函数与倒数
常见函数导数表
以下是一些常见函数的导数：
1. 常数函数：f(x)=c的导数为0。
2. 幂函数：f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数：f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*lna。
4. 对数函数：f(x)=lnx的导数为f'(x)=1/x。
5. 三角函数：
* 正弦函数：f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx。
* 余弦函数：f(x)=cosx的导数为f'(x)=-sinx。
* 正切函数：f(x)=tanx的导数为f'(x)=sec^2x。
6. 反三角函数：
* 反正弦函数：f(x)=arcsinx的导数为f'(x)=1/√(1-x^2)。
* 反余弦函数：f(x)=arccosx的导数为f'(x)=-1/√(1-x^2)。
* 反正切函数：f(x)=arctanx的导数为f'(x)=1/(1+x^2)。
7. 双曲函数：
* 自然双曲正弦函数：f(x)=shx的导数为f'(x)=chx。
* 自然双曲余弦函数：f(x)=chx的导数为f'(x)=shx。
8. 幂函数：对于形如f(x)=ax^n的幂函数，其导数为
f'(x)=nax^(n-1)。
9. 分式函数：对于形如f(x)=u/v的函数，其中u和v都是可导的，其导数为f'(x)=(u'v-uv')/v^2。
这只是一部分常见函数的导数，实际上还有很多其他类型的函数，这些函数的导数都需要根据具体情况进行计算。
高考函数与导数知识点
高考函数与导数知识点在高考数学中，函数与导数是重要的考点之一。
理解和掌握函数与导数的知识对于解答各类函数与导数题目至关重要。
本文将对高考函数与导数的知识点进行详细论述，帮助同学们更好地应对考试。
1. 函数的概念与性质函数是数学中常见的概念，它描述了两个变量之间的关系。
通常用字母表示，其中一个变量称为自变量，另一个变量称为函数的值或因变量。
函数可以用方程、图形或解析式等形式表示。
函数的性质有很多，例如：奇偶性、单调性、周期性、有界性等。
了解这些性质对于解题非常有帮助。
同时，还需要掌握函数的基本运算、复合函数以及函数的反函数等概念和运算方法。
2. 导数的概念与计算方法导数是函数在某一点上的变化率或斜率。
它是函数微分学的基本概念之一。
导数的计算方法有很多，常见的有用定义法、用极限法和用基本导数法等。
要计算导数，首先需要了解导数的定义。
其次，掌握各类函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。
此外，还需要掌握导数的运算法则，例如和差法则、积法则、商法则等。
3. 函数与导数的关系函数与导数之间有着密切的联系，理解函数与导数的关系对于高考数学题目的解答至关重要。
首先，导数可以表征函数的变化趋势。
通过函数的导数值，可以判断函数在某一点上是递增还是递减，也可以分析函数的极值（最大值和最小值）。
其次，函数的导数也可以求出函数的切线方程。
通过求导并代入给定点的坐标，可以确定函数在该点的切线，进而得到切线的方程。
此外，通过函数的导数还可以判断函数的凹凸性。
函数的导数值的变化可以揭示函数的曲线是上凹还是下凹，从而确定函数的凹凸区间。
4. 应用题与解题技巧高考中，函数与导数的知识点经常会涉及到应用题。
这类题目结合了函数与导数的知识，考察学生对于函数与导数概念的理解和运用能力。
在解答应用题时，需要注意以下几个方面的技巧：(1) 确定函数的自变量和因变量，建立函数模型；(2) 利用导数求出函数的变化趋势，比如函数递增递减的区间、函数的最值等；(3) 根据问题中给出的条件，列方程并求解；(4) 检查解的合理性以及问题中是否有陷阱，注意解答方式和表述的准确性。
函数与导数
导数的符号变化与函数单调 性的改变
导数由正变负意味着函数由递增变为递减，导数由 负变正意味着函数由递减变为递增。
利用一阶导数判断单调性
求出一阶导数后，找出导数为0的临界点， 再分区间判断导数的符号，从而确定函数的 单调性。
利用导数求函数的最大值与最小值
01
导数与函数极值的关 系
函数的极值出现在导数为0或不存在 的点处。
02
CATALOGUE
导数的概念与计算
导数的定义与几何意义
定义
导数描述了函数在某一点处的局部变化率，即函数在该点的切线斜率。
几何意义
对于平面上的曲线，导数表示曲线上某一点的切线斜率。在三维空间中，导数表示曲面的切平面的斜 率。
导数的计算方法
基本导数公式
通过基本初等函数的导数公式（如常数 、幂函数、指数函数、对数函数、三角
04
CATALOGUE
函数与导数的综合应用案例分析
案例一：利用导数研究人口增长模型
人口增长模型介绍
简要介绍马尔萨斯人口增长模型、Logistic 人口增长模型等。
导数在人口增长模型中的应用
阐述如何利用导数分析人口增长速率、拐点 等问题。
实证分析
利用具体国家或地区的数据，进行人口增长 模型的实证分析。
如求最短路径、最小成本等，通过导数可以 找到函数的极值点，从而得到最优解。
物理学中的运动问题
利用位移、速度、加速度之间的导数关系， 可以研究物体的运动规律。
经济学中的边际分析问题
通过导数求解边际成本、边际收益等，帮助 决策者进行最优决策。
工程技术中的曲线拟合问题
可以利用导数对曲线进行拟合，以满足实际 需求。
01
介绍桥梁设计中遇到的曲线问题，如悬链线、抛物线等。
高考数学函数与导数知识点梳理
高考数学函数与导数知识点梳理在高考数学中，函数与导数是非常重要的基础知识点。
掌握好这些知识点，对于高考数学的备考和解题都至关重要。
下面将对高考数学函数与导数知识点进行梳理，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、函数的概念和性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
2. 函数的符号表示：设函数为y=f(x)，x是自变量，y是因变量。
3. 函数的性质：3.1 定义域：函数的自变量的取值范围。
3.2 值域：函数的因变量的取值范围。
3.3 奇偶性：函数关于y轴对称为偶函数，关于原点对称为奇函数，否则为非奇非偶函数。
二、常见函数类型1. 一次函数：y=ax+b，其中a、b为常数，a不为0。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a不为0。
3. 幂函数：y=x^a，其中a为常数。
4. 指数函数：y=a^x，其中a为常数且a大于0且不等于1。
5. 对数函数：y=log_a(x)，其中a为常数且a大于0且不等于1。
6. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
7. 反三角函数：包括正弦反函数、余弦反函数、正切反函数等。
三、函数的图像与性质1. 函数的图像：函数的图像是函数在坐标平面上的表示，可通过描点法或作图工具绘制。
2. 函数的增减性与极值：函数在某个区间上递增时，图像是上升的；在某个区间上递减时，图像是下降的。
3. 函数的奇偶性与轴对称：函数的奇偶性与轴对称与函数的性质有关。
四、导数的概念和性质1. 导数的定义：函数在某一点的导数是该点切线的斜率。
2. 导数的符号表示：函数f(x)的导数表示为f'(x)或dy/dx或y'。
3. 导数的性质：3.1 导数存在性：函数在某一点可导意味着该点的左导数和右导数都存在，且相等。
3.2 导数与函数图像的关系：函数图像在导数不为零的点处有切线。
五、常见函数的导数1. 一次函数的导数：一次函数y=ax+b的导数为a。
高考数学：函数与导数知识点
高考数学：函数与导数知识点1．函数恒成立问题【知识点的认识】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单【解题方法点拨】一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．解：由题意可知：a≤恒成立即a≤x++2⇒a≤2+2【命题方向】恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．2．函数的零点【函数的零点】一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解法﹣﹣二分法】①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【总结】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．3．函数零点的判定定理【知识点的知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f （x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．4．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．5．函数在某点取得极值的条件【知识点的知识】极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．【典型例题分析】例1：求函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的极值点的个数．解：∵函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9∴f'（x）＝15x4﹣15x2令f'（x）＝0则x＝﹣1，x＝0或x＝1又∵当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0；当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0故函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的极值点的个数有2个．这个例题中首先判断的是其是否连续，然后在求导函数为0的点有几个，即它的极值点有几个．例2：已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x﹣x3的极大值点的坐标为（b，c），则ad等于．解：已知实数a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，∵y′＝3﹣3x2＝0，则x＝±1，经检验，x＝1是极大值点．极大值为2．∴b＝1，c＝2由等比数列的性质可得：ad＝bc＝2．这个有两个极值点，但要求的是极大值，这个时候我们可以联想到波峰，即在这个点的左边必须要大于0，要是单调递增的，右边必须小于0，既是单调递减的，这样这个点才处于波峰的位置，这个时候就是极大值，这里的验证其实就是做这个工作．【考点动向】这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．6．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．7．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．8．利用导数研究曲线上某点切线方程【考点描述】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【实例解析】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．9．数列与不等式的综合【知识点的知识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明．常用的放缩方法有：，，，＝[]﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），＜＝（）（n≥2），，2（）＝＜＝＜＝2（）．…+≥…+＝＝＜．【解题方法点拨】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：＞|a|；＞n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；＜；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性．（7）常见模型：①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．【典型例题分析】题型一：等比模型典例1：对于任意的n∈N*，数列{a n}满足＝n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：对于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，当n≥2时，得②，①﹣②得．∴．又，得a1＝7不适合上式．综上得；（Ⅱ）证明：当n≥2时，．∴＝．∴当n≥2时，．题型二：裂项相消模型典例2：数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．分析：（1）根据a n＝S n﹣S n﹣1，整理得a n﹣a n﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{a n}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2S n＝a n+a n2①成立∴（n≥2）②①﹣②得2a n＝a n+a n2﹣a n﹣1﹣a n﹣12，∴a n+a n﹣1＝（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）∵a n，a n﹣1均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝1（n≥2）∴数列{a n}是公差为1的等差数列又n＝1时，2S1＝a1+a12，解得a1＝1，∴a n＝n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴【解题方法点拨】（1）放缩的方向要一致．（2）放与缩要适度．（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．。
导数和函数的知识点总结
导数和函数的知识点总结一、导数的定义和性质1. 导数的定义函数的导数是函数在某一点上的变化率，它描述了函数在该点的斜率。
设函数y=f(x)，如果函数在点x处的导数存在，那么我们可以用f'(x)或者dy/dx来表示函数在点x处的导数，它的定义式为：f'(x) = lim (h->0) ( f(x+h) - f(x) ) / h其中，h表示自变量的微小增量。
导数的定义可以直观理解为对应点处的切线斜率，是函数随着自变量的微小变化而变化的速率。
2. 导数的性质导数的性质包括线性性、导数的四则运算、复合函数求导、反函数求导等。
这些性质为我们在计算导数时提供了便利，并且也为我们理解函数的变化规律提供了重要依据。
3. 隐函数求导有些函数并不是显式地表达为y=f(x)的形式，而是以隐式形式出现，这时就需要用到隐函数求导的方法。
隐函数求导的关键在于利用导数的定义和隐函数的关系式，通过一系列的推导和变换，最终得到隐函数的导数。
4. 高阶导数如果一个函数的导数f'(x)再次可导，那么可以考虑它的二阶导数f''(x)，同理还可以考虑其更高阶的导数。
高阶导数描述了函数高阶的变化规律，它在分析函数的曲率、凹凸性等方面有着重要的应用。
二、函数的概念和性质1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。
如果对于每一个自变量x，函数都有唯一确定的因变量y与之对应，那么这个关系就是一个函数。
函数的定义可以表达为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)为函数的值。
2. 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、凹凸性、极值点、拐点等。
这些性质描述了函数的特征以及函数在自变量的变化下的规律和规则。
3. 常见函数的图像及性质常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们都有着特定的图像和性质。
了解这些函数的图像及性质，对于理解函数的变化规律有着重要的意义。
导数与函数
导数在物理中可 以用来描述速度、 加速度、电流等 物理量的变化率
导数的物理意义 可以帮助我们理 解一些物理现象， 例如物体运动的 速度和加速度、 电路中的电流和 电压等
导数的物理意义 还可以帮助我们 解决一些实际问 题，例如优化设 计、控制工程等
Part Two
导数的计算
导数的四则运算
乘法法则：对于两个函数的乘积，其导数为 (uv)' = u'v + uv' 除法法则：对于函数除以自变量，其导数为 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2 幂函数法则：对于幂函数 (uv)' = u'v + uv'/x 常数乘法法则：常数与函数的乘积的导数为该常数乘以函数的导数
利用导数研究函数的凹凸性
导数小于0，函数 为凹函数
导数大于0，函数 为凸函数
导数等于0，函数 为拐点
利用导数判断函 数的单调性
利用导数研究函数的拐点
定义：函数在某点 的导数为零，且该 点两侧的导数符号 相反，则该点为函 数的拐点。
判断方法：求函数 的导数，令导数等 于零，解得可能的 拐点。
应用：利用导数研 究函数的单调性、 极值和最值等性质 ，进而解决实际问 题。
导数与函数
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汇报人：XX
目录
01 导 数 的 概 念
02 导 数 的 计 算
03 导 数 的 应 用 05 导 数 与 函 数 的 关 系
04 导 数 与 微 积 分 的 关 系
Part One
导数的概念
导数的定义
导数是函数在某一点的斜率
导数与函数的关系
导数与函数的关系一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。
导数也可以理解为函数在某一点附近的局部变化速率，或者是函数曲线在某一点的切线斜率。
设函数y=f(x)，如果函数在某一点x处的导数存在，则函数在这一点是可导的。
导数常用符号f'(x)或dy/dx来表示。
形式上，导数f'(x)定义为：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗,其中lim表示极限。
也可以写成f'(x) = dy/dx = d/dx (f(x))其中，h表示极限值逐渐趋于0的一个变量。
二、导数的意义从几何角度来看，导数的意义是函数曲线在某一点的斜率，也就是切线的斜率。
切线的斜率可以告诉我们函数在该点附近的变化速率。
从物理角度来看，导数的意义是函数描述的物理量随着自变量的变化率。
例如，若函数描述的是一个物体的位置随时间变化的规律，则函数的导数表示物体的速度；若函数描述的是速度随时间变化的规律，则函数的导数表示物体的加速度。
从经济角度来看，导数的意义是函数描述的经济指标随着自变量的变化率。
例如，若函数描述的是销售额随着广告投入的变化规律，则函数的导数表示广告效应；若函数描述的是利润随着产量变化的规律，则函数的导数表示边际利润。
三、导数的计算导数的计算可以通过极限的定义来进行，也可以利用导数的性质和基本函数的导数公式来计算。
1. 导数的基本运算法则：(a) 常数的导数为0：d/dx(c) = 0，其中c是一个常数。
(b) 幂函数的导数：d/dx(x^n) = nx^(n-1)，其中n是常数。
(c) 指数函数的导数：d/dx(e^x) = e^x，其中e是自然常数。
(d) 对数函数的导数：d/dx(ln(x)) = 1/x，其中x>0。
(e) 三角函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) = -sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
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函数单调性与导数
1.证明：x x f 2)(=在R 上是增函数
2.证明：
x x f 5)(-=在R 上是增函数
3.讨论函数)0()(≠=a ax x f 的单调性
4.求32)(2--=x x x f 的单调递增区间
5.求183)(2
--=x x x f 的单调递减区间
6.已知3)(2--=ax x x f 在),1(+∞是增
函数，求a 的取值范围.
7.求x x x x f 33
1
)(23--=的单调递增区
间 8.求x x x x f --=23)(的单调减增区间
9.已知3)(23--+=ax x x x f 在R 是增函
数，求a 的取值范围.
10.已知bx ax x x f ++=23)(的图像过点P
（1，6），且在P 处的切线斜率为10.
（1）求)(x f 的解析式. （2）求)(x f 的单调区间
函数单调性与导数
3.证明：x x f 2)(=在R 上是增函数
4.证明：
x x f 5)(-=在R 上是增函数
3.讨论函数)0()(≠=a ax x f 的单调性
4.求32)(2--=x x x f 的单调递增区间
5.求183)(2--=x x x f 的单调递减区间
6.已知3)(2--=ax x x f 在),1(+∞是增
函数，求a 的取值范围.
7.求x x x x f 33
1)(23
--=
的单调递增区间 8.求x x x x f --=23)(的单调减增区间
9.已知3)(23--+=ax x x x f 在R 是增函
数，求a 的取值范围.
11.已知bx ax x x f ++=23)(的图像过点P
（1，6），且在P 处的切线斜率为10.
（3）求)(x f 的解析式. （4）求)(x f 的单调区间。