这就是美国金融界的“泰勒规则”。
泰勒公式大全
泰勒公式大全泰勒公式是微积分中的重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无限项的多项式，从而方便我们进行计算和研究。
本文将按照不同的类别介绍泰勒公式的各种形式和应用。
一、泰勒公式的基本形式泰勒公式的基本形式是：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
二、泰勒公式的常用形式1. 麦克劳林公式当$a=0$时，泰勒公式就变成了麦克劳林公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$这个公式在计算中非常常用，因为它可以将很多函数展开成简单的多项式形式。
2. 带余项的泰勒公式在实际计算中，我们往往只需要保留泰勒公式的前几项，而不需要展开到无穷项。
这时，我们可以使用带余项的泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{m}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_m(x)$$其中，$m$表示展开的项数，$R_m(x)$表示余项，它的表达式为：$$R_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$$其中，$\xi$是$a$和$x$之间的某个值，$m+1$阶导数的值在$a$和$\xi$之间取值。
三、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式可以将一个复杂的函数近似成一个简单的多项式，从而方便我们进行计算。
比如，我们可以使用麦克劳林公式将$\sin x$和$\cos x$展开成多项式形式，从而计算它们的值。
2. 函数的性质研究泰勒公式可以帮助我们研究函数的性质，比如函数的最值、极值、拐点等。
通过对泰勒公式的各项系数进行分析，我们可以得到函数在展开点附近的一些性质。
3. 数值逼近泰勒公式可以用来进行数值逼近，比如我们可以使用带余项的泰勒公式来逼近函数的值。
8个泰勒公式总结
8个泰勒公式总结1. 一阶泰勒公式一阶泰勒公式是数学中用来近似计算函数值的重要公式。
它基于函数在某一点的导数，可以将函数在该点附近的近似值表示为一个线性函数。
一阶泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数。
2. 二阶泰勒公式二阶泰勒公式是泰勒公式的推广，可以更精确地近似计算函数值。
它基于函数在某一点的导数和二阶导数，可以将函数在该点附近的近似值表示为一个二次函数。
二阶泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)^2其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的一阶导数，f''(a)是函数在点a处的二阶导数。
3. 多项式泰勒公式多项式泰勒公式是泰勒公式的另一种表现形式。
它通过将函数展开成一系列幂函数的和，来近似计算函数值。
多项式泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)^2 + ... + (1/n!)f^(n)(a) (x-a)^n其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的一阶导数，f''(a)是函数在点a处的二阶导数，f^(n)(a)是函数在点a处的n阶导数，n!表示n的阶乘。
4. 常用的泰勒公式展开函数在实际计算中，有一些常见的函数的泰勒公式展开式被广泛使用。
这些函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数等。
正弦函数的泰勒公式展开式为：sin(x) ≈ x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - (1/7!)x^7 + ...余弦函数的泰勒公式展开式为：cos(x) ≈ 1 - (1/2!)x^2 + (1/4!)x^4 - (1/6!)x^6 + ...以及指数函数的泰勒公式展开式为：e^x ≈ 1 + x + (1/2!)x^2 + (1/3!)x^3 + ...5. 泰勒级数泰勒级数是指将一个函数展开成一系列幂函数的和的无穷级数。
泰勒公式
泰勒公式泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。
）证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。
设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。
显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。
至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n .接下来就要求误差的具体表达式了。
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山西财经大学应用数学学院学年论文作者班级学号指导老师完成日期泰勒公式及其应用张蕊摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
运用泰勒公式可以有效地解决某些问题，在微积分的各个方面都有重要的应用。
本文将介绍泰勒公式及其在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用，从而能够对泰勒公式有更深入的了解，认识到泰勒公式的重要性。
关键词：泰勒公式;佩亚诺余项;中值定理；求极限；微积分。
1 引言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。
它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。
这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
用泰勒公式可以很好的解决某些问题，如求极限、不等式证明、近似计算、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性等方面。
比如在求某一初等函数的定积分时，由于此函数的原函数无法用初等函数表示，考虑到一般初等函数都可以近似地用泰勒公式表示，故可运用泰勒公式进行近似计算，并能满足一定的精确度。
因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，用泰勒公式这一有力的工具能解决更多的数学实际问题。
2 预备知识定理 1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：()20000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!(1)其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ （2）公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,()n R x 的表达式（2）称为拉格朗日型余项.定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数,则有()200000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!(3)公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如0(())n o x x -的余项称为佩亚诺型余项.特别地：在泰勒公式(1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm ）公式:()()()112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x x n θ++'''=+++++……+n! (01)θ<<（4） 在公式(3)中,如果取00x =,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!nnn f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!(5)麦克劳林公式常见函数的展开式： 2+1= 1+ + + . . . .+ + 2!!(+1)!n x xn x x e e x x n n α352+12+2sin = + ...+ (1)+ ()3!5!(2+1)!n n n x x x x x o x n - 24622cos =1 ++....+ (1) + ()2!4!6!(2)!nn n x x x x x o x n . 23ln(1)23x x x x +=-++…1()n n n x n-+(-1)+o x 2(1)(1)12m m m x x x -+=+m +!…+(1)(1)n m m m n x n - !()n +o x 21=1+ + + ... + +()1n n x x x o x x. 定理3泰勒中值定理若函数)(x f 在[a ，]b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(a ，)b 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[a x ∈0，]b ，至少存在一点(a ∈ξ，)b ，使得+-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f10)1(00)()()!1()()(!)(++-++-+n n nn x x n f x x n x f ξ )5(证明： 作辅助函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-'+-=n n t x n t f t x t f t f x f t F )(!)())(()()()()( ，1)()(+-=n t x t G .所要证明的)5(式即为)!1()()()()(!1)()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ξ或）（ξ不妨设0x ＜x ，则)(t F 与)(t G 在[0x ，]x 上连续，在(0x ，)x 内可导，且n n t x n t f t F )(!)()()1(--='+0))(1()(≠-+-='n t x n t G又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得)!1()()()()()()()()()()1(0000+=''=--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ξξξ 其中(0x ∈ξ，)(a x ⊂，)b 证毕.)5(式同样称为泰勒公式，它的余项为10)1()()!1()()()()(++-+=-=n n n n x x n f x P x f x R ξ，)(00x x x -+=θξ (0＜θ＜)1称为拉格朗日型余项.所以)5(式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.注意到0=n 时，)5(式即为拉格朗日种植公式 ))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ 所以，泰勒中值定理可以看作拉格朗日中值定理的推广 当00=x 时，得到泰勒公式1)1()(2)!1()(!)0(!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ (0＜θ＜)1 )6()6(式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式3 泰勒公式的应用（1）利用泰勒公式求极限例1 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限20)1ln(cos limxxx x x -+→ 解： 因为分式函数的分母是2x ，我们只需将分子中的x cos 与)1ln(x +分别用二阶的麦克劳林公式表示：)(!211cos 22x o x x +-=，)(21)1ln(22x o x x x +-=+ 于是 x x o x x x o x x x x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-+∙)(21)(!211)1ln(cos 2222对上式作运算是把所有比2x 高阶的无穷小的代数和仍记为)(2x o ，就得)(21)(21)1ln(cos 2222x o x x x o x x x x x +-=-+-=-+ 故 2121lim )1ln(cos lim 22020-=-=-+→→x x x x x x x x 例2 求极限30arcsin 22arcsin lim x xx x -→解： x x arcsin 22arcsin -的泰勒展开式为)(49553x o x x ++则原式149lim 3530=+=→x x x x例 3 求)1(sin ln )(e lim 311---→x xx x x解：这里10=x ，x ln 1=α，x x -=-12eα，)1(sin 3-=x β.由于331)1()1(sin lim--→x x x 01≠=，即3=k .故由定理2.2知1e -x 的泰勒公式取到含213)1()1(-=--x x 项即可.取2)1(!21)1(1)(-+-+=x x x P n ，所以原式 31321321)1sin()1()1(ln lim 21)1(sin ln )1(!21lim )1(sin ln )1(!21)1(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+→→→x x x x x x x x x x x x x x x 21=（2）利用泰勒公式证明不等式例1 在[a,b]上f(x)>0，且()0nx f<，试证明2max ()()baa x bf x f x dx b a <<<∫- 证明： 任取[p,q]⊂[a,b]，对任意x ∈[p,q]，利用泰勒公式及其条件()0nx f<可得 ()()f p f x =+()x ´ƒ22()()(2p x p fξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()p x -（1）()()f q f x =+()x ´ƒ222()()(2q x q fξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()q x - （2）（1）×()q x -(2)+×()x p -得 ()p ƒ()q x -+()()f q x p -()()f x q p <-所以有 ()()q p f p q x ∫[-()()f q x p +-]()qp x dx dx <(q-p)∫ƒ 即()()()()2qp f p f q q p x dx +-<∫ƒ （3） 设c ∈[a,b]，使 ()c ƒ=max ()a x bx <<ƒ 根据（3）及()x ƒ >0得()()()b c ba a c x dx x dx x dx∫ƒ=∫ƒ+∫ƒ()()2f a f c +>+()()()2f c f b b c +- ()()()()()()222f c f c f c c a b c b a >-+-=-即 2max ()()baa x bf x f x dx b a <<<∫- 例2 设()f x 在[],a b 上单调增加，且()0f x ''>，证明()()()()2b a f a f b f x dx b a +⎰<-.分析：（1）因为不等式右边出现了()f a 与()f b ，提示我们选择0x a =，0x b =分别展开.（2）已知()0f x ''>，所以最多只能展开到含二阶导数为止.证明：对[]0,x a b ∀∈，()f x 在点0x 处的泰勒展开式为：()()()()()()20000012f x f x f x x x f x x ξ'''=+-+-，()0,x x ξ∈. 因为()0f ξ''>，所以()()()()000f x f x f x x x '>+-. 令x a =，x b =则()()()()000f a f x f x a x '>+-，()()()()000f b f x f x b x '>+-.则()()()()()()000022f a f b f x a b f x x f x ''+>++-.对上式两边同时在[],a b 积分得：()()()()()()()000000022,b bb a aa b a f a f b f x dx a b f x dx x f x dx '''-+>⎰++⎰-⎰⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()22.b b ba a ab a f a f b f x dx a b f b f a xf x f x dx ⎡⎤-+>⎰++--⎰-⎰⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦得 ()()()()24ba f a fb b a f x dx +->⎰⎡⎤⎣⎦.故()()()()2b af a f b f x dx b a +⎡⎤⎣⎦⎰<-，命题得证. （3）利用泰勒公式进行近似计算例题1 2128x x ≈+- []0,1x ∈ 的绝对误差.解 设()f x =则因为()01f =()()12112f x x -'=+ ()102f '=()()32114f x x -''=-+ ()104f ''=-()()52318f x x -'''=+所以()f x =()2352112816x x x x θ-=+-++ ()01θ<<从而：()()3522111616x R x x θ-=+≤ []0,1x ∈.例题2 计算lg11的值,准确到5-10 解: 111lg11lg(101)1lg ln )10ln1010=+=+(1+)=1+(1+ 因为 23ln(1)23x x x x +=-++ (1)n x n -(-1)n +(-1)11(1)(1)n n x n x ++++θ， 1x 0<θ<1, >-, 要使(1)1(1)10(1)(1)ln1010n n n n -++-||θ++5102(1)n -n+1-<<10+⇒ 542(1)1010n n -(n+1)-+>= 取4n =，故 11111lg111ln1010200300040000≈+(-++)≈1.04139（4） 利用泰勒公式判断级数的敛散性例1 讨论级数∑∞=+-1)1ln 1(n n n n的敛散性.解：11132)1)(1()1(1)1(3121)1(ln ++-++-+-+⋅⋅⋅-+-=+n n n nn n x x n x x x x ξ， 取n 1x =有⋅⋅⋅-+-=+3231211)n 11(ln n n n <n1， 所以n n 1ln +<n1，且=n U n 1-n n 1ln +>0,故该级数是正项级数。